2. UBICACIÓN DEL TEMA
continuidad
y = f (x) lim f (x)
x 0
derivada de una función
Integral definida
b f’(x)
integral indefinida
f(x) dx
f(x).dx
a APLICACIONES
Teoremas F.del C
Integral (R.Barrow)
APLICACIONES Varignón
DE LA INTEGRAL DEFINIDA
C.G
GEOMÉTRICAS FÍSICAS
Ixx
ÁREA
volumen Long.curva presión trabajo Steinner
3. SITUACION PROBLEMÁTICA
2m
Se desea cubrir el contrafrente
del galpón cuya sección y
medidas se indican. Determine el
costo de hacerlo, si se utilizarán
chapas que cuestan $35. el m2.
4. SITUACION PROBLEMÁTICA
Se desea colocar una mampara vidriada en los accesos a la pérgola que se indica. La forma, sección y medidas se
indican el croquis que se adjunta. Determine la cantidad de vidrio necesario (m2)
5. En el terreno libre de la FAU, adyacente a los talleres, se va a construir un
galpón que servirá de depósito de los elementos empleados en el Proyecto
Bambú. Se desea cubrir con chapas el contrafrente del galpón, cuya
estructura de cubierta está formada por arcos de filigrana con arco superior
de forma parabólica. De acuerdo al análisis de necesidades, las medidas
adecuadas son las indicadas en el gráfico.
4m
3m
8m
Se pide que calcule, en m2 , la superficie a cubrir.
6. AREA DE UNA REGIÓN PLANA
Demostración
Consideremos una región R del
plano limitada por el eje de las
y= f(x)
abscisas (en este caso x), las rectas
x = a y x = b y la curva y= f(x),
R
grafica de una función f(x)
continua y positiva en el intervalo a b
cerrado [a,b]
7. Realicemos una partición regular de [a, b]
b a
P a x , x ,...,x , x ,...x , x
n 0 1 i-1 i n 1 n b
La misma divide al intervalo en n
subintervalos cerrados de igual longitud.
[a = x0, x1], [x1, x2],… [xn-2, xn-1], [xn-1, xn = b]
También consideremos puntos c a cada
subintervalo, así:
c1 a, x1
a=x0c1 x1 c2 x2 xi-1ci xi xn-1 cn xn=b
c2 x2,x3
.
.
.
cn xn-1,xn
8. Para determinar una aproximación del área
de la región R consideramos una serie de
rectángulos R1,…Rn ,
• cuyas bases son los subintervalos antes
f(c1) f(c )
definidos f(c2) 3 f(c4)
f(ci)
x0 ,x1 , x1 ,x2 ,…, xi-1,xi ,…, xn-1 ,xn
f(cn)
Δx1 Δx2 Δxi=xi-xi-1 Δxn x1 x2 x3 xi xn
• y cuyas alturas están dadas por el valor de f(x) en los puntos ci del
subintervalo considerado.
El área de cada rectángulo Ri es :
A(Ri)= f(ci) . Δxi
9. La suma de las medidas de áreas de los n rectángulos nos da una
aproximación del área de la región R:
A( R) f(c1) .Δx1 + f(c2) .Δx2 + … + f(ci) .Δxi + … + f(cn) . Δxn
La cuál podemos expresar:
n
A f (c i ) x i
i 1
SUMA DE RIEMMAN
10. Para mejorar esta aproximación de la
medida del área de la región, A(R),
aumentamos la cantidad de
rectángulos:
Si repetimos este procedimiento
(n ), en cada paso tendremos una
mejor aproximación a la medida del
área
A(R) y así se llegara hasta un valor límite
que no es otra cosa que el ÁREA DE LA
REGIÓN R.
Simbólicamente n
A( R) lim
n
f (c i ) x i
i 1
11. Si este limite existe se le asigna un nombre: INTEGRAL DEFINIDA DE f en [a,b],
y una notación especial:
b n
f ( x)dx lim f(c ). x
n i 1 i i
a
Con lo que la expresión (1) queda
b
A f ( x).dx
a
12. Sea una función f continua y positiva en el
intervalo cerrado [a,b], la medida del área
de la región R del plano, acotada por la
grafica de la función y = f(x), el eje x y las
rectas x = a y x = b está dada por
y=f(x)
b
A f ( x).dx
a
a b
13. ÁREA ENTRE CURVAS
El área de la región encerrada por las y
funciones y= f(x) y y= g(x) en el intervalo
y=f(x)
cerrado [a,b] está dada por
f(x)-g(x)
b
A f ( x) g ( x) .dx
a y=g (x)
a x b x
14. CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA
Masa de la sección plana
Medida del área
de la región
M .V M .A plana R
Masa de la
sección plana Densidad
Momento de masa
Mx M .y My M .x
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
x M
Mx My
y x y
M M
15. Masa de la región
Mi . Ai . f(ci) . x i f(ci)
xi
n
M . f(ci) . x i
1
b
y=f(x)
M . f ( x) dx
a M
a b
16. Momento de masa 1
Mxi M i . yi
M i . f(ci)
2
1 1 2 f(ci)
Mxi . f (ci). xi . f(ci) . f (ci) . xi
2 2 yi
xi
n
1 2
Mx . f(ci) . x i b b
2 1 2
Mx . f ( x) dx My . x. f ( x) dx
a a
CENTROIDE DE LA REGIÓN PLANA
b
My 1
x x. f ( x)dx y=f(x)
M Aa
x
b
Mx 1 2 y
y f ( x) dx
M 2A a a b
17. Determine, aplicando integrales, el centroide de un triángulo de base
b y altura h. Verifique con geogebra.
Ecuación de la recta que determina la sección plana:
h
y x h
b
integrales
Medida del área de la sección plana: b. h
geometría A
2
Coordenadas del centroide:
b b
1 2 h 1
x x. f ( x)dx x. h x dx b
Aa b.h 0 b 3
b b 2
1 2 1 h 1
y f ( x) dx . h x dx h
2A a b.h 0 b 3
18. TEOREMA DE VARIGNÓN
El momento estático de la resultante de dos o mas fuerzas concurrentes
respecto a un punto contenido en el plano de las mismas, es igual a la
suma algebraica de los momentos estáticos de las fuerzas componentes
con respecto al mismo punto.
R. x F1.x1 F2.x2
Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante
y trabajamos con secciones planas de área A podremos
x R=F1+ F2 emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO
x1 F 1 DE GRAVEDAD de figuras planas:
x2 F2
n n
A .x A .y
1
i i 1
i i
xg n
yg n
A A
1
i 1
i
19.
20. TEOREMA DE STEINER
El momento de inercia de un sólido rígido x
respecto a cualquier eje paralelo a un eje x
d
que pasa por el centro de masa, es igual
al momento de inercia con respecto al eje
que pasa por el centro de masa más el
producto de la masa por el cuadrado de
Ix x Ig m.d2
la distancia entre los dos ejes:
En el caso de secciones rectangulares:
x
Ix x Ig A.d2
d
h x
b.h3
b
Ix x b.h.d2
12
21. Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda
consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su
sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y
determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica.
Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma:
40
20
10 20
La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su
forma es mas apta para el trabajo de flexión.
22. INTEGRAL DEFINIDA
Sea una función f definida en el intervalo y
cerrado [a,b], la INTEGRAL DEFINIDA de f
b
en [a, b] simbolizada por f ( x)dx y=f(x)
a
está dada por:
0 a b x
b n
f ( x)dx lim f(c ). x
n i 1 i i
a
Si el límite existe
23. FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
SEGUNDO TEOREMA
Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y
F(x) es una primitiva particular de f(x) en [a , b]
entonces
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
