Este documento contiene información sobre la transformada de Fourier. En primer lugar, define la transformada de Fourier como una aplicación que mapea una función f a otra función g dependiendo de una integral. Luego, explica que la transformada de Fourier tiene múltiples aplicaciones en áreas como la física, procesamiento de señales y óptica. Finalmente, enumera algunas propiedades clave de la transformada de Fourier como la linealidad, dualidad y cambios de escala.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Defensa
Universidad Nacional Politécnica
De la Fuerza Armada
UNEFA
Núcleo-Carabobo Extensión- Guacara
Profesor: Carlos Vicuña
Brs:
Elio R. Peña B.
C.I. 18434399
Yuselis Andrades
C.I 18531728
Jean C. Castillo T.
C.I.16217734
Pedro Calvo
C.I.11356115
Sección: G – 004N
Guacara, Octubre de 2009

2. Definición De Transformada de Fourier
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con
valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue.
El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas
referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de
Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que
garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de
funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la
física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la
teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En
procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición
de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de
frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es
denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas
de ellas:
Propiedades de Transformada de Fourier
Tabla de Propiedades de la transformada de Fourier

3. Linealidad
Dualidad
Cambio de escala
Transformada de la conjugada
Translación en el tiempo
Translación en frecuencia
Derivación en el tiempo
Derivación en la frecuencia
Transformada de la integral
Transformada de la Consolación
Teorema de Parseval
Demostraciones:
Dualidad

4. Cambio de escala
Transformada de la conjugada
Translación en el tiempo
Translacion en frecuencia
Analogamente:

5. Derivacion en el tiempo
Derivacion en la frecuencia
Analogamente:
Convolucion
Debido a que va a ser necesario utilizarlo, definamos primeramente la convolucion de dos
señales:
Demostracion de conmutativilidad:
Integracion en el tiempo

6. Transformada de la convolucion
Teorema de Parseval
El teorema de parseval es una solucion particular de la propiedad:
Consejo general
Finalmente, puede ser muy comun que tengamos que aplicar mas de una propiedad para una
misma funcion, en ese caso, lo mejor es usar funciones auxiliares y cambios de variable.
Tambien podemos aplicar las propiedades en otro orden: