Presentación de números reales

1. Alumno: Ángel Álvarez
Cedula: 30.803.356
PNF: sist. Calidad y Ambiente
Sección: 0113
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto- Lara

2. Un conjunto es la
agrupación de
diferentes elementos
que comparten entre sí
características y
propiedades
semejantes.
• UNION DE CONJUNTO
• INTERSECCION DE CONJUNTO
• DIFERENCIA DE CONJUNTOS
• COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
¿Y cómo se representan los
conjuntos?. Por lo general los conjuntos
son representados o simbolizan por
letras mayúsculas como:
A,B,C,X,Y,zA,B,C,X,Y,z
y sus elementos se representan con
letras minúsculas para generalizar una
variable que representen a los
elementos de manera individual con la
propiedad que lo caracteriza así:
a,b,c,x,y,z
UNIÓN DE CONJUNTOS
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por
los elementos de A o de B, es decir:

3. Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al
conjunto formado por objetos que son elementos de A y
de B, es decir:
En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al
conjunto A ' formado por todos los elementos de U, pero no de A, se
llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se
expresa:

4. Se puede definir a los números reales como aquellos
números que tienen expansión decimal periódica o
tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 =
0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=
1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223….
Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) Π también es real.
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos
son los números son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los
números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por diferentes combinaciones de
los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre
de dígitos.
Ejemplo
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros
tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número
de libros que hay en una biblioteca.

5. Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números
naturales y sus números simétricos, o sea, los quedan del otro
lado de la recta. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los
enteros negativos. Los números negativos se denotan con un
signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se
representa como:
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente
número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que:
negrita n negrita más abrir paréntesis negrita menos negrita n cerrar
paréntesis negrita igual negrita 0
Y los simétricos de Y y 27 son, respectivamente:
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los
números menores que cero son los enteros negativos.
Los números racionales, que también se conocen como
fraccionarios, surgen por la necesidad de medir cantidades
que no necesariamente son enteras. Medir magnitudes
continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó
al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números
racionales se designa con la letra Q:

6. Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse
como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se
representa por la letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción
son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro
de una circunferencia es el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales:
Propiedades de los números reales
Los números reales tienen la propiedad de que con ellos se pueden
hacer dos operaciones básicas que se conocen como suma y
producto (o multiplicación), y cumplen lo siguiente:
La suma de dos números reales tiene como resultado otro número
real, a esto se le conoce como ser cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ,
entonces a+b ∈ ℜ.
La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su
suma es igual a 0: a+(-a)=0
La multiplicación de dos números reales es cerrada: si a y b ∈ ℜ,
entonces a . b ∈ ℜ.
La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b.
a.
El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real
llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)

7. Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se
tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado,
como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que
a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente
menor que" o "estrictamente mayor que"
• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b.
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b.
este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades
amplias (o no estrictas).
• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación
indica por lo general una diferencia de varios órdenes de
magnitud.
• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no
indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a |, se define
como :
o sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número
si éste es 0 ó positivo y es igual a su inverso aditivo si es negativo.
Sabemos que todo número positivo x tiene dos raíces cuadradas,
una positiva y
otra negativa . A la positiva la denotamos con √x a la negativa con
- √x; .
Considerando que 𝑥2 es la raíz cuadrada positiva de 𝑎2
, se tiene
que:
√𝑎2
=|a|

8. DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x|≻ 3 significa que la distancia entre X y 0 es menor que 4.
Así, x< −3 y x< 3. El conjunto solución es 𝑥| − 3 < 𝑥 < 3, 𝑥 ∈ 𝑅
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si |a|< 𝑏 entonces
a< 𝑏 y a≻ 𝑏.