3. INTRODUCCION
El presente trabajo tiene como objetivo principal, ayudar a todas aquellas
personas con conocimientos limitados de Estadística y Economía, especialmente
a los alumnos involucrados en esta cátedra. Aportándoles una herramienta que les
proporcione un conocimiento básico de la Econometría.
A lo largo de mi experiencia docente en la Escuela Nacional de
Administración y Hacienda Pública I.U.T, y en la Universidad Santa María, he
observado con preocupación lo difícil y problemático que le resulta al
estudiantado, el inicio del estudio de la Econometría.
Entre los factores que explican esta situación, destacan la deficiencia que
traen algunos alumnos en materias imprescindibles para el estudio del tema, como
son la Estadística y la Economía. La Econometría involucra todo un bagaje de
nuevo vocabulario que dificulta en una primera etapa su entendimiento.
Esta investigación documental, ha aprovechado la claridad de algunos
autores para tratar algunos temas específicos y mi experiencia enseñando la
materia, para lograr un texto donde se combinen los fundamentos teóricos
básicos de la Econometría con unos ejemplos prácticos, que permitan ver en una
forma sencilla sus aplicaciones, usando en varios de ellos el Software
economètrico Eviews 3.1..
Es importante señalar que este trabajo, de ninguna manera sustituye a un
libro de texto de la materia, debido a que en el mercado existen muchos de una
excelente calidad. Igualmente tampoco pretende que el alumno, mediante su
lectura, pueda prescindir de las clases presénciales.
Finalmente, quiero agradecerle a la Escuela Nacional de Administración y
Hacienda Pública I.U.T. por haberme invitado como profesor de la materia durante
los años 2000 y 2001, y a la Universidad Santa María, lo cual me permitió ordenar
mis apuntes, fuente de este trabajo.
3
4. CONTENIDO
I INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO (TECNICAS CLASICAS)
1.. Características y análisis de una serie de tiempo.
2. Técnicas elementales de estimación con tendencia.
3. Metodología del filtro de Hodrick–Prescott.
4. Indicadores o medidas de error.
II MODELOS AR, MA, ARMA, ARIMA y FUNCION DE TRANSFERENCIA
1. Procesos Estocásticos.
2. Caminata Aleatoria,
3. Estacionariedad,
4. Raíces unitarias, operador diferencia y orden de integración de una serie de
tiempo
5. Prueba de estacionariedad basada en el correlograma.
6. Prueba de raíz unitaria sobre estacionariedad – prueba DICKEY – FULLER
(ADF).
7. Prueba de PHILLIPS-PERRON (test PP)
8. Estacionalidad.
9. Modelo Autorregresivo de orden p (AR(p)).
10. Modelo de promedio móvil de orden q (MA(q)).
11. Modelo Autorregresivo de promedio móvil (ARMA(p,q)).
12. Modelo Autorregresivo integrado de promedio móvil (ARIMA(p,d,q)).
13. Metodología de Box-Jenkis.
14. Modelos fe función de transferencia.
III. MODELOS DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)
.
IV: COINTEGRACION Y MODELO DE VECTOR DE CORRECIÒN DEL ERROR
(VEC)
1. Cointegración.
2. Modelo de vector de corrección del error (VEC).
3. Test de Cointegración de JOHANSEN:
V: MODELOS AUTORREGRESIVOS CON HETEROCEDASTICIDAD
CONDICIONAL (ARCH)
BIBLIOGRAFIA
4
5. CAPITULO I
INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO
TECNICAS CLASICAS
Una serie de tiempo es un conjunto de datos estadísticos, recopilados, observados
o registrados a intervalos regulares y ordenados en el tiempo. Las técnicas de
estimación de series tienen como objetivo primordial el control y el pronóstico de
las variables con periodicidad subanual
Esta técnicas no se basan en ninguna teoría económica, a diferencia de los
modelos econométricos, sino que parten del supuesto de que una serie de tiempo
se puede descomponer en cuatro componentes:
a) La tendencia, el cual es un movimiento regular de la serie a largo plazo.
b) Las variaciones estacionales:, que son oscilaciones a corto plazo de
periodo regular, menor o igual a un año.
c) Variaciones cíclicas: movimientos a mediano plazo en torno a la
tendencia, cuyo período y amplitud presentan cierta regularidad.
d) Variaciones irregulares: recoge la influencia que ejercen sobre la serie
circunstancias aleatorias y accidentales.
Las técnicas de estimación se basan en descomponer una serie de tiempo, es
decir, en determinar los cuatro componentes básicos.
A continuación se presenta un cuadro 1 donde se hace una comparación entre las
series de tiempo y los modelos econométricos, así como un cuadro señalando las
ventajas y desventajas de cada uno.
1
Tomado de: Blanco, Carlos. “Convergencia de las Técnicas de Series de Tiempo con los Métodos
Econométricos”. Mimeo. Banco Central de Venezuela,. Departamento de Apoyo Cuantitativo.
Caracas. 1997
5
6. SERIES DE TIEMPO MODELOS ECONOMETRICOS
Se basan exclusivamente en la Se basan tanto en la información
información muestral, por tanto no muestral como en la teoría
impopnen restricciones. Teóricamente económica, la cual impone
son menos eficientes que los modelos restricciones que pueden ser
econométricos. subjetivas
se usan para control, pronostico,
simulación y e nanálisis estructural
Se usan para Control, pronóstico y el
estático y dinámico. Para medir la
análaisis coyuntural dinámico
influencia de cada una de las
variables incluidas en el sistema.
VENTAJAS DESVENTAJAS
Son mas económicos en términos de información, Requieren de información subanual,
ya que las variables se expresan en función de si aunque posrían utilizarse en series anuales
misma
Series de Requieren menos dominio de la teoría económica No recogen los puntos de cambio
Tiempo adecuadamente
Son eficientes en el pronóstico a corto plazo Se pierde información de largo plazo
Tratamiento muy satisfactorio de los errores. Reqieren del juicio para determinar si un
proceso es o no integrado.
Los componentes del modelo son estocásaticos Análisis parcial
Facilitan el análisis de causalidad El pronóstico de corto plazo no es óptimo
por lo complejo de la dinámica
Describen la estructura económica y la relación Son mas complejos y exigen más
entre dos o mas variables conocimiento de la teoría
Modelos Dan mayor coherrencia a los pronósticos de Implican un mayor volumen de información
econométricos mediano plazo
Recogen bastante bien los puntos de cambio tratamiento insastifactorio de los errores
Análisis global es posible Grado de intetfración no concluyente
El método más utilizado en el estudio de una serie de tiempo es el Modelo
Multiplicativo, el cual supone que el valor de los datos originales es el producto de
los cuatro componentes como sigue:
6
7. Modelo Multiplicativo Yt Tt x Et x Ct x I t
Yt Serie temporal en estudio, f (t )
Tt Tendencia
Et Variación estacional
Ct Variación cíclica
I t Variación Irregular
El objetivo principal del estudio de una serie de tiempo es proporcionar buenos
pronósticos o predicciones de futuros valores de la serie a partir de valores
pasados
El método clásico que se utiliza es primeramente estimar la tendencia a través de
las medias móviles o el alisado exponencial para luego realizar la proyección de
tendencia ajustada por variaciones estacionales. Este método se puede
esquematizar en los siguientes pasos:
a) Captar los componentes de tendencia y ciclo a través del método de las
medias móviles o otra metodología.
b) Cálculo de los factores estacionales y desestacionalizar la serie original.
c) Determinar la regresión lineal de tendencia través del método de los
mínimos cuadrados para describir el movimiento medio subyacente a
largo plazo de la serie de tiempo.
d) Bajo la suposición de que dicha tendencia se mantendrá en el futuro, se
utiliza la ecuación anterior para obtener las proyecciones
desestacionalizadas deseadas y se obtienen las proyecciones finales al
multiplicar cada uno de los resultados obtenidos anteriormente a través
de la línea de regresión lineal por su respectivo factor estacional.
En el presente capítulo se tratarán las técnicas clásicas de estimación de series de
tiempo, dejando para capítulos posteriores las técnicas avanzadas.
7
8. TECNICAS DE ESTIMACION DE SERIES DE TIEMPO
Medias Móviles
Alisado Exponencial
Clásicas
Alisado con Tendencia
Ajuste Estacional
Modelos AR, MA, ARMA y ARIMA
Avanzados Vectores Autorregresivos (VAR)
Vector de Corrección del Error (VEC)
1. CARACTERISTICAS Y ANALISIS DE UNA SERIE DE TIEMPO 2
Una serie temporal es una sucesión de vectores observados de una variable en
momentos del tiempo diferentes. Los datos de la serie aparecen ordenados
cronológicamente, esto supone distintas repercusiones entre Xt y Xt-1, de forma
que el comportamiento futuro de la serie se puede extrapolarse en función de sus
valores pasados. También nos encontramos con determinados efectos, conocidos
como problemas de calendario, que se refiere a la diferente incidencia de
acontecimientos que pueden variar de fecha. Por ejemplo. Cuando trabajamos con
seriares de tiempo de frecuencia mensual podemos comprobar la repercusión que
tiene en el análisis de la serie el hecho que la “Semana Santa” caiga en el mes de
marzo o en el mes de abril. Incluso la propia movilidad de los días, que conduce a
las fechas festivas puedan caer un día laborable o en fin de semana, tiene distinta
casuística, así como los festivos en lunes o martes pueden conllevar a los
llamados “puentes”. Otro criterio a considerar es la deflación de los valores de la
serie, pues si realmente queremos analizar la evolución de una serie, medida en
bolívares, es conveniente aislar el efecto de los precios y no siempre podemos
encontrar el deflactor más apropiado para ello. Adicionalmente, debemos
considerar las posibles incidencias de los cambios en los criterios de
contabilización. Dado que el principal origen de los datos es la encuesta, un
cambio en la selección muestral afecta considerablemente los resultados,
provocando problemas de enlace de la serie.
Al plantearse el análisis de series de tiempo, se pueden distinguir dos enfoques
diferentes, según la información que se utilice:
2
Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.166
8
9. a) Enfoque univariante, se refiere a los datos históricos de la serie de
tiempo, es decir, a la autoproyección. Supone que la información pasada
contenida en la serie es suficiente para realizar predicciones. Este
enfoque consiste en describir las pautas de regularidad que sigue cada
uno de los componentes de la serie.
b) Enfoque multivariante, se basa en las relaciones existentes entre dos o
mas series temporales.
Además, se pueden distinguir varios componentes en una serie de tiempo:
Tendencia: es el movimiento regular a largo plazo. La tendencia se explica por
alguna función del tiempo. La tendencia se suele describir mediante alguna
funciòn del tiempo. El tiempo en si no rs una variable que explique otra cosa
que la existencia d una evolución regular, pero, si no hay motivos para pensar
que esa regularidad deje de mantenerse en el futuro, la función de tendencia
puede ser util para realizae predicciones.
Componente cíclico: fluctuaciones a medio plazo en torno a la tendencia, Se
determina después de eliminar tendencia y estacionalidad. No hay métodos
fiables de aplicación mecánica para proyectar el comportamiento cíclico debido
a la relativa irregularidad de su comportamiento.
Componente estacional: oscilaciones a corto plazo de período regular, inferior
al año y amplitud regular. Al tener carácter oscilatorio, queda determinado por
su periodo y amplitud. En la práctica sulen calcularse indices de estacionalidad
que se aplican a la tendencia, por lo general, en forma multiplicativa
Componente irregular: parte residual de la serie cuando se eliminan los
componentes anteriores.
9
10. DESCOMPOSICIÓN DE LOS DATOS
DE SERIES DE TIEMPO
La descomposición de la serie puede realizarse de tres formas diferentes.
Modelo aditivo: X t Tt C t Et I t
Modelo Multiplicativo: X t Tt * C t * Et * I t
Modelo Mixto: X t Tt * (1 C t ) * (1 Et ) I t
En la práctica, resulta difícil poder aislar adecuadamente los distintos
componentes de la serie; y en el caso de la descomposición se realice con éxito,
suele presentarse con mayor frecuencia el Modelo Multiplicativo.
Esta descomposición de la serie nos conduce a la consideración de dos enfoques
distintos en el análisis de las series de tiempo, según la importancia que se
conceda al componente irregular.
Enfoque Clásico o determinista: que establece que el componente irregular es
una desviación de una pauta de comportamiento sistemática.
Enfoque moderno o estocástico: que establece que e término irregular (azar)
no es una desviación momentánea, sino que es una sucesión de impulsos que
cuentan en el futuro movimiento del sistema.
Aparte de las consideraciones diferentes sobre el término de error o pauta
irregular entre ambos enfoques, el moderno no presta tanta atención como el
clásico a la diferenciación de los cuatro componentes de las series de tiempo.
10
11. En la práctica, lo habitual es distinguir en una serie los componentes de tendencia
y estacionalidad, donde además, se considera que esta última sigue un proceso
multiplicativo. Para analizar estas dos características. En una serie de tiempo, se
ha seleccionado los datos mensuales del índice de ventas al comercio al menor a
precios constantes (1994=100) de la economía española para el período
comprendido entre enero de 1995 y diciembre de 1998.
INDICE DE VENTAS DEL COMERCIO
AL MENOR
1994=100
1995 1996 1997 1998
ENE 101.684 101.743 102.661 108.149
FEB 82.712 85.799 82.978 85.679
MAR 94.665 92.018 89.527 93.303
ABR 91.333 90.851 94.226 96.863
MAY 97.133 93.858 96.261 102.144
JUN 98.733 944.407 94.382 101.962
JUL 104.260 103.603 105.156 113.154
AGO 92.082 90.698 90.961 95.141
SEP 99.904 96.096 98.168 103.557
OCT 98.733 100.762 102.545 109.875
NOV 95.580 93.643 94.367 99.527
DIC 126.772 123.248 129.456 133.554
FUENTE: INE. España.
11
12. .
Primeramente visualizamos el gráfico de la serie de tiempo, lo cual nos permite
observar la evolución temporal de la misma.
La observación del gráfico de la serie VENTAS nos permite apreciar la presencia
de un componente de estacionalidad clara en la serie, identificada en las subidas
que se presentan en los meses de diciembre respecto al comportamiento medio
de los meses restantes. Esto significa que en el último mes del año se comprueba
una mayor compra de bienes y servicios en comparación con la que cabría
12
13. esperar en meses anteriores.. Por otra parte, la evolución general de la serie, es
decir, a medio/largo plazo, nos muestra una tendencia creciente en torno ala cual
fluctúan los valores de la serie.
Para la aplicación de determinadas técnicas de predicción, en particular las
denominadas clásicas. Y en situaciones con historia (medias móviles y algunos
tipos de alisados exponenciales) debemos proceder, previamente, a la
transformación de los datos de la serie, para aislar la tendencia y la
estacionalidad.
Dado que la serie presenta tendencia y estacionalidad, se procede a la
transformación de la misma. En primer lugar, se comienza con la
desestacionalización de la serie, procedimiento que consiste en la obtención de un
factor de estacionalidad propio para cada mes.
En general hay dos métodos de ajuste estacional o desestacionalización:
multiplicativo y aditivo. Los métodos multiplicativos son apropiados cuando la serie
puede descomponerse en el producto de un componente de tendencia y otro
estacional. Además, los métodos multiplicativos sólo pueden aplicarse cuando la
serie presenta siempre valores positivos, es decir una serie con valores negativos
habría que optar por un procedimiento aditivo de desestacionalización
En nuestro caso, dado que todos los valores son positivos, supondremos un
planteamiento multiplicativo de descomposición de la serie de tiempo..
De esta forma, la serie original (VENTAS) será igual a una serie
desestacionalizada (SVENTAS) multiplicada por un factor estacional (FACTOR):
VENTAS = SVENTAS x FACTOR
Lo que significa que obtendremos la serie desestacionalizada (SVENTAS)
dividiendo los datos de la serie original entre un factor que contiene 12 datos
mensuales (uno diferente para cada mes).. Para realizar esta operación, en el
menú principal de Eviews, seleccionamos QUICK /SERIRES STATISTICS /
SEASONAL ADJUSMENT:
13
14. e indicamos que vamos a trabajara sobre la variable ventas
A continuación, aparece el siguiente cuadro de diálogo, en el que seleccionamos
el métdo de desestacionalización (Adjustment Method), indicamos el nombre para
la variable desestacionalizada (Adjusted Series) y para el factor (Factors).
Seleccionamos el método de mediad móviles (Ratio to moving average-
Multiplicative). Nombramos a la serie desestecionalizada como SVENTAS, aunque
Eviews nos proporciona ppor defecto un nombre, que se corresponde con el de la
14
15. serie original seguido de las letras SA. Al factor que calcula el programa lo
llamamos, simplemente FACTOR.
Como rersultado se muestra una pantalla en la que podemos observar los datos
del factor estacional calculado, dfonde se aprecia que se trata de valores en torno
a la unidad, siendo el valor más alto, el correspondiente al mes que presentaba
inicialmente estacionalidad (diciembre),
Dado que Eviews ha generado la nueva serie desestacionalizada (SVENTAS) se
puede visualizar un gráfico de la misma.
El gráfico de la serir SVENTAS mustra fluctuaciones que ya no se corresponden
con la estacionalidad, puesto aque ha sido corrergida, y como es lógicosigue
presentando tendencia. Una forma sencilla, y la mas empleada para corregir la
15
16. tendencia consiste en la aplicación en primeras diferencias de la serie. Se basa en
calcular una serie z t obtenida como:
z t y t y t 1 y
Si al representar graficamente una serie, z t , comprobamos que oscila alrededor
del mismo valor, entonces tendríamos que se trata de la serie original sin
tendencia. Si z t crece o decrece a largo plazo, entonces aún presenta tendencia y
habría que volver a diferenciar, es decir, proseguiriamos calculando ahora la
segunda diferencia:
z t z t z t 1 ( y t y t 1 ) ( y t 1 y t 2 ) y t 2 y t 1 y t 2 y t 2 y t
y, en caso necesario, seguiriamos diferenciando, teniendo en cuenta que en cada
diferenciación perdemos una observación. En cualquier caso, lo habitual es que
con una primera diferencia la serie ya fluctue en torno al mismo valor, es decir, ya
no presente tendencia y, como mucho, se realizaría una asegunda diferencia.
Para eliminar la tendencia de la serie SVENTAS, ya corregida de estacionalidad,
selecionamos en el menú QUICK / GENERATE SERIES y escribimos la operación
a realizar, generando una nueva serie DSVENTAS a partir de las primeras
diferencias de SVENTAS.
16
17. Se consigue el mismo resultado si escribimos directamente en la ventana de
comandos
podemos visualizar un gráfico de la nueva serie DSVENTAS, serie sin
estacionalidad y sin tendencia. Para comprobar que los datos de la serie
transformada fluctúan en torno a un mismo valor, calculamos la media de esta
serie generando (GENR) una variable media, tal que
En el gráfico representamos la serie DSVENTASy su valor medio (MEDIA).
17
20. El gráfico sugiere una oscilación de los valores de la serie DSVENTAS en torno al
valor medio, por lo que podemos considerarla ya como una serie sin tendencia.
Finalmente, y a modo de comparación, se ha desestacionalizado la serie original
VENTAS, con otro procedimiento de los disponibles en Eviews: el método
CensusX11, método estándar de desestacionalización del U.S. Bereau of the
Census, que puede aplicarse a serires mensuales y trimestrales con el requisito de
disponer como mínimo de cuatro años completos de datos. Este método presenta,
adicionlamente, una restricción de volumen de información, pues el máximo de
datos para una serie mensual debe ser de veinte años y de treinta si se trata de
una serie trimestral.
Como ya se realizó anteriormente, se selecciona en el menú principal QUICK /
SERIRES STATISTICS / SEASONAL ADJUSTMENT. La serie original que se va a
desestacionalizar es VENTAS y la serire desestacionalizada se llamará
CVENTAS. Siendo FACTORC el nombre elegido para el factor estacional con el
método CensusX11 Multiplicativo.
20
21. Una vez obtenida la nueva serire CVENTAS, desestacionalizada con el
procedimiento Census X11, procedemos a representarla en un gr´pafico junto con
la serie SVENTAS.
La evolución que presentan ambas serires es similar, aunque parece que la serie
SVENTAS suaviza mas las oscilaciones de los valores de las ventas del comercio
al por menor corregidas de estacionalidad. Posiblemente sea más iloustrativo
comprobar conjuntamente los valores de los dos factores de estacionalidad que
han dado lugar a ambas series.
21
22. Comparación de factores mensuales
de desestacionalización
Relación de la media móvil Census X11
FACTOR FACTORC
ENE 106,03 104,68
FEB 86,21 85,00
MAR 93,02 92,62
ABR 95,21 93,57
MAY 98,47 98,08
JUN 97,81 97,69
JUL 106,90 107,33
AGO 93,36 92,60
SEP 100,30 99,63
OCT 102,93 104,32
NOV 96,51 95,88
DIC 128,96 128,36
La diferencia entre el factor calculado por el método de relación a la media móvil y
el del método X11 es que en este segundo caso el factor puede variar año a año,
mientras que en el primer caso se asume un valor constante.
2. TECNICAS ELEMENTALES DE ESTIMACION CON TENEDENCIA
Después de desestacionalizar la serie el siguiente paso es realizar las
predicciones a través de un modelo simple que parata del supuesto de la
existencia de la tendencia en la serie. El modelo màs simple es el modelo de
tendencia lineal . Si creemos que una serie yt se incrementará en cantidades
absolutas constantes en cada período. Se puede predecir yt , ajustando la linea de
tendencia
yt 1 2t
Donde t es el tiempo y yt es el valor esperado de y en el tiempo t. Por lo general t
se elige igual a cero en el período base (primera observación) y se incrementa en
1 durante cada período sucesivo.
22
23. El modelo de tendencia cuadrática es una extensión simple del modelo de
tendencia lineal y consiste en agregar un término t 2
yt 1 2t 3t 2
Si 2 y 3 son ambos positivos, yt siempre estará incrementándose, pero cada vez
más rápido conforma pasa el tiempo. Si 2 es negativo y 3 , yt disminuir´primero
pero después se incrementará. Si ambos son negativos , yt siempre disminuirá.
Otros métodos de estimación, considerados como elementales, se basan en
modelos autorregresivos. Entre los mas simples se pueden señalar:
1. yt 1 yt ;
ˆ 2. yt 1 yt yt yt 1
ˆ
La ecuación 1 utiliza como valor de predicción del próximo período, el dato del
período actual. La ecuación 2 supone la igualdad no de los valores, sino de los
incrementos. Dado la simplicidad de los modelos anteriormente descritos se debe
suponer que las estimaciones que se realicen deberán tener un elevado error de
predicción.
Una variante ligeramente más elaborada es utilizar el valor medio de la serie, en
lugar de las últimas observaciones
yt 1 y
ˆ
Este modelo parte del supuesto que la serie carece de tendencia y la misma oscila
alrededor de la media. En este caso el valor mas probable de estimación, es el
valor medio de la serie.
.
Otro tipo de modelo utilizado para la estimación en serie con tendencia es el
Modelo de Promedio movil. Como ejemplo, se supone que para estimar un valor
dada una serie de tiempo mensual, se utilizaría el siguiente modelo:
23
24. f x yt 1 yt 2 ... yt 12
1
12
Entonces, el pronóstico para el período t 1 estará determinado por:
y t 1 y t 1 y t 2 ... y t 12
1
12
El modelo de promedio móvil es útil si se cree que un valor probable para el
próximo período es el valor promedio de la serie durante los últimos 12 meses.
El modelo de promedio móvil tiene la virtud de proporcionar una base para
suavizar series de tiempo. Por ejemplo una de las formas más simples de suavizar
una serie es tomar un promedio movil de n períodos:
y t 1 y t 1 y t 2 ... y t n
1
n
Mientras mayor sea n mas suave será la curva
Ejemplo:
OBS Yt PM3 PM4 PM5 PM6
1 4
2 5
3 6 5,0
4 8 6,3 5,8
5 10 8,0 7,3 6,6
6 13 10,3 9,3 8,4 7,7
7 15 12,7 11,5 10,4 9,5
8 8 12,0 11,5 10,8 10,0
9 10 11,0 11,5 11,2 10,7
10 6 8,0 9,8 10,4 10,3
11 14 10,0 9,5 10,6 11,0
12 18 12,7 12,0 11,2 11,8
PM3 = promedio movil últimos tres períodos
PM4 = promedio movil últimos cuatro períodos
PM5 = promedio movil últimos cinco períodos
PM6 = promedio movil últimos seis períodos
24
25. 20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
OBSERVACIONES
Yt PM3 PM4 PM5 PM6
El alisado exponencial puede considerarse como aquel obtenido por una media
móvil con ponderaciones decreciente en forma de progresión geométrica:
M y t (1 ) y t 1 (1 ) 2 y t 2 ...
donde el coeficiente podrá tomar valores entre 0 y 1. La suma de los
coeficientes siempre será la unidad, ya que:
(1 ) s 1
s 0 1 (1 )
Por tanto, el número de términos de la media móvil será tanto más reducido
cuanto mayor sea el valor de . Para 1 , la media coincidirá con el valor del
período. Para cercano a cero, las ponderaciones de los valores serán todas
muy pequeñas y, por tanto, el número de términos será elevado.
Como fórmula de predicción, la media deberá calcularse iniciándola en el último
dato disponible, es decir,
y t 1 y t 1 y t 1 1 y t 2 ...
2
ˆ
o en su forma más resumida:
y t 1 y t 1 y t
ˆ ˆ
ya que, por sustituciones sucesivas, legaríamos a la fórmula anterior. Por tanto, la
predicción de alisado pueda interpretarse como una media ponderada de los
valores previos anteriores, reales y de predicción.
25
26. La expresión anterior exige disponer de los valores de y de un valor inicial de .
Esta última cuestión es relativamente poco importante y puede resolverse
adoptando directamente yt yt o bien igualando este primer valor al promedio de
ˆ
un pequeño número inicial de observaciones.
La elección del parámetro debe acomodarse a cada serie en particular. Por ello
la mayor parte de los programas de computación disponibles permiten el cálculo
automático del valor óptimo de , en el sentido de selecciona aquel que minimiza
el error cuadráticos medio.
En general se considera que un alto es indicativo de fuertes oscilaciones o de la
existencia de tendencia en la serie, lo que conlleva un reducido alisado para
ajustarse mejor a estos cambios continuos. Por el contrario, una serie con
pequeñas oscilaciones irregulares aconsejará un reducido (habitualmente
comprendido entre 0,01 y 0,4), que supondrá un fuerte alisado de la serie al
considerar un elevado número de valores anteriores de ésta.
Tanto el método de los promedios móviles como el alisado exponencial tienden a
ser ad hoc, en particular cuando se usan para generar pronósticos. Un problema
es que no se tiene forma de determinar el número correcto de rezagos o el valor
correcto de , así que la elección de estos parámetros es un tanto arbitraria. Si el
objetivo es tan sólo la suavización de la serie para facilitar su análisis, este no es
un problema, ya que se puede elegir los parámetros para obtener la serie
suavizada que se desea.
El Eviews nos permite obtener en forma rápida un alisado exponencial de la serie,
a tal fin seleccionamos en el menú principal QUICK /SERIES STATISTICS /
EXPONENTIAL SMOOTHING e indicamos la serie a alisar (SVENTAS) 3
3
Es importante tener en cuenta que para que la serie con alisado exponencial incluya las
predicciones, antes de realizar el mismo hay que modificar el rango de la serie (range) para que
incluya el periodo a proyectar.
26
27. El menú que se encuentra en la opción EXPONENTIAL SMOOTHING nos permite
realizar distintos tipos de alisados exponensiales, en función de las características
que presente la serie. El primero de ellos, Simgle, es el alisado exponencial
simple, par el que Eviews proporcuiona un monbre a la serie que recogerá los
valores alisados SVENTASM, que podemos midificar si queremos, Asimismo nos
da la opción de calcular automáticamente los valores de los parámetros, en este
caso solo , o bien podemos iuntroducir arbitrariamente un valor comprendido
entre 0 y 1.
Al permitir que el propio programa calcule automáticanmente el valor de que
minimice la suma al cuadrado de los residuos, calculados estos como la diferencia
entre la serie original y la serie alisada, obtenemos los siguientes resultados:
27
28. A continuación se presenta un gráfico de la serie original y la serie con alisado
exponencial simple..
Es importante destacar que las proyecciones recogidas en SVENTASM no reflejan
las variaciones estacionales, par obtener las proyecciones deseadas creamos
multiplicamos las proyecciones obtenidas por los factores estacionales obtenidos.
28
29. En este caso se estimaron los primeros 3 meses del año 1999.
Relación de la media móvil PROYECCION
SVENTASM FACTOR VENTAS
ENE 103,8316 1,0603 110,093
FEB 103,8316 0,8621 89,513
MAR 103,8316 0,9302 96,584
Eviews, en el menú de EXPONENTIAL SMOOTHING, trae adicionalmente los
métodos de alisado exponencial: El doble alisado de Brown o de alisado
exponencial lineal con parámetro único y el alisado exponencial lineal con doble
parámetro o técnica de Holt-Winters.
Ambos métodos se utilizan para eliminar el sesgo en la predicción de series de
tiempo con tendencia aproximadamente lineal.
El método adecuado (simple, doble y el de Holt-Winters) será aquel que minimice
la sumatoria del cuadrado de los residuales (Sum os Squared Residuals)
3. METODOLOGIA DEL FILTRO DE HODRICK–PRESCOTT .
Hodrick y Prescott en 1980, propusieron un filtro que descompone la series de
tiempo macroeconómicas en un componente tendencial no estacionario 4 y un
4
El concepto de serie estacionaria se tratará en el capítulo II
29
30. residuo cíclico estacionario. De esta manera es posible utilizar el filtro para estimar
la tendencia estocástica de una serie, si existen evidencias de que no la describe
correctamente una tendencia determinística
De acuerdo con este método es preciso encontrar la serie Y*t (tendencia) que
N N
minimice :
t 1
( Yt - Yt* )2 +
t 2
( Yt - Yt* )2 la serie Yt* equivale a la
variable potencial y es el parámetro de suavización, en una serie estacionaria la
tendencia es casi paralela al eje X. El filtro de Hodrick – Prescott es quizá el
método mas frecuentemente utilizado para determinar la tendencia de una serie
estacionaria, sin embargo ha sido sujeto a criticas diversas. Entre ellas destaca el
hecho de que la determinación ex ante del parámetro de suavización esta sujeta a
la discrecionalidad del investigador, que los extremos de la serie de tendencias
están deficientemente definidos y que induce un comportamiento cíclico espurio
en los datos. Sin embargo el método representa un patrón contra el cual pueden
compararse otros métodos de estimación para series estacionarias. Bello y Ruiz 5
(2005) adicionalmente señalan que el filtro de Hodrick y Prescott está diseñado
para tratar problemas de largo plazo por lo que presenta comportamientos
inusuales y es susceptible de alteraciones en los valores extremos, lo que trae
como consecuencia que si esta herramienta se utiliza para análisis de corto plazo,
se puede incurrir en apreciaciones incorrectas
Para estimar el filtro de Hodrick–Prescott con Eviews, teniendo la serie activa,
seleccionamos en el menú secundario PROCS / HODRICK–PRESCOTT FILTER
Con lo cual aparece el siguiente cuadro de diálogo:
5
Bello, Omar D. Y Alexander Ruiz. “ El filtro de Hodrick y Prescott y el análisis de corto plazo”.
Banco Central de Venezuela. 2005. mimeo.
30
31. Donde en la parte superior izquierda se registra el nombre deseado o el que
Eviews coloca por defecto, de la serie suavizada . y en lado inferior observamos el
valor del parámetro de suavización.
4. INDICADORES O MEDIDAS DE ERROR
Como se ha señalado el objetivo principal de las series de tiempo, es el de poder
realizar estimaciónes futuras de la serie. Para lo cual se requiere elegir un método
que nos garantice exactitud 6, entendiendose por tal, que tan bien puede reproducir
el módelo de predicción los datos que ya se conocen.
En los modelos de serires de tiempo, es posible utilizar un subconjunto de los
datos conocidos para pronosticar lo que queda de los datos conocidos,
posibilitándose el análisis de la precisión de los pronósticos más directamente.
Para el usuario de los pronósticos, la exactitud más importante es el de la
6
Makridakis Spyros y Esteven C. Wheelwrigth. “Métodos de Pronósticos”. Editorial Limusa. México.
2004. P.68
31
32. predicciónes futuras; que tan bien un modelo se ha ajustado a los datos históricos
disponibles es de poco o ningun valor. Las preguntas que más frecuentemente se
hacen son:
1. ¿qué precisión adicional se puede lograr enuna situación dada mediante
el uso de una técnica formal de predicción? (¿Qué tan inexacto serán
loss pron´sticos si se basan en un enfoque muy simple o ingenuo más
que una técnica estadísticamente mas refinada?).
2. Para una situación dada, ¿Qué tanto mejoramiento se puede obtener en
la exactitud de la spredicciones?(¿Qué tan cerca se puede llegar a logro
de los pronósticos perfectos?).
3. Si se comprende la oportunidad para lograr una mayor exactitud. En
una situación dada, ¿cómo puede ayudar tal conocimiento para
seleccionar la técnica de predicción más apropiada?.
A continuación se presentan algunos indicadores que miden la fiabilidad de las
predicciones, en alguna medida todos ellos tratan de medir cuan alejado están los
valores proyectados de los valores reles o observados, por ende mientras menor
sean estos indicadores, mayor será la confiabilidad de los pronósticos realizados.
Sean X t = Valor observado real para el período t
Ft = Pronóstico para el período
et X t Ft Término de error.
a. Error medio
n
e t
ME t 1
n
b. Error cuadratico medio
n
e 2
t
MSE t 1
n
c. Desviacion absoluta de la media
n
e t
MAD t 1
n
32
33. d. Error porcentual
PEt
X t Ft *100
Xt
e. Error porcentual medio
n
PE t
MAPEt T 1
n
f. Error porcentual absoluto medio
n
PE t
MAPEt T 1
n
33
34. CAPITULO II
MODELOS AR, MA, ARMA, ARIMA y FUNCION DE
TRANSFERENCIA
Según José Otero 7, una serie de tiempo o serie cronológica, es una sucesión de
valores observados de una variable referidos a momentos o a periodos de tiempo
diferentes, generalmente regulares. La característica distintiva entre una serie de
tiempo , en contraposición a las observaciones de corte transversal, es que los
datos aparecen ordenados cronológicamente.
Una serie de tiempo está conformada por las siguientes partes 8:
Y = sistemática + determinista + aleatoria
La variable Y se dice ser estocástica por que su valor en cada momento del
tiempo está en función de una parte conocida bastante predecible y de una parte
desconocida o impredecible. La parte conocida, a su vez, contiene dos elementos:
uno sistemático que recoge patrones de comportamiento del fenómeno de interés
(como la estacionalidad) y otro determinista que recoge características
predeterminados de la serie. La parte puramente aleatoria está formada de
eventos no explícitamente considerados en el modelo o factores estocásticos
(tendencia estocástica)
En este capítulo describiremos la metodología para la estimación de un tipo de
modelos estocásticos especialmente útiles para la predicción de series de tiempo,
los modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) a través de la
metodología desarrollada por Box y Jenkins 9 (1976) para tratar modelos lineales
univariantes. Los cuales están conformados por dos componentes, la parte
autorregresiva, a fin de recoger la parte determinista del modelo, y la partes de
promedios móviles, que pretende reflejar el componente estocástico.
1.PROCESOS ESTOCASTICOS
Un proceso estocástico X t , para t = 1,2,3,..., se define como una colección de
variables aleatorias, X t , ordenadas de acuerdo con el parámetro discreto , que en
7
Otero, José M. “Modelos Econométricos y Predicción de Series Temporales”.Editorial AC.
España. 1989. p1.
8
Blanco Odio, Carlos M. “Aspectos Conceptuales Sobre Series de Tiempo”. Banco Central de
Venezuela. Mimeo,1997 p.6.
9
Box, George y Gwilym Jenkis. “Time Series Analysis, Forecasting and Control”. San Francisco,
Calif. Holden Day. 1976.
34
35. nuestro contexto es el tiempo. En otras palabras se asume que cada valor
X 1 , X 2 ,..., X t en la serie es extraído al azar de una distribución de probabilidad.
2. CAMINATA ALEATORIA
El ejemplo mas simple de una serie de tiempo estocástica es el proceso de
caminata aleatoria o Random Walk 10. En el proceso más simple de caminata
aleatoria cada cambio sucesivo en y t es extraído en forma independiente de una
distribución de probabilidad con media 0. Por tanto, y t está determinado por:
y t y t 1 t
con E t 0 , E t 2 y E t s 0 para t s. Dicho proceso puede ser
2
representado por los lanzamientos sucesivos de una moneda, donde una cara
recibe un valor de +1 y una cruz recibe un valor de –1.
A menudo, la caminata aleatoria es comparada con la caminata de una persona
ebria. Al dejar el bar, el ebrio se mueve a una distancia aleatoria u t en el tiempo t
si el o ella continúa caminando indefinidamente, se alejarán cada vez más del bar.
Lo mismo se dice acerca del precio de las acciones. El precio de las acción hoy es
igual al precio de la acción ayer más un “shock” o innovación aleatoria 11
Consideremos el caso en el que se requiere un pronóstico para un proceso de
caminata aleatoria. El pronóstico está dado por:
y t 1 E y t 1 / y t ,..., y1 y t E t 1 y t
ˆ
3. ESTACIONARIEDAD
Cuando se comienza a desarrollar modelos para series de tiempo, se desea saber
si es posible suponer que el proceso estocástico subyacente que generó la series
es invariable con respecto al tiempo. Si las características del proceso estocástico
cambian con el tiempo; es decir, si el proceso no es estacionario, en general será
difícil representar la serie de tiempo durante intervalos de tiempo pasados y
futuros con un modelo algebraico simple. Por el contrario, si el proceso estocástico
está fijo en el tiempo; es decir, si es estacionario, entonces podemos modelar el
proceso a través de una ecuación con coeficientes fijos que pueden estimarse a
partir de datos pasados.
10
Pindyck, Robert. Ob.Cit. p.515.
11
Gujarati, Damodar. Ob.Cit. p.702
35
36. En sentido amplio, se dice que un proceso estocástico es estacionario (o
débilmente estacionario) si su media y su varianza son constantes en el tiempo y
si el valor de la covarianza entre dos períodos depende solamente de la distancia
o rezago entre dos períodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado
la covarianza. En otras palabras, una serie es estacionaria cuando su distribución
de probabilidad no depende del tiempo. Esto implica que a pesar de sus
oscilaciones la serie tiende a converger a un valor medio fijo, y su varianza es
constante.
Las series no estacionarias son aquellas cuya media o varianza cambian con el
tiempo. Cuando sólo la media depende del tiempo se dice que existe tendencia
determinística y cuando es la varianza la que depende del tiempo, se habla de
tendencia estocástica. Es de resaltar que la mayoría de las series económicas
encontradas en la práctica son no estacionarias. Un aspecto importante a
considerar con respecto a las series estacionarias, tiene que ver con la
innovaciones, lo que significa que mientras un shock tiene carácter transitorio en
series estacionarias, su efecto es permanente sobre fenómenos no estacionarios.
Gráfico Nº 1 Gráfico Nº 2
En el gráfico Nº 1 12 se puede observar una serie no estacionaria, en el mismo se
puede
observar claramente una tendencia, lo que es indicativo de que la media no es
constante para toda la serie. En el gráfico Nº 2 se muestra una serie de tiempo
estacionaria
La definición de estacionariedad en sentido estricto implica que las características
del proceso estocástico no sufren alteración al considerar tiempos históricos
diferentes
12
El ejemplo es tomado de Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. y el mismo consiste en una
serie de tiempo que abarca el periodo 1980-1998, con periodicidad mensual de un indicador de
renta salarial real para la economía española.
36
37. A continuación se presenta un cuadro resumiendo las características principales
de una serie estacionaria y de una no estacionaria:
ESTACIONARIA NO ESTACIONARIA
Tiene una media constante y hay una
tendencia de la serie a volver hacia esta Tiene un comportamiento divagante, en el
sentido de que no se manatiene sobre un
media cuando se ha desviado de ella. Por valor medio a lo largo de su historia.
tanto tiende a fluctuar alrededor de la media
Tiene autocorrelaciones que decrecen Las autocorrelaciones tienden a uno para
rapidamente al alejernos en el tiempo cualquier retardo
Tiene varianza finita e independiente del
La varianza depende del tiempo.
tiempo
Tiene memoria limitada de su
comportamiento pasado. Por tanto los El proceso tiene memoria ilimitada y, por
efectos de un Shock aleatorio son sólo tanto, un shock aleatorio tendrá efectos
transitorios y van decreciendo (perdiendo permanentes en el proceso.
fuerza) en el tiempo.
Muy pocas series económicas de tiempo son estacionarias. Los motivos de la falta
de estacionariedad suelen ser:
a) Se presenta una tendencia.
b) La varianza no es una constante.
c) Hay variaciones estacionales.
La presencia de variaciones estacionales se traduce en una variabilidad de la
media del proceso, lo que es contrario a la hipótesis de estacionariedad.
Afortunadamente, es posible transformar muchas series económicas de tiempo en
otras estacionarias, sometiéndolas a operaciones algebraicas.
4. RAICES UNITARIAS, OPERADOR DIFERENCIA Y ORDEN DE
INTEGRACION DE UNA SERIE DE TIEMPO
es importante destacar la asociación existente entre la noción de serie no
estacionaria y raíz unitaria, para ello consideramos la siguiente representación
autorregresiva de la serie Xt:
X t X t 1 at donde at es un ruido blanco
37
38. utilizando el operador de retardo B j
X t X t j obtenemos la siguiente
representación:
X t X t 1 at BX t
X t BX t at
1 B X t at
B X t at donde B 1 B
B X t at es la representación general de un modelo autorregresivo de orden 1
Obsérvese que B es un polinomio de grado 1, cuya raíz viene dada por
1
:
1 B 0 1 B
Ahora bien, un resultado teórico establece que un modelo como el anterior es
débilmente estacionario si toda raíz de B cumple con las siguiente condición:
1
(la raíz está fuera del circulo unitario)
-1 0 1
1
1 1
-1 0 1
El caso de mayor interés es cuando , esto es, cuando existe raíz unitaria, y se
puede probar que cuando esto ocurre, la varianza de Xt no es finita, en otras
38
39. palabras, la serie es no estacionaria. De allí que la relación fundamental que
siempre se ha de tener en cuenta es: EXISTENCIA DE RAICES UNITARIAS
EQUIVALE A NO ESTACIONARIEDAD
NO ESTACIONARIEDAD
EXISTENCIA DE
RAICES
UNITARIAS
CRECIMIENTO EXPLOSIVO
SI 1
X t X t 1 at
X t X t 1 at = caminata aleatoria
proceso integrado
no estacionario
Saber que existen raíces unitarias provee de la transformación necesaria para
superar el problema de la no estacionariedad. Considerando nuevamente una
representación autorregresiva para Xt, si existe raíz unitaria se tiene que:
X t X t 1 at :
X t X t 1 at
denotando X t X t X t 1 y sustituyendo en la ecuación anterior, resulta:
X t at
La primera diferencia de Xt es estacionaria, de forma que la no estacionariedad se
supera diferenciando la serie tantas veces como raíces unitarias posea.
En general, diremos que una serie Xt es integrable de orden d, si debe ser
diferenciada d veces para alcanzar estacionariedad y se denota:
Xt ~ I(d)
39
40. 5. PRUEBA DE ESTACIONARIEDAD BASADA EN EL
CORRELOGRAMA
Una prueba sencilla de estacionariedad está basada en la denominada función de
autocorrelación (ACF). La ACF al rezago k, denotada por k , se define como:
k cov arianza.al.rezago.k
k
0 var ianza
Puesto que la covarianza y la varianza están medidas en las mismas unidades, k
es un número sin unidad de medida, o puro. Se encuentra entre –1 y +1, igual que
cualquier coeficiente de correlación, Si se grafica k frente a k, la gráfica obtenida
se conoce como correlograma.
Para obtener el correlograma en Eviews, seleccionamos
VIEWS/CORRELOGRAM.
La ACF de las series estacionarias disminuye sensiblemente a medida que
aumenta el desfase temporal K (gráfico Nº 3). Esto no suele ocurrir con las series
estacionarias (gráfico Nº 4).
Gráfico Nº 3
40
41. En el gráfico Nº 3 se aprecia como la función de autocorrelación decrece
rápidamente, ya para la observación 2, esta función es cercana a cero, lo cual es
indicativo de una serie estacionaria.
En el caso de un proceso estocástico puramente aleatorio, su autocorrelación en
cualquier rezago mayor que cero es cero.
Gráfico Nº 4
En el gráfico Nº 4 se aprecia que la ACF decrece exponencialmente y de forma
lenta, mientras que la función de autocorrelación parcial presenta un valor
significativo en el retardo uno, con un coeficiente de autocorrelación cercano a la
unidad (0,941). Este gráfico puede considerarse como indicativo de la no
estacionariedad.
6. PRUEBA DE RAIZ UNITARIA SOBRE ESTACIONARIEDAD –
PRUEBA DICKEY – FULLER (ADF).
Dado el siguiente modelo autorregresivo de primer orden 13: Yt Yt 1 u t donde u t
es el término de error estocástico que sigue los supuestos del modelo clásico,
tiene media cero, varianza constante y no esta autocorrelacionado. Un término de
error con tales propiedades es conocido también como término de error de ruido
blanco (White noise). Ahora bien si el coeficiente de Yt 1 es igual a 1, surge lo que
13
Gujarati, Damodar. Ob.Cit. p.702
41
42. se conoce como el problema de raíz unitaria es decir, una situación de no
estacionariedad. Por consiguiente al realizar la regresión Yt Yt 1 u t y se
encuentra que 1 , entonces se dice que la variable estocástica Yt tiene una raíz
unitaria.
Si a la ecuación anterior se le resta Yt 1 podemos hallar una forma alternativa de
expresarla de muy frecuente utilización:
Yt Yt 1 Yt 1 Yt 1 u t
Yt 1Yt 1 u t
Yt Yt 1 u t
donde 1 y se el operador de primera diferencia Yt Tt 1 . Si se
cumple la hipótesis nula de 0 el modelo se puede escribir de la siguiente
forma: Yt u t , lo cual nos indica que la primera diferencia de una serie de tiempo
de caminata aleatoria es una serie de tiempo estacionaria porque por supuestos,
u t es puramente aleatoria.
Lo anterior supone que una serie de tiempo no estacionaria, se puede convertir en
estacionaria diferenciándola. Ahora bien, si una serie de tiempo ha sido
diferenciada una vez y la serie diferenciada resulta estacionaria, se dice que la
serie original (caminata aleatoria) es integrada de orden 1, y se denota por I(1). En
forma similar, si la serie original debe ser diferenciada dos veces (es decir, debe
tomarse la primera diferencia de la primera diferencia) para hacerla estacionaria,
se dice que la serie original es integrada de orden dos, o I(2). En general, si una
serie de tiempo debe ser diferenciada d veces, esta se dice que esta es integrada
de orden d, o I(d). En su gran mayoría las series de tiempo económicas son
integrada de orden uno, o I(1).
Para saber si una serie es estacionaria o no, se debe determinar si es ˆ
estadísticamente igual a uno H 0 : 1 , o si ˆ es estadísticamente igual a cero
ˆ
H : ˆ 0 . Lamentablemente, los estadísticos t que se obtengan no siguen una
0
distribución t de Student aun en muestras grandes.
Bajo la hipótesis nula de 1 , el estadístico t calculado se conoce como el
estadístico (tau), cuyos valores críticos han sido tabulados por Dickey-Fuller 14,
por lo que a esta prueba se conoce como la prueba de Dickey-Fuller (DF).
14
A. Dickey y W.A. Fuller. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit
Root”. Journal of the American Statistical Association. Vol. 4 1979.
42
43. Posteriormente, las tablas con los valores críticos, fueron ampliadas por
Mackinnon.
Por razones teóricas y prácticas, la prueba de Dickey-Fuller se aplica a
regresiones efectuadas en las siguientes formas:
Yt Yt 1 u t
Yt 1 Yt 1 u t
Yt 1 2 t Yt 1 u t
Donde t es la variable tiempo o tendencia. En cada caso, la hipótesis nula es que
0 , es decir que hay una raíz unitaria, o lo que es lo mismo, la variable
estocástica no es estacionaria.
Si el término de error u t está correlacionado, se modifica la ecuación
Yt 1 2 t Yt 1 u t de la siguiente forma:
m
Yt 1 2 t Yt 1 1 Yt i u t
i 1
donde, por ejemplo, Yt 1 Yt 1 Yt 2 , Yt 2 Yt 2 Yt 3 , etc., es decir se utilizan
términos en diferencia rezagados. El número de términos en diferencia rezagados
que deben incluirse con frecuencia se determina empíricamente, siendo la idea
incluir suficientes términos, de tal manera que el termino de error u t sea
serialmente. Independiente (ruido blanco). La hipótesis nula es la misma, es decir
que existe una raíz unitaria en Yt (o lo que es igual, Yt es no estacionaria). Esta
prueba se llama Dickey-Fuller aumentada (ADF)
En el paquete Eviews, se puede obtener fácilmente la prueba de Dickey-Fuller,
para tal fin seleccionamos VIEWS/UNIT ROOT TEST, con lo cual obtenemos el
siguiente cuadro:
43
44. Como se puede observar, en el cuadro se pueden identificar cuatro áreas: en la
superior izquierda, identificamos que prueba se utilizará, la de Dickey-Fuller
aumentada o la de Phillips-Perron (que se tratará mas adelante). En la inferior
izquierda, indicamos si la prueba se va a realizar sobre la serie en niveles,
primeras diferencias o segundas diferencias de la serie original. En el área
superior derecha, especificamos la forma funcional del modelo a regresar: con
intercepto solamente, con tendencia e intercepto, o finalmente, sin tendencia ni
intercepto. Para esta parte resulta bastante importante ver el gráfico de la serie.
Finalmente, en el área inferior derecho, indicamos el número de rezagos de la
variable en diferencias que se va a utilizar.
Por ejemplo, seleccionando:
Se obtiene el siguiente cuadro
44
45. El estadístico del test ADF (-2,749934) coincide con el estadístico t de la variable
dependiente retardada IRENTA(-1), incluida como regresor en la ecuación
estimada.
La hipótesis nula ( H 0 : existe una raíz unitaria) se acepta si el estadístico t es
menor que los valores críticos de Mackinnon. En este ejemplo, comprobamos que
la hipótesis nula se acepta a cualquiera de las de los tres niveles de significación
presentados (1%, 5% y 10%), es decir, la serie IRENTA, presenta una raíz
unitaria, es decir, no es estacionaria. Adicionalmente, podemos ver que tanto la
tendencia como el intercepto son significativos a un 5%.
Es importante destacar que un requisito para que esta prueba sea válida, es que
el término de perturbación sea un ruido blanco, por lo cual, se hace necesario ver
el correlograma de los residuales
45
46. Para que sea ruido blanco, los residuales no deben estar autocorrelecionados. En
el correlograma se puede observar que los primeros 6 coeficientes de correlación
no son significativos, con lo cual podríamos interpretar que el término de
perturbación u t es un ruido blanco, por lo tanto la prueba del Dickey-Fuller es
válida En el caso de que no fuera un ruido blanco, se realiza una nueva prueba de
Dickey-Fuller aumentada, incluyendo rezagos de la variable en diferencias.
EJERCICIO Nº 1
A continuación se presenta un cuadro con el tipo de cambio promedio para
Venezuela para el período 1996-2002. Se pide determinar si la serie es
estacionaria o no.
CUADRO Nº 1
VENEZUELA - TIPO DE CAMBIO PROMEDIO
(millones de US$)
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
ENERO 290,00 476,84 507,29 568,84 652,15 699,70 761,55
FEBRERO 290,00 474,40 514,64 577,10 658,51 702,58 884,21
MARZO 290,00 478,40 520,90 579,40 666,12 705,52 947,22
ABRIL 360,47 479,25 530,08 587,29 672,01 709,64 876,54
MAYO 468,89 483,27 537,05 595,63 679,53 714,39 965,48
JUNIO 471,25 485,63 542,00 602,13 680,55 716,69 1196,74
JULIO 470,75 491,25 557,39 610,56 685,21 722,00 1328,98
AGOSTO 474,20 495,90 570,19 615,22 688,89 730,82 1373,93
SEPTIEMBRE 476,12 496,79 584,42 624,48 690,08 742,94 1457,20
OCTUBRE 470,01 498,62 571,25 630,19 692,46 743,07 1452,32
NOVIEMBRE 471,57 499,93 569,25 634,15 695,31 744,73 1366,60
DICIEMBRE 474,73 502,80 566,19 643,35 698,34 751,91 1320,67
FUENTE: B.C.V.
46
47. En primer lugar debemos observar el gráfico de la serie:
Gráfico Nº 5
En el gráfico Nº 5, se observa que la serie de tiempo muestra una clara tendencia
ascendente, por lo que la media no puede ser constante, lo que evidencia que la
serie no es estacionaria en niveles.
En segundo lugar vemos el correlograma:
Gráfico Nº 6
Correlograma TCP
Observando el correlograma, vemos como la función de autocorrelación decrece
exponencialmente y de forma lenta, mientras que la función de autocorrelación
parcial presenta un valor significativo en el retardo uno, con un coeficiente de
47
48. autocorrelación cercano a uno (0,93). Este gráfico puede considerarse como
indicativo de la no estacionariedad de la serie, es decir, presenta raíz unitaria.
Para comprobar de forma más exhaustiva esta característica de la serie,
procedemos a aplicar la prueba de raíces unitarias. Seleccionando en el cuadro de
diálogo de aplicación de la prueba ADF (datos en niveles, tendencia, intercepto y
tres rezagos). Eviews nos presenta los siguientes resultados:
48
49. GRAFICO Nº 7
CORRELOGRAMA DE
LOS RESIDUOS
El estadístico ADF (-3,4181) es menor que el valor crítico de Mackinnon a un 5%
de significación, por lo que se acepta la hipótesis nula, es decir, la serie TCP
presenta raíz unitaria, no es estacionaria.
A continuación se presenta la prueba de Dickey-Fuller para la primera diferencia
del tipo de cambio promedio y el correlograma de los residuales:
49
50. 7. PRUEBA DE PHILLIPS-PERRON (test PP)
Phillips y Perron 15 propusieron en 1988 un método no paramétrico para controlar
la correlación serial de orden elevado en una serie. La prueba de regresión
contenida en el test PP es el proceso autorregresivo de primer orden AR(1):
Yt Yt 1 t
Mientras que la prueba ADF corrige la correlación serial de orden elevado
añadiendo más retardos del término diferenciado de la serie original en el lado
derecho de la ecuación, el test PP realiza una corrección del estadístico t sobre el
coeficiente en la regresión AR(1) para considerar la correlación serial en el término
.
La distribución asintótica del estadístico t del test PP es la misma que la del
estadístico t de la prueba ADF y se contrastan los resultados del test con los
valores críticos de Mackinnon. Igual que en la prueba ADF tenemos que
especificar si incluimos una constante, constante mas término de tendencia o nada
en la regresión, para el test PP además hay que especificar el numero de períodos
de correlación serial a incluir.
15
Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.271
50
51. 8. ESTACIONALIDAD
La estacionalidad 16 es un comportamiento cíclico que se apoya en un calendario
común. Un ejemplo de una serie de tiempo muy estacional sería la venta de
juguetes, la cual exhibe un punto máximo en la temporada de navidad.
A menudo los puntos máximos o mínimos estacionales pueden identificarse
fácilmente mediante la observación directa de la serie, pero en el caso en que la
serie de tiempo fluctúa en forma considerable, éstos no pueden distinguirse de las
otras fluctuaciones. La identificación de la estacional es importante, debido a que
proporciona información acerca de la regularidad en la serie que puede ayudarnos
a hacer un mejor pronóstico.
A través de la función de correlación podemos identificar la posible estacionalidad
de la serie. Si una serie de tiempo mensual presenta estacionalidad anual, los
datos individuales en la serie mostraran algún grado de correlación con los datos
individuales correspondientes que se rezagan por 12 meses.
A continuación observamos el correlograma de la serie IRENTA en primeras
diferencias (la cual es estacionaria). En el mismo se puede ver los coeficientes de
16
Pindyck. Robert y Daniel L. Rubinfeld. Ob.Cit. p.530
51
52. correlación para las observaciones 12 y 24 son significativos, indicando una
estacionalidad anual
GRAFICO Nº 8
Si la estacionalidad fuera semestral, por ejemplo, los coeficientes de correlación
para las observaciones 6,12,18,24.... serían significativos.
9. MODELO AUTORREGRESIVO DE ORDEN p (AR(p))
Un modelo autorregresivo de orden p la observación actual Yt es función del
promedio ponderado de observaciones pasadas que se remontan p periodos,
junto con una perturbación estocástica en el período actual. Denotamos este
proceso como AR(p) y escribimos su ecuación de la siguiente forma:
Yt 1Yt 1 2Yt 2 3Yt 3 ... p Yt p t
donde es una constante y t es un ruido blanco.
Se debe recordar que con un modelo autorregresivo de orden p, se pretende
recoger la parte determinista de la serie de tiempo, es decir, las características
52
53. predeterminadas y propias de la misma. En la práctica habitual lo mas frecuente
es trabajar con modelos autorregresivos de orden bajo, AR(1) o AR(2).
Un AR(p) se caracteriza por el siguiente comportamiento: Una función de
correlación
Con decaimiento exponencial o suave hacia cero y una función de autocorrelación
parcial que se anula a partir del p-esimo rezago.
Por ejemplo en el correlograma del tipo de cambio promedio (gráfico Nº 6),
observamos un posible AR(1) o AR(2)
En los modelos autorregresivos la estacionalidad se trata a través de los modelos
SAR(s)
SAR(s) : Yt 0 Yt s t
S = 4 para datos trimestrales
S =12 para datos mensuales
10. MODELO DE PROMEDIO MOVIL DE ORDEN q (MA(q))
Este tipo de modelo establece que el valor actual de la serie es determinado por
movimientos no predecibles (aleatorios) de la misma en el pasado. Tales
fluctuaciones de carácter no determinístico son representadas a través de
perturbaciones aleatorias del tipo ruido blanco.
Denotamos este modelo como MA(q) y escribimos su ecuación como:
Yt t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 ... q t q t ruido.blanco
Se puede decir que un MA(q) es sencillamente una combinación lineal de
términos de error de ruido blanco.
con un modelo de promedio móvil de orden q, se pretende recoger la parte
puramente aleatoria de la serie de tiempo al igual que en los modelos
autorregresivos, los ordenes suelen ser pequeños.
Un modelo de promedio móvil de orden q se caracteriza por una función de
autocorrelación que se anula a partir de q-esimo rezago y una función de
correlación parcial con decaimiento exponencial o suave hacia cero.
En los modelos de promedio móvil la estacionalidad se trata a través de los
modelos MAR(s)
53
54. MAR(s) : Yt t t s
S = 4 para datos trimestrales
S =12 para datos mensuales
11. MODELO AUTORREGRESIVO DE PROMEDIO MOVIL
(ARMA(p,q))
La combinación de los modelos anteriormente señalados, da a lugar lo que se
conoce como modelo autorregresivo de promedio móvil (ARMA), de gran poder
explicativo y que se aplica básicamente a series de tiempo que no muestran
tendencia.
El caso mas simple y frecuente de orden (1,1), quedaría definido como:
Yt 1Yt 1 t 1 t 1
y en el caso mas general, un modelo ARMA(p,q) correspondería a la expresión:
Yt 1Yt 1 ... pYt p t 1 t 1 ... q t q
Resulta lógico pensar entonces que los modelos autorregresivos corresponden a
modelos ARMA(p,0) y los de promedios móviles a modelos ARMA(0,q).
Un modelo ARMA se caracteriza por que tanto la función de correlación como la
de correlación parcial decaen suavemente a cero..
12. MODELO AUTORREGRESIVO INTEGRADO DE PROMEDIO
MOVIL (ARMA(p,d,q))
Si se debe diferenciar una serie de tiempo d veces para hacerla estacionaria y
luego aplicar el modelo ARMA(p,q), se dice que la serie de tiempo original es
ARIMA(p,d,q), es decir una serie autorregresiva integrada de promedios móviles,
donde p denota el número de términos autorregresivos, d el número de veces que
la serie debe ser diferenciada para hacerse estacionaria y q, el número de
términos de promedio móvil.
En general, un modelo ARIMA(p,d,q) corresponderá a la expresión 17:
17
Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.262
54
55. d Yt 1 d Yt 1 ... p d Yt p t 1 t 1 ... q t q
en la que se ha eliminado el término independiente, el cual frecuentemente es nulo
al trabajar con series en diferencias.
Otra forma de expresar el modelo es utilizando el operador de retardo B, el cual
aplicado al valor de una variable, desfasa esta en un período:
BYt Yt 1
y aplicado en forma sucesivamente j veces, desfasa en j períodos:
B j Yt Yt j
Utilizando el operador de retardo, el modelo Arima puede expresarse de la
siguiente forma:
1 B ... p d
B p 1 B yt 1 1 B ... q B q t
o en forma mas condensada:
B p d Yt q B t
ejemplo de modelo ARIMA(1,1,1) 18
( B)1 1Yt 1 B t
1 1 B 1 B Yt (1 1 B) t
(Yt Yt 1 ) 1 Yt Yt 2 t 1 t 1
DECISIÓN SOBRE LOS ORDENES p Y q
18
Pulido, Antonio y Ana María López. Ob.Cit. p.263
55
56. Una guía 19 bastante aceptable para decidir sobre el orden de q y p en un modelo
ARIMA es observando las funciones de correlación y correlación parcial. Un
proceso autorregresivo se caracteriza por una función de autocorrelación
decreciente (geométricamente, con valores de igual signo, alternantes o incluso
ondulados) y una función de autocorrelación parcial con uno o dos coeficientes
sólo significativos según que el modelo apropiado sea AR(1) o AR(2). Los modelos
MA() y MA(2) se caracterizan por un comportamiento similar a los procesos
autorregresivos pero cambiando las funciones, es decir, una función de
autocorrelación parcial decreciente y una función de autocorrelación con uno o dos
coeficientes sólo significativos. Por último un proceso ARMA(1,1) se caracteriza
por que ambas funciones de autocorrelación muestran tendencias decrecientes
con todas las posibles combinaciones de cada tipo de decrecimiento
(geométricamente, con o sin cambio de signos, y ello en cada una de las
funciones).
k kk
ACF PACF
k kk
ACF PACF
k kk
ACF PACF
Ejemplo de un correlograma característico
de un proceso MA(1)
Ejemplo de un correlograma característico Ejemplo de un correlograma característico
de un proceso AR(1) de un proceso ARMA(1,1)
13. METODOLOGÍA DE BOX - JENKIS
19
Pulido San Roman, Antonio y Julián Pérez García. Modelos Econométricos. Ediciones Pirámide
S.A.. Madrid. 2001. P.648
56
57. La metodología de Box – Jenkis para la estimación de un modelo ARIMA, está
conformado en forma general por cuatro etapas:
Identificación: Se apoya en dos instrumentos gráficos que miden el grado
de correlación serial en la serie de tiempo. Estas herramientas son: la
función de autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial
(PACF). La idea central es cada modelo se asocia con un ACF y PACF
teóricas.
Estimación: En esta etapa se obtienen estimaciones de los parámetros del
modelo elegido en la etapa de identificación.
Diagnóstico-Chequeo: Se utilizan test estadísticos que permiten determinar
si el modelo es estadísticamente adecuado, es decir, si los residuos del
modelo son no correlacionados. Además los test dan indicios de cómo
reformular en caso de ser necesario.
Predicción: Una de las características que hacen atractiva la utilización de
un modelo ARIMA, es su capacidad de predicción. En muchos casos las
predicciones obtenidas por este método son más confiables que aquella
obtenidas de la elaboración tradicional de modelos, particularmente para
predicciones a corto plazo.
En forma mas detallada, las etapas para construir un modelo ARIMA son 20:
1. Recopilación de los datos: Para aplicar esta técnica se necesita un mínimo
de 20 datos o observaciones para series no estacionales y al menos 30-40
para series estacionales. Sin embargo, es conveniente de 50 o mas datos y
para el caso, muy frecuente, de series mensuales, es frecuente trabajar
entre seis y diez años completos de información.
2. Representación gráfica de la serie: Para decidir sobre la estacionalidad de
la serie es de gran utilidad disponer de un gráfico de la misma.
3. Transformación previa de la serie: La transformación logarítmica es
necesaria en caso de heterocedasticidad. Sin embargo, es una
transformación muy frecuente, incluso en series con dispersión
relativamente constantes en el tiempo. Una posibilidad práctica es ensayar
siempre con la serie original y en logaritmos y comparar resultados.
4. Estacionalidad: La observación del gráfico de la serie, conjuntamente con el
correlograma y la prueba de Dickey – Fuller, nos indicará la estacionariedad
o no del modelo, Igualmente nos indicará si hay que aplicar diferencias o
no de la variable. Como se comentó anteriormente, la mayoría de las
variables económicas son I(1), lo cual obliga a diferenciar una sola vez a la
variable, d=1.
5. Identificación del modelo: El paso siguiente consiste en determinar el tipo
de modelo más adecuado para la serie objeto de estudio, es decir, el orden
de los procesos autorregresivos y de promedios móviles de los
20
Ibíd. P.285
57
58. componentes regular y estacional, (valores de p, q, P y Q). Técnicamente,
esta decisión se tomará a partir de las funciones de autocorrelación y
autocorrelación parcial. Habitualmente se terminará eligiendo entre los
procesos mas simples: AR(1), AR(2), MA(1), MA(2) Y ARMA(1,1), tanto en
la parte regular como la estacional. En caso de duda pueden seleccionarse
varios modelos alternativos, que serán estimados y contrastados
posteriormente, para decidir el que se adoptará en definitiva.
6. Estimación del modelo: Decidido el modelo, se procede a la estimación del
mismo. El programa Eviews permite el calculo automático del modelo
ARIMA.
7. Contraste de validez conjunta del modelo: Se utilizan diversos
procedimientos para valorar el modelo o modelos inicialmente
seleccionados: contraste de significación de los parámetros, covarianza
entre estimadores, coeficientes de correlación, etc.
8. Análisis detallado de los residuales: Deberá comprobarse un
comportamiento no sistemático de los mismos, así como se debe analizar la
posible existencia de residuales especialmente significativos.
9. Selección del modelo definitivo: Con base en los resultados obtenidos en
las etapas precedentes, se deberá escoger el modelo definitivo.
10. Predicción: El modelo seleccionado servirá como fórmula inicial de
predicción. Deberá comprobarse la congruencia de las predicciones con los
valores ya conocidos y analizar a los errores que se vayan cometiendo. El
modelo podré reestimarse con la nueva información disponible o incluso
reiniciar todo el proceso en caso de resultados no satisfactorios.
Finalmente es importante mencionar y recalcar la importancia que tiene la
estacionariedad de la serie de tiempo después de una o más diferenciaciones para
la metodología de Box – Jenkis. El objetivo de esta, es identificar y estimar un
modelo estadístico que pueda ser interpretado como generador de la información
muestral. Entonces, si este modelo estimado va a ser utilizado para predicción, se
debe suponer que sus características son constantes a través del tiempo y,
particularmente , en periodos de tiempo futuro. Así la simple razón para requerir
información estacionaria es que cualquier modelo que sea inferido a partir de esta
información pueda ser interpretado como estacionario o estable, proporcionando,
por consiguiente, una base válida para predicción 21.
21
Gujarati, Damodar. Ob.Cit. P. 721.
58
59. EJERCICIO Nº 2
A continuación se presenta una serie de tiempo para los precios reales de la
cesta petrolera venezolana para el periodo enero 1980 – mayo 2001 22.
Precio Petroleo de la cesta venezolana
en términos reales de los precios IPC de los EE.UU.
USD de 1984
(USD/B)
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
ENERO 33,12 36,80 30,85 26,63 26,74 25,02 21,98 14,69 12,08 12,74 14,69 15,43
FEBRERO 32,79 36,89 29,58 26,51 26,15 24,74 16,18 13,81 11,35 12,06 13,19 11,98
MARZO 32,21 35,23 27,64 24,84 25,62 25,26 12,33 14,43 10,70 12,99 12,30 12,52
ABRIL 29,51 33,88 27,64 24,07 25,75 24,48 11,17 14,37 12,19 15,65 11,44 10,96
MAYO 30,13 33,61 28,63 25,15 25,89 24,25 10,96 15,08 12,48 15,17 11,50 11,57
JUNIO 31,23 31,71 28,75 24,62 25,98 25,03 10,60 14,22 12,32 13,81 11,18 10,79
JULIO 31,77 30,21 28,34 25,13 25,59 23,88 8,97 15,88 12,30 12,74 11,56 10,96
AGOSTO 31,45 30,65 27,92 25,61 25,57 22,90 10,07 15,25 11,67 11,91 18,28 11,54
SEPTIEMBRE 30,83 30,70 27,78 26,11 25,75 23,50 10,89 14,23 11,37 13,48 21,17 10,16
OCTUBRE 31,88 30,76 28,44 25,74 25,60 23,80 10,10 14,58 10,08 13,18 20,76 13,34
NOVIEMBRE 33,18 30,75 28,51 26,30 25,11 23,51 11,07 14,41 10,40 13,31 19,75 12,05
DICIEMBRE 34,25 31,19 28,15 25,35 24,70 23,10 11,03 11,59 10,46 15,92 17,32 11,59
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
ENERO 9,12 10,13 7,77 9,43 9,84 13,56 8,63 5,61 13,99 13,24
FEBRERO 9,05 10,15 8,13 9,34 10,26 11,99 7,52 5,12 15,20 12,78
MARZO 8,70 10,52 7,78 9,72 11,33 10,99 7,05 6,67 15,48 11,47
ABRIL 10,50 10,40 8,81 11,04 11,96 10,20 7,42 8,24 12,86 12,60
MAYO 11,06 10,36 9,16 10,98 11,44 10,59 7,06 8,30 14,82 13,06
JUNIO 11,78 9,23 10,24 9,76 10,09 9,73 5,96 8,58 16,18
JULIO 11,51 8,38 9,78 9,17 10,98 9,72 6,08 10,20 15,21
AGOSTO 11,39 5,71 9,52 9,46 11,20 10,04 6,06 10,69 15,93
SEPTIEMBRE 12,00 9,56 8,32 9,38 12,53 10,80 7,03 12,10 17,27
OCTUBRE 11,50 9,46 8,66 8,39 13,61 10,24 6,70 12,04 16,90
NOVIEMBRE 10,99 8,37 9,29 9,30 12,60 10,12 5,77 13,37 17,00
DICIEMBRE 9,81 6,26 9,14 10,89 13,33 9,31 4,90 13,53 13,33
Se requiere mediante la estimación de un modelo ARIMA, realizar la estimación
para el precio del petróleo para los próximos 6 meses.
Solución:
22
Ejercicio tomado de los apuntes de clase de la cátedra de Econometría II, de la Maestría en
Teoría y Política Económica de la Universidad Central de Venezuela. Febrero 2002.
59
60. Inicialmente se realizará el estudio de la estacionariedad de la serie con los
valores expresados en logaritmos de tal manera que se pueda eliminar de cierta
forma cualquier posible problema de heterocedasticidad que pueda presentar la
serie, y en cierta medida que esta sea estacionaria en la varianza.
Seguidamente se presentan: le gráfico en niveles de la serie, el correlograma del
mismo y los test de Dickey-Fuller y Phillips-Perron
En el gráfico se observa que la serie no tiene una media constante al mostrar una
clara tendencia negativa, lo cual indica la no estacionariedad de la serie en
niveles.
En el correlograma se puede observar como la función d autocorrelación (ACF)
decrece exponencialmente y de forma lenta, mientras que la función de
autocorrelación parcial presenta un valor significativo en el retardo uno, con un
60
61. coeficiente de autocorrelación cercano a uno (0,971). Este correlograma reafirma
la hipótesis de no estacionariedad de la serie.
Finalmente tanto el test de Dickey-Fuller como el de Phillips-Perron llevan a
aceptar la hipótesis nula de la existencia de raíz unitaria en la serie. En conclusión,
la serie en niveles no es estacionaria
61
62. A continuación se realizan las mismas pruebas para la serie en primera diferencia
PRECIOS PRECIOS t PRECIOS t 1
El grafico muestra como la media de la serie es constante, lo cual es indicativo de
que la serie es estacionaria
En el correlograma se observa como la función de autocorrelación no es
significativo para ningún rezago, lo cual es indicativo de una serie estacionaria.
62
63. En el test de Dickey-Fuller se acepta la hipótesis alterna de la no existencia de raíz
unitaria en la serie, es decir, la serie en primera diferencia es estacionaria. Es
importante resaltar, que se ha comprobado a través del Correlograma de los
residuos, que estos sean un ruido blanco con el fin de validar los resultados del
test
63
64. .
El test de Phillips-Perron reafirma los resultados del test de Dickey-Fuller
Como se mencionó anteriormente la serie LPRECIOS no es estacionaria en
niveles, por lo que es necesario trabajar con la serie en primera diferencia
( PRECIOS PRECIOS t PRECIOS t 1 ). Ahora es necesario analizar las funciones
de Autocorrelación y Autocorrelación parcial de DLPRECIOS con el propósito de
construir el modelo ARIMA que mejor explique su comportamiento. Para
determinar el orden óptimo de “p” y “q” se utilizará la aproximación de Box-Jenkis,
es decir, se estudiará la Función de Autocorrelación, (cuyo estudio permite
encontrar el nivel de “q” óptimo) y la Función de Autocorrelación Parcial (que
permite encontrar el nivel de “p” optimo), A continuación se muestra el
correlograma
64
65. Como puede observarse en el correlograma ni la ACF Ni la PACF muestran un
comportamiento sistemático, lo que si puede observarse claramente es que ambas
funciones se mueven en el mismo sentido, lo que puede indicar que el orden de
“p” y “q” son iguales.
De forma que el procedimiento de determinación de “p” y “q” óptimos será por
tanteo y de esta forma encontrar la especificación que mejor se ajuste al
comportamiento de la serie.
Inicialmente estimaremos un modelo ARIMA (1,1,1)
65
66. Como se puede observar en los resultados obtenidos, los coeficientes son
individualmente significativos y los residuales son ruido blanco, lo que es indicativo
del buen ajuste del modelo, no obstante los valores de las raíces invertidas son
muy cercanos a uno 23. Por lo que se desecha el modelo.
23
Es importante chequear la estacionariedad e invertibilidad del modelo ARIMA. La invertibilidad
define la capacidad de un modelo para representar adecuadamente el corto plazo, esto es, un
modelo invertible es aquel en el cual el valor corriente de la serie Xt es fundamentalmente
determinado por el pasado mas reciente. Verificar la estacionariedad e invertibilidad, se lleva a
cabo mediante los polinomios B y B de la siguiente manera:
1) un modelo AR(p) es estacionario si la raíces del polinomio B están fuera del circuito
unitario, esto es, si es raíz de B debe cumplirse que 1 lo que equivale que su raíz
1
invertida sea menor que 1, 1 1
2) un modelo MA(q) es invertible si la raíces del polinomio B están fuera del circuito unitario,
esto es, si es raíz de B debe cumplirse que , 1 lo que equivale que su raíz invertida
1
sea menor que 1, 1 1
3) Un modelo ARMA(p,q) será estacionario e invertible si las raíces de los polinomios
B y B se encuentran fuera del circulo unitario.
66
68. En el modelo resultante se puede ver que los coeficientes son individualmente
significativos 24 y las raíces invertidas son menores que uno (0,50 y 0,48). Igualmente
los valores de los criterios de Akaike y Schwarz son menores que en modelo ARIMA
(1,1,1). Finalmente se comprobó a trabes del correlograma que los residuos son ruido
blanco.
Otra forma de chequear si los residuales son ruido blanco es utilizando el Serial
Correlation LM test
el cual determina la presencia o no de correlación serial en el modelo a través de la
estimación de un modelo en el cual los residuales están en función de las variables
explicativas del modelo original y de sus valores rezagados.
24
Tanto en el modelo ARMA(1,1,1) como en el ARMA(2,1,2), el intercepto no resultó significativo, motivo
por el cual se omitió en las salidas finales.
68
69. Como se puede observar ninguno de los coeficientes de los rezagos de los residuales
son significativos lo que indica la no autocorrelación del modelo, por lo que se puede
afirmar que los residuales son ruido blanco.
Finalmente realizamos una estimación con el modelo ARIMA (2,1,2) de los valores de
la serie para comprobar la calidad del ajuste. Para tal fin señalamos FORECAST en el
menú secundario de Eviews, y seleccionamos la estimación estática.
Eviews procederá a realizar la estimación de la variable que le indiquemos y la
almacenará en una variable creada por defecto para tal propósito, la cual tiene el
mismo nombre de la variable a estimar pero con la letra “F” al final de la misma.
69
70. Graficando las dos variables, la real, LPRECIOS, y la estimada LPRECIOSF, podemos
apreciar la calidad del ajuste de nuestro modelo ARIMA (2,1,2).
Finalmente, después de aceptar el modelo ARIMA (2,1,2) como nuestro modelo
óptimo, procedemos a estimar los valores proyectados para los próximos 7 meses.
Antes de proceder a la estimación es necesario cambiar los parámetros del rango y
sample de la serie para que estos incluyan el período a proyectar.
70
71. pulsando dos veces el botón derecho del ratón de la computadora sobre el rango, y
posteriormente en el sample, en la pantalla, aparecerá los siguientes cuadros, donde
se definirá los nuevos parámetros.
ya realizado el cambio en el rango y el sample, procedemos a realizar una estimación
dinámica del modelo, igual que en el caso anterior señalamos en el menú secundario
FORECAST e indicamos las características de la estimación
71
73. EJERCICIO Nº 3
A continuación se presenta datos para el indicador de valor de la industria
manufacturera 25privada para el período enero 1992 – mayo 2001
CUADRO N° 2
INDUSTRIA MANUFACTURERA PRIVADA
ÍNDICE DE VALOR DE LA PRODUCCIÓN
(BASE 1997=100)
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
ENERO 9,14 11,70 14,95 26,22 43,56 74,84 105,42 98,77 104,81 133,84
FEBRERO 10,83 13,59 17,29 30,06 52,26 81,93 117,13 113,21 131,36 145,18
M ARZO 11,66 16,01 19,47 37,48 62,94 85,81 137,49 123,78 146,06 170,76
ABRIL 10,86 12,66 19,36 30,92 59,08 99,09 122,83 111,43 121,98 143,29
M AYO 12,10 14,43 22,11 40,30 72,53 97,36 125,06 118,93 147,96 170,00
JUNIO 12,63 13,80 22,55 39,79 71,69 99,18 121,26 119,50 144,44
JULIO 12,48 14,70 20,76 37,55 81,40 107,32 114,27 122,79 138,10
AGOSTO 12,50 16,19 23,63 42,51 80,94 106,24 117,59 127,32 154,03
SEPTIEM BRE 12,84 17,14 24,45 40,61 84,89 111,73 121,19 130,77 151,35
OCTUBRE 13,28 16,80 25,45 39,73 83,12 120,11 124,18 127,00 155,85
NOVIEM BRE 13,76 18,01 28,88 44,78 84,68 116,24 130,04 139,07 171,28
DICIEM BRE 11,10 14,75 24,59 37,05 67,17 100,13 100,32 112,28 140,54
25
Ejercicio tomado de: Benzaquen S. Moises y Manuel Delgado. “Evaluación del Comportamiento
Actual y Modelización del Comportamiento Futuro del Sector Manufacturero Privado Venezolano a
Través del Indice Valor período( 1992-2000”. Trabajo Especial de Grado para optar al Título de
Economista (01-08-N). Universidad Santa María. Caracas. 2001
73
74. Como primer paso, se presenta el gráfico de la variable en estudio para determinar si
es estacionaria o no. Una variable estacionaria en su media no muestra tendencia ya
que por definición su media es constante
GRAFICO Nº 9
ESTUDIO DE LA VARIABLE
EN NIVELES
En el gráfico se ve claramente que la media no es constante, presenta una clara
tendencia, lo que señala la no estacionariedad en la varianza del modelo.
La variable se ha expresado en logaritmo para que la serie sea estacionaria en su
varianza.
Como segundo paso, se realiza el análisis del correlograma. La condición de
estacionariedad se caracteriza por una caída rápida en la autocorrelación.
GRAFICO Nº 10
74
75. CORRELOGRAMA DE LA VARIABLE EN NIVELES
Se puede observar que la autocorrelación desciende muy lentamente, lo que señala la
no estacionariedad en la media de la variable.
los estudios anteriores determinan que la variable en niveles no es estacionaria, por lo
tanto a continuación se analiza con la misma metodología la primera diferencia del
logaritmo de la variable.
Gráfico Nº 11
ESTUDIO DE LA VARIABLE EN
PRIMERA DIFERENCIA
El gráfico muestra medida y varianza constante, lo que indica que la variable es
débilmente estacionaria.
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