Electrocinetiqu mpsi

Lycée technique Mohamed V
Centre des classes préparatoires
Béni Mellal
M.P.S.I
COURS DE PHYSIQUE
MPSI
ÉLECTROCINÉTIQUE
EL FILALI SAID

ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
CPGE/Béni Mellal Page -2/73- -SAID EL FILALI-

Table des matières
1 LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-
PERMANENTS 5
1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Bilan de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Tension électrique, loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Caractère générateur et récepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT 9
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R, C et L . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1.3 Effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2.2 Association des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3.2 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Diviseurs de tension et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Diviseurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Diviseurs de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Générateur de courant (représentation de NORTON) . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Générateur de tension (représentation de THEVENIN) . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Équivalence entre les deux modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 THÉORÈMES DE BASES ET MODÉLISATIONS DES RÉSEAUX LINÉAIRES 17
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Théorème de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3

TABLE DES MATIÈRES ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
3.3 Théorème de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Théorème Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Théorème de Norton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Régime transitoire 23
4.1 Cas du circuit (R-C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1.1 L’équation différentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de temps τ : . . . . 24
4.1.1.2.1 La pente à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1.2.2 la valeur de u(τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1.2.3 Temps de montée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1.3 Le portrait de phase : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1.3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase . . . . . . . . . . 26
4.1.1.4 Aspect énergétique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) : . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2.1 Équation différentielle et solution : . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase : . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Cas du circuit (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1.1 L’équation différentielle et solution . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1.3 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Circuit (RLC) série : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Régime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1.1 Régime apériodique ∆′
> 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1.2 Régime critique ∆′
= 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′
< 0 : . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Régime alternatif sinusoidal 39
5.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Impedance complexe et admittance complexe : . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2.1 Déﬁnitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2.2 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2.2.1 Impedance d’un resistor . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1 Régime transitoire et régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2 Étude de l’impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge) . . . . . . . . 44
5.2.3.1 Équation différentielle et solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3.4 Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.4 Résonance en intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.4.1 Étude de l’amplitude Im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.4.2 La bande passante à -3dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.4.3 Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 La puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1 Facteur de puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.2 Adaptation d’impedance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Diagramme de BODE des filtres du premier et second ordre 55
6.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle . . . . . . . . 56
6.1.4 Diagrammes de BODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Principaux types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.1.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 Filtres du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.1 Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.1.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4.3 Filtre passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4.4.2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques va-
leurs de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4.4.2.3 La bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Chapitre 1
LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE
L’APPROXIMATION DES RÉGIMES
QUASI-PERMANENTS
1.1 INTRODUCTION
• L’éléctrocinétique :
Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux élec-
triques.
• Cadre de l’étude :
L’étude de l’éléctrocinétique se fait dans le cadre de l’Approximation des états (ou régimes)
quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) noté ARQP ou AEQS (plus de détail voir MP). en
effet :
L’approximation des états quasi-stationnaires consiste à limiter l’étude des réseaux éléc-
trocinétiques à des dimensions maximales ℓmax et à des durées minimales τmin vérifiant la
condition suivante :
ℓmax
τmin
≪ co c0 = 2, 99792458 108
ms−1
co étant la célérité de la lumière .
Remarque- 1 :
Dans ce cadre,on peut négliger tout phénomène de propagation dans le réseau éléctroci-
nétique ; en particulier, la modification d’une grandeur électrique en un point du circuit a
pour conséquence des modifications instantanées des grandeurs analogues caractérisant les
autres points du réseau.
• Exemples :
⊲ Pour un circuit de dimension ℓmax = 3 m, on trouve τmin ≫ 10−8
s ; on pourra donc se
placer dans le cadre de l’ARQP pour l’étude d’un signal de fréquence fmax ≪ 108
Hz =
100 MHz, ce qui correspond à ce qu’on appelle électronique basse fréquence.
⊲ Par contre, l’électronique de haute fréquence peut imposer la miniaturisation des cir-
cuits, sous peine de sortir du domaine de l’ARQP ; ainsi à la fréquence de réception des
7

1.2. COURANT ÉLECTRIQUE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
signaux de téléphonie cellulaire (f = 1800 MHz donc τmin = 5, 6.10−10
s), l’ARQP im-
pose ℓmax ≪ 17 cm, ce qui est nettement plus restrictif.
⊲ Pour le courant industriel, à la fréquence f = 50 Hz, donc avec τmin = 20 ms ; la
condition de l’ARQP impose donc ℓmax ≪ 6000 km : cette condition est aisément remplie
pour un réseau domestique ou une installation industrielle. Par contre, dans un réseau d’ali-
mentation de puissance à l’échelle continentale, il est indispensable de prendre en compte
les effets de propagation.
1.2 Courant électrique
1.2.1 Définition
Une charge électrique dq qui traverse une surface S pendant un intervalle de temps dt crée
un courant d’intensité i telle que :
i =
dq
dt
⇐⇒ q = i dt
Si q(C) et t(s) alors i(A).
Remarque- 2 :
Le sens du courant est le sens du déplacement des porteurs de charges positifs.
Application :(Mouvement de porteurs(NHP page 21))
1.2.2 Bilan de charges
On admet que la charge (q) et la masse (m) d’un système isolé sont conservatives.
1.2.3 Loi des nœuds
Définition :
On appelle nœud un point de jonction entre au moins trois fils de connexion.
La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge électrique dans le cadre de
l’ARQP. La charge électrique ne peut pas s’accumuler au niveau des nœuds.
ie = is ⇐⇒
N
k=0
εkik = 0
avec ε2
= 1.
C’est la première loi de Kirchhoff .

1.3. TENSION ÉLECTRIQUE, LOI DES MAILLES ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
1.3 Tension électrique, loi des mailles
• On appelle branche un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds .
• On appelle maille un ensemble de branches formant un contour fermé .
Remarque- 3 :
Une maille peut être orientée arbitrairement.
• On admet que la somme algébrique des tensions (ou différence de potentiel ) dans une maille
est nulle : c’est la deuxième loi de Kirchhoff .
N
k=0
εkuk = 0
1.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle
Soit un dipôle D traversé par un courant électrique i(t) , maintenant entre ces bornes une
tension uAB.
i(t)
uAB
D
La puissance électromagnétique reçue par le dipôle D est donnée par :
P = uAB(t)i(t)
Et par conséquent l’énergie reçue pendant la durée tf − ti vaut :
W =
tf
ti
uAB(t)i(t) dt
Remarque- 4 :
On adopte la convention thermodynamique :
⋆ L’énergie reçue par un système sera comptée positive.
⋆ L’énergie fournie par un système sera comptée négative.
1.5 Caractère générateur et récepteur
i
u
D
Convention générateur
i
u
D
Convention récepteur

1.5. CARACTÈRE GÉNÉRATEUR ET RÉCEPTEUR ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
• En convention générateur les ﬂèches représentant la tension et le courant sont dans le même
sens La quantité P = ui représente la puissance électrique cédée par le dipôle au reste du
circuit.
• En convention récepteur les ﬂèches représentant la tension et le courant sont en sens in-
verses. La quantité P = ui représente la puissance électrique reçue par le dipôle .

Chapitre 2
ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES
EN RÉGIME CONTINU OU
QUASI-PERMANENT
2.1 Déﬁnition
iD
uD
D
Un dipôle D est dit linéaire si le courant iD et la tension uD sont reliés par une équation linéaire
Exemples :
Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le générateur (dans le domaine de linéarité
(voir TD))
2.2 Modélisation de dipoles passifs linéaires R, C et L
2.2.1 Le conducteur ohmique
2.2.1.1 Modélisation
i
u
Résistor
i
u
Résistance R
≡
On modélise un resistor par une résistance R tel que :
u = Ri
On conclut que le résistor est un dipôle linéaire.
11

2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRES R, C ET LÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Remarque- 5 :
1. Pour un ﬁl cylindrique de section S et de longueur ℓ et de résistivité ρ alors :
R =
1
G
= ρ
ℓ
S
=
1
σ
ℓ
S
avec : G la conductivité (S (siemens)) , ρ la résistivité du conducteur (Ω.m) et σ la conduc-
tivité du conducteur (S.m−1
)
2. ρ représente la résistance d’un d’un ﬁl de section 1 m2
et de longueur 1 m ; ainsi pour σ.
3. Un conducteur ohmique est dit parfait s’il ne présente pas de propriétés diélectiques (εr = 1)
et magnétiques (µr = 1).(Voir cours d’électromagnétismes des milieux)
2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques
• Des résistances sont montées en série s’elles sont traversées par le même courant et on a :
Re =
i=N
i=1
Ri
• Des résistances sont montées en parallèle s’elles sont maintenues par la même tension et on a :
1
Re
=
i=N
i=1
1
Ri
Application :
Deux résistances R1 et R2 en parallèle alors :
Re =
R1R2
R1 + R2
=
Produit
Somme
2.2.1.3 Effet Joule
Lorsque un courant i traverse une résistance R pendant la durée dt , on a dissipation de
l’énergie
dEJ = dWJ = uRiR dt =⇒ WJ =
tf
ti
uRiR dt
En continue :
WJ = RI2
∆t =⇒ PJ = RI2

2.2.2 Le condensateur
Constitué par deux conducteurs en inﬂuence totale ,séparés par un di-
électrique (papier ,mica ,plastique,.....) ;on le modélise par une capacité
C en parallèle avec une resistance de fuite Rf
A B
C
Rf
Pour les condensateurs électrochimiques (polarisés et la valeur de C varie de quelques mF à
quelques F la resistance de fuite Rf > 1MΩ
Un condensateur est dit idéal si Rf → ∞
i
+q −q
A B
u
Le condensateur se charge
u =
q
C
; i =
dq
dt
> 0
Convention générateur
i
+q −q
A B
u
Le condensateur se décharge
u =
q
C
; i = −
dq
dt
< 0
Remarque- 6 :
1. Pour un condensateur plan dont les armatures ont une section S et séparé par une distance
e on a :C = εo
S
e
.
2. Si l’espace entre les armatures du condensateur est rempli par un diélectrique de permitivité
diélectrique εr alors C = εrCo
2.2.2.2 Association des condensateurs
• Association série :
1
Ce
=
i=N
i=1
1
Ci
• Association parallèle :
Ce =
i=N
i=1
Ci
2.2.2.3 Aspect énergétique
L’énergie d’un condensateur idéal est :
Epe =
q2
2C
=⇒ P(t) = lim
∆t→0
∆Epe
∆t
=
1
2C
lim
∆t→0
∆q2
∆t

Remarque- 7 :
La tension aux bornes du condensateur ainsi sa charge sont des fonctions continues en fonction
du temps.
En effet : on suppose qc est discontinue ;c’est à dire ∆qc =
0 ∀ ∆t < ε
Si qc est discontinue alors q2
c est discontinue ce qui donne :
P(t) =
1
2C
lim
∆t→0
∆q2
∆t
→ ∞ impossible physiquement
.
Donc La charge (la tension ) du condensateur est continue t
q
∆qe
to
Remarque- 8 :
La valeur de C ; la tension Umax ainsi la polarité sont données par le constructeur.
2.2.3 La bobine
Une bobine est un ﬁl conducteur enroulé sur un isolant
On modélise une bobine par une inductance L en série avec une resistance r.
i L r
U
On convention récepteur on donc :
u = L
di
dt
+ ri
Remarque- 9 :
• Pour les bobines sans noyau de fer : L = cte(i),L ne depend pas de i.Par contre les bobines
avec noyau de fer L = L(i)
Mais pour i faible on peut considérer L ≃ cte (un DL à l’ordre 0 au voisinage de i)
• L’énergie d’une bobine parfaite (r = 0) : Epm =
1
2
Li2
• Association des bobines parfaites :
⋆ Parallèle :
1
Le
= 1
Li
⋆ Série : Le = Li
• L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue de temps

2.3. DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT. ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
2.3 Diviseurs de tension et de courant.
2.3.1 Diviseurs de courant
Soit une association parallèle des résistances Rk :
I
IN
Ik
I1
I
Soit Re la résistance équivalente ;c’est à dire
1
Re
=
k=N
k=1
1
Rk
; on a donc :U = RkIk = ReI avec I
le courant principal ; il en résulte que :
Ik =
Re
Rk
I
C’est le diviseur de courant
Cas particulier important :N = 2
I1 =
R2
R1 + R2
I et I2 =
R1
R1 + R2
I
Remarque- 10 :
Si R1 = R2 =⇒ I1 = I2 =
I
2
: méthode demi-courant utiliser pour déterminer les résistances de
faibles valeurs (voir TP)
2.3.2 Diviseurs de tension
Soit une association série de N résistances Rk avec k = 1 → N :
R1 R2
RNU
Rk RN−1

2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Soit Uk la tension aux bornes de la résistance Rk et Re la résistance équivalente c’est à dire
Re =
k=N
k=1
Rk .On a : I =
Uk
Rk
=
U
Re
; ce qui donne la loi du diviseur de tension :
Uk =
Rk
Re
U =
Rk
k=N
k=1
Rk
U
Cas particulier important :N = 2
U1 =
R1
R1 + R2
U et U2 =
R2
R1 + R2
I
Remarque- 11 :
Si R1 = R2 =⇒ U1 = U2 =
U
2
: méthode demi-tension utiliser pour déterminer les résistances de
grandes valeurs (voir TP)
2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif
Soit un circuit électrique linéaire ( constitué des dipoles linéaires) contenant une source de
puissance électrique ; A et B deux points de ce circuit.
A
BCircuit
linéaire
UAB
I
2.4.1 Générateur de courant (représentation de NORTON)
Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit par un
générateur de courant réel de courant électromoteur IN et de résistance interne rN ( générateur
de courant idéal en parallèle avec une résistance) : C’est la modélisation de Norton .
UAB
A
B
I
IN RN
Dans cette modélisation on a :
I = IN −
UAB
RN
= IN − GN UAB

2.4.2 Générateur de tension (représentation de THEVENIN)
Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser le reste du circuit par un
générateur de tension réel de force électromotrice Eth et de résistance interne rth ( générateur de
tension idéal en série avec une résistance) : C’est la modélisation de Thevenin .
UAB
A
B
I
Eth
rth
Dans cette modélisation on a :
UAB = Eth − rthI =⇒ I =
Eth
rth
−
UAB
rth
2.4.3 Équivalence entre les deux modélisations
Puisque dans les deux modèles de Thevenin et Norton le courant I et la tension UAB sont les
mêmes quelque soit le circuit linéaire alors on en déduit que :
IN =
Eth
rth
et rN = rth

Chapitre 3
THÉORÈMES DE BASES ET
MODÉLISATIONS DES RÉSEAUX
LINÉAIRES
3.1 Déﬁnitions
• Un générateur (de tension ou de courant ) est une source de puissance qui fournit de l’éner-
gie au circuit extérieur .
• Générateur indépendant : source de puissance électrique indépendante d’autre grandeur élec-
trique du circuit.
• Générateur lié : si une des grandeurs physiques dépend d’une grandeur électrique du circuit .
Exemple :
Le transistor : c’est un générateur de courant en régime linéaire puisque Ic = βIB (générateur de
courant lié).
3.2 Théorème de Millman
Le théorème de Millmann n’est rien d’autre que la loi des nœuds exprimé en terme de potentiel
(reference commune est la masse )
On a :
I1 + I2 + I3 + I4 − I5 + I6 = 0
I1 =
V1 − VM
R1
= G1(V1 − VM )
I2 =
V2 − VM
R2
= G2(V2 − VM )
I3 =
V3 − VM
R3
= G3(V3 − VM )
I4 =
V4 − VM
R4
= G4(V4 − VM )
R1
R4
R3
R2
V1
V2
V3
V4
M
I
I
5
6
I1
I2
I3
I4
G1(V1 − VM ) + G2(V2 − VM ) + G3(V3 − VM ) + G4(V4 − VM ) − I5 + I6 = 0
19

3.3. THÉORÈME DE SUPERPOSITION ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
On tire que :
VM =
−I5 + I6 + G1V1 + G2V2 + G3V3 + G4V4
G1 + G2 + G3 + G4
=
GiVi + εIi
Gi
Application : Voir TD
3.3 Théorème de superposition
Énoncé :
Le courant I qui circule dans la branche AB d’un réseau
électrique linéaire peut s’écrire comme la somme des cou-
rants électriques qu’impose chaque source de puissance
(générateur) électrique dans cette branche comme s’elle
était seule
R1 R4
R3 R5
R2
A
B
(E1, r1) (E2, r2)
I
Remarque- 12 :
⋆ éteindre une source de courant idéale est équivalent à un interrupteur ouvert.
⋆ éteindre une source de tension idéale est équivalent à un interrupteur fermé (ﬁl).
Posons I = I′
+ I” ; avec I′
: le courant fournit parE1 et I” : le courant fournit par E2
Détermination de I′
:
On pose :R′
1 = R1 + R3 et R′
4 = R4 + R5
On applique le diviseur de courant on obtient :
• I′
=
r2 + R′
4
R2 + R′
4 + r2
I1
• I1 =
E1
Re
; avec :Re = R′
1 + r1 + (R2//(R′
4 + r2))
Re =
(R′
1 + r1)(R2 + R′
4 + r2) + R2(R′
4 + r2)
R2 + R′
4 + r2
R1 R4
R3 R5
R2
A
B
(E1,r1) r2
I′
I1
I′
=
(r2 + R′
4)E1
(R′
1 + r1)(R2 + R′
4 + r2) + R2(R′
4 + r2)
Détermination de I” :
• I” =
r1 + R′
1
R2 + R′
1 + r1
I2
• I2 =
E2
R′
e
; avec :
R′
e =
(R′
4 + r2)(R2 + R′
1 + r1) + R2(R′
1 + r1)
R2 + R′
1 + r1
R1 R4
R3 R5
R2
A
B
(E2,r2)r1
I”
I2
I” =
(r1 + R′
1)E2
(R′
4 + r2)(R2 + R′
1 + r1) + R2(R′
1 + r1)

3.4. THÉORÈME THEVENIN ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
On en déduit que :
I = I′
+ I” =
(r2 + R′
4)E1
(R′
1 + r1)(R2 + R′
4 + r2) + R2(R′
4 + r2)
+
(r2 + R′
4)E1
(R′
1 + r1)(R2 + R′
4 + r2) + R2(R′
4 + r2)
3.4 Théorème Thevenin
Énoncé :
Un réseau électrique linéaire peut être modéliser ,vu des points A et B par une source de Théve-
nin dont la force électromotrice Eth et l’impedance Zth (rth) sont données par :
⋆ Zth : En mesurant l’impedance du reseau (la charge étant enlevée) entre les points A et
B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.
⋆ Eth : La tension UAB à vide (I = 0) aux bornes du réseaux (on enlève la resistance RAB
Eth = UAB)I=0
A
B
E
Th
R
ThCircuit linéaire
quelconque entre A et B
Ith
RAB Ith =
Eth
Rth + RAB

3.5. THÉORÈME DE NORTON : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Application :pont de Wheatstone :
Utiliser pour la mesure des résistances (impedances)
>
)
*
-
6D
4
6D
4
4

4
!
4

-
)
*
,
4

4
Détermination de la résistance de Thevenin :
4
4
4!
4
)
*
)
*
4 4
4 4!
rth =
R1R4
R1 + R4
+
R2R3
R2 + R3
Détermination de la fem du générateur de Theve-
nin :
4
4

4
!
4

-
)
*
,UAB(vide)
Eth =
R2R4 − R1R3
(R1 + R4)(R2 + R3)
E
D’où :
IAB =
R2R4 − R1R3
(R1 + R4)(R2 + R3)
E
R +
R1R4
R1 + R4
+
R2R3
R2 + R3
On dit que le pont est en équilibre si IAB = 0 par conséquent :
R2R4 = R1R3
condition d’équilibre (règle de gamma)
3.5 Théorème de Norton :
Énoncé :
Un réseau électrique linéaire peut être vu des points A et B lorsque on enlève la charge comme
une source de Norton d’impedance ZN et de courant de court-circuit IN donné par :
⋆ IN : courant de court-circuit qui passe entre A et B (la charge étant enlevée) lorsque
UAB = 0.
⋆ ZN : l’impedance du reseau vu des points A et B lorsque on éteint toutes les sources
autonomes (indépendantes) ; la charge étant enlevée

R
A
B
N
IN
R R
reseau
linéaire
R
A
B
N
IN
R R
reseau
linéaire
I
I
I =
RN
RN + R
IN
Remarque- 13 :
• Un générateur de courant idéal si RN → ∞(ne consomme pas d’énergie)
• Un générateur de tension est idéal si rth → 0
• court-circuité un générateur de tension c’est le remplacer par un ﬁl ; et court-circuité un
générateur de courant c’est le remplacer par un interrupteur ouvert.
Exercices d’application : ( voir TD)

Chapitre 4
Régime transitoire
Le but est de déterminer la constante de temps τ caractéristique du régime transitoire.
Pout cela excitons un système linéaire par une tension continue à t = 0 .
On appelle échelon de tension e(t) déﬁni par :
e(t)
E si t 0
0 si t 0
J
AJ
-

4.1 Cas du circuit (R-C) :
4.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) :
4.1.1.1 L’équation différentielle :
Le condensateur est initialement déchargé :q(0) = 0
à t = 0 on bascule K vers (1) : C se charge .
appliquons la loi des mailles au circuit on obtient :
E − RI −
q
C
= 0 =⇒
dq
dt
+
q
RC
=
E
R
c’est l’équation différentielle du circuit
La solution de cette équation différentielle s’écrit :
R
CE
K
(1)
(2)
R
C
E
I
q(t) = Ae−t/τ
+ CE ; avec τ = RC la constante du temps caractéristique du régime transitoire.
Or par continuité de la charge du condensateur , on a :q(0) = 0 =⇒ A = −CE
Donc : q(t) = CE(1 − e− t
τ )
Lorsque t → ∞, q(t) → CE = Qf
q(t) = CE(1 − e− t
τ )
25

4.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
L’expression du courant électrique :
i(t) =
dq
dt
= Ime− t
τ
avec Im =
E
R
Remarque- 14 :
On a : i(o−
) = 0 , i(0+
) = Im on tire que i(t) est discontinu
Représentation graphique
q,i
t
q(t)
i(t)
CE
τ
4.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de temps τ :
4.1.1.2.1 La pente à l’origine
u(t)
t
Régime permanent
E
D
t
M
M
On a l’équation de la pente à l’origine (droite)D s’écrit sous la forme y = kt avec k =
du(t)
dt t=0
=
E
τ
L’intersection des deux droites au point M en tM = τ
L’intersection de la pente à l’origine avec le régime permanent se fait en t = τ = RC

4.1.1.2.2 la valeur de u(τ)
KJ
J
-
0,63E
τ
Régime permanent
Évaluons u(τ) avec u(t) = E(1 − exp(−t/τ))
t = τ =⇒ u(τ) = E(1 −
1
e
) = 0, 63 E = 63%E
On retient que la valeur 0, 63 E = 63%E correspond à t = τ
4.1.1.2.3 Temps de montée :
On définit deux instants t1 et t2 par u(t1) = 0, 1E et u(t2) = 0, 9E
Et puisque u(t) = E(1 − exp(−t/τ) alors t1 = −τ ln 0, 9 et t2 = −τ ln 0, 1.
KJ
J
-
0,9E
Régime permanent
0,1E
t t1 2
On définit le temps de montée tm par
tm = t2 − t1 = τ ln 9 ≃ 2, 2τ
Remarque- 15 :
L’influence de la constante de temps τ sur la durée de la charge.
Pour cela traçons la charge pour différentes valeurs de τ

t
u(t)
=1
= 5
= 0,2τ
τ
τ
Si τ → 0 alors la charge est presque instantanée
4.1.1.3 Le portrait de phase :
4.1.1.3.1 Déﬁnitions :
• C’est la représentation dans le plan (O, f(x),
f(x)
dt
) lorsque t varie.
• On appelle point de phase un point P ﬁguratif dont les coordonnées à un instant donné t sont
(f(t),
df(t)
dt
).
• Lorsque t varie , le point P décrit une courbe, cette courbe est appelé trajectoire de phase.
• On appelle portrait de phase l’ensemble des trajectoires de phase lorsque les conditions initiales
varient.
4.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase :
Dans notre cas f(t) = q(t) et
df
dt
= i(t).
On a q(t) = CE(1 − exp(−t/τ) et i(t) =
E
R
exp(−t/τ) alors :
i =
E
R
−
1
RC
q
C’est l’équation de la trajectoire de phase :droite de pente −
1
RC
Lorsque E varie alors la trajectoire de phase décrit des droites parallèles.
q(t)
i(t)

4.1.1.4 Aspect énergétique :
On a :
E = Ri +
q
C
=⇒ Eidt = Ri2
dt +
1
C
qdq
Eidt = Ri2
dt + d(
q2
2C
)
On appelle :
Wc =
q2
2C
: énergie totale emmagasinée dans le condensateur .
δWg = Eidt : énergie élémentaire fournit par le générateur .
δWJ = Ri2
dt : énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans le circuit .
t
0
Eidt =
t
0
Ri2
dt +
q
0
q
C
dq
4.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) :
4.1.2.1 Équation différentielle et solution :
Quand le condensateur est chargé (q = CE = Qf ) ,on bascule l’interrupteur vers la position
(2) :donc en prenant l’instant de basculement comme origine des temps ,les conditions initiales
seront :q(0) = CE = Qf ; i(0) = 0
Ri +
1
C
q = 0 =⇒ ˙q +
1
τ
q = 0
La solution est :q(t) = Ae−t/τ
en utilisant les C.I on obtient :
q(t) = CEe−t/τ
i(t) = −
E
R
e−t/τ
q
t
CE
0,1CE
0,9CE
0,37CE
t t
1090
τ
• Lors de la décharge on a :
tf = t10% − t90%

• q(τ) = 0, 37CE
• Le régime permanent est q = 0 (q(t) est une fonction décroissante).
4.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase :
D’après ce qui précède on tire que :
i = −
1
RC
q
C’est une droite afﬁne
q(t)
i(t)
Remarque- 16 • Si on remplace le générateur E et l’interrupteur K par un générateur délivrant
un signal rectangulaire (E,0) on obtient le signal suivant :
La suite voir TP.

4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
4.2 Cas du circuit (R-L) :
4.2.1 Régime forcé :
4.2.1.1 L’équation différentielle et solution
On remplace le condensateur par une bobine idéale dans le circuit précèdent :
l’interrupteur k est en position (1) : E = Ri + L
di
dt
donc :
di
dt
+
R
L
i =
E
L
c’est l’équation différentielle du circuit
R
E
i
L
La solution de cette équation différentielle en posant
τ =
L
R
Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine est continu alors on trouve que :
i(t) =
E
R
(1 − e−t/τ
)
La tension aux bornes de la bobine idéale est :
uL(t) = L
di
dt
= Ee−t/τ
Representation graphique de i(t) et uL(t)
EJ
J
uL(t)

4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
4.2.1.2 Portrait de phase
On a : i =
E
R
(1 − exp(−t/τ)) ainsi
di
dt
=
E
L
exp(−t/τ)
di
dt
=
E
L
−
R
L
i
Le portrait des phase est l’ensemble des droites parallèle de pente −
R
L
= −
1
τ
i(t)
di(t)
dt
E = Ri + L
di
dt
=⇒ Eidt = Ri2
dt + d(
1
2
Li2
)
• δWg = Eidt : l’énergie élémentaire fournie par le générateur.
• δWJ = Ri2
dt : l’énergie élémentaire perdue par effet Joule.
• δWm = d(
1
2
Li2
) : l’énergie élémentaire emmagasinée par la bobine.
Le bilan énergétique pour le circuit s’écrit
Wg = WJ + Wm
4.2.2 Régime libre :
L’interrupteur maintenant en position (2) ; l’équation différentielle sera donc :
Ri + L
di
dt
= 0 ; les conditions initiales sont i(0) =
E
R
par changement d’origine des dates ,la solution s’écrit :
i(t) =
E
R
e−t/τ
La tension au bornes de la bobine est :
uL(t) = −E e−t/τ

4.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Representation graphique de i(t) et uL(t)
J
EJ
Im
uL(t)
4.3 Circuit (RLC) série :
Soit le circuit (RLC) série :
R L
C
i
4.3.1 Régime libre :
L’équation différentielle est :
L¨q + R ˙q +
1
C
q = 0
On pose :ωo =
1
LC
: pulsation propre ainsi 2α =
R
L
=
ωo
Q
;α cœfﬁcient d’amortissement et Q
le facteur de qualité
La forme canonique de l’équation différentielle sera :
¨q + 2α ˙q + ω2
oq = 0
L’équation caractéristique est : r2
+ 2αr + ω2
o = 0
On pose : ∆′
= α2
− ω2
o = (α − ωo)(α + ωo)
4.3.1.1 Régime apériodique ∆′
0 :
∆′
0 =⇒ α ωo : Q
1
2

Deux racines réelles distinctes : r± = −α ± α2 − ω2
o
q(t) = Aer+t
+ Ber−t
=⇒ q(t) = e−αt
[Ae
√
α2−ω2
ot
+ Be−
√
α2−ω2
ot
]
Lorsque t → ∞, e−αt
l’emporte ;d’où q → 0 sans osciller :C’est le régime apériodique.
Détermination des constantes A et B :Pour cela on suppose que q(t = 0) = q0 et i(t = 0) = i0
A + B = q0
Ar1 + Br2 = i0
=⇒



B =
i0 + (α + α2 + ω2
o)qo
2 α2 + ω2
o
A =
−i0 + (−α + α2 + ω2
o)qo
2 α2 + ω2
o
Representation graphique
α = 2, ωo =
√
3, A = B = 0.5 =⇒ qap = e−2t
cosh t
x
q(t)
i(t)
La trajectoire de phase est :
qi
Trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d’un système apériodique
4.3.1.2 Régime critique ∆′
= 0 :
∆′
= 0 =⇒ α = ωo : Q =
1
2
Deux racines réelles confondues : r+ = r− = −α = −ωo
q = (c + dt)e−αt
Quand t → ∞, q → 0 rapidement sans osciller : C’est le régime critique.
• d = 1, c = 1, ωo = α = 2 • q = (1 + t)e−2t
q
i
q
i

Remarque- 17 :
• Le régime critique est le régime le plus rapide qui tend vers le régime permanent (q = 0)
• Si c = 0 alors q(t) = dt e−αt
Représentation temporelle
GJ
J
EJ
J
Portrait de phase
EJ
GJ
4.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′
0 :
∆′
0 =⇒ α ωo : Q
1
2
∆′
= α2
− ω2
o = i2
Ω2
avec :Ω2
= ω2
o − α2
Deux racines complexes conjuguées : r1 = −α + iΩ et r2 = −α − iΩ donc la solution s’écrit :
q(t) = e−αt
(A cos Ωt + B sin Ωt) = C e−αt
cos(Ωt + ϕ)
C’est une fonction pseudopériodique d’amplitude Qm = C e−αt
variable en fonction du temps
Qm t → +∞
−−−−−→
0
La pseudopériode est :
T =
2π
Ω
=
To
1 − ( α
ωo
)2
=
To
1 − 1
4Q2

La fonction q(t) est le produit d’une fonction périodique est une fonction non périodique (am-
plitude), et puisque
−C e−αt
C e−αt
cos(Ωt + ϕ) C e−αt
alors on représente les deux enveloppes puis la fonction q(t) (q(t) ne peut pas dépasser l’enve-
loppe) α = 0.5, ωo =
√
9, 25, Ω = 3, ϕ = 0, qo = 1 =⇒ qpp = e−0.5t
cos 3t
t
q(t)
-C exp(−αt)
C exp(−αt)
t
i(t)
-D exp(−αt)
D exp(−αt)
q(t)
i(t)

Remarque- 18 :
◮ On a T =
2π
Ω
=⇒ T =
2π
ωo 1 −
α
ωo
2
et comme To =
2π
ωo
ainsi 2α
ωo
=
1
Q
Q étant le
facteur de qualité ; alors
T =
To
1 −
α
ωo
2
=
To
1 −
1
4Q2
Si α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1 ;en effet R très faible ,alors T ≃ To oscillations synchrones.
◮ Comme e−αt
est un nombre sans dimension alors α à la dimension d’un temps−1
, on
pose
α =
1
τ
τ s’appelle le temps de relaxation ou temps d’amortissement.
Donc pour t = τ l’amplitude Ce−αt
(t = τ) =
C
e
On conclut donc que :Le temps de relaxation est le temps nécessaire pour que l’amplitude se
divise par e
◮ Pour t = 10τ alors l’amplitude Ce−αt
(t = 10τ) =
C
22026.46579
= 0.0000454C → 0
On retient donc que pour t 10τ le régime transitoire disparaît.
Aspect énergétique :
On a : L¨q + R ˙q +
1
C
q = 0 =⇒ d(
1
2
Li2
) + Ri2
dt + d(
1
2C
q2
) = 0
• W. e = d(
1
2C
q2
) :l’énergie électrostatique élémentaire emmagasinée par le condensateur .
• W. m = d(
1
2
Li2
) :l’énergie magnétique élémentaire emmagasinée par la bobine .
• δWe = Ri2
dt :l’énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans la resistance .
We + WJ + Wm = 0
le bilan énergétique pour le circuit (RLC série) libre
4.3.2 Régime forcé :
On ajoute au circuit précédent un générateur délivrant une une tension continue E
E
(L,r)
C
R
i(t)

L’équation différentielle
On a :E = L
di
dt
+ (R + r)i +
1
C
q et comme i =
dq
dt
= ˙q convention récepteur et en posant
2α =
α
R + r
et ω2
o =
1
LC
alors la forme canonique de l’équation différentielle est :
¨q + 2α ˙q + ω2
oq =
E
L
Solution de l’équation différentielle
La solution est la somme de deux solutions :
• qt(t) solution de l’équation homogène qui tend vers 0 après quelques périodes :elle décrit donc
un régime transitoire
• qp(t) solution particulière décrit le régime permanent.
On a :
• qp(t) = CE
• L’expression de qt(t) dépend du signe de ∆′
.
Pour la suite on suppose que ∆′
0 =⇒ α ωo : régime pseudo-périodique, donc
qt(t) = Ae−αt
cos(Ωt + ϕ)
A l’amplitude ( grandeur positive) et ϕ la phase à l’origine deux constantes déterminés par les
conditions initiales ;on suppose que q(t = 0) = 0 condensateur initialement déchargé et i(t = 0)
bobine initialement déchargé.
q(t) = CE + Ae−αt
cos(Ωt + ϕ) =⇒ q(t = 0) = 0 = CE + A cos ϕ (I)
i(t) = −Ae−αt
(α cos(Ωt + ϕ) + Ω sin(Ωt + ϕ))
i(t = 0) = 0 =⇒ α cos ϕ + Ω sin ϕ = 0 (II)
D’après (II) :
tan ϕ = −
α
Ω
D’après (I) :A = −
CE
cos ϕ
et comme 1 + tan2
x =
1
cos2 x
=⇒
1
cos x
= ±
√
1 + tan2
x
alors A = ±CE 1 +
α2
Ω2
Puisque A est une amplitude alors le signe +, donc
A = CE 1 +
α2
Ω2
Cas particulier important α ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1
Dans ce cas
α ≪ ωo =⇒ Ω = ωo; T = To; A = CE; ϕ = 0
Donc
q(t) = CE(1 + e−αt
cos(ωot))
Ainsi
i(t) = −CEe−αt
(α cos ωot + ωo sin ωot)

Puisque les fonctions cos x et sin x sont bornées et α ≪ ωo alors
i(t) = −CEωoe−αt
sin ωot
Représentation graphique
Représentation de la charge
q(t)
CE
Régime transitoire Régime permanent
t
CE(1+exp(- t))α
CE(1-exp(- t))α
Représentation du courant
CE exp(- t)ω αo
CE exp(- t)ω αo
-
i(t)
Régime transitoire
Régime permanent
t
Représentation du portrait de phase
EJ
GJ+-
+-

Remarque- 19 :
Si on remplace la tension continue E par un générateur de tension carée on obtient le schéma
suivant :
representation graphique
Pour toute les détails voir TP régime transitoire

Chapitre 5
Régime alternatif sinusoidal
Un signal alternatif est un signal qui n’admet pas de composante continue (sa valeur moyenne
est nulle : u(t) = 0) ,en effet son expression s’écrit sous la forme :x(t) = X cos(ωt+ϕ) avec :
• X : amplitude du signal (grandeur positive).
• ωt + ϕ : la phase.
• ω : la pulsation .
• ϕ : La phase à l’origine, c’est à dire la phase pour t = 0
5.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes
5.1.1 Amplitude complexe
Soit un signal sinusoidal d’amplitude Xm et de pulsation ω, c’et à dire x(t) = Xm cos(ωt+ϕ) :
A ce signal on peut lui associer :
◮ Un vecteur tournant de norme Xm et d’angle θ = ωt + ϕ : représentation de Fresnel.
◮ Un nombre complexe de module Xm et d’argument ϕ : représentation complexe.
Rappel :
⊲ | Z1 × Z2 |=| Z1 | + | Z2 | ⊲
Z1
Z2
=
| Z1 |
| Z2 |
⊲ arg(Z1Z2) = arg Z1 + arg Z2 ⊲ arg(Z1/Z2) = arg Z1 − arg Z2
⊲ arg(a 0) = 0 ⊲ arg(a 0) = π ⊲ arg(ja)(a 0) =
π
2
⊲ arg(ja)(a 0) = −
π
2
⊲ = z1 + z2 = z1 + z2 ⊲ z1/z2 = z1/z2
Si Z = a + jb =| Z | ejθ
alors :
⊲ | Z |=
√
a2 + b2 ⊲ sin θ =
b
√
a2 + b2
=
ℑ(Z)
| Z |
⊲ cos θ =
a
√
a2 + b2
=
ℜ(Z)
| Z |
⊲ tan θ =
b
a
=
ℑ(Z)
ℜ(Z)
La notation complexe consiste à associe à une fonction sinusoïdale un nombre complexe :
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) → x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) + jXm sin(ωt + ϕ)
=⇒ x(t) = Xmej(ωt+ϕ)
= Xmejϕ
ejωt
avec :x(t) = ℜ(x(t))
x(t) = Xmejϕ
ejωt
41

5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXESÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
On rappelle que pour un signal sinusoidal :Xe =
Xm
√
2
: valeur efﬁcace.
On pose :
Xm = Xmejϕ
=⇒ Xe = Xeejϕ
On conclut que :
Xe = |Xe| Xm = |Xm| ϕ = arg Xm = arg Xe
Intérêt de la notation complexe :
⋆ Linéarité : en effet
Si x1 = X1m cos(ωt + ϕ1) et x2 = X2m cos(ωt + ϕ2) alors pour :
x = x1 + x2 = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ Xmejϕ
ejωt
= X1mejϕ1
ejωt
+ X2mejϕ2
ejωt
Xm = X1m + X2m
L’addition de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est équivalent à l’addition des
amplitudes complexes en notation complexe.
⋆ Dérivation :
x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ x = Xmejϕ
ejωt
=⇒
dx
dt
= −ωXm sin(ωt + ϕ) = ωXm cos(ωt + ϕ +
π
2
) → ωXmejϕ
ejωt
e
j
π
2 = jωXmejϕ
ejωt
dx
dt
= jωx(t)
Dériver par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par (jω) en notation complexe
⋆ Intégration :
x(t)dt =
1
ω
Xm sin(ωt + ϕ) =
Xm
ω
cos(ωt + ϕ −
π
2
)
→
Xm
ω
ejϕ
ejωt
e
−j
π
2 =
Xm
jω
ejϕ
ejωt
x(t)dt =
1
jω
x(t)
Intégrer par rapport à t en notation réelle revient à multiplier par (
1
jω
) en notation complexe
5.1.2 Impedance complexe et admittance complexe :
5.1.2.1 Déﬁnitions :
Soit un dipole linéaire AB ; i
A B
U
R
i = Im cos(ωt + ϕi) → i = Imejωt
avec Im = Imejϕi

5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXESÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Puisque le dipole est linéaire alors la tension u(t) est sinusoidal de même pulsation ω
u = Um cos(ωt + ϕu) → u = Umejωt
avec Um = Umejϕu
On appelle impedance complexe
Z =
Um
Im
=
Ue
Ie
Z =
Um
Im
ej(ϕu−ϕi)
= Zejϕ
Z = |Z| =
Um
Im
(Ω) ϕ = ϕu − ϕi = arg Z
ϕ étant le déphasage entre u(t) et i(t)
On appelle admittance complexe (S) :
Y m =
1
Zm
=
Im
Um
=
Im
Um
e−jϕ
5.1.2.2 Applications :
5.1.2.2.1 Impedance d’un resistor :
u = Ri =⇒ Um = RIm =⇒
•
ZR = R
• u(t) et i(t) sont en phase
• ϕR = 0
u(t)
5.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale :
u = L
di
dt
=⇒ Um = jLωIm =⇒
ZL = jLω
•
ZL = Lω ; ϕL = +π/2
• ϕL 0 =⇒ u(t) est en quadrature
avance par rapport à i(t)
• ϕL = π/2 =⇒ ∆t = T/4
u(t)
i(t)
∆t
∆t
∆t

5.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
5.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur :
u =
1
C
i(t)dt =⇒ Um =
1
jCω
Im =⇒
ZC =
1
jCω
•
ZC =
1
Cω
; ϕC = −π/2
• ϕC 0 =⇒ u(t) est en quadrature
retard par rapport à i(t)
• |ϕC| = π/2 =⇒ ∆t = T/4
u(t)
i(t)
Remarque- 20 :
Tous les résultats trouvés en courant continu reste valable en régime sinusoidal forcé à condition
de travailler avec les grandeurs complexes
Exemple :Voir TD
5.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé
Soit un circuit RLC série alimenté par un GBF maintenant entre ses bornes une tension
e(t) = E cos(ωt + ϕe) avec ω = 2πf variable ; f étant la fréquence
R
L
C
i
e(t)
5.2.1 Régime transitoire et régime permanent
L’équation différentielle s’écrit :
d2
q
dt2
+
ωo
Q
dq
dt
+ ω2
oq =
E
L
cos(ωt + ϕe)
La solution de cette équation différentielle est la somme de deux solutions :
• Une solution de l’équation homogène (sa forme dépend du signe de ∆′
), cette solution tend vers
0 lorsque t → ∞(t 10τ).
• Une solution particulière qui s’écrit sous la forme Q cos(ωt+ϕq) qui décrit le régime permanent.
Pour représenter les deux régimes on suppose que ∆′
0 , ainsi : q(t) = 1e−0,1t
cos(2t) + 1 cos(t)

t
q(t)
régime transitoire régime permanent
5.2.2 Étude de l’impedance
RLC en série donc Z = ZR + ZC + ZL alors
Z = (R + r) + j(Lω −
1
Cω
)
On tire que :
Z = (R + r)2 + (Lω −
1
Cω
)2 = Re 1 + Q2(x − 1/x)2
tan ϕ =
Lω −
1
Cω
R + r
Cherchons si Z présente un extremum, pour cela calculons
dZ
dω
:
dZ
dω
=
(Lω −
1
Cω
)(L +
1
Cω2
)
(R + r)2 + (Lω −
1
Cω
)2
dZ
dω
= 0 =⇒ Lω =
1
Cω
On retient que Z est minimale pour ω = ωo =
1
√
LC
et sa valeur
minimale est
Zmin = R + r

z
R+r
ω
ωo = 1√
LC
5.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge)
5.2.3.1 Équation différentielle et solution
On a :e(t) = Rei + L
di
dt
+
q
c
et puisque uc =
q
C
et i =
dq
dt
= C
duc
dt
alors
d2
uc
dt2
+
R
L
duc
dt
+
1
LC
uc =
1
LC
e(t)
En posant ω2
o =
1
LC
et 2α =
R
L
=
ωo
Q
la forme canonique
d2
uc
dt2
+
ωo
Q
duc
dt
+ ω2
ouc = ω2
oE cos(ωt + ϕe)
C’est une équation différentielle en uc du second ordre linéaire avec second membre sinusoidal.
La solution de cette équation différentielle en régime permanent s’écrit uc(t) = Uc cos(ωt + ϕc).
Le problème et de déterminer Uc et ϕc.
On utilise la méthode complexe pour déterminer ces deux grandeurs, pour cela on utilise le divi-
seur de tension :
Uc =
1/jCω
Re + jLω + 1/jCω
E =⇒ Uc =
1
1 −
ω
ωo
2
+
j
Q
ω
ωo
E
Posons pour la suite x =
ω
ωo
: pulsation réduite (sans dimension)
Uc =
1
1 − x2 +
j
Q
x
E

Donc
Uc =
E
(1 − x2)2 +
x2
Q2
ϕc = ϕe − arg(1 − x2
+
j
Q
x)
5.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc
Cherchons si Uc présente un extremum ; pour cela calculons
dUc
dx
:
dUc
dx
= −E
x 2(x2
− 1) +
1
Q2
(x2 − 1)2 +
x2
Q2
3/2
On conclut donc que :
• Uc présente en x = 0 =⇒ ω = 0 (Signal continue) un extremum (solution non importante)
• Si Q
1
√
2
Uc présente un deuxième extremum en
xR = 1 −
1
2Q2
=⇒ ωR(charge) = ωo 1 −
1
2Q2
Avec
Uc(max) =
2EQ2
4Q2 − 1
Si Q ≫ 1 alors
Uc(max) = QE
c’est le phénomène de surtension
• Si Q
1
√
2
Uc ne présente pas un deuxième extremum : Uc une fonction décroissante
Représentation pour quelques valeurs de Q

ωo
ω
E
Q = 0, 2
Q = 5
Q = 7
Uc
Q = 1√
2
Remarque- 21 Pour Q 5 =⇒ ωR = 0, 9899ωo ≃ ωo
5.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge
On suppose pour la suite que Q
√
2
2
On déﬁnit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fréquences [f1, f2]
ou [x1, x2]) tel que Uc
Uc(max)
√
2
Uc
U
c(max)
U
c(max)
=QE
E
ωo
ω
√
2
ωc1
ωc2
Vu la courbe de Uc en fonction de x on cherche les valeurs de x ou on a l’égalité.
Tout calcul (avec maple)fait donne :
xc1 =
ωc1
ωo
= 1 −
1
2Q2
−
1
Q
1 −
1
4Q2
xc2 =
ωc2
ωo
= 1 −
1
2Q2
+
1
Q
1 −
1
4Q2

Si Q ≫ 1 alors
ωc1 ≃ ωo 1 −
1
Q
≈ ωo(1 −
1
2Q
) et ωc2 ≃ ωo 1 +
1
Q
≈ ωo(1 +
1
2Q
)
La largeur de la bande passante à -3dB est :
∆ω = ωc2 − ωc1 =
ωo
Q
5.2.3.4 Étude du déphasage φ = ϕc − ϕe
On a :ϕc = ϕe − arg(1 − x2
+
j
Q
x) donc :
sin φ = −
x/Q
(1 − x2)2 +
x2
Q2
0
sin φ 0 =⇒ φ ∈ [−π, 0]
φ = − arg(1 − x2
+
j
Q
x) =⇒ tan φ = −
x
Q
1 − x2
⊲ x → 0 =⇒ φ → 0
⊲ x → 1 =⇒ φ → −
π
2
⊲ x → +∞ =⇒ φ → −π en effet :
φ ∈ [−π, π] =⇒ φ +
π
2
∈ [−
π
2
,
π
2
]
tan(φ +
π
2
) = −
1
tan φ
=
Q(1 − x2
)
x
=⇒ φ = −
π
2
+ arctan
Q(1 − x2
)
x
Pour x → ∞ =⇒ φ → −
π
2
−
π
2
= −π
N
φ
−
π
2
−π

5.2.4 Résonance en intensité
En régime permanent le courant à pour expression i(t) = Im cos(ωt + ϕi) =⇒ i(t) = Imejωt
avec Im = Imejϕi
En appliquant la loi d’Ohm en notation complexe, on obtient
Im =
E
Re + jLω +
1
jCω
=⇒ Im =
E/Re
1 + jQ(x −
1
x
)
5.2.4.1 Étude de l’amplitude Im
On a
Im =
E
|Z|
=
E/Re
1 + Q2 x −
1
x
2
⊲ x = 0 =⇒ Im = 0
⊲ x → ∞ =⇒ Im → 0
⊲ Im est maximal si Z est minimal c’est à dire pour ω = ωo =
1
LC
: C’est la pulsation de
résonance du courant
⊲ Im(ωo) =
E
Re
= Imax
Representation graphique de Im en fonction du facteur de qualité Q
i
Q = 4
Q = 2
x
1
Q = 8
Q = 6
5.2.4.2 La bande passante à -3dB
On déﬁnit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fréquences
[f1, f2]) tel que Im
Imax
√
2
c’est à dire 1 + Q2
x −
1
x
2
2 =⇒ Q2
x −
1
x
2
− 1 0

N
Im
Imax =
E
Re
Imax
√
2
ωo
x2 =
ωc2
ωo
x1 =
ωc1
ωo
D’après le graphe de Im = Im(x) on cherche les x ou l’égalité est satisfaite :
Q2
x −
1
x
2
− 1 = 0 =⇒ Q2
(x −
1
x
)2
= 1
Q2
(x −
1
x
)2
= 1 =⇒ Q(x −
1
x
) = ±1 c’est à dire que
x2
±
1
Q
x − 1 = 0 =⇒ x1/2 = ±
1
2Q
+
1
2Q2
+ 1
x1 =
ω1
ωo
= −
1
2Q
+
1
2Q2
+ 1 ; x2 =
ω2
ωo
=
1
2Q
+
1
2Q2
+ 1
La largeur de la bande passante à -3dB est :
∆ω = ω2 − ω1 =
ωo
Q
=
Re
L
La résonance est aiguë si la bande passante est étroite (Re faible)
Remarque- 22 :
On retrouve la déﬁnition du facteur de qualité
Q =
ωo
∆ω
=
1
R
L
C
=
Lωo
R
=
1
RCωo

5.3. LA PUISSANCE : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
5.2.4.3 Étude du déphasage ϕ = ϕi − ϕe
On a ϕi = ϕe − arg(1 + jQ(x −
1
x
) en posantϕ = ϕi − ϕe alors
ϕ = − arg(1 + jQ(x −
1
x
) =⇒ cos ϕ =
1
1 + Q2(x −
1
x
)2
0 =⇒ ϕ ∈ [−
π
2
,
π
2
]
⊲ Si x → 0 alors ϕ →
π
2
⊲ Si x → ∞ alors ϕ → −
π
2
⊲ Si x → 1(à la résonance en courant) alors ϕ → 0
⊲ Si x → x1 = −
1
2Q
+
1
2Q2
+ 1 alors ϕ → +
π
4
⊲ Si x → x2 =
1
2Q
+
1
2Q2
+ 1 alors ϕ → −
π
4
Representation graphique de ϕ en fonction x
N
ϕ
5.3 La puissance :
5.3.1 Facteur de puissance :
⋆ La puissance instantanée :
p(t) =
δW
δt
= u(t).i(t)

⋆ La puissance moyenne :
Pm = p(t) =
1
T
T
0
p(t)dt
sachant que
• u(t) = Um cos(ωt + ϕu)
• i(t) = Im cos(ωt + ϕi)
• cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a − b)]
Et en posant ϕ = ϕu − ϕi le déphasage de le tension par rapport au courant alors :
Pm = UmIm cos(ωt + ϕu) cos(ωt + ϕi)
Pm = p(t) =
UmIm
2
cos ϕ = UeIe cos ϕ
⊲ cos ϕ : facteur de puissance.
⊲ Pm =
UmIm
2
cos ϕ :puissance active ou puissance utile
⊲ Q =
UmIm
2
sin ϕ :puissance réactive
⊲ S =
UmIm
2
:puissance apparente
S2
= P2
m + Q2
Remarque- 23 :
ui∗
= UI∗
= UmImej(ϕ+ϕi)
e−jϕi
= UmIm cos ϕ + jUmIm sin ϕ
Pm =
1
2
ℜ(ui∗
) =
1
2
ℜ(UmI∗
m) = ℜ(UeI∗
e)
Et puisque Um = ZIm alors
Pm =
I2
2
ℜ(Z) = I2
e ℜ(Z)
On conclut donc que la puissance moyenne est dissipée dans la partie réelle de l’impédance com-
plexe
Intérêt : Soit un générateur alimentant une utilisation à travers une ligne de transport (cables) :
Ligne (Z)
Générateur
utilisation
i
cosϕ

On pose :
◮ Pu = UI cos ϕ : La puissance moyenne utile.
◮ S = UI : La puissance apparente.
◮ PJ = RI2
: La puissance moyenne consommée par la ligne (Z = R + jX)
◮ Pg : la puissance moyenne délivrée par le générateur.
Le bilan énergétique s’écrit :Pg = PJ + Pu
Le rendement énergétique de l’ensemble est :
η =
Pu
Pg
=
1
1 +
PJ
Pu
η est une fonction décroissante de
PJ
Pu
=
RI2
Pu
=
RPu
U2 cos2 ϕ
Pour augmenter η , il faut minimiser
PJ
Pu
donc soit :
⊲ Diminuer R (augmenter la section des cables)
⊲ Augmenter U (haute tension)
⊲ Augmenter cos ϕ (en pratique cos ϕ 0, 9)
Exemple :Soit un dipôle d’impédance complexe Z = Zejϕ
Pour augmenter cos ϕ, on peut placer en parallèle sur le dipôle un condensateur
, +
L’admittance équivalente est
Y e = jCω +
1
Z
On veut que cos ϕtotal = 1 =⇒ Y e ∈ R c’est à dire
Cω −
1
Z
sin ϕ = 0 =⇒ C =
1
Zω
sin ϕ
5.3.2 Adaptation d’impedance :
Voir Exercice No
1 de la série II électrocinétique
1. Pm =
XE2
2[(X + XG)2 + (Y + YG)2]
2. Pm est maximale si sa dérivée est nulle :
•
∂Pm
∂Y
= 0 =⇒ X = XG
•
∂Pm
∂X
= 0 =⇒ Y = −YG
Donc Z = Z∗

3. Z est imaginaire pur =⇒ X = 0 d’où la puissance moyenne est nulle
4. la fréquence f = 150 MHz
• Z = R//C avec R = 150 Ω et C = 100 pF
Z = Z∗
G =⇒ Y = Y ∗
G et comme Y =
1
R
+ jCω =⇒ Y G =
1
R
− jCω
donc Y G =
1
R
+
1
jLω
avec Lω =
1
Cω2
=⇒ L =
1
Cω2
AN L =
1
4πf2C
= 11, 26 nH
On conclut donc que
ZG = R//L
• Z = R//L =⇒ ZG = R//C tel que C =
1
Lω2
=
1
4π2Lf2
AN C = 37, 5 pF

Chapitre 6
Diagramme de BODE des ﬁltres du premier
et second ordre
On admet le Théorème de Fourier : toute fonction périodique peut être décomposable en une
série de fonctions sinusoïdales.
C’est pour cela qu’on s’interesse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes linéaires.
6.1 Fonction de transfert
6.1.1 Déﬁnitions
Soit D un quadripole constitué par un système linéaire possédant une entrée ve et une sortie
vs :
,8A 8I
Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose :
⊲ ve(t) = Ve cos(ωt + ϕe) =⇒ ve(t) = V eejωt
avec V e = Veejϕe
⊲ vs(t) = Vs cos(ωt + ϕs) =⇒ vs(t) = V sejωt
avec V s = Veejϕs
On appelle fonction de transfert :
H(jω) =
V s
V e
=
Vs
Ve
ej(ϕs−ϕe)
= Hejϕ
avec H =
Vs
Ve
le module de la fonction de transfert et ϕ = ϕs − ϕe son argument(le déphasage de
la sortie par rapport à l’entrée).
6.1.2 Exemples
Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants :
◮ circuit CR :H =
jRCω
1 + jRCω
57

6.1. FONCTION DE TRANSFERT ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
◮ circuit RC :H =
1
1 + jRCω
◮ circuit RLC :H =
1
1 − LCω2 + jRCω
◮ circuit RCL :H =
−LCω2
1 − LCω2 + jRCω
◮ circuit LCR :H =
jRCω
1 − LCω2 + jRCω
6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle
Rappelons que en notation complexe multiplier par (jω)n
c’est dérivé n fois par rapport au
temps et diviser par (jω)n
c’est intégrer n fois par rapport au temps.
Prenons l’exemple du circuit RC :
H(jω) =
V s
V e
=⇒ V e = V s + j
ω
ωc
V s en passant à la notation réelle on a
ve(t) = vs(t) +
1
ωc
dvs(t)
dt
C’est l’équation différentielle du circuit
6.1.4 Diagrammes de BODE
En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences (10 → 1OOkHz cadre de
l’ARQP) ,la representation linéaire est peu pratique et peu utilisé.
• Diagramme de Bode : c’est une representation en échelle logarithmique en abscisse.
• On déﬁnit le gain G en décibels par :
GdB = 20 log H
On rappelle que H est sans dimension.
Le diagramme de Bode est le tracé des deux courbes :
◮ GdB = f(log(ω)) :diagramme de Bode pour H en décibels ;
◮ ϕ = g(log(ω)) :diagramme de Bode pour la phase.
Remarque- 24 :
1. On trace en général un diagramme de Bode sur un papier «semi-logarithmique» (avec une
échelle logarithmique )
2. On a lim
ω→0
log ω → −∞ : un diagramme de Bode ne «s’arrête pas » à log ω = 0
3. Si H = H1 × H2 =⇒
GdB = G1dB + G2dB
ϕ = ϕ1 + ϕ2
On peut sommer les diagrammes de Bode
4.



GdB = 0 ⇐⇒ H = 1
GdB 0 ⇐⇒ H 1
GdB 0 ⇐⇒ H 1

6.2. FILTRAGE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
5.



H = 10 ⇐⇒ GdB = 20
H = 102
⇐⇒ GdB = 40
...
H = 10−1
⇐⇒ GdB = −20
H = 10−2
⇐⇒ GdB = −40
...
◮ On appelle le décade l’intervalle des pulsations [ω1, ω2] tel que ω2 = 10ω1
6.2 Filtrage
6.2.1 Introduction
Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines fré-
quences et atténue (le plus possible ) les autres.
Il est caractérisé par sa bande passante [ωc1, ωc2] ou ∆ω = ωc2 −ωc1 avec ωc1 et ωc2 les pulsations
de coupure.
On définit la bande passante à -3dB par
H(ωc) =
Hmax
√
2
=⇒ G(ωc) = Gmax − 3dB
6.2.2 Principaux types de filtres
H
Filtre réel
Filtre idéal
Filtre passe-bas
Ho
√
2
ωc
ω
Ho
H
Filtre passe-haut
Filtre réel
Filtre idéal
Ho
√
2
ωc
ω
Ho
H
Filtre passe- bande
Filtre réel
Filtre idéal
Ho
√
2
ω
Ho
ωc1 ωc2
H
Filtre coupe-bande
Filtre idéal
Filtre réel
Ho
√
2
ω
Ho
ωc1 ωc2

6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
Remarque- 25 On pose
H(jω) =
N(ω)
D(ω)
avec deg N(ω) deg D(ω) (sinon le système est instable)
On dit qu’un filtre est d’ordre n si degD(ω) = n
6.3 Filtres du premier ordre
6.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre
La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est :
H(jω) =
Ho
1 + j
ω
ωc
=
Ho
1 + jx
6.3.1.1 L’étude d’un exemple :
considérons le circuit (RC) suivant :
i
R
C VsVe
◮ En BF :ω(x) → 0 =⇒
1
jCω
→ ∞ (le condensateur se comporte comme un interrupteur
ouvert) ,donc le courant est nul et par conséquent vs(t) = ve(t)
◮ En HF :ω(x) → ∞ =⇒
1
jCω
→ 0 (le condensateur se comporte comme un fil) ,donc la
tension entre ses bornes est nulle et par conséquent vs(t) = 0
On conclut que ce filtre laisse passer les tensions sinusoïdales de faibles fréquences et élimine les
tensions de hautes fréquences : C’est un filtre passe-bas
La fonction de transfert s’écrit :H(jω) =
1
jCω
R +
1
jCω
=
1
1 + jRCω
Donc :
ωc =
1
RC
|| Ho = 1
⋆ Si ω ≫ ωc(x → ∞) =⇒ H(jω) → 0 (Vs → 0)
⋆ Si ω ≪ ωc(x → 0) =⇒ H(jω) → Ho
⋆ Le circuit est constitué des composants passifs alors le filtre est passif.
⋆ Puisque le degré du dénominateur est égal à 1 alors le filtre est passe-bas passif d’ordre
1.

6.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain :
On a
H =
|Ho|
1 + (
ω
ωc
)2
=
|Ho|
√
1 + x2
Comportement asymptotique :
⊲ lim
ω→∞
G(ω) = lim
ω≫ωc
[20 log10
|Ho|
1 + ( ω
ωc
)2
] = 20 log |Ho| − 20 log
ω
ωc
lim
ω→∞
G(ω) = Go − 20 log
ω
ωc
⊲ lim
ω→0
G(ω) ≃ 20 log |Ho| = Go
• La courbe représentant le gain GdB en fonction de log
ω
ωc
est une droite de
pente -20dB/décade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc
Courbe réelle
Intégrateur
20 dB/décade
Go-3dB
Go
décade
G(dB)
log
ω
ωc
Remarque- 26 :
◮ Pour ω ≪ ωo =⇒ x → 0 on a H = Ho ∈ R =⇒ vs(t) = Hove(t) : le circuit réalise
l’opération «multiplication par une constante»
◮ Pour ω ≫ ωc =⇒ H(jω) =
Hoωc
jω
=⇒ vs = Hoωc vedt : c’est un intégrateur
Le ﬁltre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fréquences (pulsations(ω ≫
ωc))
6.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase :
• H(jω) =
Ho
1 + j ω
ωc
=⇒ ϕ(ω) = arg(
Ho
1 + j ω
ωc
)
ϕ = arg Ho − arg(1 + j
ω
ωc
)

Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ sin ϕ = −
x
√
1 + x2
0 et cos ϕ =
1
√
1 + x2
0 donc
ϕ ∈ −
π
2
, 0 d’où ϕ(ω) = − arctan
ω
ωc
0
ϕ(ω) log ωc
log ω
6.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre
La forme canonique du filtre passe haut d’ordre 1 est :
H(jω) = Ho
j
ω
ωc
1 + j
ω
ωc
= Ho
jx
1 + jx
6.3.2.1 L’étude d’un exemple :
considérons le circuit (CR) suivant :
En BF :Zc → +∞ =⇒ vs(t) → 0
En HF :Zc → +0 =⇒ vs(t) → ve(t)
Donc le filtre CR est un filtre passif passe-haut
8A
+
4
L’expression de la fonction de transfert :
H(jω) =
jRCω
1 + jRCω
Donc :Ho = 1 et ωc =
1
RC
• L’ordre du filtre est égal à 1.
• Si ω ≫ ωc =⇒ H(jω) → Ho
• Si ω ≪ ωc =⇒ H(jω) → 0
• deg(D(jω)) = 1
On conclut que c’est un filtre passif passe-haut d’ordre 1
6.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain :
GdB(ω) = 20 log10 |H(jω)| = 20 log10
|Ho| ω
ωc
1 + ( ω
ωc
)2

⊲ lim
ω→∞
G(ω) ≃ Go ;
⊲ lim
ω→0
G(ω) ≃ 20 log
ω
ωc
Remarque- 27 :
• La courbe représentant le gain GdB en fonction de log
ω
ωc
est une droite de pente 20dB/décade
et qui coupe la droite horizontale G = Go pour ω = ωc
dérivateur
G(dB)
log
ω
ωc
G(ωc) = Go − 20 log
1
√
2
= Go − 3dB
Remarque- 28 :
Pour ω ≪ ωc =⇒ H(jω) = j
ω
ωc
=⇒ vs =
1
ωc
ve
dt
: c’est un dérivateur
Le filtre passe haut d’ordre 1 joue le rôle d’un dérivateur en faibles fréquences f ≪ fc
6.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase :
On a H = Ho
jx
1 + jx
=⇒ ϕ = arg(Ho) +
π
2
− arg(1 + jx)
Dans notre exemple Ho = 1 =⇒ arg(Ho) = 1 et par conséquent ϕP.haut =
π
2
+ ϕP.bas
Conclusion :
Le déphasage d’un filtre passe haut du premier ordre se déduit de celui du filtre passe bas d’ordre
1 par une une translation de
π
2

6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I
ϕ(ω)
log
ω
ωc
6.4 Filtres du deuxième ordre
L’ordre du filtre est égal à 2 donc le dénominateur D(ω) = D(x) est polynôme d’ordre 2.
6.4.1 Filtre passe-bas
La fonction de transfert d’un filtre passe bas d’ordre 2 est :
H =
Ho
1 − x2 + j
x
Q
avec ω = xωo
6.4.1.1 L’étude d’un exemple
◮ En HF :x → ∞ =⇒ Zc → 0 donc Vs → 0
◮ En BF :x → 0 =⇒ Zc → ∞ donc Vs → Ve
Donc : c’est un filtre passif passe bas
4E L
CV e V s
L’expression de la fonction de transfert s’écrit :
H =
1
1 − LCω2 + jRCω
On tire que :
◮ La pulsation propre ωo =
1
√
LC
◮ Ho = 1
◮ Le facteur de qualité Q =
1
R
L
C
À partir de l’expression de la fonction de transfert on en déduit que :

⊲ En BF x → 0 =⇒ H → Ho c’est à dire que vs(t) = Hove(t)
⊲ En HF x → ∞ =⇒ H → 0 c’est à dire que vs(t) → 0
⊲ deg(H) = 2
On conclut que le ﬁltre est passif, passe-bas d’ordre 2
6.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain
On a :
H =
Ho
1 − x2 + j
x
Q
=⇒ H = |H| =
|Ho|
(1 − x2)2 +
x2
Q2
Le comportement asymptotique
◮ En BF :x → 0 =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho|
◮ En HF :x → ∞ =⇒ GdB ≃ 20 log(|Ho|ω2
o) − 40 log ω :C’est une droite de pente
-40dB/décade, caractéristique du ﬁltre du deuxième ordre.
On rappelle que la fonction
1
(1 − x2)2 +
x2
Q2
présente un maximum si Q
1
√
2
Donc si :
• Q
1
√
2
: GdB ne présente pas de maximum (courbe décroissante)
• Q
1
√
2
: GdB présente un maximum en xR = 1 −
1
2Q2
ainsi H(xR) = |Ho|
2Q2
4Q2 − 1
GdB
log ω
20 log |Ho|
ωR
ωo
Q
1
√
2
Q
1
√
2
-40 dB/décade
20 log |Ho| − 3
Q =
1
√
2
Remarque- 29 :

1. En général xR = 1 =⇒ ωR = ωo sauf pour Q =
1
√
2
2. Si Q ≫ 1 alors ωR = ωo ainsi on nomme x1 et x2 x1 les pôles du dénominateur c’est à dire
que H =
Ho
(1 + jx1)(1 + jx2)
; ainsi le diagramme asymptotique présente une asymptote
intermédiaire entre x1 et x2 à -20 dB/décade
En effet si :
◮ ω ≪ ω1 =⇒ H = Ho : multiplication par une constante
◮ ω1 ≪ ω ≪ ω2 =⇒ H =
Hoω1
jω
c’est à dire que vs(t) = ω1Ho ve(t) dt :intégrateur
◮ ω2 ≪ ω =⇒ H =
Hoωo
(jω)2
c’est à dire que vs(t) = ( ve(t) dt) dt : double intégrateur
6.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase
On a :
H =
Ho
1 − x2 + j
x
Q
=⇒ ϕ = arg Ho − arg(1 − x2
+ j
x
Q
)
Pour Ho = 1 alors ϕ = − arg(1 − x2
+ j
x
Q
) =⇒ tan ϕ = −
x
Q(1 − x2)
Représentation de la phase pour quelques valeurs de Q
log x
ϕ
−π
−π/2
Q =
1
√
2
Q
1
√
2
Q
1
√
2
6.4.2 Filtre passe-haut
La fonction de transfert d’un ﬁltre passe haut d’ordre 2 est de la forme
H = −Ho
x2
1 − x2 + j
x
Q

• En BF x → 0 =⇒ H → 0 donc vs(t) → 0
• En HF x → ∞ =⇒ H → Ho donc vs(t) → Hove(t)
• deg D(jω)=2
on conclut que le ﬁltre est passe-haut d’ordre 2
4E
C
e sVV L
En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient :
H = −
LCω2
1 − LCω2 + jRCω
= −
x2
1 − x2 + j
x
Q
Avec Ho = 1 , Q =
1
R
L
C
et ωo =
1
√
LC
H = |Ho|
x2
(1 − x2)2 + x2/Q2
◮ En HF : H = |Ho| =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho|
◮ En BF H =
|Ho|
x2
=⇒ GdB = Go + 40 log x : c’est une droite de pente +40 dB/décade
Cherchons si H ainsi GdB présente un extremum (maximum), pour cela calculons :
dH
dx
=
xQ(2Q2
− x2
(2Q2
− 1))
(Q2 − 2 Q2 x2 + Q2 x4 + x2)(3/2)
dH
dx
= 0 =⇒



Si Q
1
√
2
H ne présente pas de maximum (de même pour GdB)
Si Q
1
√
2
H présente un maximum (de même pour en GdB) xR tel que
xR =
ωR
ω
=
2Q
4 Q2 − 2
1
ainsi H(xR) =
2Q2
4Q2 − 1
Si Q ≫ 1 =⇒ xR = 1 donc ωo = ωR et H(xR) = Q|Ho|

Representation graphique du gain pour quelques valeurs de Q
GdB
log x
Q = 1/
√
2
Q 1/
√
2
Q 1/
√
2
+40 dB/décade
On a :
ϕ = arg(−Hox2
) − arg(1 − x2
+ jx/Q) = arg(−Ho) − arg(1 − x2
+ jx/Q)
Pour Ho = 1 alors
ϕ = π − arg(1 − x2
+ jx/Q) =⇒ tan(π − ϕ) = − tan ϕ =
x
Q(1 − x2)
Donc
tan ϕ =
x
Q(x2 − 1)
Representation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q

ϕ
log x
π
Q = 0, 2 1/
√
2
Q = 1/
√
2
Q = 3 1/
√
2
Remarque- 30 :
◮ En HF : H = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t) : multiplication par une constante
◮ En BF : H = −Hox2
= −
Ho
ω2
o
(jω)2
=⇒ vs(t) =
Ho
ω2
o
d2
ve(t)
dt2
: la tension de sortie est
proportionnelle à la dérivée seconde de la tension d’entrée
6.4.3 Filtre passe-bande
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est :
H = Ho
jx/Q
1 − x2 + j
x
Q
=
Ho
1 + jQ x −
1
x
◮ En BF : H → 0 =⇒ vs(t) → 0
◮ En HF : H → 0 =⇒ vs(t) → 0
On montre (après) que H présente un maximum , donc c’est un filtre passe-bande du second ordre
◮ En HF :x → ∞ =⇒ ZL → ∞ donc Vs → 0
◮ En BF :x → 0 =⇒ Zc → ∞ donc Vs → 0
◮ Pour ω = ωo on a Vs est maximale
Donc : c’est filtre passif passe bas
L
C
R
i(t)
V Ve
s
L’expression de la fonction de transfert s’écrit :
H =
jRCω
1 − LCω2 + jRCω
On tire que :
◮ La pulsation propre ωo =
1
√
LC

◮ Ho = 1
◮ Le facteur de qualité Q =
1
R
L
C
On a
H =
|Ho|
1 + Q2 x −
1
x
2
◮ En BF : H =
|Ho|
Q
x =⇒ GBF = Go −20 log(Qωo)+20 log ω : C’est une droite de pente
+20 dB/décade
◮ En HF : H =
|Ho|
Qx
=⇒ GHF = Go + 20 log
ωo
Q
− 20 log ω : C’est une droite de pente
-20 dB/décade
◮ Pour ω = ωo =⇒ H = |Ho| = Hmax donc GdB(ωo) = 20 log |Ho| = Go
◮ L’intersection des deux pentes : GHF = GBF =⇒ ω = ωo
◮ Pour ω = ωo on a :GHF (ωo) = GBF (ωo) = 20 log
|Ho|
Q
Représentation du diagramme asymptotique
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
+20 dB/décade -20 dB/décade
log x
GdB
20 log
|Ho|
Q
Le diagramme de Bode dépend de la valeur du facteur de qualité Q , c’est à dire comparer
20 log
|Ho|
Q
et 20 log |Ho| , autrement dit comparer Q et 1.

Premier cas Q 1 :
Dans ce cas 20 log
|Ho|
Q
20 log |Ho| , le diagramme de bode est de la forme :
G
G
o
Go
-3dB
dB
log x
x
dérivateur Intégrateur
+20 dB/décade - 20 dB/décade
20 log
|Ho|
Q
• En BF : H =
Ho
Qωo
(jω) =⇒ vs(t) =
Ho
Qωo
dve(t)
dt
donc dérivateur
• En HF : H =
Ho
Qωo
1
jω
=⇒ vs(t) =
Hoωo
Q
ve(t) dt donc intégrateur
Deuxième cas Q 1 Dans ce cas 20 log
|Ho|
Q
20 log |Ho| , le diagramme de bode est de la
forme :

G
Go
G -3dBo
dB
log x
+ 20 dB/décade - 20 dB/décade
Dérivateur Integrateur
20 log
|Ho|
Q
ϕ = arg Ho − arg[1 + jQ x −
1
x
]
Pour le ﬁltre passif Ho = 1 donc
tan ϕ = −Q
x2
− 1
x
log x
ϕ
+π/2
−π/2
Q =
1
√
2
Q
1
√
2
Q
1
√
2

6.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande
La fonction de transfert d’un ﬁltre coupe (réjecteur de) bande du second ordre est de la forme
H = Ho
1 − x2
1 − x2 + jx/Q
En effet :
◮ H(x = 1) = 0 =⇒ vs(t) = 0
◮ H(x → 0) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t)
◮ H(x → ∞) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t)
Ce ﬁltre laisse passer toutes les fréquences sauf aux voisinages de x = 1 c’est à dire aux voisinage
de la pulsation propre
• En BF :Zc → ∞ =⇒ i = 0 donc vs(t) = ve(t)
• En BF :ZL → ∞ =⇒ i = 0 donc vs(t) = ve(t)
• Pour ωωo =⇒ vs(t) = ve(t)
4E
L
C
V Ve s
C’est un coupe bande
L’expression de la fonction de transfert
H =
jLω +
1
jCω
R + jLω +
1
jCω
=⇒ H =
1 − LCω2
1 − LCω2 + jRCω
Donc : Ho = 1 , ωo =
1
√
LC
, Q =
1
R
L
C
et x = ω/ωo
On a :
H = |Ho|
|1 − x2
|
(1 − x2)2 + x2/Q2
6.4.4.2.1 Comportement asymptotique ◮ En BF x → 0 =⇒ H = |Ho| ainsi GdB = Go
◮ En HF x → ∞ =⇒ H = |Ho| ainsi GdB = Go
Le gain présente deux asymptotes horizontales confondues
◮ Pour x = 1 =⇒ ω = ωo on a H = 0+
=⇒ GdB(x = 1) → −∞
GdB présente une asymptote verticale en x = 1 c’est à dire en pulsation propre

6.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q
G
dB
log x
G
o
Q =
1
√
2
Q
1
√
2
Q
1
√
2
6.4.4.2.3 La bande passante
G
log x
G o
dB
G -3dBo
log x log x1 2
H =
|Ho|
√
2
=⇒
|1 − x2
|
(1 − x2) + x2/Q2
=⇒ 2(1 − x2
)2
= (1 − x2
)2
+ x2
/Q2
=⇒ (1 − x2
)2
= x2
/Q2
=⇒ 1 − x2
= ±x/Q
La solution de cette équation sont :
x1 =
ω1
ω
= −
1
2Q
+
1
2
1
Q2
+ 4 1 ; x2 =
ω2
ω
= +
1
2Q
+
1
2
1
Q2
+ 4 1
La largeur de la bande passante
∆x =
1
Q
=⇒ ∆ω =
ωo
Q

On a :
H = Ho
1 − x2
1 − x2 + jx/Q
=⇒ H =
Ho
1 + j
x
Q(1 − x2)
Donc
ϕ = arg Ho − arg(1 + j
x
Q(1 − x2)
)
Pour un ﬁltre passif Ho = 1 donc : tan ϕ = −
x
Q(1 − x2)
avec :
⊲ cos φ 0 =⇒ ϕ ∈ [−
π
2
,
π
2
]
⊲ sin ϕ 0 =⇒ ϕ ∈ [−
π
2
, 0] pour x 1
⊲ sin ϕ 0 =⇒ ϕ ∈ [0,
π
2
] pour x 1
• lim
x→0
ϕ = 0−
• lim
x→∞
ϕ = 0+
• lim
x→1−
ϕ = −
π
2
• lim
x→1+
ϕ = +
π
2
On conclut que la phase d’un ﬁltre coupe bande est présente une discontinuité en x = 1 c’est à
dire en ωo.
Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q
log x
-
Q =
1
√
2
Q
1
√
2
Q
1
√
2
ϕ
π
2
π
2

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