1) O documento apresenta a resolução de um mini-teste de topologia com 4 exercícios. 2) No primeiro exercício, é mostrado que a topologia τ definida sobre R não é metrizável. No segundo, que as topologias τ e τp definidas sobre R não são comparáveis. 3) Nos exercícios seguintes, são determinadas a topologia gerada por um sistema de conjuntos E sobre R, o interior de um conjunto A sobre um espaço X, e o fecho de um conjunto M sobre um produto topológico de espaços X e Y.

1. Faculdade de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
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Mini-Teste de Topologia. Correcção.
Duração: 45 minutos 15.04.2015
Todos os exercícios são para resolução detalhada, e todas as respostas têm que ser justicadas!
1. Em R consideremos a topologia padrão τp e a topologia τ = {∅} ∪ {U ∈ P(R): ]2, 5[ ⊆ U}.
a) (2 valores) Demonstre que a topologia τ não é metrizável.
b) (2 valores) Compare as topologias τ e τp na recta R.
Resolução: a) Usemos o método de redução ao absurdo. Suponhamos que topologia τ é
gerada pela métrica ρ. Pelo axioma (M1) da métrica ε = ρ(3, 4) 0. Consideremos a bola
aberta V = Bε(3). Pela construção, 3 ∈ V e 4 ̸∈ V . De outro lado, sabe-se que V ∈ τ,
e pela denição de τ temos ]2, 5[⊆ V , tal que 4 ∈ V . Da contradição obtida temos que a
topologia τ não é metrizável.
b) É claro que ]0, 1[∈ τp mas ]0, 1[̸∈ τ. Reciprocamente, [1, 7] ∈ τ mas [1, 7] ̸∈ τp. Então, as
topologias τ é τp não são comparáveis.
2. Consideremos em R o sistema de conjuntos E = { ]r, ∞[ : r ∈ Q }.
a) (4 valores) Verique se E é uma base de uma topologia em R.
b) (4 valores) Ache a topologia gerada pelo sistema de conjuntos E.
Resolução: a) Sim. Veriquemos as condições (B1)∗
e (B2)∗
do Critério 3.
É claro que X = ∪{U : U ∈ E}, então se cumpre a condição (B1)∗
.
Veriquemos (B2)∗
. Sejam U1, U2 ∈ E. Para alguns números racionais ri têm lugar Ui =
]ri, ∞[ (i = 1, 2). É claro que é valida uma das igualdades: U1 ∩ U2 = U1 ou U1 ∩ U2 = U2.
Então U1 ∩U2 é representável na forma de união dos elementos de E (união de um elemento).
Portanto, é válida a condição (B2)∗
.
b) Pela propriedade de base, E é base da topologia τ = τ(E) gerada por E. Segundo denição
da base, τ é constituída de todas as uniões dos elementos de E.
Observamos que ∅ é união vazia dos elementos de E e R é união de todos os elementos de E.
Outras uniões dos elementos de E são os conjuntos da forma ]a, ∞[. De outro lado, ∀a ∈ R
]a, ∞[= ∪
r∈Q, ra
]r, ∞[, então ]a, ∞[∈ τ. Temos, nalmente, τ = {∅, R} ∪ {]a, ∞[: a ∈ R}.
3. (4 valores) Ache o interior do conjunto A = [1, 2] ∪ {5} no espaço X = [0, 2] ∪ {5} dotado
da topologia induzida pela topologia padrão em R.
Resolução: O conjunto U =]1, 2] ∪ {5} é representável na forma A = V ∩ X onde V =
]1, 2 + δ[∪]5 − δ, 5 + δ[ com δ ∈]0, 1[, sendo que V é aberto em R. Pela denição, U é aberto
em X. Daqui e de U ⊆ A implica U ⊆ Int A.
∀ε 0 temos ]1−ε, 1+ε[∩X ̸⊆ A, então 1 ̸∈ Int A, e, respectivamente, Int A ⊆ A{1} = U.
Portanto, Int A = U =]1, 2] ∪ {5}.
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2. 4. (4 valores) Sejam X = {a, b}, τX = {∅, {b}, X}, Y = {1, 2, 3}, τY = {∅, {2}, Y }, e seja T o
produto topológico de (X, τX) por (Y, τY ). Ache o fecho do conjunto M = {(a, 3)} em T.
Resolução: É cómodo fazer esboço de T na forma de 2×3-matriz! Vamos usar as designações
curtas dos elementos de T, escrevendo tn em vez de (t, n). A base canónica B de τT é
B = {∅, {b} × {2}, {b} × Y, X × {2}, X × Y } = {∅, {b2}, {b1, b2, b3}, {a2, b2}, T}.
A topologia τT é constituída de todas as uniões dos elementos de B, i.e.
τT = {∅, {b2}, {b1, b2, b3}, {a2, b2}, {b1, b2, b3, a2}, T}.
Então, a família de conjunto fechados em T é
FT = {T, T {b2}, {a1, a2, a3}, {a1, b1, a3, b3}, {a1, a3}, ∅}.
M é mínimo conjunto do sistema FT que contém M, i.e., contem o elemento a3. Tal conjunto
é {a1, a3}. Portanto, M = {(a, 1), (a, 3)}.
Prof. Doutor Yury Nepómnyashchikh
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