1. Para FMAT
Unas poquitas integrales que encontre por ahi
por Picosenotheta . .bueno y que esperan , a bajar y trabajar y suerte en los controles
801
EJERCICIOS
RESUELTOS
DE
INTEGRAL
INDEFINIDA
3. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195
RESPUESTAS............................................................................................................................................195
CAPITULO 9.................................................................................................................................................199
INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203
RESPUESTAS............................................................................................................................................203
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208
RESPUESTAS............................................................................................................................................210
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242
3
4. A
Patricia. / A Ana Zoraida.
A los que van quedando en el camino,
Compañeros de ayer,
De hoy y de siempre.
4
5. INTRODUCCION
El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las
integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo
llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.
El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la
activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto
al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la
observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al
respecto.
Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los
estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.
5
6. INSTRUCCIONES
Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo
siguiente:
a) Estudie la teoría pertinente en forma previa.
b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos.
c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos.
d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva.
e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún
profesor.
f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica
alguna. Proceda en forma en forma análoga.
g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante
y éxito.
6
7. ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
e:
η:
og :
sen :
arcs e n :
cos :
arc cos :
arc co s :
τg :
Base de logaritmos neperianos.
Logaritmo natural o neperiano.
Logaritmo vulgar o de briggs.
Seno.
Arco seno.
Coseno.
Arco coseno.
Arco coseno.
arc tg :
co τ g
arc co tg
sec :
arc sec :
cos ec :
arc sec :
exp :
dx :
x:
Tangente.
Arco tangente.
Cotangente.
Arco cotangente.
Secante.
Arco secante.
Cosecante.
Arco cosecante.
Exponencial.
Diferencial de x.
Valor absoluto de x.
m.c.m:
Mínimo común múltiplo.
IDENTIFICACIONES USUALES
s e n n x = (s e n x) n
η n x = ( η x) n
s e n −1 x = arcs e n x
og n x = ( ogx) n
ogx = og x
IDENTIDADES ALGEBRAICAS
1.
Sean a, b: bases; m, n números naturales.
a m a n = a m+ n
(a m ) n = a mn
(ab) n = a nb n
am
= a m−n , a ≠ 0
an
n
m
an
⎛a⎞
a n = n am =
= n ,b ≠ 0
⎜ ⎟
b
⎝b⎠
a−n =
1
an
( a)
n
m
a 0 = 1, a ≠ 0
7
8. 2.
Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales
2
3
( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2
( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3
(a ± b)
4
= a 4 ± 4a 3b + 6a 2b 2 ± 4ab3 + b 4
a 2 n − b 2 n = (a n + b n )(a n − b n )
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab ± b 2 )
3. Sean b, n, x, y, z: números naturales
⎛x⎞
ogb ⎜ ⎟ = ogb x − ogb y
og ( xyz ) = ogb x + ogb y + ogb z
⎝ y⎠
n
1
ogb x = n ogb x
ogb n x = ogb x
n
ogb 1 = 0
og bb = 1
ηe = 1
ηex = x
exp( η x) = x
η exp x = x = x
e ηx = x
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.
sen =
1
cos ecθ
cos θ =
s e nθ
cos θ
2
s e n θ + cos 2 θ = 1
1
s ecθ
1
co τ gθ
2
1 + τ g θ = sec 2 θ
τ gθ =
τ gθ =
1+ co τ g 2θ = cos ec 2θ
cos θ cos ecθ = coτ gθ
cos θτ gθ = s e n θ
2.
(a)
s e n(α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β
sen
α
2
=±
1 − cos α
2
s e n 2α = 2s e n α cos α
1 − cos 2α
s e n2 α =
2
s e n(α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β
8
9. (b)
cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β
1 + cos α
2
2
cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β
cos
α
=±
1 + cos 2α
2
2
cos 2α = cos α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2 cos 2 α − 1
cos 2 α =
(c)
τ gα + τ g β
1 − τ gατ g β
1 − cos 2α
τ g 2α =
1 + cos 2α
τ g (α + β ) =
τg
α
2
=±
2τ gα
1 − τ g 2α
τ gα − τ g β
τ g (α − β ) =
1 + τ gατ g β
τ g 2α =
1 − cos α
s e nα
1 − cos α
=
=
1 + cos α 1 + cos α
s e nα
(d)
1
[s e n(α + β ) + s e n(α − β )]
2
1
cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ]
2
α +β
α −β
s e n α + s e n β = 2s e n
cos
2
2
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
1
[s e n(α + β ) − s e n(α − β )]
2
1
s e n α s e n β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ]
2
α +β
α −β
s e n α − s e n β = 2 cos
sen
2
2
α +β
α −β
cos α − cos β = −2s e n
sen
2
2
(e)
arcs e n(s e n x) = x
arcτ g (τ gx) = x
arc sec(sec x) = x
arc cos(cos x) = x
arc co τ g (co τ gx) = x
arc co sec(co sec x) = x
s e n α cos β =
cos α s e n β =
9
10. FORMULAS FUNDAMENTALES
Diferenciales
Integrales
du
dx
u
2.- d (au ) = adu
1.- ∫ du = u + c
3.- d (u + v) = du + dv
3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv
1.- du =
2.- ∫ adu = a ∫ du
4.- d (u n ) = nu n −1du
4.- ∫ u n du =
du
u
u
u
6.- d (e ) = e du
du
= η u +c
u
6.- ∫ eu du = eu + c
5.- ∫
5.- d ( η u ) =
7.- d (a u ) = a u η adu
7.- ∫ a u du =
8.- d (s e n u ) = cos udu
9.- ∫ s e n udu = − cos u + c
10.- d (τ gu ) = sec 2 udu
11.- d (coτ gu ) = − cosec2 udu
12.- d (sec u ) = sec uτ gudu
13.- d (co sec u ) = − co sec u coτ gudu
15.- d (arc cos u ) =
du
1− u
−du
au
+c
ηa
8.- ∫ cos udu = s e n u + c
9.- d (cos u ) = − s e n udu
14.- d (arcs e n u ) =
u n +1
+ c (n ≠ −1)
n +1
2
1− u2
du
16.- d (arcτ gu ) =
1+ u2
− du
17.- d (arc co τ gu ) =
1+ u2
du
18.- d (arc sec u ) =
u u2 −1
−du
19.- d (arc co sec u ) =
u u2 −1
10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c
11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c
12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c
13.- ∫ co sec u co τ gudu = − co sec u + c
14.- ∫
15.- ∫
du
1− u2
du
= arcs e n u + c
= − arc cos u + c
1− u2
du
16.- ∫
= arcτ gu + c
1+ u2
du
17.- ∫
= − arc coτ gu + c
1+ u2
⎧ arc sec u + c; u > 0
du
18.- ∫
=⎨
u u 2 − 1 ⎩ − arc sec u + c; u < 0
⎧ − arc co sec u + c; u > 0
− du
19.- ∫
=⎨
u u 2 − 1 ⎩ arc co sec u + c; u < 0
10
11. OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS
⎧ η sec u + c
⎪
1.- ∫ τ gudu = ⎨
⎪− η cos u + c
⎩
⎧ η sec u + τ gu + c
⎪
3.- ∫ sec udu = ⎨
⎛u π ⎞
⎪ η τ gu ⎜ 2 + 4 ⎟ + c
⎝
⎠
⎩
5.- ∫ s e n hudu = cos u + c
4.- ∫ co sec udu = η co sec u − coτ gu + c
9.- ∫ sec hudu = arcτ gh(s e n hu ) + c
10.- ∫ co sec hudu = − arc co τ gh(cos hu ) + c
7.- ∫ τ ghudu = η cos u + c
11.- ∫
u
⎧
⎪ arcs e n a + c
du
⎪
=⎨
2
2
a −u
⎪ − arcs e n u + c
⎪
a
⎩
⎧
⎪
du
⎪
13.- ∫ 2
=⎨
2
u +a
⎪
⎪
⎩
15.- ∫
du
u a ±u
2
2
1
u
arcτ g + c
a
a
u
1
arc coτ g + c
a
a
=
17.- u 2 ± a 2 du =
1
u
η
+c
a
a + a2 ± u2
2.- ∫ co τ gudu = η s e n u + c
6.- ∫ cos udu = s e n hu + c
8.- ∫ co τ ghudu = η s e n u + c
12.- ∫
14.- ∫
du
u ±a
2
2
= η u + u2 ± a2 + c
du
1
u−a
=
η
+c
2
u −a
2a
u+a
2
u
⎧1
⎪ a arc cos a + c
du
⎪
16.- ∫
=⎨
2
2
u u −a
⎪ 1 arc sec u + c
⎪a
a
⎩
u 2
a2
η u + u2 ± a2 + c
u ± a2 ±
2
2
u 2
a2
u
2
a − u + arcs e n + c
18.- ∫ a − u du =
2
2
a
au
e (a s e n bu − b cos bu )
19.- ∫ e au s e n budu =
+c
a 2 + b2
e au (a cos bu + b s e n bu )
au
20.- ∫ e cos budu =
+c
a 2 + b2
2
2
Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como
se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.
11
12. CAPITULO 1
INTEGRALES ELEMENTALES
El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas
propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta
una transformación algebraica elemental.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1.1 .- Encontrar: ∫ e η x xdx
2
Solución.- Se sabe que: e η x = x 2
2
x4
Por lo tanto: ∫ e xdx = ∫ x xdx = ∫ x dx = + c
4
4
2
x
Respuesta: ∫ e η x xdx = + c ,
Fórmula utilizada:
4
1.2 .- Encontrar: ∫ 3a 7 x 6 dx
η x2
2
3
x n +1
∫ x dx = n + 1 , n ≠ −1
n
Solución.x7
+c
7
x7
Respuesta: ∫ 3a 7 x 6 dx = 3a 7
+c,
7
1.3.- Encontrar: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx
7 6
7
6
7
∫ 3a x dx = 3a ∫ x dx = 3a
Fórmula utilizada: del ejercicio anterior.
Solución.2
2
2
∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ 3x dx + ∫ 2 xdx + ∫ dx
= 3∫ x 2 dx + 2∫ xdx + ∫ dx = 3
x3
x2
+2
+ x + c = x3 + x 2 + x + c
3
2
Respuesta: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx = x3 + x 2 + x + c
1.4.- Encontrar: ∫ x(x + a )( x + b)dx
Solución.2
3
2
∫ x(x + a)( x + b)dx = ∫ x ⎡ x + (a + b) x + ab ⎤dx = ∫ ⎡ x + ( a + b ) x + abx ⎤dx
⎦
⎣
⎦
⎣
= ∫ x 3dx + ∫ (a + b) x 2 dx + ∫ abxdx =
=
∫ x dx + (a + b)∫ x dx + ab∫ xdx
3
2
x4
x3
x2
+ (a + b) + ab + c
4
3
2
12
13. x 4 (a + b) x3 abx 2
+
+
+c
4
3
2
Respuesta: ∫ x(x + a)( x + b)dx =
1.5.- Encontrar: ∫ (a + bx 3 ) 2 dx
Solución.3 2
2
3
2 6
2
3
2 6
∫ (a + bx ) dx = ∫ (a + 2abx + b x )dx = ∫ a dx + ∫ 2abx dx + ∫ b x dx
x4
x7
+ b2 + c
4
7
4
2 7
abx b x
+
+c
Respuesta: ∫ (a + bx3 ) 2 dx = a 2 x +
2
7
1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx
= a 2 ∫ dx + 2ab ∫ x3dx + b 2 ∫ x 6 dx = a 2 x + 2ab
Solución.2
1
1
2
2 2 px 3
x2
2 pxdx = ∫ 2 px dx = 2 p ∫ x dx = 2 p
+c =
+c
∫
2
3
3
2 2 px x
Respuesta: ∫ 2 pxdx =
+c
3
dx
1.7.-Encontrar: ∫ n
x
Solución.-
∫
dx
= x
x ∫
−1
n
n
dx =
1
−1
+1
n
2
−1+ n
n
−1+ n
n
x
x
nx
+c =
+c =
+c
−1
−1 + n
n −1
+1
n
n
−1+ n
dx nx n
Respuesta: ∫ n =
+c
n −1
x
1.8.- Encontrar: ∫ (nx)
1− n
n
dx
Solución.-
∫ (nx)
= =n
1− n
n
1− n
n
dx = ∫ n
1
xn
1− n
n
x
1− n
n
−1+1
1
−1+1
n
+c = n
Respuesta: ∫ (nx)
1− n
n
dx = n
1− n
n
1− n
n
∫x
1− n
n
1
xn
+c = n
1
n
dx = n
1− n
n
1− n
n
1
−1
∫ x n dx
1
n
nx + c = n
1− n
+1
n
1
n
x +c = n
1− n + n
n
1
xn + c = n nx n + c
1
1
dx = n nx + c
1.9.- Encontrar: ∫ (a 3 − x 3 )3 dx
2
Solución.-
∫ (a
2
3
( )
− x 3 )3 dx = ∫ ⎡ a
⎢
⎣
2
2
2
3
3
( )
−3 a
2
2
2
x 3 + 3a
2
2
3
( x ) − ( x ) ⎤dx
⎥
⎦
2
2
3
2
3
3
13
14. = ∫ (a 2 − 3a 3 x
4
2
3
2
+ 3a 3 x
4
3
− x 2 )dx = ∫ a 2 dx − ∫ 3a 3 x 3 dx + ∫ 3a 3 x 3 dx − ∫ x 2 dx
4
2
2
4
5
7
2
x3
x 3 x3
= a ∫ dx − 3a ∫ x dx + 3a ∫ x dx − ∫ x dx = a x − 3a
+ 3a 3
− +c
5
7
3
3
3
5
7
4
2
9a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3
= a2 x −
+
− +c
5
7
3
5
7
4
2
2
2
9 a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3
2
3
3 3
Respuesta: ∫ (a − x ) dx = a x −
+
− +c
5
7
3
1.10.- Encontrar: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
4
2
2
3
2
3
4
3
2
3
4
2
3
Solución.-
∫(
x + 1)( x − x + 1)dx = ( x x − ( x ) 2 +
x + x−
x + 1)dx
5
5
x2
2x 2
= ∫ ( x x + 1)dx = ∫ ( xx + 1)dx = ∫ ( x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ dx =
+ x+c =
+ x+c
5
5
2
5
2
2x
Respuesta: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx =
+ x+c
5
( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx
1.11.- Encontrar: ∫
3 2
x
Solución.( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx
( x 4 − x 2 − 2)dx
x4
x2
2
=∫
= ∫ 2 dx − ∫ 2 dx − ∫ 2 dx
2
∫
3 2
x3
x3
x3
x3
x
1
3
2
10
= ∫ x dx − ∫ x dx − 2∫ x dx =
10
4
3
13
3
−2
3
x3
4
+1
10
+1
3
3
2
−
x3
−2
+1
4
+1
3
−2
x3
2
+1
−2
+1
3
=
x
13
13
3
3
−
x
7
7
3
3
−2
x
1
1
3
+c
3
7
3 13
3 7
x 3
x3
x
x
x4 3 x
x2 3 x
1
−3
− 6x 3 + c = 3
−3
− 63 x + c = 3
−3
− 63 x + c
13
7
13
7
13
7
2
2
4
2
⎞
( x + 1)( x − 2)dx ⎛ 3 x 3 x
Respuesta: ∫
=⎜
−
− 6⎟ 3 x + c
3 2
7
x
⎝ 13
⎠
m
n 2
(x − x )
1.12.- Encontrar: ∫
dx
x
Solución.( x m − x n )2
( x2m − 2 xm xn + x2n )
( x2m − 2 xm xn + x2n )
dx = ∫
dx = ∫
dx
∫
x1/ 2
x
x
=3
= ∫ ( x 2 m −1/ 2 − 2 x m+ n −1/ 2 + x 2 n −1/ 2 )dx =
4 m +1
2 m + 2 n +1
4 n +1
x 2 m −1/ 2+1
2 x m+ n +1/ 2
x 2 n +1/ 2
−
+
+c
2m − 1/ 2 + 1 m + n + 1/ 2 2n + 1/ 2
4 m +1
2 m + 2 n +1
4 n +1
x 2
2x 2
x 2
2x 2
4x 2
2x 2
=
−
+
+c =
−
+
+c
4m + 1 2m + 2n + 1 4n + 1
4m + 1 2m + 2n + 1 4 n + 1
2
2
2
14
15. =
2 x2m x
4 x m+n x
2 x2n x
−
+
+c
4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1
⎛ 2 x2m
( x m − x n )2
4 x m+n
2 x2n ⎞
Respuesta: ∫
dx = x ⎜
−
+
⎟+c
x
⎝ 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1 ⎠
( a − x )4
dx
ax
1.13.- Encontrar: ∫
Solución.( a − x )4
a 2 − 4a ax + 6 xa − 4 x ax + x 2
dx = ∫
dx
∫
ax
ax
=∫
4a ax
4 x ax
x2
a2
6ax
dx + ∫
dx − ∫
dx + ∫
dx − ∫
1
1
1 dx
(ax) 2
(ax) 2
(ax) 2
ax
ax
= ∫ a 2 a − 2 x − 2 dx − ∫ 4adx + ∫ 6aa − 2 xx − 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫ a − 2 x 2 x − 2 dx
1
=a
3
=a
3
=a
3
2
1
1
−
∫ x 2 dx − 4a ∫ dx + 6a
1
x
2
−1 +1
2
−1
+1
2
x
2
1
2
1
2
− 4ax + 6a
− 4ax + 6a
1
2
1
x
2
1
1
1
2
3
3
2
2
1
−
∫ x dx − 4∫ xdx + a
2 +1
1
+1
2
x
1
−4
2
−4
x2
2
x1+1
1+1
+a
+a
− 12
x
− 12
5
5
2
x
3 +1
2
3
+1
2
2
1
2
∫x
3
2
1
dx
+c
+c
5
= 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + 2a
3
2
1
1
2
2
3
2
2
− 12
x 2
+c
5
( a − x )4
3
3
2 x3
1
1
2
2
2
2
2
Respuesta: ∫
dx = 2a x − 4ax + 4a x − 2 x +
+c
ax
5 xa
dx
1.14.- Encontrar: ∫ 2
x − 10
Solución.dx
dx
1
x−a
Sea: a = 10 , Luego: ∫ 2
=∫ 2
=
+c
η
2
x − 10
x −a
2a
x+a
=
1
x − 10
10
x − 10
+c =
+c
η
η
20
2 10
x + 10
x + 10
Respuesta: ∫
dx
10
x − 10
=
+c
η
x − 10 20
x + 10
2
1.15.- Encontrar: ∫
dx
x +7
2
Solución.- Sea: a= 7 , Luego: ∫
dx
dx
1
x
=∫ 2
= arcτ g + c
2
x +7
x +a
a
a
2
15
16. x
1
7
7x
arcτ g
arcτ g
+c =
+c
7
a
7
7
dx
7
7x
arcτ g
=
+c
7
x +7
a
dx
1.16.- Encontrar: ∫
4 + x2
Solución.dx
dx
Sea: a = 2 , Luego: ∫
=∫
= η x + a2 + x2 + c
2
2
2
4+ x
a +x
Respuesta: ∫
2
= η x + 4 + x2 + c
Respuesta: ∫
dx
4+ x
= η x + 4 + x2 + c
2
dx
1.17.- Encontrar: ∫
8 − x2
Solución.Sea: a = 8 , Luego: ∫
dx
=∫
8 − x2
x
x
= arcs e n
+ c = arcs e n
+c
8
2 2
Respuesta: ∫
dx
8 − x2
1.18.- Encontrar: ∫
= arcs e n
dx
a2 − x2
x
+c
a
= arcs e n
2x
+c
4
dy
x +9
2
Solución.-
1
actúa como constante, luego:
x +9
dy
1
1
y
∫ x2 + 9 = x 2 + 9 ∫ dy = x2 + 9 y + c = x 2 + 9 + c
dy
y
Respuesta: ∫ 2
= 2
+c
x +9 x +9
La expresión:
2
1.19.- Encontrar: ∫
2 + x2 − 2 − x2
4 − x4
dx
Solución.-
∫
=∫
2 + x2 − 2 − x2
4 − x4
dx = ∫
2 + x2
(2 − x 2 ) (2 + x 2 )
dx − ∫
2 + x2
2 − x2
dx − ∫
dx
4 − x4
4 − x4
2 − x2
(2 − x 2 ) (2 + x 2 )
dx = ∫
dx
2 − x2
−∫
dx
2 + x2
16
17. Sea: a = 2 , Luego: ∫
= arcs e n
dx
a2 − x2
−∫
dx
a2 + x2
= arcs e n
x
− η x + a2 + x2 + c
a
x
x
− η x + ( 2) 2 + x 2 + c = arcs e n
− η x + 2 + x2 + c
2
2
Respuesta: ∫
2 + x2 − 2 − x2
4− x
1.20.- Encontrar: ∫ τ g 2 xdx
4
dx = arcs e n
x
− η x + 2 + x2 + c
2
Solución.2
2
2
∫ τ g xdx = ∫ (sec x − 1)dx = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c
Respuesta: ∫ τ g 2 xdx = τ gx − x + c
1.21.- Encontrar: ∫ coτ g 2 xdx
Solución.2
2
2
∫ coτ g xdx = ∫ (cos ec x − 1)dx = ∫ cos ec xdx − ∫ dx = − coτ gx − x + c
Respuesta: ∫ co τ g 2 xdx = − coτ gx − x + c
1.22.- Encontrar: ∫
dx
2x2 + 4
Solución.dx
1
dx
1 1
x
2
2x
dx
∫ 2 x 2 + 4 = ∫ 2( x 2 + 2) = 2 ∫ x 2 + 2 = 2 2 arcτ g 2 + c = 4 arcτ g 2 + c
dx
2
2x
arcτ g
=
+c
2
2x + 4
4
2
dx
1.23.- Encontrar: ∫ 2
7x − 8
Solución.dx
dx
dx
dx
1
∫ 7 x 2 − 8 = ∫ 2 8 = ∫ 7 ⎡( x 2 − ( 8 )2 ⎤ = 7 ∫ ⎡ x 2 − ( 8 )2 ⎤
7
7
7( x − )
⎣
⎦
⎣
⎦
7
x− 8
x− 8
1 1
1
7
7x − 8
7
7
η
η
η
=
+c =
+c =
+c
8
8
8
7 2( 7 )
8
14 8
7x + 8
x+ 7
x+ 7
14
7
Respuesta: ∫
=
1
η
4 14
7x − 2 2
14
+c =
η
56
7x + 2 2
Respuesta: ∫
dx
14
η
=
2
7 x − 8 56
1.24.- Encontrar: ∫
7x − 2 2
+c
7x + 2 2
7x − 2 2
+c
7x + 2 2
x 2 dx
x2 + 3
17
18. Solución.x 2 dx
3
dx
dx
∫ x2 + 3 = ∫ (1 − x2 + 3)dx = ∫ dx − 3∫ x 2 + 3 = ∫ dx − 3∫ x2 + ( 3)2
= x−3
1
x
3x
arcτ g
+ c = = x − 3 arcτ g
+c
3
3
3
x 2 dx
3x
= x − 3 arcτ g
+c
2
x +3
3
dx
1.25.- Encontrar: ∫
7 + 8x2
Solución.dx
dx
1
2
∫ 7 + 8 x2 = ∫ ( 8 x)2 + ( 7)2 = 8 η 8x + 7 + 8x + c
Respuesta: ∫
Respuesta: ∫
dx
7 + 8x
∫
7 − 5x
2
=∫
Respuesta: ∫
2
η
4
8x + 7 + 8x2 + c
dx
1.26.- Encontrar: ∫
Solución.dx
2
=
7 − 5x2
dx
( 7) − ( 5 x)
2
dx
=
=
2
1
5
arcs e n x
+c
5
7
5
35 x
arcs e n
+c
5
7
7 − 5x
(a x − b x ) 2 dx
1.27.- Encontrar: ∫
a xb x
Solución.2
(a x − b x ) 2 dx
( a 2 x − 2a x b x + b 2 x )
a2x
2 a xb x
b 2x
=∫
dx = ∫ x x dx − ∫ x x dx + ∫ x x dx
∫ a xb x
a xb x
ab
ab
a b
( a / b) − 2x + (b / a ) + c
ax
bx
⎛a⎞
⎛b⎞
= ∫ x dx − ∫ 2dx + ∫ x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx − 2∫ dx + ∫ ⎜ ⎟ dx =
a
b
b
a
⎝b⎠
⎝a⎠
η
η
b
a
x
=
(a / b)
x
η a − ηb
− 2x +
(b / a )
x
ηb − η a
+c =
x
x
(a / b)
x
η a − ηb
− 2x −
(b / a )
x
x
η a − ηb
+c
⎛ ax bx ⎞
⎜ x− x⎟
b
a ⎠
=⎝
− 2x + c
η a − ηb
⎛ a 2 x − b2 x ⎞
⎜
⎟
x x
(a x − b x ) 2 dx ⎝ a b ⎠
Respuesta: ∫
=
− 2x + c
a xb x
η a − ηb
18
19. 1.28.- Encontrar: ∫ s e n 2
x
dx
2
Solución.x
dx = ∫
2
x senx
= −
+c
2
2
∫sen
1 − cos 2
2
2
x
2
dx = ∫
1 − cos x
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos xdx
2
2
2
x
x senx
dx = −
+c
2
2
2
dx
1.29.- Encontrar: ∫
;(0 < b < a )
( a + b) + ( a − b ) x 2
Solución.dx
dx
Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, ; luego ∫
=∫ 2
2
( a + b) + ( a − b) x
c + d 2 x2
dx
1
dx
1 1
x
1
dx
∫ 2 ⎛ c2 2 ⎞ = d 2 ∫ ⎛ c ⎞2 2 = d 2 c arctg c + c = cd arctg c + c
d
d ⎜ 2 +x ⎟
⎜ ⎟ +x
d
⎝d ⎠
⎝d
⎠
Respuesta: ∫ s e n 2
=
1
a − bx
1
a−b
arctg
+c =
arctg
x+c
2
2
a+b
a +b a −b
a+b
a −b
dx
1
a −b
arctg
=
x+c
2
( a + b) + ( a − b) x
a+b
a 2 − b2
dx
1.30.-Encontrar: ∫
;(0 < b < a )
( a + b) − ( a − b ) x 2
Solución.dx
dx
Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, Luego: ∫
=∫ 2
2
( a + b) − ( a − b) x
c − d 2 x2
x− c
dx
1
dx
1 1
d + c = − 1 η dx − c + c
η
=∫
= 2∫
=− 2
2
2
dx + c
2cd
⎛c
⎞ d ⎛c⎞
d 2c
x+ c
2
d
d 2 ⎜ 2 − x2 ⎟
⎜ ⎟ −x
d
⎝d ⎠
⎝d
⎠
Respuesta: ∫
=−
1
2 a −b
2
2
Respuesta: ∫
η
a − bx − a + b
+c
a − bx + a + b
dx
1
η
=−
2
( a + b) − ( a − b ) x
2 a 2 − b2
a − bx − a + b
+c
a − bx + a + b
0
1.31.- Encontrar: ∫ ⎡( a 2 x ) − 1⎤dx
⎢
⎥
⎣
⎦
Solución.-
19
20. ∫ ⎡( a )
⎢
⎣
− 1⎤dx = ∫ (a 0 − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ 0dx = c
⎥
⎦
0
Respuesta: ∫ ⎡( a 2 x ) − 1⎤dx = c
⎢
⎥
⎣
⎦
2x 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas,
transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a
continuación.
1.32.- ∫ 3x5 dx
x
1.35.- ∫ cos 2 2 dx
1.38.- ∫
1+
1+
x
2
x
3
dy
dx
1.41.- ∫
x +5
1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx
1.47.- ∫
1.50.- ∫
1.53.- ∫
1.56.- ∫
2
dx
x − 12
dx
1.33.- ∫ (1 + e) x dx
1.36.- ∫ (1 + x )3 dx
1.39.- ∫
1.42.- ∫
x 2 + 12
dx
x 12 − x 2
dx
2 x2 − 8
5− x
2
dx
x +5
2
1.45.- ∫ x (1 − x )dx
1.48.- ∫
2
dx
1.51.- ∫
1.54.- ∫
1.57.- ∫
dx
x + 12
dx
2
12 − x 2
dx
x 12 + x 2
dx
2 x2 + 8
1.59.- ∫ x 2 + 10dx
1.60.- ∫ 10 − x 2 dx
1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx
1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx
1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx
1.37.- ∫ (1 + x )0 dx
1.40.- ∫
1.43.- ∫
dx
x2 − 5
dx
x −5
2
1.46.- ∫ (τ g 2 x + 1)dx
1.49.- ∫
1.52.- ∫
1.55.- ∫
dx
x − 12
dx
2
x x 2 − 12
dx
8 − 2x2
1.58.- ∫ x 2 − 10dx
1 − cos 2 x
dx
s e n2 x
1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx
1.61.- ∫
1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx
sen x ⎞
⎛
1.66.- ∫ ⎜τ gx −
⎟ dx
cos x ⎠
⎝
1.67.- ∫
1.68.- ∫
− x 2 dx
1.69.- ∫ x 2 − 3 dx
4
1.70.- ∫ x 2 + 3 dx
4
dx
1.72.- ∫
1.71.- ∫
3
4
x 3− x
1.74.- ∫ s e n 3 x θ dy
2
1.77.- ∫ e η x dx
x x −3
1.75.- ∫ η u dx
2
1.80.- ∫ x 2 − 11dx
dx
1.78.- ∫
2
x− 2
dx
2x
1.81.- ∫ x 2 + 11dx
1.73.- ∫
dx
3− x
dx
x x2 + 3
1.76.- ∫ exp( η x)dx
1.79.- ∫ 11 − x 2 dx
1.82.- ∫ η (e x )dx
20
21. 0
⎡1 + x + x 3 ⎤
1.83.- ∫ ⎢
⎥ dx
⎢ 1− x
⎥
⎣
⎦
1.86.- ∫ (coτ gθ − s e n θ )dx
1.89.- ∫
1.92.- ∫
1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx
2
1.87.- ∫
x 3x2 − 1
1.95.- ∫ 1 − 3 x 2 dx
1.96.- ∫ 1 + 3 x 2 dx
1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx
x
3
dx
1 + 3x 2
dx
1.90.- ∫ 2
3x + 4
dx
1.93.- ∫
x 1 + 3x 2
dx
1 + 3x 2
dx
1.101.- ∫ exp( η
2
0
1.99.- ∫ (3 x 2 − 1) dx
1.102.- ∫ η (e
)dx
2 x −1
2
)dx
1.85.- ∫
1.88.- ∫
dx
3x 2 − 1
dx
1 − 3x 2
dx
1.91.- ∫ 2
3x − 1
dx
1.94.- ∫
x 1 − 3x 2
1.97.- ∫ 3 x 2 − 1dx
n
1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du
1.103.- ∫ (e 2 + e + 1) x dx
⎛ 1+τ g 2x ⎞
1.104.- ∫ ⎜
− 1⎟dx
2
⎝ sec x
⎠
1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx
1.106.- ∫ 27 − x 2 dx
1.107.- ∫ x 2 − 27 dx
1.108.- ∫ x 2 + 27 dx
1.109.- ∫
1.110.- ∫
1.113.- ∫
dx
1.111.- ∫
2x 1 − x2
dx
1.114.- ∫
4 x x 2 + 16
1.116.- ∫ (1 + x + x) 2 dx
1.119.- ∫ e
η
1− cos x
2
dx
5x x2 + 1
dx
5 x x 2 − 25
1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx
⎛ 1 + x2 ⎞
1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx
⎝ x ⎠
dx
1.122.- ∫ (1 + x − 3 x )0 dx
1.123.- ∫ ηe
(1+ x )2
2
1.112.- ∫
dx
3x x2 − 1
dx
3x 9 − x2
(1 − x ) 2
dx
1.115.- ∫
x2
1.118.- ∫ (1 + x) 4 dx
1.121.- ∫ η e
1− s e n x
3
dx
dx
RESPUESTAS
1.32.- ∫ 3 x5 dx = 3∫ x 5 dx =
3 x 5+1
x6
x6
+c =3 +c = +c
5 +1
6
2
1.33.- ∫ (1 + e) x dx
ax
(1 + e) x
+c =
+c
Sea: a = 1 + e, Luego: ∫ (1 + e) dx = ∫ a dx =
ηa
η (1 + e)
x
x
1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx = ∫ dx + ∫ τ gxdx = x + η sec x + c
x
1.35.- ∫ cos 2 2 dx = ∫
1 + cos x
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + s e n x + c
2
2
2
2
2
21
22. 1.36.- ∫ (1 + x )3 dx = ∫ (1 + 3 x + 3( x 2 ) + x3 )dx = ∫ dx + 3 x + 3∫ xdx + ∫ x 2 dx
3
x2 2 52
x2 2
+ x + c = x + 2 x x + 3 + x2 x + c
2 5
2 5
0
1.37.- ∫ (1 + x ) dx = ∫ dx = x + c
= x + 2x 2 + 3
3
1.38.- ∫
1.39.- ∫
1+
1+
x
2
x
3
dy =
1+
1+
x
2
x
3
∫ dy =
1.41.- ∫
1.42.- ∫
y+c
5 − x2
dx
x −5
2
dx
x +5
2
=∫
=∫
dx
5 − x2
dx
x − ( 5)
dx
2
=∫
dx
( 5) 2 − x 2
= arcs e n
x
5x
+ c = arcs e n
+c
5
5
= η x + x2 − 5 + c
2
x 2 + ( 5) 2
= η x + x2 + 5 + c
dx
x +5
2
Sea: a = 5 , Luego: ∫
=
x
2
x
3
dx
Sea: a = 5 , Luego: ∫
1.40.- ∫
1+
1+
dx
1
x
arcτ g
=
+c
2
5
5
x + ( 5)
2
5
5x
arcτ g
+c
5
5
1.43.- ∫
dx
dx
1
x− 5
5
x− 5
η
η
=∫ 2
=
+c =
+c
2
x −5
10
2 5
x − ( 5)
x+ 5
x+ 5
2
1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c
2 32 x2
1.45.- ∫ x (1 − x )dx = ∫ ( x −x)dx = ∫ xdx − ∫ xdx = x − + c
3
2
2
2
1.46.- ∫ (τ g x + 1)dx = ∫ sec xdx = τ gx + c
1.47.- ∫
=
dx
dx
1
x − 12
1
x−2 3
η
η
=∫ 2
=
+c =
+c
2
x − 12
x − ( 12)
2 12
x + 12
4 3
x+2 3
2
3
x−2 3
η
+c
12
x+2 3
1.48.- ∫
dx
x + 12
2
Sea: a = 12 , Luego: ∫
dx
1
x
arcτ g
=
+c
2
12
12
x + ( 12)
2
22
23. =
1
2 3
arcτ g
dx
1.50.- ∫
3
3x
arc τ g
+c
6
6
dx
= η x + x 2 − 12 + c
2
2
x − ( 12)
dx
= η x + x 2 + 12 + c
2
2
x + ( 12)
+c =
2 3
dx
=∫
x 2 − 12
1.49.- ∫
=∫
x 2 + 12
dx
1.51.- ∫
12 − x 2
,Luego: ∫
a = 12
Sea:
= arcs e n
1.52.- ∫
x
dx
12 − x
2
=
∫
dx
( 12) 2 − x 2
x
x
3x
+ c = arcs e n
+ c = arcs e n
+c
6
12
2 3
dx
x x 2 − 12
=∫
dx
x x 2 − ( 12) 2
=
x
x
1
1
+c =
+c
arc sec
arc sec
12
12
2 3
2 3
3
3x
arc sec
+c
6
6
dx
dx
1
1.53.- ∫
=∫
=
η
2
2
2
12
x 12 − x
x ( 12) − x
=
=
3
η
6
1.54.- ∫
1.55.- ∫
1.56.- ∫
x
12 + 12 − x 2
dx
x 12 + x
dx
8 − 2x
dx
2
2 x2 − 8
2
12 + 12 − x 2
+c
+c
=
3
η
6
=∫
dx
=∫
x
x
12 + 12 + x 2
+c
1
dx
1
x
2
x
∫ 4 − x 2 = 2 arcs e n 2 + c = 2 arcs e n 2 + c
2
2(4 − x )
dx
1
dx
1
2
=
∫ x2 − 4 = 2 η x + x − 4 + c
2
2
2( x − 4)
2
=
2
η x + x2 − 4 + c
2
dx
1
dx
1
dx
2
1.57.- ∫
=∫
=
∫ x2 + 4 = 2 η x + x + 4 + c
2
2
2
2( x + 4)
2x + 8
=
=
2
η x + x2 + 4 + c
2
1.58.- ∫ x 2 − 10dx = ∫ x 2 − ( 10)2 dx =
x 2
10
x − 10 −
η x + x 2 − 10 + c
2
2
23
24. x 2
x − 10 − 5 η x + x 2 − 10 + c
2
x 2
1.59.- ∫ x 2 + 10dx =
x + 10 + 5 η x + x 2 + 10 + c
2
x
10
x
1.60.- ∫ 10 − x 2 dx = ∫ ( 10) 2 − x 2 dx =
+c
10 − x 2 + arcs e n
2
2
10
=
10 x
x
+c
10 − x 2 + 5arcs e n
2
10
1 − cos 2 x
s e n2 x
1.61.- ∫
dx = ∫
dx = ∫ dx = x + c
s e n2 x
s e n2 x
=
1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos xdx = s e n x + c
1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n xdx = − cos x + c
1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx = ∫ dx = x + c
1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx = ∫ (0) n dx = ∫ 0dx = c
sen x ⎞
⎛
1.66.- ∫ ⎜τ gx −
⎟ dx = ∫ (τ gx − τ gx ) dx = ∫ 0dx = c
cos x ⎠
⎝
dx
3x
+c
1.67.- ∫ − x = ∫ 3x dx =
3
η3
3
x 3
x
1.68.- ∫ 3 − x 2 dx = ∫ ( 23 ) 2 − x 2 dx =
− x 2 + 4 arcs e n 3 + c
4
4
2
2
2
x 3
3
2x
=
− x 2 + arcs e n
+c
2 4
8
3
x 2 3 34
1.69.- ∫ x 2 − 3 dx = ∫ x 2 − ( 23 ) 2 dx =
x −4−
η x + x2 − 3 + c
4
4
2
2
x 2 3 3
=
x − 4 − η x + x2 − 3 + c
4
2
8
x 2 3 3
1.70.- ∫ x 2 + 3 dx = ∫ x 2 + ( 23 ) 2 dx =
x + 4 + η x + x2 + 3 + c
4
4
2
8
dx
dx
1
x
1.71.- ∫
=∫
=
η
+c
3
x 3 − x2
3 + 3 − x2
x ( 3) 2 − x 2
=
3
η
3
1.72.- ∫
1.73.- ∫
x
3 + 3 − x2
dx
x x −3
dx
2
x x +3
2
+c
=
1
x
3
3x
arc sec
+c =
arc sec
+c
3
3
3
3
=
3
η
3
x
3 + x2 + 3
+c
24
25. 1.74.- ∫ (s e n 3 x θ )dy = s e n 3 x θ ∫ dy = (s e n 3 x θ ) y + c
1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c
1.76.- ∫ exp( η x)dx = ∫ xdx =
1.77.- ∫ e
1.78.- ∫
η x2
x2
+c
2
x3
dx = ∫ x dx = + c
3
2
x− 2
x
2
x
dx = ∫
dx − ∫
dx = ∫
dx − ∫
2x
2x
2x
2x
2
1
1
dx =
∫ dx − ∫ x dx =
2x
2
1
=
1
−1
1
2
x2
1
∫ dx − ∫ x 2 dx = 2 x − 12 + c = 2 x − 2 x 2 + c
2
11
11
11x
x
x
x
+c =
+c
11 − x 2 + arcs e n
11 − x 2 + arcs e n
2
2
2
2
11
11
x 2
11
x 2 − 11dx =
x − 11 −
η x + x 2 − 11 + c
2
2
x 2
11
x 2 + 11dx =
x + 11 +
η x + x 2 + 11 + c
2
2
3
x2
2
x
1 dx =
η (e )dx = ∫ xdx = ∫ x 2
+c = x x +c
3
3
2
1.79.- ∫ 11 − x 2 dx =
1.80.- ∫
1.81.- ∫
1.82.- ∫
0
⎡1 + x + x 3 ⎤
1.83.- ∫ ⎢
⎥ dx = ∫ dx = x + c
⎢ 1− x ⎥
⎣
⎦
2
2
1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx = ∫ 0dx = c
1.85.- ∫
dx
3x − 1
2
=∫
dx
3 ( x − 13 )
2
=
dx
1
1
2
∫ ( x 2 − 1 ) = 3 η x + ( x − 13 ) + c
3
3
3
η x + ( x2 − 13 ) + c
3
1.86.- ∫ (co τ gθ − s e n θ )dx = (coτ gθ − s e n θ ) ∫ dx = (coτ gθ − s e n θ ) x + c
=
1.87.- ∫
1.88.- ∫
dx
1 + 3x
2
=∫
2
=∫
dx
1 − 3x
dx
3
1
3
+x
2
dx
3
1
3
−x
2
=
3
η x+
3
=
1
3∫
1
3
dx
1
3
−x
2
+ x2 + c
=
1
x
arcs e n 1 + c
3
3
3
arcs e n 3 x + c
3
1 dx
1 1
3
dx
dx
x
1.89.- ∫
=∫ 1
= ∫1
= 1 arcτ g 1 + c =
arcτ g 3x + c
2
2
2
1 + 3x
3( 3 + x ) 3 3 + x 3 3
3
3
=
25
26. 1.90.- ∫
dx
1
dx
1 1
x
3
3x
= ∫ 2 4 = 2 arcτ g 2 + c =
+c
arcτ g
2
3x + 4 3 x + 3 3 3
6
2
3
1.91.- ∫
x−
1 dx
1 1
dx
η
= ∫ 2 1=
2
1
3x − 1 3 x − 3 3 2 3
x+
1.92.- ∫
dx
x 3x 2 − 1
=∫
dx
3x x 2 − 1
=
3
1
3
1
3
+c =
3x − 1
+c
3x + 1
3
η
6
1
dx
1
∫ x x2 − 1 = 3
3
3
1
1
arc sec
x
1
+c
3
3
= arc sec 3x + c
1.93.- ∫
dx
x 1 + 3x
=
2
x
= η
1
3
1.94.- ∫
+
1
3
1
dx
1
∫ x 1 + x2 = 3
3
3
dx
=
x 1 − 3x 2
1
3
x
η
1
3
3
+
1
3
+ x2
+c
+c
+ x2
1
dx
∫ x 1 − x2 = η
3
3
1.95.- ∫ 1 − 3x 2 dx = 3 ∫
⎡x
= 3⎢
⎣2
1
1
1
3
x
1
3
+
⎡x
− x 2 dx = 3 ⎢
⎢2
⎣
1
3
− x2
+c
1
1
3
− x 2 + 3 arcs e n
2
x ⎤
⎥+c
1
3⎥
⎦
1
⎤
− x 2 + arc s e n 3x ⎥ + c
6
⎦
1
⎡x 1
+ x 2 dx = 3 ⎢
+ x2 + 3 η x + 1 + x2
3
3
2
⎣2
1
⎡x 1
⎤
2
= 3⎢
η x + 1 + x2 ⎥ + c
3+ x +
3
6
⎣2
⎦
⎡x 2 1 1
1.97.- ∫ 3x 2 − 1dx = 3 ∫ x 2 − 1 dx = 3 ⎢
x − 3 − η x + x2 − 1
3
3
6
⎣2
1.96.- ∫ 1 + 3x 2 dx = 3 ∫
1
3
⎤
⎥+c
⎦
⎤
⎥+c
⎦
1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx = 3∫ x 2 dx − ∫ dx = x3 − x + c
0
1.99.- ∫ (3x 2 − 1) dx = ∫ dx = x + c
n
1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du = (3 x 2 − 1) n ∫ du = (3 x 2 − 1) n u + c
3
1.101.- ∫ exp( η
x
3
)dx = ∫
x
1 1
1x2
2 3
+c = x 2 +c
dx = ∫ x 2 dx =
3
3
3 32
9
2x −1
1
x2 1
dx = ∫ xdx − ∫ dx = − x + c
1.102.- ∫ η (e )dx = ∫
2
2
2 2
2
x
1.103.- ∫ (e + e + 1) dx
2 x −1
2
26
27. Sea: a= (e 2 + e + 1) , Luego: ∫ a x dx =
ax
(e 2 + e − 1) x
+c =
+c
ηa
η (e2 + e − 1)
⎛ 1+τ g 2x ⎞
1.104.- ∫ ⎜
− 1⎟dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c
2
⎝ sec x
⎠
x2
1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx ∫ = ∫ (1 + x)dx = ∫ dx + ∫ xdx = x + + c
2
x
x
27
1.106.- ∫ 27 − x 2 dx =
+c
27 − x 2 + arc s e n
2
2
3 3
x 2
27
1.107.- ∫ x 2 − 27dx =
x − 27 −
η x + x 2 − 27 + c
2
2
x 2
27
1.108.- ∫ x 2 + 27dx =
x + 27 +
η x + x 2 + 27 + c
2
2
dx
1
dx
1
1.109.- ∫
= ∫
= arc secx + c
3x x 2 − 1 3 x x 2 − 1 3
1.110.- ∫
1.111.- ∫
1.112.- ∫
1.113.- ∫
dx
2x 1 − x2
dx
5x x + 1
2
dx
3x 9 − x
2
=
1
1
dx
x
∫ x 1 − x2 = 2 η 1 + 1 − x2 + c
2
=
1
dx
1
x
∫ x x2 + 1 = 5 η 1 + x2 + 1 + c
5
=
1
11
1
dx
x
x
∫ x 9 − x2 = 3 3 η 3 + 9 − x2 + c = 9 η 3 + 9 − x2 + c
3
dx
4 x x + 16
2
=
1
11
dx
x
∫ x x 2 + 16 = 4 4 η 4 + x2 + 16 + c
4
1
x
η
+c
16
4 + x 2 + 16
dx
1
dx
11
x
1
x
1.114.- ∫
= ∫
=
arc sec + c = arc sec + c
2
2
5
25
5
5 x x − 25 5 x x − 25 5 5
2
(1 − x )
1− 2 x + x
−3
1.115.- ∫
dx = ∫
dx = ∫ ( x −2 − 2 x 2 + x −1 )dx
2
2
x
x
−1
−1
−3
x 2
x 2
−2
−1
−1
−1
2
= ∫ x dx − ∫ 2 x dx + ∫ x dx = − x − 2
+ η x + c = −x − 2
+ η x +c
=
−1
−1
2
2
1 4
+ η x +c = − +
+ η x +c
x
x
3
1.116.- ∫ (1 + x + x)2 dx = (1 + x + x 2 + 2 x + 2 x + 2 x 2 )dx
= − x −1 + 4 x
−1
2
= ∫ (1 + 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + x 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx +3∫ xdx + 2∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
3
1
3
5
3
1
3
5
2x 2
x2
x 2 x3
4x 2
x2
x 2 x3
x+
+3 +2
+ +c = x+
+3 +4
+ +c
3
5
2
3
3
2
5
3
2
2
27
28. 1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx = ∫ (1 + x + x 2 − 2 x + 2 x − 2 x 2 )dx
3
3
5
x2
x 2 x3
4x 2
= ∫ (1 − 2 x + 3x − 2 x + x )dx = x −
+3 −4
+ +c
3
2
5
3
4
2
3
4
1.118.- ∫ (1 + x) dx = ∫ (1 + 4 x + 6 x + 4 x + x )dx
1
3
2
2
2
1
= ∫ dx + 4∫ xdx + 6∫ x 2 dx + 4∫ x3 dx + ∫ x 4 dx = x + 2 x 2 + 2 x3 + x 4 + x5 + c
5
1− cos x
2
1 − cos x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − s e n xdx
2
2
2
2
2
2
2
⎛ 1+ x ⎞
1+ x
1
1
1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ dx = ∫ x −2 dx + ∫ dx = − + x + c
x
x
x
⎝ x ⎠
1.119.- ∫ e
η
dx = ∫
1− s e n x
3
1− s e n x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ s e n xdx = x + cos x + c
3
3
3
3
3
0
1.122.- ∫ (1 + x − 3 x ) dx = ∫ dx = x + c
1.121.- ∫ η e
1.123.- ∫ ηe
=
(1+ x )2
2
dx = ∫
dx = ∫
(1 + x) 2
1 + 2 x + x2
1
1
dx = ∫
dx = ∫ dx + ∫ xdx + ∫ x 2 dx
2
2
2
2
1
x 2 x3
x+ + +c
2
2 6
28
29. CAPITULO 2
INTEGRACION POR SUSTITUCION
A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral
dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de
método de sustitución.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
e η x dx
2.1.-Encontrar: ∫ 2
x +7
Solución.- Como: e
ηx
e η x dx
xdx
= x, se tiene: ∫ 2
=∫ 2
x +7
x +7
Sea la sustitución: u = x 2 + 7 , donde: du = 2 xdx , Dado que: ∫
xdx
1 2 xdx
,
= ∫ 2
2
x +7 2 x +7
1 2 xdx 1 du
, integral que es inmediata.
=
2 ∫ x2 + 7 2 ∫ u
1 du 1
1
Luego: = ∫
η u + c = η x2 + 7 + c
2 u 2
2
e η x dx 1
Respuesta: ∫ 2
= η x2 + 7 + c
x +7 2
2
e η x dx
2.2.-Encontrar: ∫ 3
x +8
2
e η x dx
x 2 dx
η x2
2
Solución.- Como: e = x , se tiene: ∫ 3
=∫ 3
x +8
x +8
Se tiene:
Sea la sustitución: w = x3 + 8 , donde: dw = 3x 2 dx , Dado que: ∫
x 2 dx 1 3 x 2 dx
=
,
x3 + 8 3 ∫ x3 + 8
1 3x 2 dx 1 dw
=
integral que es inmediata.
3 ∫ x3 + 8 3 ∫ w
1 dw 1
1
Luego: ∫
= η w + c = η x3 + 8 + c
3 w 3
3
η x2
e dx 1
Respuesta: ∫ 3
= η x3 + 8 + c
x +8 3
2.3.-Encontrar: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx
Se tiene:
Solución.- Sea la sustitución: u = x 2 + 4 x − 6 , donde: du = (2 x + 4)dx
1
Dado que: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ (2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx , se tiene:
2
29
30. 1
1
2
∫ (2 x + 4) s e n( x + 4 x − 6)dx = 2 ∫ s e n udu , integral que es inmediata.
2
1
1
1
1
Luego: = ∫ s e n udu = (− cos u ) + c = − cos u + c = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c
2
2
2
2
1
Respuesta: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c
2
2
2.4.-Encontrar: ∫ x s e n(1 − x )dx
=
Solución.-Sea la sustitución: w = 1 − x 2 , donde: dw = −2 xdx
1
Dado que: ∫ x s e n(1 − x 2 )dx = − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx
2
1
1
Se tiene que: − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx = − s e n wdw , integral que es inmediata.
2
2
1
1
1
1
Luego: − ∫ s e n wdw = − (− cos w)dw + c = cos w + c = cos(1 − x 2 ) + c
2
2
2
2
1
2
2
Respuesta: ∫ x s e n(1 − x )dx = cos(1 − x ) + c
2
2
2.5.-Encontrar: ∫ x coτ g ( x + 1)dx
Solución.-Sea la sustitución: u = x 2 + 1 , donde: du = 2 xdx
1
Dado que: ∫ x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx
2
1
1
Se tiene que: ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ coτ gudu , integral que es inmediata.
2
2
1
1
1
Luego: ∫ co τ gudu = η s e n u + c = η s e n( x 2 + 1) + c
2
2
2
1
Respuesta: ∫ x co τ g ( x 2 + 1)dx = η s e n( x 2 + 1) + c
2
2.6.-Encontrar: ∫ 1 + y 4 y 3 dy
Solución.-Sea la sustitución: w = 1 + y 4 , donde: dw = 4 y 3 dy
1
1
Dado que: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy
4
1
1
1
1
Se tiene que: ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy = ∫ w 2 dw , integral que es inmediata.
4
4
3
2
3
1
1w
1 3
1
1
Luego: ∫ w 2 dw =
+ c = w 2 + c = (1 + y 4 ) 2 + c
3
4
4 2
6
6
1
3
Respuesta: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = (1 + y 4 ) 2 + c
6
3tdt
2.7.-Encontrar: ∫
3 2
t +3
Solución.-Sea la sustitución: u = t 2 + 3 , donde: du = 2tdt
30
31. 3
2tdt
∫ (t 2 + 3) 13
3 2
t +3 2
3
2tdt
3 du
Se tiene que: ∫ 2
= ∫ 1 , integral que es inmediata
1
3
2 (t + 3)
2 u3
Dado que: ∫
3tdt
=
2
3 du 3 − 13
3u 3
9 2
9 2
2
∫ u 13 = 2 ∫ u du = 2 23 + c = 4 u 3 + c = 4 (t + 3) 3 + c
2
3tdt
9
2
Respuesta: ∫
= (t 2 + 3) 3 + c
3 2
t +3 4
dx
2.8.-Encontrar: ∫
1 , a y b constantes.
(a + bx) 3
Solución.- Sea: w = a + bx , donde: dw = bdx
2
−1
dx
bdx
1
1 dw 1
1w3
3 23
3
Luego: ∫
w +c
= ∫
= ∫ 1 = ∫w = 2 +c =
1
1
b 3
2b
(a + bx) 3 b (a + bx) 3 b w 3 b
2
3
3
= (a + bx) + c
2b
2
dx
3
3
Respuesta: ∫
= (a + bx) + c
1
(a + bx) 3 2b
Luego:
arcs e n x
dx
1 − x2
arcs e n x
dx
dx = ∫ arcs e n x
Solución.- ∫
,
2
1− x
1 − x2
dx
Sea: u = arcs e n x , donde: du =
1 − x2
dx
2 3
2
1
Luego: ∫ arcs e n x
= ∫ u 2 du = u 2 + c =
(arcs e n x)3 + c
2
3
3
1− x
2.9.-Encontrar: ∫
arcs e n x
2
(arcs e n x)3 + c
dx =
2
1− x
3
x
arcτ g
2 dx
2.10.-Encontrar: ∫
4 + x2
x
1
1
2dx
Solución.- Sea: w = arcτ g , donde: dw =
( )dx =
x 2
2
1+ ( 2 ) 2
4 + x2
x
2
arcτ g
2 dx = 1 arcτ g ⎛ x ⎞ 2dx = 1 wdw = 1 w2 + c = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c
Luego: ∫
⎜ ⎟
⎜
⎟
2
4 + x2
2∫
2∫
4
4⎝
2⎠
⎝ 2⎠ 4+ x
x
2
arcτ g
2 dx = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c
Respuesta: ∫
⎜
⎟
4 + x2
4⎝
2⎠
Respuesta: ∫
31
32. x − arcτ g 2 x
dx
1 + 4x2
arcτ g 2 x
x − arcτ g 2 x
xdx
Solución.- ∫
dx = ∫
−∫
2
2
1+ 4x
1+ 4x
1 + 4 x2
2.11.-Encontrar: ∫
2dx
1 + 4x2
arcτ g 2 x 1 8 xdx 1
2dx
xdx
Luego: ∫
−∫
= ∫
− ∫ arcτ g 2 x
2
2
2
1 + 4x
1+ 4x
8 1+ 4x 2
1 + 4x2
1 du 1
1
1 3
1
1
3
1
= ∫
− ∫ w 2 dw = η u − w 2 + c = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c
8 u 2
8
3
8
3
x − arcτ g 2 x
1
1
3
dx = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c
Respuesta: ∫
2
1+ 4x
8
3
dx
2.12.-Encontrar: ∫
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
Sea: u = 1 + 4 x 2 , donde: du = 8 xdx ; w = arcτ g 2 x , donde: dw =
Solución.- ∫
dx
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
=∫
Sea: u = η x + 1 + x 2 , donde: du =
Luego:
∫
dx
1 + x2
Respuesta: ∫
η x + 1 + x2
=∫
dx
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
2.13.-Encontrar: ∫
dx
η x + 1 + x2
1 + x2
1
(1 +
2x
) ⇒ du =
x + 1+ x
2 1+ x
du
−1
1
= ∫ u 2 du = 2u 2 + c = 2
u
2
=2
2
dx
1 + x2
η x + 1 + x2 + c
η x + 1 + x2 + c
co τ g ( η x)
dx
x
Solución.- Sea: w = η x , donde: dw =
dx
x
coτ g ( η x)
dx = ∫ coτ gwdw = η s e n w + c = η s e n( η x) + c
x
coτ g ( η x)
Respuesta: ∫
dx = η s e n( η x) + c
x
dx
2.14.-Encontrar: ∫
x ( η x )3
dx
Solución.- Sea: u = η x , donde: du =
x
−2
dx
du
u
1
1
Luego: ∫
= ∫ 3 = ∫ u −3 du =
+c = 2 +c =
+c
3
2
2u
2( η x) 2
x( η x)
u
Luego: ∫
32
33. Respuesta: ∫
dx
1
=
+c
3
2( η x) 2
x( η x)
1
e x2
2.15.-Encontrar: ∫ 3 dx
x
1
2
Solución.- Sea: w = 2 , donde: dw = − 3 dx
x
x
1
e x2
1 1 −2dx
1
1
1 1 x2
Luego: ∫ 3 dx = − ∫ e x2 3 = − ∫ e w dw = − e w + c = − e + c
x
x
2
2
2
2
1
e x2
1 1 x2
Respuesta: ∫ 3 dx = − e + c
2
x
− x2 + 2
2.16.-Encontrar: ∫ e
xdx
Solución.- Sea: u = − x 2 + 2 , donde: du = −2 xdx
2
2
1
1
1
1 2
Luego: ∫ e − x + 2 xdx = − ∫ e− x + 2 (−2 xdx) = − ∫ eu du = − eu + c = − e − x + 2 + c
2
2
2
2
2
1 − x2 + 2
Respuesta: ∫ e − x + 2 xdx = − e
+c
2
3
2.17.-Encontrar: ∫ x 2 e x dx
Solución.- Sea: w = x 3 , donde: dw = 3x 2 dx
3
3
1
1
1 3
Luego: ∫ x 2 e x dx = ∫ 3x 2 e x dx = ∫ e w dw = e x + c
3
3
3
3
1 3
Respuesta: ∫ x 2 e x dx = e x + c
3
x
2.18.-Encontrar: ∫ (e + 1) 2 e x dx
Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx
u3
(e x + 1)3
+c
Luego: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = ∫ u 2 du = + c =
3
3
(e x + 1)3
Respuesta: ∫ (e x + 1) 2 e x dx =
+c
3
ex −1
2.19.-Encontrar: ∫ x dx
e +1
x
e −1
ex
1
ex
e x e− x
Solución.- ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx
e +1
e +1
e +1
e +1
e +1
x
−x
x
−x
e
e
e
e
= ∫ x dx − ∫ − x x
dx = ∫ x dx − ∫
dx
1 + ex
e +1
e (e + 1)
e +1
Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx ; w = 1 + e− x ,donde: dw = −e − x dx
ex
e− x
ex
−e − x
du
dw
Luego: ∫ x dx − ∫
dx = ∫ x dx − ∫
dx = ∫
+∫
−x
x
e +1
e +1
u
w
1+ e
1+ e
33
34. = η u + c1 + η w + c2 = η e x + 1 + η 1 + e− x + C = η ⎡ e x + 1 1 + e − x ⎤ + c
⎣
⎦
x
e −1
Respuesta: ∫ x dx = η ⎡ (e x + 1)(1 + e − x ) ⎤ + c , otra respuesta seria:
⎣
⎦
e +1
2
ex −1
x
∫ e x + 1dx = η e + 1 − x + c
e2 x − 1
2.20.-Encontrar: ∫ 2 x dx
e +3
2x
e −1
e2 x
e0
Solución.- ∫ 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x dx
e +3
e +3
e +3
2x
2 x −2 x
2x
e
e e
e
e −2 x
e2 x
e −2 x
dx = ∫ 2 x dx − ∫ −2 x 2 x
dx = ∫ 2 x dx − ∫
dx
= ∫ 2 x dx − ∫ 2 x
e +3
e +3
e +3
e (e + 3)
e +3
1 + 3e −2 x
Sea: u = e 2 x + 3 , donde: du = 2e 2 x dx ; w = 1 + 3e −2 x ,donde: dw = −6e −2 x dx
e2 x
e −2 x
1 2e 2 x
1 −6e −2 x
1 du 1 dw
dx = ∫ 2 x dx + ∫
dx = ∫
+
Luego: ∫ 2 x dx − ∫
−2 x
−2 x
e +3
1 + 3e
2 e +3
6 1 + 3e
2 u 6∫ w
1
1
1
1
1
1
3
η u + η w + c = η e 2 x + 3 + η 1 + 3e−2 x + c = η e2 x + 3 + η 1 + 2 x + c
e
2
6
2
6
2
6
=
1
1
e2 x + 3
1
1
1
η e2 x + 3 + η 2 x + c = η e2 x + 3 + η e2 x + 3 − η e2 x + c
2
6
e
2
6
6
= η ( e 2 x + 3)
1/ 2
= η ( e 2 x + 3)
+ η ( e 2 x + 3)
1/ 6
1/ 2
1/ 6
1
⎡
⎤ x
− 2 x + c = η ⎢( e 2 x + 3 ) ( e 2 x + 3 ) ⎥ − + c
⎣
⎦ 3
6
x
− +c
3
2x
2/3
e −1
x
Respuesta: ∫ 2 x dx = η ( e 2 x + 3) − + c
e +3
3
2
x +1
2.22.-Encontrar: ∫
dx
x −1
Solución.- Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el
grado del polinomio divisor, es necesario efectuar previamente la división de
polinomios. El resultado de la división dada es:
2/3
x2 + 1
2
x2 + 1
2 ⎞
dx
⎛
dx = ∫ ⎜ x + 1 +
= ( x + 1) +
, Luego: ∫
⎟ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
x −1
x −1
x −1
x −1 ⎠
x −1
⎝
Sea u = x − 1 , donde du = dx
dx
du x 2
Luego: ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
= + x + η x −1 + c
= ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
x −1
u
2
2
2
x +1
x
Respuesta: ∫
dx = + x + η x − 1 + c
x −1
2
x+2
2.23.-Encontrar: ∫
dx
x +1
34
35. x+2
1
x+2
1 ⎞
dx
⎛
, Luego: ∫
= 1+
dx = ∫ ⎜1 +
⎟ dx = ∫ dx + ∫
x +1
x +1
x +1
x +1
⎝ x +1⎠
Sea u = x + 1 , donde du = dx
du
∫ dx + ∫ u = x + η u + c =x + η x + 1 + c
x+2
dx = x + η x + 1 + c
Respuesta: ∫
x +1
2.24.-Encontrar: ∫ τ g 5 x sec2 xdx
Solución.-
Solución.- Sea: w = τ gx , donde: dw = sec 2 x
w6
(τ gx)
τ g6x
Luego: ∫ τ g x sec xdx = ∫ (τ gx) sec xdx = ∫ w dw =
+c =
+c =
+c
6
6
6
τ g6x
Respuesta: ∫ τ g 5 x sec 2 xdx =
+c
6
2.25.-Encontrar: ∫ s e n x sec 2 xdx
6
5
2
5
Solución.- ∫ s e n x sec 2 xdx = ∫ s e n x
2
5
1
sen x
dx = ∫
dx
2
cos x
cos 2 x
Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x
sen x
− s e n xdx
du
u −1
1
1
dx = − ∫
= −∫
= − ∫ u −2 du = −
+c = +c =
+c
Luego: ∫
2
2
u
u
cos x
cos x
−1
cos x
Respuesta: ∫ s e n x sec 2 xdx = sec x + c
sec2 3xdx
2.26.-Encontrar: ∫
1 + τ g 3x
Solución.- Sea: u = 1 + τ g 3 xdx , donde: du = 3sec 2 3xdx
Luego: ∫
sec2 3 xdx 1 3sec 2 3 xdx 1 du 1
1
= ∫
= ∫
= η u + c = η 1 + τ g 3x + c
1 + τ g 3x 3 1 + τ g 3x
3 u 3
3
Respuesta: ∫
sec 2 3 xdx 1
= η 1 + τ g 3x + c
1 + τ g 3x 3
2.27.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos xdx
Solución.- Sea: w = s e n x , donde: dw = cos xdx
Luego: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫ (s e n x)3 cos xdx = ∫ w3 dw = ∫
w4
s e n4 x
+ c =∫
+c
4
4
s e n4 x
+c
4
2.28.-Encontrar: ∫ cos 4 x s e n xdx
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫
Solución.- Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x
Luego: ∫ cos 4 x s e n xdx = ∫ (cos x) 4 s e n xdx = − ∫ (cos x) 4 (− s e n x) dx = − ∫ u 4 du
35
36. u5
cos x5
cos5 x
+c = −
+c = −
+c
5
5
5
cos5 x
Respuesta: ∫ cos 4 x s e n xdx = −
+c
5
sec5
2.29.-Encontrar: ∫
dx
cos ecx
1
5
sec5
sen x
Solución.- ∫
dx = ∫ cos x dx = ∫
dx
1
cos ecx
(cos x)5
sen x
Sea: w = cos x , donde: dw = − s e n xdx
sen x
dw
w−4
1 1
1
+c =
+c =
+c
Luego: ∫
dx = − ∫ 5 = − ∫ w−5 dw = −
5
4
−4
(cos x)
4w
4 cos 4 x
w
=−
=
sec 4 x
+c
4
sec5
sec 4 x
+c
dx =
cos ecx
4
2.30.-Encontrar: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx
Respuesta: ∫
Solución.- Sea: u = τ g 2 x , donde: du = 2sec 2 2 xdx
1
1
1
1
Luego: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = ∫ eτ g 2 x (2sec2 2 xdx) = ∫ eu du = eu + c = eτ g 2 x + c
2
2
2
2
1 τ g 2x
Respuesta: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = e
+c
2
2x − 5
2.31.-Encontrar: ∫ 2
dx
3x − 2
Solución.- Sea: w = 3x 2 − 2 , donde: dw = 6 xdx
2x − 5
1 3(2 x − 5)
1 6 x − 15
1 6 xdx 15
dx
Luego: ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
− ∫ 2
2
3x − 2
3 3x − 2
3 3x − 2
3 3x − 2 3 3x − 2
1 6 xdx
dx
1 6 xdx 5
dx
1 6 xdx 5
dx
= ∫ 2
− 5∫
= ∫ 2
− ∫ 2 2 = ∫ 2
− ∫ 2
2
2
3 3x − 2
3( x − 3 ) 3 3x − 2 3 ( x − 3 ) 3 3 x − 2 3 x − ( 2 ) 2
3
1 dw 5
dx
1
5
dx
∫ w − 3 ∫ x2 − ( 2 )2 = 3 η w + c1 − 3 ∫ x 2 − ( 2 )2 ; Sea: v = x , donde: dv = dx
3
3
3
Además: a =
=
=
2
3
; se tiene:
1
5
dv
η w + c1 − ∫ 2 2
3
3 v −a
x−
1
5 1
1
5⎡ 1
v−a
η 3x 2 − 2 + c1 −
η
η
+ c2 = η 3x 2 − 2 − ⎢
v+a
3
3 2a
3
3 ⎢ 2 23
x+
⎣
1
5
η 3x 2 − 2 −
η
3
32 2
3x − 2
1
5
+ C = η 3x 2 − 2 −
η
3
3x + 2
2 6
2
2
3
3
⎤
⎥+C
⎥
⎦
3x − 2
+C
3x + 2
36
37. Respuesta: ∫
2x − 5
1
5
η
dx = η 3 x 2 − 2 −
2
3x − 2
3
2 6
2.32.-Encontrar: ∫
Solución.- ∫
3x − 2
+C
3x + 2
dx
x 4 − 9 η2x
dx
x 4 − 9 η2x
=∫
dx
x 22 − (3 η x) 2
3dx
Sea: u = 3 η x , donde: du =
x
dx
1
3dx
1
du
1
u
Luego: ∫
= ∫
= ∫
= arcs e n + c
2
2
2
2
2
2
3 x 2 − (3 η x)
3
3
2
x 2 − (3 η x)
2 − (u )
3
1
3 ηx
1
= arcs e n
+ c = arcs e n η x 2 + c
3
2
3
3
dx
1
Respuesta: ∫
= arcs e n η x 2 + c
x 4 − 9 η2x 3
2.33.-Encontrar: ∫
dx
ex −1
Solución.- Sea: u = e x − 1 , donde: du =
e x dx
; Tal que: e x = u 2 + 1
2 e −1
2du
du
Luego: ∫
=∫ 2
= 2∫ 2
= 2 arcτ gu + c = 2 arcτ g e x + 1 + c
x
u +1
u +1
e −1
dx
Respuesta: ∫
= 2 arcτ g e x + 1 + c
x
e −1
x2 + 2 x + 2
dx
2.34.-Encontrar: ∫
x +1
x2 + 2 x + 2
( x 2 + 2 x + 1) + 1
( x + 1) 2 + 1
( x + 1) 2 + 1
Solución.- ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
x +1
x +1
x +1
x +1
1
dx
)dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= ∫ (x +1+
, Sea: w = x + 1 , donde: dw = dx
x +1
x +1
dx
dw x 2
Luego: ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= + x+ η w +c
x +1
w
2
2
x
= + x + η x +1 + c
2
x2 + 2 x + 2
x2
Respuesta: ∫
dx = + x + η x + 1 + c
x +1
2
2x
e
2.35.-Encontrar: ∫
dx
ex + 1
Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx
x
dx
37
38. Luego: ∫
=
u
3
3
2
2
−
u
−1
u −1
u2 u 2
−1
−1
1
1
−
+c
dx = ∫ 1 du = ∫ (u 2 − u 2 )du = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du =
3
1
u2
2
2
ex + 1
3
e2 x
−1
1
2
+c = 2u 2 − 1u 2 +c =
3
2
3
1
2
3
(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c
2
Respuesta: ∫
e2 x
e +1
x
2.36.-Encontrar: ∫
dx =
2
3
(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c
η 2 x dx
η 4x x
Solución.- Sea: u = η 4 x , donde: du =
dx
; además: η 4 x = (2 × 2 x) = η 2 + η 2 x
x
⇒ u = η 2 + η 2x ⇒ η 2x = u − η 2
η 2 x dx
u − η2
η2
du
=∫
= u − η2 u + c
Luego: ∫
du = ∫ du − ∫
du = ∫ du − η 2∫
η 4x x
u
u
u
= η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x)] + c
η 2 x dx
= η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x) ] + c
η 4x x
2.37.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx
Respuesta: ∫
Solución.- Sea: w = 3x + 1 , donde: dw = 3dx ; además: w − 1 = 3x ⇒ x =
w −1
3
w − 1 7 dw 1
1
= ∫ ( w − 1) w7 dw = ∫ ( w8 − w7 )dw
w
3
3 9
9
9
8
1
1
1w 1w
1
1
= ∫ w8 dw − ∫ w7 dw =
−
+ c = w9 − w8 + c
9
9
9 9 9 8
81
72
1
1
= (3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c
81
72
(3x + 1)9 (3 x + 1)8
Respuesta: ∫ x(3 x + 1)7 dx =
−
+c
81
72
x2 − 5x + 6
2.38.-Encontrar: ∫
dx
x2 + 4
x2 − 5x + 6
2 − 5x
Solución.dx = 1 + 2
2
x +4
x +4
2
x − 5x + 6
2 − 5x
dx
xdx
Luego: ∫
dx = ∫ (1 + 2
)dx = ∫ dx + 2∫ 2
− 5∫ 2
2
x +4
x +4
x +4
x +4
2
Sea: u = x + 4 , donde: du = 2 xdx ; Entonces:
x 5 du
x 5
x 5
= x + arcτ g − ∫
=x + arcτ g − η u + c = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c
2 2 u
2 2
2 2
2
x − 5x + 6
x 5
Respuesta: ∫
dx = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c
2
x +4
2 2
Luego: ∫ x(3 x + 1)7 dx = ∫
38
39. EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las
siguientes integrales:
adx
4t + 6
2.39.- ∫ 3x e x dx
2.40.- ∫
2.41.- ∫
dt
2t + 1
a−x
1 − 3x
xdx
ax − b
2.43.- ∫
2.42.- ∫
2.44.- ∫
dx
dx
αx+ β
a + bx
3 + 2x
2.45.- ∫
3t 2 + 3
dt
t −1
2
b ⎞
⎛
2.48.- ∫ ⎜ a +
⎟ dx
x−a⎠
⎝
2.51.- ∫ a − bxdx
2.54.- ∫
dx
3x 2 + 5
6t − 15
dt
3t 2 − 2
xdx
2.60.- ∫ 2
x −5
xdx
2.63.- ∫
a4 − x4
2.57.- ∫
2.66.- ∫
2.69.- ∫
x − arcτ g 3x
dx
1 + 9 x2
dt
(9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2
2.72.- ∫ (et − e − t )dt
2.75.- ∫
a2x −1
dx
ax
x +1
x3 dx
2.55.- ∫ 2
a − x2
3 − 2x
2.58.- ∫ 2
dx
5x + 7
xdx
2.61.- ∫ 2
2x + 3
x 2 dx
2.64.- ∫
1 + x6
2
arcs e n t
dt
4 − 4t 2
2.70.- ∫ ae− mx dx
2.67.- ∫
2.73.- ∫ e − ( x
2
+1)
xdx
1
ex
dx
x2
x4 + x2 + 1
dx
x −1
bdy
2.50.- ∫
1− y
2.47.- ∫
x + ηx
dx
x
y2 − 5 y + 6
dy
2.56.- ∫
y2 + 4
3x + 1
2.59.- ∫
dx
5x2 + 1
ax + b
dx
2.62.- ∫ 2 2
a x + b2
x 2 dx
2.65.- ∫
x6 − 1
x
arcτ g ( 3 )
2.68.- ∫
dx
9 + x2
2.53.- ∫
2.71.- ∫ 42−3 x dx
2.74.- ∫ (e a − e − a )2 dx
x
2.77.- ∫ 5
x
x
dx
x
2.79.- ∫
2
2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx
2.84.- ∫
xdx
2.52.- ∫
2.76.- ∫
2.78.- ∫ x7 x dx
x
x2 + 5x + 7
dx
x+3
x
2.49.- ∫
dx
( x + 1) 2
2.46.- ∫
1
x
e − bx
dx
1 − e−2bx
2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx
2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx
2.80.- ∫ e x a − be x dx
2.85.- ∫
a x dx
;a > 0
1 + a2 x
x
2.86.- ∫ cos dx
2
et dt
et − 1
dx
2.82.- ∫ x
2 +3
et dt
1 − e 2t
dx
x
2
2.91.- ∫ s e n xdx
2.88.- ∫ cos x
2.83.- ∫
2.89.- ∫ s e n( η x)
dx
x
2.92.- ∫ cos 2 xdx
39
40. 2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx
2.94.- ∫ cosτ g 2 axdx
dx
3cos(5 x − π )
4
x
2.99.- ∫ coτ g
dx
a −b
dx
s e n(ax + b)
dx
2.100.- ∫ τ g x
x
dx
2.103.- ∫
s e n x cos x
2.97.- ∫
2.96.- ∫
2
1
⎛
⎞
2.102.- ∫ ⎜
− 1⎟ dx
⎝ sen x 2 ⎠
2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt
2.108.- ∫
s e n x cos x
cos x − s e n x
2
2
dx
2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt
s e n 3x
dx
3 + cos 3 x
τ gx
2.109.- ∫
dx
cos 2 x
2.106.- ∫
2.112.- ∫
2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx
(cos ax + s e n ax) 2
2.117.- ∫
dx
s e n ax
x3 − 1
2.118.- ∫
dx
x +1
x3 − 1
dx
x4 − 4x + 1
τ g 3 x − coτ g 3x
2.123.- ∫
dx
s e n 3x
2.121.- ∫ xe − x dx
2.126.- ∫
2.129.- ∫
2.132.- ∫
sec 2 xdx
τ g2x − 2
x2
dx
x3 + 1
sec 2 xdx
4 −τ g 2 x
dx
x −1
arcτ gx
e
+ x η (1 + x 2 ) + 1
2.138.- ∫
1 + x2
(1 − s e n x2 ) 2
2.141.- ∫
dx
s e n x2
2.135.- ∫ τ g x − 1
2.144.- ∫
dθ
s e n aθ cos aθ
2
2.124.- ∫
2.127.- ∫
2.130.- ∫
x
x
2.107.- ∫ τ g 3 3 sec 2 3 dx
x
x
2.110.- ∫ cos a s e n a dx
2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx
x3 dx
x8 + 5
2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx
2.120.- ∫
dx
x
sen a
xdx
2.98.- ∫
cos 2 x 2
dx
2.101.- ∫
x
τg 5
cos ax
2.104.- ∫
dx
s e n 5 ax
2.95.- ∫
1 + s e n 3x
dx
cos 2 3 x
cos ec 2 3xdx
2.119.- ∫
b − a coτ g 3 x
2.116.- ∫
3 − 2 + 3x 2
2.122.- ∫
dx
2 + 3x 2
1+ s e n x
2.125.- ∫
dx
x + cos x
dx
ex
dx
2.128.- ∫ a s e n x cos xdx
x η x
2
2.131.- ∫ τ g 2 axdx
xdx
1 − x4
dx
2.133.- ∫
cos x a
2.134.- ∫
xdx
s e n x2
2.137.- ∫
2.136.- ∫
x 2 dx
2.139.- ∫ 2
x −2
5 − 3x
2.142.- ∫
dx
4 − 3x 2
2.145.- ∫
es
e2 s − 2
ds
3
1+ η x
dx
x
s e n x − cos x
dx
s e n x + cos x
2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx
2
2.143.- ∫
ds
e +1
s
π
2.146.- ∫ s e n( 2T t + ϕ0 )dt
40
41. 2.147.- ∫
2.150.- ∫
2.153.- ∫
2.156.- ∫
arc cos x 2
2.148.- ∫
dx
4 − x2
s e n x cos x
2−sen x
4
2.151.s ecxτ gx
dx
arc s e n x + x
1 − x2
∫
dx
s ec 2 x + 1
xdx
2.154.- ∫
x +1
dx
η ( x + x 2 + 1)
x2 + 1
(arcs e n x) 2
2.159.- ∫
dx
1 − x2
2t 2 − 10t + 12
2.162.- ∫
dt
t2 + 4
dx
x(4 − η 2 x)
dx
2.157.- ∫
s e n3 x
dx
cos x
2.150.- ∫ e x + e dx
x
2.163.- ∫
2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx
2.152.- ∫
dt
s e n t cos 2 t
2
2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx
2.158.- ∫
cos xdx
1+ s e n2 x
2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt
et − e − t
dt
et + e − t
RESPUESTAS
2.39.- ∫ 3x e x dx ,
x
u
∫ (3e) dx = ∫ (a) du =
Sea: u = x, du = dx, a = 3e
au
(3e) x
(3e) x
3x e x
3x e x
+c =
+c =
+c =
+c =
+c
ηa
η (3e)
η 3 ηe
η3 + ηe
η3 +1
adx
,
Sea: u = a − x, du = −dx
a−x
adx
du
∫ a − x = −a ∫ u = −a η u + c = −a η a − x + c
4t + 6
2t + 3
2
2.41.- ∫
Sea: u = 2t + 1, du = 2dt ;
= 1+
dt ,
2t + 1
2t + 1
2t + 1
4t + 6
2 ⎞
2
du
⎛
∫ 2t + 1 dt = 2∫ ⎜1 + 2t + 1 ⎟dt = 2∫ dt + 2∫ 2t + 1 dt =2∫ dt + 2∫ u =2t + 2 η u + c
⎝
⎠
= 2t + 2 η 2t + 1 + c
2.40.- ∫
11
1 − 3x
3
1 − 3x
2
Sea: u = 3 + 2 x, du = 2dx ;
2.42.- ∫
dx ,
=− +
3 + 2x
3 + 2x
2 2x + 3
11
1 − 3x
3
11 dx
3
11 du
⎛ 3
⎞
2
= − ∫ dx + ∫
dx = ∫ ⎜ − +
⎟ dx = − ∫ dx + ∫
∫ 3 + 2x
2
4 2x + 3
2
4 u
⎝ 2 2x + 3 ⎠
3
11
− x+
η 2x + 3 + c
2
4
a
xdx
x
1
,
Sea: u = a + bx, du = bdx ;
2.43.- ∫
= − b
a + bx b a + bx
a + bx
xdx
1
a
dx
1
a du 1
a
x a
∫ a + bx = b ∫ dx − b ∫ a + bx = b ∫ dx − b2 ∫ u = b x − b2 η u + c = b − b2 η a + bx + c
41
42. αβ
ax − b
dx ,
2.44.- ∫
αx+ β
Sea: u = α x + β , du = α dx ;
+b
ax − b a α
= −
αx
ax + b α
αβ
aβ + α b
⎛
⎞
⎜ a α +b⎟
ax − b
a
a
aβ + α b
dx
α
∫ α x + β dx = ∫ ⎜ α − α x ⎟ dx = ∫ α dx − ∫ α x + β dx = α ∫ dx − α ∫ aβ + α b
⎜
⎟
⎝
⎠
a
a β + α b du a
aβ + α b
a
aβ + α b
= ∫ dx −
2
∫ u = α x− α2 η u +c = α x− α2 η x+ β +c
α
α
3t 2 + 3
t2 +1
2
Sea: u = t − 1, du = dt ;
dt ,
= t +1+
t −1
t −1
t −1
2
3t + 3
2 ⎞
2
3 2
⎛
∫ t − 1 dt = 3∫ ⎜ t + 1 + t − 1 ⎟dt = 3∫ tdt + 3∫ dt + 3∫ t − 1 dt = 2 t + 3t + 6 η u + c
⎝
⎠
3 2
= t + 3t + 6 η t − 1 + c
2
x2 + 5x + 7
x2 + 5x + 7
1
2.46.- ∫
Sea: u = t − 1, du = t + 1 ;
dx ,
= x+2+
x+3
x+3
x+3
x2 + 5x + 7
1 ⎞
1
x2
⎛
∫ x + 3 dx = ∫ ⎜ x + 2 + x + 3 ⎟ dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x + 3 dx = 2 + 2 x + η u + c
⎝
⎠
2.45.- ∫
x2
x2
+ 2x + η u + c = + 2x + η x + 3 + c
2
2
4
2
x + x +1
2.47.- ∫
Sea: u = x − 1, du = dx ;
dx ,
x −1
x4 + x2 + 1
3 ⎞
dx
⎛ 3
2
3
2
∫ x − 1 dx = ∫ ⎜ x + x + 2 x + 2 + x − 1 ⎟ dx = ∫ x dx + ∫ x dx + 2∫ dx + 3∫ x − 1
⎝
⎠
4
3
4
3
x
x
x
x
= + + x2 + 2 + 3 η u + c = + + x2 + 2 x + 3 η x − 1 + c
4 3
4 3
=
2
b ⎞
⎛
2.48.- ∫ ⎜ a +
⎟ dx ,
x−a⎠
⎝
Sea: u = x − a, du = dx
⎛
b ⎞
2ab
b2 ⎞
dx
dx
⎛
+
+ b2 ∫
a+
dx = ∫ ⎜ a 2 +
dx = a 2 ∫ dx + 2ab ∫
2 ⎟
∫⎜ x − a ⎟
x − a ( x − a) ⎠
x−a
( x − a)2
⎝
⎠
⎝
2
= a 2 ∫ dx + 2ab ∫
49.- ∫
du
du
u −1
b2
+ b 2 ∫ 2 = a 2 x + 2ab η u + b 2
+ c = a 2 x + 2ab η x − a −
+ c 2.
−1
u
u
x−a
x
dx ,
( x + 1) 2
Sea: u = x + 1, du = dx
x
( x + 1) − 1
x +1
dx
dx
dx
u −1
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
= ∫ −∫ 2 = η u −
+c
∫ ( x + 1)2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
( x + 1) 2
u
u
−1
42
43. 1
+c
x +1
bdy
,
Sea: u = 1 − y, du = − dy
2.50.- ∫
1− y
bdy
du
−1
1
1
∫ 1 − y = −b∫ u = −b∫ u 2 du = −2bu 2 + c = − 2b(1 − y) 2 + c
= η x +1 +
2.51.- ∫ a − bxdx ,
Sea: u = a − bx, du = −bdx
3
∫
a − bxdx = −
2.52.- ∫
∫
xdx
1 12
1u 2
2 3
3
3
u du = − 3 + c = − u 2 + c = − (a − bx) 2 + c
∫
b
b 2
3b
2b
,
Sea: u = x 2 + 1, du = 2 xdx
x +1
1
xdx
1 du 1 −12
1 u2
1
= ∫
= ∫ u du =
+ c =( x 2 + 1) 2 + c
1
2
2 2
u 2
x +1 2
2
x + ηx
dx
Sea: u = η x, du =
dx ,
x
x
1/ 2
x + ηx
ηx
x
u2
dx = ∫ x −1/ 2 dx + ∫
dx = ∫ x −1/ 2 dx + ∫ udu =
+ +c
∫ x
x
1/ 2 2
2
η x
=2 x+
+c
2
dx
,
Sea: u 2 = 3 x 2 , u = 3 x, du = 3dx ; a 2 = 5; a = 5
2.54.- ∫ 2
3x + 5
dx
1
du
1 1
u
1 1
3x
15
3x
∫ 3x 2 + 5 = 3 ∫ u 2 + a 2 = 3 a arc tg a + c = 3 5 arc tg 5 + c = 15 arc tg 5 + c
2.53.- ∫
2.55.- ∫
x3dx
,
a2 − x2
Sea: u = x 2 − a 2 , du = 2 xdx
x 3dx
a 2 xdx
xdx
a 2 du
= − ∫ xdx − ∫ 2
= − ∫ xdx −a 2 ∫ 2
= − ∫ xdx − ∫
∫ a2 − x2
x − a2
x − a2
2 u
2
2
2
2
x a
x a
=− −
η u +c = − −
η x2 − a2 + c
2 2
2 2
y2 − 5 y + 6
2.56.- ∫
Sea: u = y 2 + 4, du = 2 ydy
dy ,
2
y +4
y2 − 5 y + 6
−5 y + 2
−5 y + 2
ydy
dy
∫ y 2 + 4 dy = ∫ (1 + y 2 + 4 )dy = ∫ dy + ∫ y 2 + 4 dy = ∫ dy − 5∫ y 2 + 4 + 2∫ y 2 + 22
y
y
= y − 5 η u + 2 1 arc τ g + c = y − 5 η y 2 + 4 + arcτ g + c
2
2
2
2
2
6t − 15
Sea: u = 3t 2 − 2, du = 6tdt ; w = 3t , dw = 3dt
dt ,
2.57.- ∫ 2
3t − 2
43
44. 6t − 15
tdt
dt
tdt
dt
− 15∫ 2
= 6∫ 2
− 15∫
dt = 6∫ 2
2
−2
3t − 2
3t − 2
3t − 2
( 3t ) 2 − ( 2) 2
∫ 3t
=∫
du 15
dw
15 3 1
w− 2
−
∫ w2 − ( 2)2 = η u − 3 2 2 η w + 2 + c
u
3
= η 3t 2 − 2 −
5 6
t 3− 2
η
+c
4
t 3+ 2
3 − 2x
Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx; w = 5 x, dw = 5dx
dx ,
2
5x + 7
3 − 2x
dx
dx
dx
2 du
∫ 5 x 2 + 7dx = 3∫ 5 x2 + 7 − 2∫ 5x 2 + 7 = 3∫ ( 5x )2 + ( 7)2 − 10 ∫ u
2.58.- ∫
=
3
dw
1 du
3 1
x 5 1
∫ w2 + ( 7)2 − 5 ∫ u = 5 7 arcτ g 7 − 5 η u + c
5
3 35
5 1
arcτ gx
− η 5x2 + 7 + c
35
7 5
3x + 1
Sea: u = 5 x 2 + 1, du = 10 xdx; w = x 5, dw = 5dx
2.59.- ∫
dx ,
2
5x + 1
3x + 1
xdx
dx
xdx
dx
∫ 5 x2 + 1dx = 3∫ 5 x2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 = 3∫ 5 x 2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12
=
1
3 du
1
dw
3 u2
1
2
= ∫
+
=
∫ w2 + 12 10 1 + 5 η w + w + 1 + c
10
u
5
2
3
1
5x2 + 1 +
=
η x 5 + 5x2 + 1 + c
5
5
xdx
,
Sea: u = x 2 + 5, du = 2 xdx
2.60.- ∫ 2
x −5
xdx
1 du 1
1
2
∫ x2 − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η x − 5 + c
xdx
,
Sea: u = 2 x 2 + 3, du = 4 xdx
2
2x + 3
xdx
1 du 1
1
2
∫ 2x2 + 3 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η 2x + 3 + c
ax + b
2.62.- ∫ 2 2
Sea: u = a 2 x 2 + b 2 , du = 2a 2 xdx; w = ax, dw = adx
dx ,
2
a x +b
ax + b
xdx
dx
a du b
dw
∫ a 2 x 2 + b2 dx = a ∫ a 2 x 2 + b2 + b ∫ a 2 x 2 + b2 = 2a 2 ∫ u + a ∫ w2 + b2
1
b 1
w
1
1
ax
arcτ g + c = η a 2 x 2 + b 2 + arcτ g + c
= ηu+
2
2
b
a
b
a b
2.61.- ∫
44
45. 2.63.- ∫
∫
xdx
a −x
4
xdx
a −x
4
4
4
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
,
xdx
=∫
( a 2 )2 − ( x2 )2
=
1
du
1
u
= arcs e n 2 + c
∫
2
a
( a 2 )2 − u 2 2
1
x2
= arcs e n 2 + c
a
2
2
x dx
2.64.- ∫
,
Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx
6
1+ x
2
x dx
x 2 dx
1 du
1
1
3
∫ 1 + x6 = ∫ 1 + ( x3 )2 = 3 ∫ 1 + u 2 = 3 arcτ g u + c = 3 arcτ gx + c
2.65.- ∫
∫
2
x dx
x −1
6
x 2 dx
x −1
6
=∫
Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx
,
x 2 dx
(x ) −1
3 2
=
1
du
1
1
2
3
6
∫ u2 −1 = 3 η u + u −1 + c = 3 η x + x −1 + c
3
x − arcτ g 3x
3dx
Sea: u = 1 + 9 x 2 , du = 18 xdx; w = arcτ g 3 x, dw =
dx ,
2
1 + 9 x2
1+ 9x
x − arcτ g 3x
arcτ g 3x
xdx
1 du 1
1
∫ 1 + 9 x2 dx = ∫ 1 + 9 x 2 − ∫ 1 + 9 x 2 dx = 18 ∫ u − 3 ∫ w 2 dw
3
3
1
1w2
1
2(arcτ g 3 x) 2
2
=
+c =
+c
ηu−
η 1+ 9x −
18
33
18
9
2
dt
arcs e n t
2.67.- ∫
Sea: u = arcs e n t , du =
dt ,
2
4 − 4t
1− t2
2.66.- ∫
∫
arcs e n t
1
arcs e n t
1
arcs e n t
1
1 u
dt = ∫
dt = ∫
dt = ∫ udu =
2
2
4 − 4t
2
1− t
2
2
2 3
1− t2
3
2
2
1 3
+c = u 2 +c
3
1
(arcs e n t )3 + c
3
x
arcτ g ( 3 )
3dx
x
2.68.- ∫
Sea: u = arcτ g 3 , du =
dx ,
2
9+ x
9 + x2
x
x
arcτ g ( 3 )
arcτ g ( 3 ) 2
1
1 u2
1
+ c = u2 + c =
+c
dx = ∫ udu =
∫ 9 + x2
3
3 2
6
6
dt
dt
, Sea: u = η t + 1 + t 2 , du =
2.69.- ∫
1+ t2
(9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2
=
1
= ∫
3 (1 + t 2 )
dt
η t + 1+ t2
1
1 du 1 u 2
2
2
= ∫
=
+c =
u +c =
1
3 u 3
3
3
2
η t + 1+ t 2 + c
45
46. 2.70.- ∫ ae − mx dx ,
∫ ae
− mx
Sea: u = − mx, du = −mdx
dx = a ∫ e − mx dx = −
2.71.- ∫ 42 −3 x dx ,
2 −3 x
∫ 4 dx = −
a u
a u
a − mx
∫ e du = − m e + c = − m e + c
m
Sea: u = 2 − 3x, du = −3dx; a = 4
1 u
1 au
4 2 −3 x
+c = −
+c
a du = −
3∫
3 ηa
3 η4
2.72.- ∫ (et − e − t )dt ,
∫ (e
Sea: u = −t , du = − dt
− e −t )dt = ∫ et dt − ∫ e− t dt = ∫ et dt − ∫ eu dt = et + eu + c = et + e− t + c
t
2.73.- ∫ e − ( x
2
+1)
xdx ,
Sea: u = − x 2 − 1, du = −2 xdx
1 u
1 u
1 − ( x2 +1)
1
+ c = − x2 +1 + c
∫ e du = − 2 e + c = − 2 e
2
2e
x
x
2x
2dx
2x
2dx
, du =
; w = − , dw = −
Sea: u =
2.74.- ∫ (e a − e − a ) 2 dx ,
a
a
a
a
x
2x
x
−2 x
2x
−2 x
−xa 2
−xa
∫ (e a − e ) dx = ∫ (e a + 2e a e + e a )dx = ∫ e a dx + 2∫ dx + ∫ e a dx
∫e
− ( x 2 +1)
xdx = ∫ e − x −1 xdx = −
2
a u
a w
a u
a w
a 2x
a −2x
∫ e du + 2∫ dx − 2 ∫ e dw = 2 e + 2 x − 2 e + c = 2 e a + 2 x − 2 e a + c
2
a2x −1
x
dx
2.75.- ∫
Sea: u = − 2 , du = − dx ; w = 32x , dw = 32
dx ,
2
x
a
2x
a −1
a 2 x dx
dx
x
x
3x
x
dx = ∫
−∫
= ∫ a 2 x − 2 dx − ∫ a − 2 dx = ∫ a 2 dx − ∫ a − 2 dx
∫ ax
x
x
a
a
3x
−x
3x
−x
2 w
2 aw
au
2a 2
a 2
2 a 2
u
= ∫ a dw + 2 ∫ a du =
+2
+c =
+2
+c =
+ a 2)+c
(
ηa
ηa
ηa 3
3
3 ηa
3 ηa
=
1
ex
1
dx
Sea: u = , du = − 2
2.76.- ∫ 2 dx ,
x
x
x
1
x
e
1
u
u
x
∫ x 2 dx = −∫ e du = −e + c = −e x + c = − e + c
dx
dx
2.77.- ∫ 5 x
,
Sea: u = x , du =
x
2 x
∫5
x
dx
2 × 5u
2×5 x
= 2∫ 5u du =
+c =
+c
η5
η5
x
2.78.- ∫ x7 x dx ,
2
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
2
1
1 7u
1 7x
x7 dx = ∫ 7u du =
+c =
+c
∫
2
2 η7
2 η7
x2
2.79.- ∫
et dt
,
et − 1
Sea: u = et − 1, du = et dt
46
47. et dt
du
t
∫ et − 1 = ∫ u = η u + c = η e − 1 + c
2.80.- ∫ e x a − be x dx ,
Sea: u = a − be x , du = −be x dx
3
∫e
1
1u 2
2 3
2
3
a − be dx = − ∫ udu = −
+ c = − u 2 + c = − (a − be x ) 2 + c
3
3b
3b
b
b 2
x
x
x
ea
dx
a
x
4
4
x
x
x
1
1
au 3
3a(e a + 1) 3
3 xa
a
a
a
3
3
+c
∫ (e + 1) e dx = ∫ e + 1e dx = a ∫ u du = 4 + c =
4
3
dx
2.82.- ∫ x
,
Sea: u = 2 x + 3, du = 2 x η 2dx
2 +3
dx
1 3dx
1 2x + 3 − 2x
1 2x + 3
1
2x
1
1 du
= ∫ x
= ∫
dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ dx − ∫
∫ 2x + 3 3 2 + 3 3 2x + 3
3 2 +3
3 2 +3
3
3 u
x
η 2 +3
1
1
1
1
1
= x− η u +c = x−
η u +c = x−
+c
3
3
3
3 η2
3
3 η2
2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx ,
x
Sea: u = e
x
1
x
a +1
, du =
a x dx
,
Sea: u = a x , du = a x η adx; a > 0
2x
1+ a
x
a dx
a x dx
1
du
1
1
x
=∫
∫ 1 + a 2 x 1 + (a x )2 = η a ∫ 1 + u 2 = η a arcτ gu + c = η a arcτ ga + c
2.83.- ∫
e − bx
Sea: u = e −bx , du = −be − bx dx
dx ,
1 − e−2bx
e − bx
e − bx
1 du
1
du
1
u −1
η
dx = ∫
dx = − ∫
=− ∫
=
+c
− bx 2
2
2
∫ 1 − e−2bx
1 − (e )
b 1− u
b (−1)(u − 1) 2b
u +1
2.84.- ∫
=
1
e − bx − 1
η − bx
+c.
2b
e +1
et dt
2.85.- ∫
∫
1− e
t
e dt
1− e
2t
=∫
2t
Sea: u = et , du = et dt
,
et dt
1 − (e )
t 2
=∫
du
1− u
2
x
dx
, du =
2
2
x
x
∫ cos 2 dx = 2 ∫ cos udu = 2 s e n u + c = 2 s e n 2 + c
2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx ,
Sea: u = a + bx, du = bdx
2.86.- ∫ cos
x
dx ,
2
= arcs e n u + c = arcs e n et + c
1
Sea: u =
1
1
∫ s e n(a + bx)dx = b ∫ s e n udu = − b cos u + c = − b cos(a + bx) + c
47
48. 2.88.- ∫ cos x
dx
,
x
Sea: u = x , du =
dx
2 x
dx
= 2∫ cos udu = 2s e n u + c = 2s e n x + c
x
dx
dx
2.89.- ∫ s e n( η x) ,
Sea: u = η x, du =
x
x
dx
∫ s e n( η x) x = ∫ s e n udu = − cos u + c = − cos η x + c
Sea: u = 2ax, du = 2adx
2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx ,
∫ cos
x
∫ (cos ax + s e n ax) dx = ∫ (cos ax + 2 cos ax s e n ax + s e n ax)dx
= ∫ (1 + 2 cos ax s e n ax)dx = ∫ dx + 2∫ cos ax s e n axdx = ∫ dx + ∫ s e n 2axdx
2
2
2
1
cos 2ax + c
2a
2.91.- ∫ s e n 2 xdx ,
= x−
∫sen
2
xdx = ∫
Sea: u = 2 x, du = 2dx
1 − cos 2 x
1
1
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = ∫ dx − ∫ cos udu = x − s e n u + c
2
2
2
2
4
2
4
1
1
x − s e n 2x + c
2
4
2.92.- ∫ cos 2 xdx ,
=
∫ cos
2
xdx = ∫
Sea: u = 2 x, du = 2dx
1 + cos 2 x
1
1
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = ∫ dx + ∫ cos udu = x + s e n u + c
2
2
2
2
4
2
4
1
1
x + s e n 2x + c
2
4
2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx ,
=
Sea: u = ax + b, du = adx
1
∫ sec (ax + b)dx = a ∫ sec
2.94.- ∫ coτ g axdx ,
2
2
1
2
1
1
udu = τ gu + c = τ g (ax + b) = + c
a
a
Sea: u = ax, du = adx
1
1
1
∫ coτ g axdx = a ∫ coτ g udu = a ∫ (cos ec u − 1)du = a ∫ cos ec udu − a ∫ du
2
2
2
2
co τ gu u
coτ gax a x
coτ gax
− +c = −
−
+c = −
−x+c
a
a
a
a
a
dx
2.95.- ∫
,
Sea: u = x a , du = dx a
x
sen a
dx
∫ s e n ax = ∫ cos ec ax dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c
=−
= a η cos ec x a − coτ g x a + c
48
49. dx
,
Sea: u = 5 x − π , du = 5dx
4
3cos(5 x − π )
4
dx
1
1
1
∫ 3cos(5 x − π4 ) = 3 ∫ sec(5 x − π4 )dx = 15 ∫ sec udu = 15 η sec u + τ gu + c
1
=
η sec(5 x − π ) + τ g (5 x − π ) + c
4
4
15
dx
,
Sea: u = ax + b, du = adx
2.97.- ∫
s e n(ax + b)
dx
1
1
∫ s e n(ax + b) = ∫ cos ec(ax + b)dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c
1
= η cos ec(ax + b) − co τ g (ax + b) + c
a
xdx
2.98.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
cos 2 x 2
xdx
1
1
1
2 2
2
2
∫ cos2 x2 = ∫ x sec x dx = 2 ∫ sec udu = 2 τ gu + c = 2 τ gx + c
x
x
dx
Sea: u =
2.99.- ∫ coτ g
dx ,
, du =
a −b
a −b
a −b
x
x
∫ coτ g a − b dx = (a − b)∫ coτ gudu = (a − b) η s e n u + c = (a − b) η s e n a − b + c
dx
dx
2.100.- ∫ τ g x
,
Sea: u = x , du =
x
2 x
dx
∫ τ g x x = 2∫ τ gudu = 2 η sec u + c = 2 η sec x + c
dx
2.101.- ∫
,
Sea: u = x , du = dx
x
5
5
τg 5
dx
∫ τ g x = ∫ coτ g 5x dx = 5∫ coτ gudu = 5 η s e n u + c = 5 η s e n x 5 + c
2.96.- ∫
5
2
1
⎛
⎞
2.102.- ∫ ⎜
− 1⎟ dx ,
⎝ sen x 2 ⎠
Sea: u = x 2, du = 2dx
2
1
⎛
⎞
2
2
∫ ⎜ s e n x 2 − 1⎟ dx = ∫ (cos ecx 2 − 1) dx =∫ (cos ec x 2 − 2 cos ecx 2 + 1)dx
⎝
⎠
1
2
2
= ∫ cos ec 2 x 2dx − 2∫ cos ecx 2dx + ∫ dx =
∫ cos ec udu − 2 ∫ cos ecudu + ∫ dx
2
1
=−
coτ gu − 2 η cos ecu − coτ gu + x + c
2
1
=−
coτ gx 2 − 2 η cos ecx 2 − coτ gx 2 + x + c
2
49
50. dx
,
Sea: u = 2 x, du = 2dx
s e n x cos x
dx
dx
∫ s e n x cos x = ∫ 1 s e n 2 x = 2∫ cos ec2 xdx = ∫ cos ecudu = η cos ecu − coτ gu + c
2
= η cos ec 2 x − coτ g 2 x + c
2.103.- ∫
cos ax
Sea: u = s e n ax, du = a cos axdx
dx ,
s e n 5 ax
cos ax
1 du 1 u −4
u −4
s e n −4 ax
1
+c = −
+c =−
+c = −
+c
dx = ∫ 5 =
∫ s e n 5 ax a u a −4
4a
4a
4a s e n 4 ax
2.104.- ∫
2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt ,
∫ t s e n(1 − 2t
2
)dt = −
Sea: u = 1 − 2t 2 , du = −4tdt
1
1
1
2
∫ s e n udu = 4 cos u + c = 4 cos(1 − 2t ) + c
4
s e n 3x
dx ,
Sea: u = 3 + cos 3x, du = −3s e n 3xdx
3 + cos 3x
s e n 3x
1 du
1
1
∫ 3 + cos 3xdx = − 3 ∫ u = − 3 η u + c = − 3 η 3 + cos 3x + c
x
x
Sea: u = τ g ( x 3 ), du = 1 sec2 ( x 3 )dx
2.107.- ∫ τ g 3 3 sec 2 3 dx ,
3
2.106.- ∫
3
2
3
∫ τ g 3x sec 3x dx = 3∫ u du =
3u 4
3τ g 4 ( x 3 )
+c =
+c
4
4
s e n x cos x
2.108.- ∫
Sea: u = cos 2 x, du = 2s e n 2 xdx
dx ,
cos 2 x − s e n 2 x
1
1
s e n x cos x
s e n x cos x
1 s e n 2 x 1 du 1 u 2
u2
∫ cos2 x − s e n 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = 4 ∫ cos 2 x = 4 ∫ u = 4 12 + c = 2 + c
cos 2 x
=
+c
2
τ gx
2.109.- ∫
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
dx ,
cos 2 x
3
τ gx
u2
2 3
2 3
1
dx = ∫ τ gx sec2 xdx = ∫ u 2 du =
+ c = u 2 + c = τ g 2x + c
∫ cos2 x
3
3
3
2
x
x
Sea: u = 2 x , du = 2dx
2.110.- ∫ cos a s e n a dx ,
a
1
a
a
a
∫ cos ax s e n ax dx = 2 ∫ s e n 2ax dx = 4 ∫ s e n udu = − 4 cos u + c = − 4 cos 2ax + c
2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt ,
Sea: u = 2t 3 − 3, du = 4tdt
∫ t coτ g (2t
2
− 3)dt =
1
1
1
2
∫ coτ gudu = 4 η s e n u + c = 4 η s e n(2t − 3) + c
4
50
51. x 3 dx
,
Sea: u = x 4 , du = 4 x3 dx
8
x +5
3
x dx
x3 dx
1
du
1 1
u
5
x4
=∫ 4 2
= ∫ 2
=
+c =
+c
arcτ g
arcτ g
∫ x8 + 5 ( x ) + ( 5)2 4 u + ( 5)2 4 5
20
5
5
2.112.- ∫
2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx ,
Sea: u = s e n 6 x, du = 6 cos 6 xdx
1 3
1 u4
u4
s e n4 6x
u du =
+c =
+c =
+c
6∫
6 4
24
24
5 + 3cos 2 x
2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx ,
Sea: u =
, du = −3s e n 2 xdx
2
1 + cos 2 x
3 + 3cos 2 x
2
∫ 1 + 3cos x s e n 2 xdx = ∫ 1 + 3( 2 ) s e n 2 xdx = ∫ 1 + 2 s e n 2 xdx
3
∫ s e n 6 x cos 6 xdx =
5 + 3cos 2 x
1 1
1u 2
2 3
s e n 2 xdx = − ∫ u 2 du = −
+c = − u 2 +c
3
2
3
3
9
2
3
=∫
3
2 ⎛ 5 + 3cos 2 x ⎞ 2
=− ⎜
⎟ +c
9⎝
2
⎠
2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx ,
Sea: u = 5 − x 2 , du = −2 xdx
1 15
1u5
5 65
5(5 − x 2 ) 5
∫ x 5 − x dx = − 2 ∫ u du = − 2 6 + c = − 12 u + c = − 12 + c
5
1 + s e n 3x
2.116.- ∫
Sea: u = s e n 3x, du = 3dx; w = cos u, dw = − s e n udu
dx ,
cos 2 3x
1 + s e n 3x
dx
s e n 3x
1
1 senu
2
∫ cos2 3x dx = ∫ cos2 3x + ∫ cos2 3xdx = 3 ∫ s ec udu + 3 ∫ cos2 u du
1
1 dw 1
1
1
1
1
1
= ∫ s ec 2udu − ∫ 2 = τ gu +
+ c = τ gu +
+ c = τ g 3x +
+c
3
3 w
3
3w
3
3cos u
3
3cos 3x
(cos ax + s e n ax) 2
2.117.- ∫
Sea: u = ax, du = adx
dx ,
s e n ax
(cos ax + s e n ax) 2
cos 2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n 2 ax
dx = ∫
dx
∫
s e n ax
s e n ax
6
5
6
2
cos 2 ax
cos ax s e n ax
s e n 2 ax
=∫
dx + 2 ∫
dx + ∫
dx
s e n ax
s e n ax
s e n ax
1 − s e n 2 ax
=∫
dx + 2∫ cos axdx + ∫ s e n axdx
s e n ax
dx
=∫
+ 2 ∫ cos axdx
s e n ax
1
2
= ∫ cos ecaxdx + 2∫ cos axdx = ∫ cos ecudu + ∫ cos udu
a
a
51
52. 1
2
1
2
η cos ecu − coτ gu + s e n u + c = η cos ecax − co τ gax + s e n ax + c
a
a
a
a
x3 − 1
2.118.- ∫
Sea: u = x + 1, du = dx
dx ,
x +1
x3 − 1
2
2
2
2
∫ x + 1 dx = ∫ ( x − x + 1 − x + 1)dx = ∫ x dx − ∫ xdx + ∫ dx − ∫ x + 1 dx
du x3 x 2
= ∫ x 2 dx − ∫ xdx + ∫ dx − 2∫
= − + x − 2 η x +1 + c
u
3 2
2
cos ec 3xdx
2.119.- ∫
,
Sea: u = b − a coτ g 3 x, du = 3a cos ec 2 3 xdx
b − a coτ g 3 x
=
cos ec 2 3 xdx
1 du 1
1
∫ b − a coτ g 3x = 3a ∫ u = 3a η u + c = 3a η b − a coτ g 3x + c
x3 − 1
Sea: u = x 4 − 4 x + 1, du = (4 x3 − 4)dx
dx ,
4
x − 4x + 1
3
x −1
1 (4 x3 − 4)dx 1 du 1
1
4
dx = ∫ 4
∫ x4 − 4 x + 1 4 x − 4 x + 1 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η x − 4 x + 1 + c
2
2.121.- ∫ xe − x dx ,
Sea: u = − x 2 , du = −2 xdx
2.120.- ∫
∫ xe
− x2
dx = −
2.122.- ∫
1 u
1 u
1 − x2
∫ e du = − 2 e + c = − 2 e + c
2
3 − 2 + 3x2
dx ,
2 + 3x 2
Sea: u = x 3, du = 3dx; a = 2
3 − 2 + 3x 2
dx
(2 + 3x 2 ) 2
∫ 2 + 3x 2 dx = 3∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x 2 dx
1
1
(2 + 3x 2 )
3
3dx
3
3dx
2 −1
∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x2 dx = 3 ∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ (2 + 3x ) 2 dx
3
3
du
du
dx
2 −1
=
∫ (a)2 + (u )2 − ∫ (2 + 3x ) 2 dx = 3 ∫ (a)2 + (u )2 − ∫ ( 2)2 + ( x 3)2
3
2
du
1
du
3
u 1
2
2
−
2
∫ a 2 + u 2 = a arcτ g a − 3 η u + a + u + c
(a ) + (u )
3
3
x 3
3
=
−
η x 3 + 2 + 3 + x2 + c
arcτ g
3
2
2
τ g 3 x − coτ g 3x
2.123.- ∫
Sea: u = 3x, du = 3dx; w = s e n u, dw = cos udu
dx ,
s e n 3x
s e n 3 x cos 3 x
−
τ g 3 x − coτ g 3 x
dx
cos 3 x
−∫
dx = ∫ cos 3x s e n 3x dx = ∫
dx
∫ s e n 3x
s e n 3x
cos 3 x
s e n 2 3x
= 3∫
2
52
53. = ∫ sec 3xdx − ∫
cos 3x
1
1 cos u
1
1 dw
dx = ∫ sec udu − ∫
du = ∫ sec udu − ∫ 2
2
2
s e n 3x
3
3 sen u
3
3 w
1
1 w−1
1
1
η sec u + τ gu −
+ c = η sec 3x + τ g 3 x +
+c
3
3 −1
3
3s e n 3x
dx
x
dx
2.124.- ∫
,
Sea: u = − , du = −
2
2
ex
dx
dx
−x
−2
−2
−x
u
u
∫ e x = ∫ (e x ) 12 = ∫ e 2 dx = −2∫ e du = −2e + c = −2e 2 + c = e x 2 + c = e x + c
1+ s e n x
Sea: u = x + cos x, du = (1 − s e n x)dx
2.125.- ∫
dx ,
x + cos x
1+ s e n x
du
∫ x + cos x dx = ∫ u = η u + c = η x + cos x + c
sec 2 xdx
2.126.- ∫
,
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
2
τg x−2
=
∫
sec 2 xdx
τg x−2
2
2.127.- ∫
dx
∫x η
2
x
dx
x η x
2
=∫
du
=∫
u −2
2
= η u + u 2 − 2 + c = η τ gx + τ gx 2 − 2 + c
Sea: u = η x, du =
,
dx
du u −1
1
1
=∫ 2 =
+c = − +c = −
+c
2
x( η x)
u
u
−1
ηx
2.128.- ∫ a s e n x cos xdx ,
∫a
sen x
dx
2
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
as e n x
cos xdx = ∫ a du =
+c =
+c
ηa
ηa
2.129.- ∫
u
x2
x +1
3
dx ,
a
u
Sea: u = x3 + 1, du = 3 x 2 dx
3
( x 2 + 1) 2
u3
( x 2 + 1) 3
x 2 dx
1 du 1 u 3
∫ x3 + 1 = ∫ ( x3 + 1) 13 = 3 ∫ u 13 = 3 2 + c = 2 + c = 2 + c = 2 + c
3
xdx
2.130.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
4
1− x
xdx
xdx
1
2 xdx
1
2 xdx
1
∫ 1 − x 4 = ∫ 1 − ( x2 )2 = 2 ∫ 1 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 1 − (u)2 = 2 arcs e n u + c
2
x dx
1
= arcs e n x 2 + c
2
2.131.- ∫ τ g 2 axdx ,
2
2
2
Sea: u = ax, du = adx
53
54. ∫ τ g axdx = ∫ (sec
2
2
ax − 1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx =
1
= τ gax − x + c
a
sec 2 xdx
2.132.- ∫
,
4 −τ g 2 x
sec 2 xdx
∫
=∫
1
1
2
∫ sec udu − ∫ dx = a τ gu − x + c
a
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
u
τ gx
= arcs e n + c = arcs e n
+c
2
2
2 −u
du
4 −τ g x
dx
2.133.- ∫
,
Sea: u = x , du = dx
a
a
cos x a
dx
∫ cos x a = ∫ sec x a dx = a ∫ secudu = a η sec u + τ gu + c = a η sec x a + τ g x a + c
2
2.134.- ∫
3
2
2
1+ η x
dx ,
x
Sea: u = 1 + η x, du =
dx
x
1+ η x
u3
3u 3
3(1 + η x) 3
1
+c
∫ x dx = ∫ u 3 du = 4 + c = 4 + c =
4
3
dx
dx
,
Sea: u = x − 1, du =
2.135.- ∫ τ g x − 1
x −1
2 x −1
dx
du
∫ τ g x − 1 x − 1 = 2∫ τ gu u = 2 η sec x − 1 + c = −2 η cos x − 1 + c
xdx
2.136.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
s e n x2
xdx
1 du
1
1
∫ s e n x 2 = 2 ∫ s e n u = 2 ∫ cos ecudu = 2 η cos ecu − coτ gu + c
1
= η cos ecx 2 − coτ gx 2 + c
2
s e n x − cos x
Sea: u = s e n x + cos x, du = (cos x − s e n x)dx
2.137.- ∫
dx ,
s e n x + cos x
s e n x − cos x
du
∫ s e n x + cos xdx = − ∫ u = − η s e n x + cos x + c
earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1
dx
2 xdx
2.138.- ∫
, Sea: u = arcτ gx, du =
; w = η (1 + x 2 )d , dw =
2
2
1+ x
1+ x
1 + x2
earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1
earcτ gx dx
x η (1 + x 2 )dx
dx
=∫
+∫
+∫
2
2
2
∫
1+ x
1+ x
1+ x
1 + x2
1
dx
1 w2
η 2 (1 + x 2 )
= ∫ eu du + ∫ wdw + ∫
= eu +
+ arcτ gx + c = eu +
+ arcτ gx + c
2
1 + x2
2 2
4
3
4
4
4
x 2 dx
,
2.139.- ∫ 2
x −2
54
55. 2
1
x 2 dx
dx
x− 2
∫ x2 − 2 = ∫ (1 + x2 − 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x2 − 2 = x + 2 2 2 η x + 2 + c
= x+
2
x− 2
+c
η
2
x+ 2
2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx ,
Sea: u =
2
sen x
∫ e s e n 2 xdx = ∫ e
2
2.141.- ∫
(1 − s e n
sen
1− cos 2 x
2
x 2
2
)
x
2
1 − cos 2 x
, du = s e n 2 xdx
2
s e n 2 xdx = ∫ eu du = eu + c = es e n x + c
2
Sea: u =
dx ,
x
dx
, du =
2
2
⎛ 1 − 2s e n x2 + s e n 2 x2 ⎞
dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ cos ec x2 dx − 2∫ dx + ∫ s e n x2 dx
∫ sen x
x
⎜
⎟
sen 2
2
⎝
⎠
= 2 ∫ cos ecudu − 2 ∫ dx + 2 ∫ s e n udu = 2 η cos ecu − coτ gu − 2 x − 2 cos u + c
(1 − s e n
x 2
2
)
= 2 η cos ec
4 − 3x
5 − 3x
4 − 3x
− coτ g
5 − 3x
2.142.- ∫
∫
x
2
2
2
dx = 5∫
x
2
− 2 x − 2 cos
+c
Sea: u = x 3, du = 3dx; w = 4 − 3x 2 , dw = −6 xdx
dx ,
dx
4 − 3x
x
2
2
− 3∫
xdx
4 − 3x
2
dx
= 5∫
4 − ( x 3) 2
− 3∫
xdx
4 − 3x2
1
5
du
3 dw
5
u 1w2
5 3
x 3
arcs e n +
arcs e n
=
+ ∫
=
+c =
+ 4 − 3x 2 + c
∫ 22 − u 2 6 w 3
2 2 1
3
2
3
2
ds
,
Sea: u = 1 + e − s , du = −e− s ds
e +1
ds
e − s ds
du
−s
= ∫ −s
∫ es + 1 e + 1 = −∫ u = − η u + c = − η e + 1 + c
dθ
2.144.- ∫
,
Sea: u = 2aθ , du = 2adθ
s e n aθ cos aθ
dθ
dθ
2
∫ s e n aθ cos aθ = ∫ 12 s e n 2aθ = 2∫ cos ec2aθ dθ = 2a ∫ cos ecudu
1
1
= η cos ecu − co τ gu + c = η cos ec 2aθ − co τ g 2aθ + c
a
a
s
e
2.145.- ∫
Sea: u = e s , du = e s ds
ds ,
2s
e −2
s
e
es
du
= η u + u2 − 2 + c
ds = ∫
ds = − ∫
∫ e2 s − 2
2
s 2
u −2
(e ) − 2
2.143.- ∫
s
= η e s + (e s ) 2 − 2 + c = η e s + e 2 s − 2 + c
55
56. 2π t
2π t
+ ϕ0 , du =
dt
T
T
T
T
T
2π t
∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt = 2π ∫ s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π cos( T + ϕ0 ) + c
arc cos x 2
x
dx
Sea: u = arc cos , du = −
2.147.- ∫
dx ,
2
2
4 − x2
4− x
arc cos x 2
u2
(arc cos x 2 ) 2
dx = − ∫ udu = − + c = −
+c
∫ 4 − x2
2
2
dx
dx
2.148.- ∫
,
Sea: u = η x, du =
2
x(4 − η x)
x
π
2.146.- ∫ s e n( 2T t + ϕ0 )dt ,
Sea: u =
dx
du
1
2+u
1
2 + ηx
=∫ 2
= η
+c = η
+c
2
2
2 −u
4
2−u
4
2− ηx
η x)
x ⎡ 2 − ( η x) ⎤
⎣
⎦
Sea: u = −τ gx, du = − sec 2 xdx
2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx ,
dx
∫ x(4 −
∫e
−τ gx
2
2
sec 2 xdx = − ∫ eu du = −eu + c = −e −τ gx + c
2.150.- ∫
∫
=∫
s e n x cos x
Sea: u = s e n 2 x, du = 2s e n x cos xdx
dx ,
2−sen x
s e n x cos x
s e n x cos x
1
du
1
u
dx = ∫
dx = ∫
= arcs e n
+c
4
2
2
2
2
2
2
2−sen x
2 − (s e n x)
2−u
4
1
(s e n 2 x)
= arcs e n
+c
2
2
s ecxτ gx
2.151.- ∫
Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx
dx ,
s ec 2 x + 1
s ecxτ gx
du
2
2
∫ s ec 2 x + 1dx = ∫ u 2 + 1 = η u + u + 1 + c = η s ecx + s ec x + 1 + c
dt
2.152.- ∫
,
Sea: u = 2t , du = 2dt
2
s e n t cos 2 t
dt
dt
dt
dt
2
∫ s e n 2 t cos2 t = ∫ (s e n t cos t )2 = ∫ ( 1 s e n 2t )2 = 4∫ s e n 2 2t = 4∫ cos ec 2tdt
2
= 2 ∫ cos ec 2udu = −2 co τ gu + c = −2 coτ g 2t + c
2.153.- ∫
Sea:
arc s e n x + x
1 − x2
dx ,
u = arcs e n x, du =
dx
; w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx
1− x
arc s e n x + x
arc s e n x
x
1 dw
1 −1
∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx + ∫ 1 − x2 dx = ∫ udu − 2 ∫ w = ∫ udu − 2 ∫ w 2 dw
2
56
57. 1
u2 1 w 2
(arcs e n x) 2
= −
+c =
− 1 − x2 + c
2 2 1
2
2
xdx
,
Sea: t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; dx = 2tdt
2.154.- ∫
x +1
2 ( x + 1)3
xdx
(t 2 − 1)2tdt
t3
=∫
= 2 ∫ (t 2 − 1)dt = 2( − t ) + c =
− 2 x +1 + c
∫ x +1
t
3
3
Sea: u = 5 x 2 − 3, du = 10 xdx
2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx ,
2
7
∫ x(5 x − 3) dx =
1
1 u8
u8
(5 x 2 − 3)8
u 7 du =
+c = +c =
+c
10 ∫
10 8
80
80
η ( x + x 2 + 1)
2.156.- ∫
x +1
2
η ( x + x 2 + 1)
∫
x2 + 1
dx ,
dx = ∫
Sea: u = η ( x + x 2 + 1), du =
η ( x + x 2 + 1)
x2 + 1
dx
x2 + 1
3
dx = ∫ udu =
u2
+c
3
2
3
2 ⎡ η ( x + x 2 + 1) ⎤
⎣
⎦
=
+c
3
s e n3 x
2.157.- ∫
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
dx ,
cos x
s e n3 x
s e n 2 x s e n xdx
(1 − cos 2 x) s e n xdx
s e n xdx
cos 2 x s e n xdx
dx = ∫
=∫
=∫
−∫
∫ cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
3
5
2
2
3
3
u
u
−1
1
= ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = −
+
+c
3
5
2
2
3
5
3
5
2u 2 2u 2
2 cos x 2 2 cos x 2
2 cos3 x 2 cos5 x
+
+c = −
+
+c = −
+
+c
3
5
3
5
3
5
cos xdx
,
2.158.- ∫
1+ s e n2 x
=−
Sea: t = 1 + s e n 2 x ⇒ s e n 2 x = t 2 − 1; 2s e n x cos xdx = 2tdt
t
cos xdx
dt
t 2 −1
2
∫ 1+ s e n2 x = ∫ t = ∫ t 2 −1 = η 1+ s e n x + s e n x + c
2.159.- ∫
∫
(arcs e n x) 2
1 − x2
(arcs e n x) 2
dx ,
dx = ∫ u 2 du =
1 − x2
2.150.- ∫ e x + e dx ,
x
Sea: u = arcs e n x, du =
dx
1 − x2
u3
(arcs e n x)3
+c =
+c
3
3
Sea: u = ee , du = ee e x dx
x
x
57
58. ∫e
x+ex
dx = ∫ e x ee dx = ∫ du = u + c = ee + c
x
x
u −1
, du = 4dt
4
u − 1 7 du 1
1
1 u9 1 u8
t (4t + 1)7 dt = ∫
u
= ∫ (u − 1)u 7 du = ∫ (u 8 − u 7 )du =
−
+c
∫
4
4 16
16
16 9 16 8
(4t + 1)9 (4t + 1)8
=
−
+c
144
128
2t 2 − 10t + 12
2.162.- ∫
dt ,
Sea: u = t 2 + 4, du = du = 2tdt
t2 + 4
2t 2 − 10t + 12
t 2 − 5t + 6
dt
dt
⎛ 2 − 5t ⎞
dt = 2∫ 2
dt = 2∫ ⎜1 + 2
−10∫ 2
⎟ dt = 2 ∫ dt + 4∫ 2
∫ t2 + 4
t +4
t +4
t +4
⎝ t +4⎠
dt
du
t
t
= 2 ∫ dt + 4∫ 2
−5∫
= 2t + 2 arcτ g 2 − 5 η u + c = 2t + 2 arcτ g 2 − 5 η t 2 + 4 + c
t +4
u
et − e − t
2.163.- ∫ t
dt ,
e + e−t
Sea: u = e 2t + 1, du = 2e 2t dt ; w = 1 + e −2t , dw = −2e−2t dt
2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt ,
Sea: u = 4t + 1 ⇒ t =
et − e − t
et dt
e − t dt
e 2t dt
e −2t dt 1 du 1 dw
dt = ∫ t
−∫ t
= ∫ 2t
−∫
=
+
∫ et + e − t
e + e−t
e + e−t
e + 1 1 + e −2t 2 ∫ u 2 ∫ w
1
1
1
= ( η u + η w ) + c = η uw + c = η (e2t + 1)(1 + e −2t ) + c
2
2
2
58
59. CAPITULO 3
INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la forma:
i) ∫ s e n m u cos n udu
ii) ∫ τ g mu secn udu
iii) ∫ co τ g mu cos ec nudu
O bien, formas trigonométricas reducibles a algunos de los casos ya señalados.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
3.1.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx
1 + cos 2 x
2
1 + cos 2 x
1
1
x 1
Luego: ∫ cos 2 xdx = ∫
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = + s e n 2 x + c ,
2
2
2
2 4
1
Como: ∫ cosh xdx = s e nh x + c
h
1
1
Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n 2 x + c
2
4
4 1
3.2.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx
Solución.- cos 2 xdx =
Solución.- cos 2 1 x =
2
1 + cos x
2
1
⎛ 1 + cos x ⎞
2
Luego: ∫ cos 4 1 xdx = ∫ (cos 2 1 x) 2 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos x + cos x)dx
2
2
2
4
⎝
⎠
1
1
1
= ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx , como: ∫ cos 2 xdx = 1 x + 1 s e n 2 x + c
2
4
4
2
4
1
1
1
1
1
1 1
1
= ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + ( x + s e n 2 x) + c
4
2
4
4
2
4 2
4
1
1
1
1
3
1
1
= x + s e n x + x + s e n 2x + c = x + s e n x + s e n 2x + c
4
2
8
16
8
2
16
3
1
1
4 1
Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + s e n 2 x + c
8
2
16
3
3.3.-Encontrar: ∫ cos xdx
2
Solución.- ∫ cos3 xdx = ∫ cos x cos 2 xdx , como: cos 2 x = 1 − s e n 2 x
59
60. = ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
= ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx = ∫ cos xdx − ∫ u 2 du = s e n x −
Respuesta: ∫ cos3 xdx = s e n x −
u3
s e n3 x
+ c = sen x −
+c
3
3
s e n3 x
+c
3
3.4.-Encontrar: ∫ s e n x3 4 xdx
Solución.- ∫ s e n x3 4 xdx = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx , como: s e n 2 4 x = 1 − cos 2 4 x
= ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx = ∫ s e n 4 x(1 − cos 2 4 x)dx = ∫ s e n 4 xdx − ∫ s e n 4 x(cos 4 x) 2 dx
Sea: u = cos 4 x, du = −4s e n 4 xdx
1 2
1
1 u3
cos 4 x cos3 4 x
u du = − cos 4 x +
+c = −
+
+c
4∫
4
4 3
4
12
cos 4 x cos3 4 x
Respuesta: ∫ s e n x3 4 xdx = −
+
+c
4
12
3.5.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos3 xdx
= ∫ s e n 4 xdx +
Solución.- ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 2 x cos 2 x cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) cos xdx
= ∫ s e n 2 x cos xdx − ∫ s e n 4 x cos xdx ;
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
u3 u5
s e n3 x s e n5 x
− +c =
−
+c
3 5
3
5
s e n3 x s e n5 x
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos3 xdx =
−
+c
3
5
3.6.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx
= ∫ u 2 du − ∫ u 4 du =
Solución.- ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx
= ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
= ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = −
=−
u3 u5
+ +c
3 5
cos3 x cos5 x
+
+c
3
5
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = −
cos3 x cos5 x
+
+c
3
5
3.7.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos5 xdx
Solución.- ∫ s e n 2 x cos5 xdx = ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) 2 cos xdx
= ∫ s e n 2 x(1 − 2s e n 2 x + s e n 4 x) cos xdx
60
61. = ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
u3
u5 u7
s e n3 x
s e n5 x s e n7 x
−2 + +c =
−2
+
+c
3
5 7
3
5
7
s e n3 x
s e n5 x s e n7 x
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos5 xdx =
−2
+
+c
3
5
7
3.8.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos3 xdx
= ∫ u 2 du − 2∫ u 4 du + ∫ u 6 du =
Solución.- ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ (s e n x cos x)3 dx ; como: s e n 2 x = 2s e n x cos x,
Se tiene que: s e n x cos x =
s e n 2x
; Luego:
2
3
1
1
⎛ s e n 2x ⎞
3
2
= ∫ (s e n x cos x) dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n 2 xdx
8
8
⎝ 2 ⎠
1
1
1
= ∫ s e n 2 x(1 − cos 2 2 x)dx = ∫ s e n 2 xdx − ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx
8
8
8
Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx
1
1
1
1
= ∫ s e n 2 xdx + ∫ −2s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx = ∫ s e n 2 xdx + ∫ u 2 du
8
16
8
16
3
3
1
1 u
1
cos 2 x
= − cos 2 x +
+ c = − cos 2 x +
+c
16
16 3
16
48
1
cos3 2 x
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = − cos 2 x +
+c
16
48
3.9.-Encontrar: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx
3
4
1
⎛ s e n 2x ⎞
4
Solución.- ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ∫ (s e n x cos x) 4 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx
16
⎝ 2 ⎠
2
2
1
1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞
1
2
∫ (s e n 2 x) dx = 16 ∫ ⎜ 2 ⎟ dx = 16 × 4 ∫ (1 − cos 4 x) dx
16
⎝
⎠
1
1
1
1
2
2
=
∫ (1 − 2 cos 4 x + cos 4 x)dx = 64 ∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 64 ∫ cos 4 xdx
64
1
1
1 1 + cos8 x
=
∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 64 ∫ 2 dx
64
1
1
1
1
=
∫ dx − 32 ∫ cos 4 xdx + 128 ∫ dx + 128 ∫ cos8 xdx
64
1
1
1
1
3x s e n 4 x s e n 8 x
s e n 4x +
s e n 8x + c =
=
x−
x+
−
+
+c
64
128
128
1024
128
128
1024
1 ⎛
s e n 8x ⎞
Respuesta: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx =
⎜ 3x − s e n 4 x +
⎟+c
128 ⎝
8 ⎠
3.10.-Encontrar: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx ;
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
2
=
61
62. 1
1
3 2
3 2
3
3
∫ 2 x(cos x − s e n x )dx = 2 ∫ (cos u − s e n u)du
2
1
1
1
1
= ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2 udu − ∫ s e n u s e n 2 udu
2
2
2
2
1
1
= ∫ cos u (1 − s e n 2 u )du − ∫ s e n u (1 − cos 2 u )du
2
2
1
1
1
1
= ∫ cos udu − ∫ cos u s e n 2 udu − ∫ s e n udu + ∫ s e n u cos 2 udu
2
2
2
2
Sea: w = s e n u, dw = cos udu; z = cos u, dz = − s e n udu
∫ x(cos
3
x 2 − s e n 3 x 2 )dx =
1
1
1
1
1
1 w3 1
1 z3
cos udu − ∫ w2 dw − ∫ s e n udu − ∫ z 2 dz = s e n u −
+ cos u −
+c
2∫
2
2
2
2
2 3 2
2 3
s e n u s e n 3 u cos u cos3 u
1
1
=
−
+
−
+ c = (s e n u + cos u ) − (s e n 3 u + cos3 u ) + c
2
6
2
6
2
6
3
3
2
Dado que: s e n u + cos u = (s e n u + cos u )(s e n u − s e n u cos u + cos 2 )
=
O bien: s e n 3 u + cos3 u = (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) ; Lo que equivale a:
1
1
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) + c
2
6
1
1
2s e n u cos u
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 −
)+c
2
6
2
1
1
s e n 2u
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 −
)+c
2
6
2
1
1
1
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u ) (2 − s e n 2u ) + c
2
6
2
1
1
= (s e n u + cos u )(6 − (2 − s e n 2u )) + c = (s e n u + cos u )(4 + s e n 2u ) + c
12
12
1
= (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c
12
1
Respuesta: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c
12
3.11.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx
1
[s e n(α − β ) + s e n(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
s e n 2 x cos 4 x = [s e n(2 x − 4 x) + s e n(2 x + 4 x) ] = [s e n(−2 x) + s e n(6 x) ]
2
2
1
1
= [ − s e n 2 x + s e n 6 x ] , Luego: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = ∫ (− s e n 2 x + s e n 6 x)dx
2
2
1
1
1
1
= − ∫ s e n 2 xdx + ∫ s e n 6 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c
2
2
4
12
1
1
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c
4
12
Solución.- s e n α cos β =
62
63. 3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx
1
[cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) + cos(3 x + 2 x) ] = [ cos x + cos 5 x ] , Luego:
2
2
1
1
1
= ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ [ cos x + cos 5 x ]dx = ∫ cos xdx + ∫ cos 5 xdx
2
2
2
1
1
= s e n x + s e n 5x + c
2
10
1
1
Respuesta: ∫ cos 3 x cos 2 xdx = s e n x + s e n 5 x + c
2
10
3.13.-Encontrar: ∫ s e n 5 x s e n xdx
Solución.- cos α cos β =
1
[ cos(α − β ) − cos(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
s e n 5 x s e n x = [ cos(5 x − x) − cos(5 x + x) ] = [ cos 4 x − cos 6 x ] ; Luego:
2
2
1
1
1
= ∫ s e n 5 x s e n xdx = ∫ [ cos 4 x − cos 6 x ] = ∫ cos 4 xdx − ∫ cos 6 xdx
2
2
2
1
1
= s e n 4x − s e n 6x + c
8
12
1
1
Respuesta: ∫ s e n 5 x s e n xdx = s e n 4 x − s e n 6 x + c
8
12
4
3.14.-Encontrar: ∫ τ g xdx
Solución.- s e n α s e n β =
Solución.- ∫ τ g 4 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx ; como: τ g 2 = sec 2 x − 1 ; Luego:
= ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec2 xdx − ∫ τ g 2 xdx
s e n2 x
1 − cos 2 x
dx = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫
dx
cos 2 x
cos 2 x
Sea: w = τ gx, dw = sec 2 xdx
= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx ;
= ∫ (τ gx) 2 sec2 xdx − ∫
w3
τ g3
− τ gx + x + c =
− τ gx + x + c
3
3
τ g3
Respuesta: ∫ τ g 4 xdx =
− τ gx + x + c
3
3.15.-Encontrar: ∫ sec6 xdx
= ∫ w2 dw − ∫ sec 2 x + ∫ dx =
Solución.- ∫ sec6 xdx = ∫ (sec2 x) 2 sec2 xdx ; como: sec 2 xdx = 1 + τ g 2 x
2
= ∫ (sec 2 x) 2 sec 2 xdx = ∫ (1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (1 + 2τ g 2 x + τ g 4 x) sec 2 xdx
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 4 sec 2 xdx ;
Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx
63
64. 2
1
2
1
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c
3
5
3
5
2 3 1 5
Respuesta: ∫ sec6 xdx = τ gx + τ g x + τ g x + c
3
5
3
3.16.-Encontrar: ∫ τ g 2 xdx
Solución.3
2
2
2
∫ τ g 2 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec 2 xdx − ∫ τ g 2 xdx
Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ;
=
Luego:
1
1u 1
τ g 2 2x 1
1
− η sec 2 x + c =
− η
+c
udu − ∫ τ g 2 xdx =
∫
2
2 2 2
4
2
cos 2 x
2
Respuesta: ∫ τ g 3 2 xdx =
τ g 2 2x 1
4
−
2
η
1
+c
cos 2 x
3.17.-Encontrar: ∫ τ g 5 xdx
2
1
Solución.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx − ∫ dx = τ g 5 x − x + c
5
1
Respuesta: ∫ τ g 2 5 xdx = τ g 5 x − x + c
5
3
3.18.-Encontrar: ∫ τ g 3x sec 3xdx
Solución.- ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = ∫ τ g 2 3xτ g 3 x sec3 xdx = ∫ ( sec2 3x − 1)τ g 3x sec 3xdx
= ∫ (sec 3 x) 2τ g 3 x sec 3 xdx − ∫ τ g 3 x sec 3 xdx ; Sea: u = sec 3x, du = 3sec 3xτ g 3xdx
1 2
1
∫ u du − 3 ∫ 3τ g 3x sec 3xdx ; como: d (sec 3x) = 3τ g 3x sec 3xdx , se admite:
3
1 2
1
1 3 1
1 3
1
∫ u du − 3 ∫ d (sec3x) = 9 u − 3 sec3x + c = 9 sec 3x − 3 sec3x + c
3
1
1
Respuesta: ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = sec3 3x − sec 3x + c
9
3
3
4
2
3.19.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx
Luego:
Solución.- ∫ τ g 2 x sec4 xdx = ∫ τ g 2 x(sec2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 2 x(1 + τ g 2 x) sec2 xdx
3
3
= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx ;
3
7
3
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
3
7
2 5 2 9
2 5
2 9
Luego: ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = u 2 + u 2 + c = τ g 2 x + τ g 2 + c
5
9
5
9
3
2 5
2 9
Respuesta: ∫ τ g 2 x sec4 xdx = τ g 2 x + τ g 2 + c
5
9
4
4
3.20.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx
Solución.- ∫ τ g 4 x(sec 2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 4 x(1 + τ g 2 x) sec 2 xdx
= ∫ (τ gx) 4 sec2 xdx + ∫ (τ gx)6 sec 2 xdx ;
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
64
65. τ g5x τ g7 x
u5 u7
+ +c =
+
+c
5 7
5
7
τ g5x τ g7x
Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx =
+
+c
5
7
3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx
Luego: ∫ u 4 du + ∫ u 6 du =
Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx = ∫ co τ g 3 x(co sec2 x) co sec2 xdx
Como: cos ec 2 x = 1 + coτ g 2 x ; Luego:
∫ coτ g
3
x(1 + co τ g 2 x) co sec 2 xdx = ∫ co τ g 3 x co sec 2 xdx + ∫ coτ g 5 x co sec 2 xdx
Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx ,
u4 u6
coτ g 4 x coτ g 6 x
Luego: − ∫ u du − ∫ u du = − − + c = −
−
+c
4 6
4
6
co τ g 4 x coτ g 6 x
Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec 4 xdx = −
−
+c
4
6
3.22.-Encontrar: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx
3
5
Solución.- ∫ co τ g 3x co sec 4 3 xdx = ∫ coτ g 3x(co sec 2 3 x) co sec 2 3 xdx
∫ coτ g 3x(1 + coτ g
2
3x) co sec 2 3xdx = ∫ co τ g 3x co sec 2 3xdx + ∫ coτ g 3 3x co sec 2 3xdx
Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx ;
Luego:
1
1
u u
co τ g 3x co τ g 4 3x
udu − ∫ u 3du = − − + c = −
−
+c
3∫
3
6 12
6
12
coτ g 2 3x co τ g 4 3x
Respuesta: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx = −
−
+c
6
12
3.23.-Encontrar: ∫ co sec 4 2 xdx
2
−
4
2
Solución.- ∫ co sec 2 2 x co sec 2 2 xdx = ∫ (1 + coτ g 2 2 x) co sec 2 2 xdx
∫ co sec
2
2 xdx + ∫ coτ g 2 2 x co sec 2 2 xdx ;
Sea: u = coτ g 2 x, du = − cos ec 2 2 xdx
1 2
1
u3
coτ g 2 x coτ g 3 2 x
u du = − coτ g 2 x − + c = −
−
+c
2∫
2
3
2
6
coτ g 2 x coτ g 3 2 x
Respuesta: ∫ co sec 4 2xdx = −
−
+c
2
6
3.24.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx
Luego: ∫ co sec 2 2 xdx −
Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx = ∫ coτ g 2 x co sec2 x co τ gx co sec xdx
Como: co τ g 2 x = co sec 2 x − 1 ;
Luego: ∫ (co sec 2 x − 1) co sec 2 x co τ gx co sec xdx
= ∫ (co sec4 x co τ gx co sec xdx − ∫ co sec2 x coτ gx co sec xdx
Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx ;
65
