072 076-fracciones algebraicas unidad 6

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072 076-fracciones algebraicas unidad 6

  1. 1. Fracciones Algebraicas 73 Como el tiempo que tarda en recorrerlo es 3 2 + resulta v - 2 v 3 2 + = 1. v - 2 v A cada una de las expresiones 2 v - 2 y 3 v las llamaremos fracciones algebraicas. Liliana camina todas las mañanas 5Km en una hora. Los primeros 3Km los recorre a una velocidad constante v pero, ya cansada, recorre los últimos 2 Km a una velocidad de v-2 Km por hora. ¿Con qué velocidad camina en cada tramo? Recordemos que, en esta situación, el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la fórmula: e = v.t Espacio recorrido Velocidad con que recorre el tramo Tiempo que tarda en recorrerlo Primer tramo 3 v 3 v Segundo tramo 2 v - 2 2 v - 2 DEFINICIÓN Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) ¹Op(x) llamaremos fracción algebraica a toda P(x) expresión de la forma Q(x) . La indeterminada x podrá tomar aquí cualquier valor real siempre que dicho valor no anule al denominador. Como puedes observar toda expresión algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios. EJEMPLOS a) 3 + + 2x 1 2 x 2 - x b) ; x 3 x -3 ¹
  2. 2. Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones algebraicas y números fraccionarios. Simplificación de fracciones algebraicas Recordemos que: si a, b y r son números reales b ¹ 0 y r ¹ 0 entonces: 74 a .r EJEMPLO Si x ¹ 0 2 + a x 3 x 3 2 A las fracciones 15 ; 10 EJEMPLO a y ; (x -1) + x 3 a .r x3 - 2x2 + x 2 (x -1) ; (x -1) x (x -1) x ¹ 0 ; x ¹ 1 b b . r las llamamos fracciones equivalentes. Ejs: 25 3 6 ; 5 son fracciones equivalentes. x 2 x 2x + = + b b . r = En este caso decíamos que habíamos simplificado los factores comunes de la fracción. DEFINICIÓN Dada la fracción algebraica P(x) Q(x) ; Q(x) ¹ Op(x). Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales que: P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) ¹ Op(x). Luego se verifica que: M(x) N(x) M(x).d(x) N(x).d(x) P(x) Q(x) = = En este caso diremos que M(x) N(x) es una simplificación de la fracción algebraica P(x) Q(x) DEFINICIÓN Dos fracciones algebraicas P(x) Q(x) M(x) y N(x) son equivalentes si una de ellas es la simplificación de la otra.
  3. 3. OBSERVACIÓN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fracción equivalente a 75 P(x) a.d a = EJEMPLO Dadas las fracciones: c = x 3 2 + + c.b x 1 ; x -1 x 2 c y b ; x¹0; x¹1 Para escribirlas con igual denominador buscamos fracciones equivalentes a las dadas con esa propiedad x 2x - 3 x x 4 2 3 2 (x 3) (x - 1) (x 1) x (x 3 ) x 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x - x (x - 1) x x -1 x - x x (x -1) x + = + = + + = + = + x ¹ 0 ; x ¹ 1 Q(x) multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio H(x) ¹ Op(x). Me parece que son las mismas operaciones de números reales aplicadas a polinomios. Sí, deberíamos repasar el módulo I Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numéricas y algebraicas. Recordemos: Si a, b, c y d son números reales, b ¹0, d ¹ 0 y b ¹ d ; las fracciones d a se podían reducir a común denominador considerando dos fracciones equivalentes con igual denominador. b.d b d.b d Reducción a común denominador de fracciones algebraicas DEFINICIÓN Dadas las fracciones P(x) Q(x) M(x) y N(x) con Q(x) ¹ Op(x), N(x) ¹ Op(x) Las expresiones: P(x). N(x) Q(x).N(x) y M(x).Q(x) N(x).Q(x) son fracciones algebraicas equivalentes a las dadas con igual denominador. A Q(x) . N(x) se lo llama denominador común. Las fracciones algebraicas dadas fueron reducidas a común denominador.
  4. 4. Observación: Aunque cualquier denominador común es válido, las operaciones resultarán más sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores comunes el de menor grado. A este denominador se lo llama mínimo común denominador. Regla práctica para hallar el mínimo común denominador. · Se factorizan los polinomios de los 3 x ; x - 2 x +1 Suma y resta de fracciones algebraicas P(x).N(x) M(x) P(x) P(x)N(x) M(x)Q(x) 76 denominadores. · Se multiplican todos los factores diferentes. · Si existen dos factores con la misma base y distinto exponente es suficiente tomar como factor aquel que tiene mayor exponente. EJEMPLO Si debemos hallar el mínimo común denominador de las fracciones algebraicas: 2 2 2 x 3 ( x -1) (x -1 ) ; x debemos tener en cuenta los factores x3 y (x – 1)2 El mínimo común denominador es: x3 (x – 1)2 Recordemos: Dadas las fracciones numéricas a c y b b quedó definida: a c a ± c ± = b b b Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben escribir primero las fracciones con común denominador y luego operar. a ± = ± = ± a.d cb b.d c.b d.b a.d b.d c d b DEFINICIÓN Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas se deben reducir todas a denominador común y luego sumar o restar los polinomios de los numeradores. Dadas M(x) y N(x) P(x) Q(x) ;Q(x)¹Op(x); N(x)¹ Op(x) Q(x)N(x) M(x).Q(x) N(x).Q(x) Q(x).N(x) N(x) Q(x) ± = ± = ± = EJEMPLO: 29 40 24 5 40 1.5 8.5 3.8 5.8 1 8 3 5 = + + = + = EJEMPLO: Sea x ¹ 0 y x ¹ 1 2 2 2 x 1 x 3 4 2 (x 3)(x -1) x (x 1) x 2 x 2x -3 3 2 2 2 x - x x (x -1) x -1 x + + = = + + + = + + +

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