Se explica lo

1. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE
CONTROL RETROALIMENTADOS
Jorge Luis Jaramillo
Teoría del Control Automático
PIET EET UTPL marzo 2012

2. Créditos
Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial
del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y
Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.
La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración
se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles
gratuitamente en la web.

3. Contenido
• Conceptos generales
• Criterios de estabilidad
• Estabilidad de los sistemas de control retroalimentados
• Método del lugar de las raíces
• Análisis y discusión

4. Contenido
• Conceptos generales

5. Conceptos generales
A menudo, los sistemas enfrentan acciones
externas que modifican su estado estacionario.
Si al desaparecer la acción externa, el sistema
vuelve al estado estacionario anterior (o a uno
nuevo), entonces se dice que el sistema es estable.
Si se considera un sistema lineal e invariante en
el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá
una respuesta que aumenta o disminuye de
forma exponencial, o, una oscilación cuya
amplitud aumenta exponencialmente.
Con mayor profundización, el concepto de
estabilidad se puede ampliar a estabilidad “en
pequeño”, estabilidad “en grande”, y, estabilidad
“completa”.

6. Conceptos generales
Dado que la
influencia de una
acción externa
implica un cambio
de estado
estacionario,
entonces existe
una relación
estrecha entre los
procesos
transitorios y la
estabilidad del
sistema.

7. Contenido
• Criterios de estabilidad

8. Criterios de estabilidad
La estabilidad del sistema se analiza de acuerdo a varios “criterios”:
• Estabilidad BIBO
• Criterio Routh-Hurwitz
• Teorema Lyapunov
• Criterio Nyquist
• Criterio Jury
Algunos de estos criterios responden a conceptos geométricos, y, a conceptos
analíticos.

9. Criterios de estabilidad
La estabilidad BIBO (bounded-input bounded-output) se fundamenta en una forma
intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema: considerar que el
sistema será estable si las distintas magnitudes que lo definen, no alcanzan valores
infinitos
Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si, ante cualquier señal de entrada
acotada (es decir que no alcanza valores infinitos), responde con una señal de salida
acotada.
Estabilidad BIBO

10. Criterios de estabilidad
El criterio Routh-Hurwitz se clasifica en el grupo de métodos analíticos. Su reflexión
parte de que para un SCA de lazo cerrado, se puede obtener la función de
transferencia en la forma:
Entonces, el denominador de la función de transferencia del sistema se denomina
ecuación característica del sistema
El criterio Routh-Hurwitz propone que la naturaleza del proceso transitorio y la
estabilidad del sistema dependerá de las raíces de esta ecuación.
Criterio Routh-Hurwitz

11. Criterios de estabilidad
Las raíces de una ecuación a(s), en
transformadas de Laplace, están distribuidas
en el plano de coordenadas, definido por el
eje de los números reales (abcisas) y el eje de
los números imaginarios (ordenadas).
Un polinomio a(s), se dice polinomio de
Hurwitz, si todas sus raíces tienen la parte real
negativa.
Según el criterio de estabilidad de Routh-
Hurwitz, para que un sistema sea estable basta
con que la ecuación característica del sistema, de
lazo cerrado, sea un polinomio Hurwitz.
.
Criterio Routh-Hurwitz

12. Criterios de estabilidad
En la práctica, el principio de
estabilidad de Routh-Hurwitz se basa
en el análisis de los coeficientes de la
ecuación característica
El sistema, cuya ecuación
característica posee dos raíces
conjugadas, representadas de color
amarillo, es un sistema estable.
El sistema, cuya ecuación
característica posee dos raíces
conjugadas, representadas de color
rojo, no es un sistema estable.
Criterio Routh-Hurwitz

13. Criterios de estabilidad
La validez del criterio de Routh-Hurwitz se fundamenta en que, dada una
ecuación característica a(s) es posible encontrar su solución común en la
forma: , en la que Si son las raíces de la ecuación
característica.
De otra parte, los significados de las funciones originales y de las funciones
imágenes están ligadas por la expresión:
De tal forma que para todo Si<0, todos los elementos de para t →∞ se
aproximarán a cero, y, el sistema será estable.
Para todo si>0, los elementos se alejarán de cero, y, el sistema no será
estable.
Criterio Routh-Hurwitz

14. Criterios de estabilidad
Criterio Routh-Hurwitz

15. Criterios de estabilidad
El teorema de Lyapunov permite juzgar sobre la estabilidad de un sistema “en
grande”, conocido su comportamiento en “pequeño”.
Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en
demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un
sistema, de lazo cerrado, es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema es estable
en “grande”.
Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en
demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un
sistema de lazo cerrado no es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema no es
estable en “grande”.
Teorema Lyapunov

16. Criterios de estabilidad
El criterio de estabilidad de Nyquist, para un sistema de lazo cerrado, se basa en el
análisis de la representación gráfica de la función de transferencia.
En el plano de coordenadas s se define la curva cerrada C (o contorno de Nyquist),
el mismo que rodea el semiplano de la parte real positiva del plano complejo. Si
las raíces de la ecuación característica están fueran del contorno, entonces el
sistema será estable.
Criterio Nyquist

17. Criterios de estabilidad
Contorno de
Nyquist para
estudiar la
estabilidad de un
sistema de lazo
cerrado
Diagrama polar y contorno de
Nyquist para un sistema de
primer grado
Criterio Nyquist

18. Criterios de estabilidad
De acuerdo al criterio de Jury, las
raíces de la ecuación característica
de un sistema de lazo cerrado
estable, se encuentran dentro de la
circunferencia unitaria centrada en
el origen del plano de coordenadas
complejas
Criterio Jury

19. DISCUSIÓN Y ANÁLISIS