3. Introduction
• Dans ce chapitre nous introduisons un concept, celui de graphe, qui permet de
modéliser et de résoudre de nombreux problèmes.
• L'utilisation des graphes est courante en tant qu'outil de représentation : par
exemple, le plan schématisé de rues, un arbre généalogique, la représentation
d'un réseau informatique sont des exemples de graphes
4. Optimisation
• L’optimisation est une branche des mathématiques cherchant à
analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les
problèmes qui consistent à déterminer le meilleur élément
(l’optimal) d'un ensemble, au sens d'un critère quantitatif donné (le
coût).
5. Optimisation
• L'optimisation est essentiellement un outil d'aide à la décision au sein
des entreprises, mais aussi pour des individus.
• Le terme « optimal » est souvent trompeur. Ce n'est pas un jugement
de valeur absolu. C'est plutôt une information sur l'approche
méthodologique utilisée
6. Optimisation
Les problème de flux : minimiser les coûts / le nombre de véhicules utilisés
Problèmes d’affectation : l’affectation des activités au personnel d’une entreprise en maximisant la
rentabilité de personnes;
L’investissement : maximiser le rendement, sans dépasser la somme disponible.
File d’attente : l’objet de l’optimisation est de déterminer le nombre de guichets qu’il convient de mettre
en place afin de limiter au maximum l’attente des clients.
Problème d’ordonnancement : établir l’ordre d’exécution des tâches afin de produire le maximum de
produits en un temps donné et de réduire le temps total de production d’un nombre donné de produits.
8. Historique
• La théorie des graphes est née en 1736 avec la communication
d'Euler (1707-1783) dans laquelle il proposait une solution au célèbre
problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736). Le problème posé
était le suivant:
9. Historique
• Deux îles A et D sur la rivière Pregel (la Pregolia) à Königsberg (aujourd'hui
Kaliningrad en Russie) étaient reliées entre elles ainsi qu'aux rivages B et C à
l'aide de sept ponts (a, b, c, d, e, f et g) comme le montre la figure.
10. Problématique
• A partir d'une terre quelconque A, B, C, ou D, traverser chacun des ponts une fois et
une seule et à revenir à son point de départ (sans traverser la rivière à la nage !).
• Problème identique à celui consistant à tracer une Figure géométrique sans lever le
crayon et sans repasser plusieurs fois sur un même trait.
11. Historique
• En 1847, Kirchhoff (1824-1887) découvrit la notion d'arbre (qui est un type
particulier de graphe n'ayant pas de cycle, i.e. dans lequel il est impossible
de revenir à un point de départ sans faire le chemin inverse) pour
l'appliquer à l'analyse de circuits électriques.
• Dix ans plus tard, Cayley (1821-1895) développa la théorie des arbres
12. Définition
Les graphes ont été apparus dans différentes situations concrètes où
interviennent des objets en interaction:
• Le trafic routier, ferroviaire, aérien
• Réseau de télécommunication
• Circuit électronique
Problème d’optimisation
14. Définition: un graphe
Un graphe G est un couple (X,U) qui décrit un ensemble d'objets X et
l’ensemble des liens entre eux U
• X est appelé l’ensemble des nœuds, ou des sommets du graphe.
• Un élément de U est un lien entre deux objets et appelé une arête ou arc
16. Graphe orienté
On dit que le graphe G est orienté si les éléments de U (les connexions entre les
sommets) sont orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés des arcs.
17. Graphe non orienté
On dit que le graphe G est non orienté si les éléments de U (les connexions entre
les sommets) sont non orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés
des arêtes.
23. Remarque:
Soit A={𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 } un ensemble de sommets On peut définir un
graphe par la relation binaire R:
𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 (𝑥𝑖, 𝑥𝑗) est un arc du graphe
𝑥1 R 𝑥2 , 𝑥2 R 𝑥1 , 𝑥2 R 𝑥3 et 𝑥3 R 𝑥1
24. Vocabulaire de la théorie des graphes
• On dit qu'un graphe est sans boucle si A ne contient pas d'arête de la
forme (x, x), c'est à dire joignant un sommet à lui même.
• Une boucle est un arc ou une arête reliant un sommet à lui-même
• Le nombre de sommets du graphe est appelé ordre du graphe.
25. Exemples de boucles dans un graphe
• Boucle dans un graphe non orienté:
• Boucle dans un graphe orienté:
26. Vocabulaire de la théorie des graphes
• Antécédents et successeurs:
Dans un graphe orienté, on distingue les sommets successeurs des sommets prédécesseurs :
27. Vocabulaire de la théorie des graphes
Antécédents et successeurs:
Un graphe peut être définit par l’ensemble de ses sommets et des
antécédents et de successeurs de chaque sommet
28. Vocabulaire de la théorie des graphes
Définition: degré d’un graphe
• Dans un graphe non orienté, Le degré d’un sommet est égal au nombre d’arêtes qui le
relient aux autres sommets.
• Les boucles sont comptées 2 fois (une fois par extrémité)
29. Vocabulaire de la théorie des graphes
Propriété:
• La somme des degrés de tous les sommets d’un
graphe est égal au double du nombre total d’arêtes.
Graphe 1
Pour le graphe 1, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(1), D(0), E(2), F(1), la
somme vaut 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 = 8.
Le nombre d’arêtes étant 4, la somme est bien le double du nombre total d’arêtes.
30. Vocabulaire de la théorie des graphes
Propriété:
• La somme des degrés de tous les sommets d’un
graphe est égal au double du nombre total d’arêtes..
Graphe 2
Pour le graphe 2, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(3) car la boucle
correspond à deux liaisons, D(0), E(2), F(1), la somme vaut 2 + 2 + 3 + 0 + 2 +
1 = 10.
31. Vocabulaire de la théorie des graphes
Définition: degré d’un sommet
Dans un graphe non orienté, le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes
incidentes à ce sommet
32. Définition: demi degré d ’un graphe
• Dans un graphe orienté, le demi-degré extérieur d’un sommet 𝒔𝒊 noté:
et il définit le nombre d’arcs partant de 𝒔𝒊
• Le demi-degré intérieur d’un sommet 𝒔𝒊 est noté
et il définit le nombre d’arcs arrivant à 𝒔𝒊
Vocabulaire de la théorie des graphes
34. Définitions
• Le cardinal de l’ensemble des sommets X (nombre de sommets de G)
est appelé ordre de G et est noté |X|
35. Vocabulaire de la théorie des graphes
Définition: Sommets adjacents
• 𝑥𝑖 R 𝑥𝑗, on dit que les sommets 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents
• 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents s’il y a un arc qui les relis
Remarque
• Si le graphe est non orienté, la relation binaire définie est symétrique :
𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 alors 𝑥𝑗 R 𝑥𝑖
36. Vocabulaire de la théorie des graphes
Exemple Sommets adjacents
A et B sont adjacents,
A et E ne le sont pas
37. Définitions
Si on indique un nombre sur chaque arc du graphe, on dit qu’on a un
graphe valué
Exemple:
38. Terminologie de graphes
• Un graphe non orienté est dit simple s’il ne comporte pas de boucle, et que dont
chaque couple de sommets est relié par au plus une arête c’est-à-dire il ne comporte
jamais plus d’une arête entre deux sommets.
• Un graphe non orienté qui n’est pas simple est un multigraphe.
• Exemple multigraphe
39. Exemples de graphes
• Un graphe complet est un graphe simple dont tout couple
de sommet est connecté (tous les sommets sont adjacents /
tous les sommets sont de degré n-1)
• Un graphe partiel d’un graphe orienté ou non est le graphe
obtenu en supprimant certains arcs ou arêtes.
• Un sous-graphe d’un graphe orienté ou non est le graphe
obtenu en supprimant certains sommets et tous les arcs ou
arêtes incidents aux sommets supprimés.
• Un graphe orienté est dit élémentaire s’il ne contient pas de
boucle
42. Vocabulaire de la théorie des graphes
Application
• Dessiner un graphe non orienté complet à 4 sommets. Quel est le degré
des sommets de ce graphe ? Combien d’arêtes possède-t-il ?
Généralisez ces résultats à un graphe simple complet ayant n sommets.
Ce graphe possède 6 arêtes et chaque sommet du graphe est de degré 3.
De façon plus générale, étant donné un graphe simple complet ayant n sommets, chaque
sommet étant relié aux n − 1 autres sommets, le degré de chaque sommet est n − 1.
43. Exercice
On considère le graphe orienté G = (S, A) tel que
S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 5),(4, 3),(5, 3)}
1. Représenter graphiquement ce graphe,
2. Donner le demi-degré extérieur de 2 et le demi-degré intérieur de 4,
3. Donner les sommets prédécesseurs de 4 et les sommets successeurs de 2,
4. Donner un graphe partiel et un sous-graphe de ce graphe.
46. • Les sommets d'un graphe seront représentés par des points de l'espace et
les arcs par des flèches allant d'un point à un autre, c'est ce qu'on appelle
la représentation sagittale du graphe
Sagittale
47. • Il s’agit d’une table à simple entrée où chaque ligne correspond à un sommet et
comporte la liste des successeurs (ou des prédécesseurs) de ce sommet.
A l’aide des
dictionnaires
61. Définitions
Chemin d'origine x et d'extrémité y:
On appelle "chemin d'origine x et d'extrémité y" une séquence d'arcs telle que :
- Le premier arc a pour origine x
- L'origine de tous les autres coïncide avec l'extrémité de l'arc qui le précède dans la
séquence
- Le dernier arc a pour extrémité y.
62. Exemple
La séquence u1, u5, u4 représente un chemin d'origine 1 et d'extrémité 3.
Ce chemin peut être décrit par la suite des sommets 1, 2, 4, 3.
66. Définitions
On retrouve ces différentes notions de cheminement dans les
graphes non orientés. Dans ce cas, on parlera de:
Chaîne au lieu de chemin,
Cycle au lieu de circuit.
Un graphe sans cycle est dit acyclique.
Chaîne, Cycle
67. Définitions
Une chaîne est une suite d’arêtes
dont chacune a une extrémité
commune avec l’arête précédente
Chaîne:
74. Un graphe non orienté est connexe si
chaque sommet est accessible à partir de
n’importe quel autre.
Le graphe ci-haut n’est pas connexe, car il n’existe pas de chaîne entre a et e.
En revanche, le sous-graphe défini par les sommets {a, b, c, d} est connexe.
Connexité:
Graphes Non Orientés
76. Un graphe orienté est fortement connexe s'il existe un chemin du sommet a au
sommet b et du sommet b au sommet a, quels que soient les sommets
représentés par a et b dans le graphe.
Un graphe orienté est faiblement connexe s'il y a un chemin entre n'importe
quelle paire de sommets dans le graphe si l'on ne considère plus l'orientation
des arcs.
Connexité:
Graphes Orientés
77. Exemple
Les graphes G et H présentés ci-contre
Sont-ils fortement connexes ?
Sont-ils faiblement connexes ?
Connexité:
Graphes Orientés
86. Arbre
Conséquences: Un arbre G vérifie une des conditions équivalentes suivantes :
G est connexe et acyclique
G est sans cycle et possède n − 1 arêtes
G est connexe et admet n − 1 arêtes
G est sans cycle, et en ajoutant une arête, on crée un et un seul cycle élémentaire,
G est connexe, et en supprimant une arête quelconque, il n'est plus connexe,
Il existe une chaîne et une seule entre 2 sommets quelconques de G.
89. Arborescence
Définition:
Soit un graphe orienté G=(S,A). G est une "arborescence" si :
G n'a qu'un seul point d'entrée (i.e. sommet n'ayant pas de prédécesseur), nommée
"racine" de l'arborescence ;
il existe un chemin, et un seul, de la racine à tout autre sommet du graphe.
91. Arborescence
Conséquences:
G ne peut pas contenir de circuit.
• Si x est un sommet appartenant à un circuit, alors :
• puisqu'il doit exister un chemin de la racine à x, il en existe donc une infinité (en passant
autant de fois que l'on veut dans le circuit) ; et donc puisqu'il y en a plusieurs, ce n'est pas
une arborescence.
Chaque sommet a un et un seul prédécesseur (sauf la racine qui n'en a aucun).
98. Définition graphe pondéré
• Un graphe pondéré G( V, E, ꙍ), est un graphe ou un entier positif est affecté
à chaque arête.
• On appelle cet entier poids de l’arête
99. Définition graphe pondéré
• Le poids ou coût d’un graphe est la somme des poids des arêtes du graphe
• On le note ꙍ (G)
Pour résoudre de nombreux problèmes concrets, on est amené à tracer sur le papier des petits dessins qui représentent (partiellement) le problème à résoudre. Bien souvent, ces petits dessins se composent de points et de lignes continues reliant deux à deux certains de ces points. On appellera ces petits dessins des graphes, les points des sommets et les lignes des arcs ou arêtes, selon que la relation binaire sous-jacente est orientée ou non.
