2. Fracciones Algebraicas
73
Como el tiempo que tarda en recorrerlo
es
3
2
+ resulta
v - 2
v
3
2
+ = 1.
v - 2
v
A cada una de las expresiones
2
v - 2
y
3
v
las llamaremos
fracciones algebraicas.
Liliana camina todas las mañanas 5Km
en una hora.
Los primeros 3Km los recorre a una
velocidad constante v pero, ya cansada,
recorre los últimos 2 Km a una velocidad
de v-2 Km por hora.
¿Con qué velocidad camina en cada
tramo?
Recordemos que, en esta situación, el
espacio recorrido se relaciona con la
velocidad y el tiempo por la fórmula:
e = v.t
Espacio
recorrido
Velocidad
con que
recorre el
tramo
Tiempo que
tarda en
recorrerlo
Primer
tramo
3 v
3
v
Segundo
tramo
2 v - 2
2
v - 2
DEFINICIÓN
Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) ¹Op(x)
llamaremos fracción algebraica a toda
P(x)
expresión de la forma
Q(x)
.
La indeterminada x podrá tomar
aquí cualquier valor real siempre
que dicho valor no anule al
denominador.
Como puedes observar toda
expresión algebraica racional
puede expresarse como
cociente de polinomios.
EJEMPLOS
a)
3
+
+
2x 1
2
x 2
- x
b) ; x 3
x -3
¹
3. Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones
algebraicas y números fraccionarios.
Simplificación de fracciones algebraicas
Recordemos que: si a, b y r son
números reales b ¹ 0 y r ¹ 0 entonces:
74
a .r
EJEMPLO
Si x ¹ 0
2
+
a
x 3 x
3 2
A las fracciones
15
;
10
EJEMPLO
a
y
; (x -1)
+
x 3
a .r
x3 - 2x2 + x 2
(x -1)
;
(x -1)
x (x -1)
x ¹ 0 ; x ¹ 1
b
b . r
las
llamamos fracciones equivalentes.
Ejs:
25
3
6
;
5
son fracciones
equivalentes.
x 2
x 2x
+
=
+
b
b . r
=
En este caso decíamos que habíamos
simplificado los factores comunes de la
fracción.
DEFINICIÓN
Dada la fracción algebraica
P(x)
Q(x)
; Q(x) ¹ Op(x).
Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio
d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales
que:
P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) ¹ Op(x).
Luego se verifica que:
M(x)
N(x)
M(x).d(x)
N(x).d(x)
P(x)
Q(x)
= =
En este caso diremos que
M(x)
N(x)
es una simplificación de
la fracción algebraica
P(x)
Q(x)
DEFINICIÓN
Dos fracciones algebraicas
P(x)
Q(x)
M(x)
y
N(x)
son equivalentes si una de ellas es la
simplificación de la otra.
4. OBSERVACIÓN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fracción
equivalente a
75
P(x)
a.d
a
=
EJEMPLO
Dadas las fracciones:
c
=
x 3 2
+ +
c.b
x 1
;
x -1
x
2
c
y
b
; x¹0; x¹1
Para escribirlas con igual denominador
buscamos fracciones equivalentes a las dadas
con esa propiedad
x 2x - 3
x x
4 2
3 2
(x 3) (x - 1)
(x 1) x
(x 3 )
x 1
2 2 2
2
3 2
2
2 2
x - x
(x - 1) x
x -1
x - x
x (x -1)
x
+
=
+
=
+
+
=
+
=
+
x ¹ 0 ; x ¹ 1
Q(x)
multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio
H(x) ¹ Op(x). Me parece que son las
mismas operaciones de
números reales aplicadas a
polinomios.
Sí, deberíamos repasar
el módulo I
Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numéricas y
algebraicas.
Recordemos:
Si a, b, c y d son números reales, b ¹0,
d ¹ 0 y b ¹ d ; las fracciones
d
a
se
podían reducir a común denominador
considerando dos fracciones
equivalentes con igual denominador.
b.d
b
d.b
d
Reducción a común denominador
de fracciones algebraicas
DEFINICIÓN
Dadas las fracciones
P(x)
Q(x)
M(x)
y
N(x)
con Q(x) ¹ Op(x), N(x) ¹ Op(x)
Las expresiones:
P(x). N(x)
Q(x).N(x)
y
M(x).Q(x)
N(x).Q(x)
son
fracciones algebraicas
equivalentes a las dadas con igual
denominador.
A Q(x) . N(x) se lo llama
denominador común.
Las fracciones algebraicas
dadas fueron reducidas a
común denominador.
5. Observación: Aunque cualquier denominador común es válido, las operaciones
resultarán más sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores
comunes el de menor grado.
A este denominador se lo llama mínimo común denominador.
Regla práctica para hallar el mínimo
común denominador.
· Se factorizan los polinomios de los
3 x
;
x - 2
x +1
Suma y resta de fracciones algebraicas
P(x).N(x)
M(x)
P(x)
P(x)N(x) M(x)Q(x)
76
denominadores.
· Se multiplican todos los factores
diferentes.
· Si existen dos factores con la misma base
y distinto exponente es suficiente tomar
como factor aquel que tiene mayor
exponente.
EJEMPLO
Si debemos hallar el mínimo
común denominador de las
fracciones algebraicas:
2
2
2 x 3 ( x -1)
(x -1 )
;
x
debemos tener en cuenta los
factores x3 y (x – 1)2
El mínimo común denominador
es:
x3 (x – 1)2
Recordemos:
Dadas las fracciones numéricas
a
c
y
b
b
quedó definida:
a c
a ±
c
± =
b
b
b
Si las fracciones tienen distinto
denominador, se deben escribir
primero las fracciones con común
denominador y luego operar.
a ± = ± = ±
a.d cb
b.d
c.b
d.b
a.d
b.d
c
d
b
DEFINICIÓN
Para sumar o restar dos o más fracciones
algebraicas se deben reducir todas a
denominador común y luego sumar o restar
los polinomios de los numeradores.
Dadas
M(x)
y
N(x)
P(x)
Q(x)
;Q(x)¹Op(x); N(x)¹ Op(x)
Q(x)N(x)
M(x).Q(x)
N(x).Q(x)
Q(x).N(x)
N(x)
Q(x)
±
=
± = ± =
EJEMPLO:
29
40
24 5
40
1.5
8.5
3.8
5.8
1
8
3
5
=
+
+ = + =
EJEMPLO:
Sea x ¹ 0 y x ¹ 1
2 2 2
x 1
x 3
4 2
(x 3)(x -1) x (x 1)
x 2 x 2x -3
3 2
2
2
x - x
x (x -1)
x -1
x
+ +
=
=
+ + +
=
+
+
+
