O documento resume os principais desenvolvimentos históricos da resolução de equações algébricas, desde os egípcios até os árabes. Apresenta problemas resolvidos pelos egípcios, babilônios, chineses e hindus, geralmente usando métodos geométricos ou de falsa posição. Destaca contribuições de Al-Khwarizmi ao estabelecer os seis tipos básicos de equações de 1o e 2o grau.

1. Resolução de Equações Algébricas UFF – Especialização Matemática Modelagem Matemática e Resolução de Problemas Profº Wanderley Rezende Alunos: Andréa Thees e Fábio Lennon

5. Papiro de Rhind – um dos documentos matemáticos mais antigos, foi escrito pelo egípcio Ahmes (1620 a 1680 d.C.) Atividade Para saber mais: Clique aqui Problema 35 (Rhind): Fui três vezes à medida de héqat , a minha 1/3 foi-me adicionada, [e regressei], enchendo a medida de héqat . O que é, o que diz isto? Tente resolver o problema usando a Regra da Falsa Posição!!! Escolha o valor 3 Calcule 3 + 1/3 3 = 4 Faça “aha” = 3 ¼ = ¾ = ½ + ¼ Adicione os 3 hégat e pronto! Solução: 3 + ½ + ¼

6. Papiro de Moscou – também conhecido como papiro Golenischev, este papiro é quase tão comprido como o papiro de Rhind, mas com apenas uns 7cm de largura. Escrito por um escriba desconhecido da dinastia XII (1890 a.C.), foi comprado no Egito no ano 1893. Atividade Para saber mais: Clique aqui Problema 19 Método de calcular uma pilha. 1 + 1/2 vezes junto com 4, deu 10. Qual é esta pilha? Solução apresentada pelo escriba: Calcula o excesso destes 10 sobre estes 4, é 6. Calcula com 1+ ½ até obteres 1. Resultado 2/3. Calcula 2/3 destes 6. Resultado 4. É 4. Encontraste o resultado certo ! Agora, resolva a equação linear usando os conhecimentos algébricos atuais!

7. Papiro de Berlim – Quando foi comprado por A. H. Rhind em Luxor em 1850, já encontrava-se em péssimo estado. Data de aproximadamente 1800 a.C. e encontra-se no Museu Staatliche em Berlim. Neste papiro aparece pela primeira vez a solução de uma equação do 2º grau. Atividade Para saber mais: Clique aqui Problema 2 É te dito ... a área de um quadrado de 100 [cúbitos quadrados] é igual à de dois quadrados mais pequenos. O lado de um dos quadrados é ½ + ¼ o lado o outro. Diz-me quais são os lados dos dois quadrados desconhecidos. O sistema de equações envolvido é: x 2 + y 2 = 100 e 4x – 3y = 0 Qual seria a solução original? Solução: Toma sempre o quadrado de lado 1. Então o lado do outro é ½ + 2/4. Multiplica-os por ½ + 2/4. Dá ½ + 1/16, área do quadrado pequeno. Depois juntos estes quadrados têm uma área de 1 + ½ + 1/16. Tira a raiz quadrada de 1 + ½ + 1/16. Que é 1 + ¼. Tira a raiz quadrada de 100 cúbitos. Que é 10. Divide estes 10 por 1 + ¼. Dá 8, o lado de um quadrado. Calcula ½ + ¼ de 8. Dá 6, o lado do outro quadrado.

8. Atividade Papiro de Kahun - Fragmentos de papiros encontrados em Kahun, no Egito por Flinders Petrie, em 1889, restaurados e traduzidos por F. L. Griffith. Acredita-se que data de cerca de 1800 a.C. e está escrito em hierático. No fragmento LV, 3 encontra-se a resolução da equação 1/2 x - 1/4 x = 5. Para saber mais: Clique aqui Fragmento LV, 3 Metade e um quarto é retirado e ficam 5. Que número diz isto? Solução: O que fica depois de 1/2 e 1/4 ser retirado de 1? Resultado 1/4. O que fica é 1/4, se o número fosse 1. Então o que fica é 4 x 1/4 = 1, se o número fosse 4 x 1 = 4. E o que fica é 5 x 1 = 5, se o número fosse 5 x 4 = 20. Por isso, o número que diz isto é 20.

9. Atividade Papiro do Cairo - Provavelmente, do século III a.C., está escrito em demótico. O papiro contém 40 problemas e alguns dos seus problemas revelam uma forte influência de textos babilônicos. Os problemas 7 a 18 citados, por van der Waerden e Parker, estão relacionados com as medidas de panos de velas de navios e envolvem equações do 2º grau. Para saber mais: Clique aqui Problema 7 Se te é dito: Faz uma vela de pano para o barco, e se te é dito: Dá 1000 cúbitos de pano para uma vela [quadrada], a altura da vela estando [na razão] de 1 para 1 ½ da largura, eis como deves fazer. Qual seria a solução original? E a solução atual?

11. Atividade Equações de 2º grau ou Equações Quadráticas – tais equações haviam sido estudadas pelos antigos Babilônios, para resolver alguns problemas muito antigos. Para saber mais: Clique aqui "Comprimento, largura. Multipliquei comprimento e largura, obtendo assim a área. Então juntei à área o excesso do comprimento sobre a largura: 3,3 [isto é, o resultado obtido foi 183]. Além disso, juntei comprimento e largura: 27. Pede-se o comprimento, a largura e a área." Subtraindo 2 a 14 [note-se que 2 foi somado a 27], obtém-se 12 que é a largura procurada e, portanto o comprimento é 15. Logo, a área é 180, isto é, 3,0. De fato, a solução do sistema considerada é x = 15, y = 12. 14,5 – 0,5 = 14 14;30 – 0;30 = 14 (largura) 14,5 + 0,5 = 15 14;30 + 0;30 = 15 (comprimento) A raiz quadrada de 0,25 é 0,5 A raiz quadrada de 0;15 é 0;30 210,25 – 210 = 0,25 3,30;15 – 3,30 = 0;15 14,5 x 14,5 = 14,5 2 = 210,25 14;30 x 14;30 = 3,30;15 Metade de 29 é 14,5, pois 14,5 + 14,5 = 29 Metade de 29 é 14;30, pois 14;30 + 14;30 = 29 Somando membro a membro vem xy + 2x = 210 (número representado por 3,3) 27 + 3,3 = 3,30 2 + 27 = 29 Significado na base 10 Resolução Babilônica

12. Atividade Tábua YBC 4652 – Faz parte da Yale Babylonian Collection e é do antigo período da Babilônia (OB) que vai de cerca de 2004 a 1595 a.C. Para cada problema é dada a resposta, mas sem comentários sobre a forma de resolvê-los. O objetivo dos problemas é sempre descobrir o peso “original” de uma pedra, dando origem a equações do 1º grau. Para saber mais: Clique aqui Problema 19 Encontrei uma pedra, mas não a pesei; depois pesei seis vezes (o seu peso) e adicionei 2 gin , depois adicionei a terça parte da sétima parte desta quantidade multiplicada por 24.Tudo pesa 1 mana . Solução: 4 1/3 de gin 1 mana = 60 gin

13. Atividade Para saber mais: Clique aqui Tábua BM 13901 – Encontra no Museu Britânico, e é do antigo período da Babilônia que vai de 2004 a 1595 a.C.. Os problemas dão origem a equações do 2º grau ou a sistemas de equações, em que uma das equações é do 2º grau. O objetivo dos problemas é sempre descobrir o lado de um quadrado. Segundo van der Waerden, o problema 14, dá origem ao sistema de equações: x 2 + y 2 = 1525 y = 2/3 x + 5 Já o problema 18, ao sistema de três equações: x 2 + y 2 + z 2 = 1400 x - y = 10 y - z = 10 Quais seriam 2 possíveis enunciados para esses problemas?

15. Atividade Para saber mais: Clique aqui Capítulo VIII - Problema 8 Agora vende 2 vacas e 5 ovelhas, para comprar 13 porcos. Sobram 1000 dinheiros. Vende 3 vacas e 3 porcos para comprar 9 ovelhas. O dinheiro é o suficiente. Vende 6 ovelhas e 8 porcos. Depois compra 5 vacas. Existe um déficit de 600 moedas. Diz: qual é o preço de uma vaca, ovelha e porco, respectivamente? Nove Capítulos da Arte Matemática - influenciaram toda a matemática chinesa, tendo sido utilizado como manual de ensino. O livro é de autor desconhecido, como era comum na antiga China. Solução: preço das vacas 1200; preço das ovelhas 500 e preço dos porcos 300. Como resolver? Vamos tentar?

17. De um grupo de abelhas pretas [ 2 x 2 ], a raiz quadrada de metade [ x ] foi para a árvore malati. De novo oito nonos das abelhas foram para a árvore malati. Das duas restantes, uma foi apanhada numa flor de lótus, cuja fragrância a cativou; ele começou a lamuriar-se e a sua amada respondeu. Então, ó amada, quantas abelhas havia? Lilavati (A Bela) – manuscrito de Baskhara com 278 versos, que trata de vários assuntos, entre eles, as equações quadráticas. Atividade

19. Uma vez apaixonado pela arte do cálculo, penso que nenhuma noção filosófica pode ser construída sem o número, considerando-o a mãe de toda a sabedoria. Anania de Shirak