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03.17 Funciones Lineales Y Cuadraticas

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03.17 Funciones Lineales Y Cuadraticas

  1. 1. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 1. Recuerda (I) • Relación de proporcionalidad. Si los valores de dos magnitudes M y M' se corresponden según la siguiente tabla Magnitud M a b c ... Magnitud M’ a' b' c' .. de modo que se verifica a b c = = =. .. a ' b ' c' se dice que las mignitudes M y M' son directamente proporcionales. • La constante de proporcionalidad para pasar de M a M' es el cociente a' a a y para pasar de M' a M es a'
  2. 2. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 2. Recuerda (II) • Rectas en el plano. Dos puntos del plano determinan una recta. • Rectas secantes en el plano. Tienen un punto en común. • Rectas aparelelas en el plano. No tienen puntos en común •B • •A
  3. 3. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 3. Función de proporcionalidad directa: representación Un avión vuela a una velocidad constante de 500 km/h. Si construimos una tabla y representamos los puntos de la tabla, obtenemos: Tiempo Espacio 1 500 2 1000 3 1500 4 2000 .... .... Los puntos están alineados. Además tiene sentido unirlos, obteniendo de esta forma una recta que pasa por el origen.
  4. 4. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 4. Función de proporcionalidad directa: pendiente • Las relaciones de proporcionalidad directa entre dos magnitudes representadas por las variables x e y se pueden representar como funciones de ecuación y = mx. • Las gráficas de las funciones y = mx son rectas que pasan por el origen. Como un punto cualquiera (a, b) de la recta debe verificar su ecuación debe ser b = m.a de donde obtenemos b m= a m recibe el nombre de pendiente de la recta
  5. 5. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 5. La pendiente de una recta: significado Si la recta es creciente o ascendente, a medida que se avanza en horizontal se produce un aumento de la vertical y su pendiente es positiva. Si la recta es decreciente o descendente, a medida que se avanza en horizontal se produce una disminución de la vertical y su pendiente es negativa.
  6. 6. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 6. La pendiente de una recta: medida de la verticalidad
  7. 7. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 7. Funciones de la forma: y=mx+n Cuando un submarinista hace una inmersión en agua dulce, a medida que desciende, la presión va aumentando de forma uniforme con arreglo a a la fórmula y = 0,1x + 1. Si construimos una tabla y representamos sus puntos, obtenemos: Profundidad Presión en en metros atmósferas 0 1 10 2 20 3 30 4 .... .... Los puntos están alineados. Además tiene sentido unirlos, obteniendo de esta forma una recta que no pasa por el origen.
  8. 8. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 8. Pendiente y ordenada en el origen En las gráficas de las funciones de ecuación y = mx + n • m es la pendiente de la recta, ya que por cada unidad de aumento de la x en horizontal, la y aumenta m unidades en vertical. • n es la ordenada en el origen que indica que la recta pasa por el punto (0, n) m u. 1 u. • (0, n)
  9. 9. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 9. Paralelismo y valor de la pendiente • Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. • Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas. y = 2x + 3 = 2x – 1 + 4
  10. 10. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 10. El eje OX y sus paralelas Pendiente: m =0 Ordenada en el origen n = 3 (2 ,3) (4 ,3) • • • • • • • • y=3 y=0 Pendiente: m =0 Ordenada en el origen n = 0
  11. 11. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 11. El eje OY y sus paralelas • • • Los puntos del plano cuya • primera coordenada es – 2 • forman la recta x = –2. • x = –2 no es función pues a un • valor de x no le corresponde un único valor de y • • • • x = –2
  12. 12. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 12. Funciones cuadráticas (I) Las funciones dadas por la expresión y = ax2 + bx + c, a≠ 0 se llaman funciones cuadráticas . Las gráficas de las funciones cuadráticas se llaman parábolas. Las parábolas se abren hacia Las parábolas se abren hacia arriba si a > 0 abajo si a < 0
  13. 13. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 13. Funciones cuadráticas (II) Dada la parábola de ecuación y = ax2 a medida que aumenta (en valor absoluto) el coeficiente a, la parábola va cerrándose sobre el eje Y y = 2x2 y = –(1/3)x2 y = x2 y = (1/3)x2 y= – x2 y = – 2x2
  14. 14. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 14. Traslación vertical de una parábola (I) En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2 Para construir la gráfica de la función y = x2 + 1 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 una unidad hacia arriba
  15. 15. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 15. Traslación vertical de una parábola (II) En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2 Para construir la gráfica de la función y = x2 – 2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia abajo.
  16. 16. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 15. Traslación horizontal de una parábola (I) En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2 Para construir la gráfica de la función y = (x+1)2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 una unidad hacia la izquierda
  17. 17. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 17. Traslación horizontal de una parábola (II) En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2 Para construir la gráfica de la función y = (x – 2)2 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia la derecha
  18. 18. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 18. Traslación oblicua de una parábola (I) En la figura aparece la gráfica de la parábola y = x2 Para construir la gráfica de la función y = (x – 2)2 +1 hemos de desplazar la gráfica de y = x2 dos unidades hacia la derecha, y posteriormente una unidad hacia arriba
  19. 19. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 19. Obtención del vértice de una parábola • Se parte de: y = ax2 + bx +c • Se multiplica por 4a: 4ay = 4a2x2 + 4abx + 4ac • Se busca un cuadrado perfecto en el segundo miembro, para lo cual hay que sumar y restar b2 4ay = 4a2x2 + 4abx + b2 + 4ac – b2 • Se factoriza: 4ay = (2ax + b)2 + 4ac – b2 • El valor de las abcisa del vértice se obtiene cuando 2ax + b = 0 Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola y = ax2 + bx +c se obtienen del siguiente modo: • La abcisa x es la solucion de 2ax + b = 0 • La ordenada y se obtiene sustitituyendo el valor de la abcisa en y = ax2 + bx +c
  20. 20. MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 17. FUNCIONES Y CUADRÁTICAS Javier Fernández 20. Representación de funciones cuadráticas Para dibujar y = ax2 + bx +c • Se hallan las coordenadas del vértice. • El eje se simetría es la recta perpendicular a OX que pasa por V. • Si a > 0 las ramas van hacia arriba. Si a < 0 las ramas van hacia abajo. • Se fija la parábola hallando dos o más puntos simétricos respecto al eje de simetría. • Un punto fácil de obtener es (0, c) y su simétrico respecto al eje de simetría Para representar y = 2x2 – 8x + 7 • Obtenemos el vértice: 4x – 8 = 0 ⇒ x = 2 V(2, –1) La ordenada es y = –1 • Dibujamos el eje: x = 1 • Obtenemos otros puntos y sus simétricos respecto al eje: (1, 1) y (3, 2) (0, 7) y (4, 7) • Dibujamos la parábola

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