Calcul scientifique IVP

IVP et BVP
Nous présentons quelques méthodes de base pour la résolution des équations par la méthode des différences finies. Il est possible d’organiser ces méthodes suivant deux grandes catégories : A- Problèmes avec conditions initiales (Initial-Value Problems, IVP), également appelés problèmes de Cauchy: ex: y’ = f(x,y); y(a) = Ya; x ≥ a méthodes de résolution itératives telle que les méthodes d’Euler et leurs améliorations d’ordre supérieur (ex: Runge-Kutta) B- Problèmes avec conditions aux limites (Boundary-Value Problems, BVP): ex: y’’ = g(x,y,y’); y(a) = A; y(b) = B; a≤x≤b transformation de l’équation différentielles en un système d’équations algébriques couplées qui fait appel aux techniques matricielles (ex: élimination de Gauss-Jordan)
Introduction / Calcul Scientifique – Année 2011-2012

IVP et BVP
Il est généralement plus facile de résoudre un IVP qu’un BVP, puisque dans le premier cas nous avons un théorème d’existence de la solution. Nous verrons par la suite comment passer d’un BVP à un IVP, à l’aide de quelques exemples. Remarque : Il est important de bien faire la différence entre équation différentiel et problème différentiel. La première admet diverses solutions, dépendant de paramètres qui sont dépendants de conditions initiales (ou aux limites); on peut parfois la déterminer analytiquement. Le second a une seule solution que l’on peut calculer numériquement.
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4- Résolutions des équations aux dérivées ordinaires (EDOs)
On distingue deux grandes catégories pour les problèmes de résolution des équations différentielles:
•
Équations différentielles avec conditions initiales (IVP): propagation vers l’avant de la solution en partant d’un point de départ donné par une méthode itérative
•
Équations différentielles avec conditions aux limites (BVP): deux contraintes qui doivent être vérifiées au point de départ et d’arrivée
•
On peut aussi avoir une combinaison des deux cas pour les différentes variables.
Chapitre 4: Résolution des EDOs / Calcul Scientifique – Année 2011-2012

On considère l’EDO d’ordre 2 suivante pout t∈[t0,tN] (1) pour la résoudre il nous faut deux informations (sous forme de conditions)
•
ϕ(t0), ϕ’(t0) ⇒ IVP
•
ϕ(t0), ϕ(tN) ⇒ BVP A- Exemple d’un IVP Toutes les méthodes numériques de résolution des problèmes différentiels utilisent une discrétisation. On introduit un pas hi = ti+1 – ti i=0,1,…,N-1 On va calculer la solution ϕ aux points t0, t1, …, tN. C’est-à-dire on va trouver les valeurs ϕ0, ϕ1, …, ϕN (avec la notation ϕk ≡ϕ(tk))
0)( ² ²20=+tdtdϕωϕ
4.1- Problèmes avec conditions initiales et/ou conditions aux bords

Pour trouver la solution {ϕ0, ϕ1, …, ϕN} on réécrit l’équation (1) sous la forme d’un système algébrique, en utilisant la forme approchée de la dérivée seconde (on prendra un pas hi=h constant ∀i) L’équation (1) devient alors (2) Il s’agit d’une équation aux différences finies. Comme il s’agit d’un IVP, nous avons besoin de deux informations indépendantes sur ϕ(t) au temps initial t0. En physique, ces conditions initiales peuvent être fournies en termes d’abscisse et de vitesse initiale de la masse μ, si l’on prend (3) l’exemple de l’oscillateur harmonique. (4)
[]112 ² 1 ² ² −+ = +−→ iiiittttthdtdϕϕϕϕ ()0²21201=+−−−+iiittthϕϕωϕ 01)0( 00= ==≡ =ttdtdt ϕϕϕ

En utilisant la forme approchée de la dérivée 1ère de (4), on trouve ϕ1=ϕ0=1.
Puis en utilisant (2) nous pouvons calculer ϕ2 pour i=1.
Ensuite, connaissant ϕ1 et ϕ2, et en utilisant (2) nous pouvons calculer ϕ3
pour i =2.
Et ainsi de suite jusqu’à i= N-1.
Il est donc possible de résoudre un IVP par méthode itérative en faisant
propager de proche en proche les valeurs initiales.
Remarque: Il existe bien entendu d’autres algorithmes qui permettent
d’améliorer la précision et la vitesse de convergence de cette méthode.

B- Exemple d’un BVP
On s’intéresse maintenant à l’équation (1) comme étant cette fois ci un BVP.
Par exemple on s’intéresse au son produit dans un tube cylindrique creux.
ϕ(x) représente la pression le long de la longueur x du tube.
κ est relié à la compressibilité de l’air
On suppose que la pression est constante et égale à p en x=0 et x=l, l étant
la longueur du tube.
Les conditions de bords s’expriment donc:
ϕ0 = p et ϕN=p (5)
0)( ² ²2=+xdxdϕκϕ

On écrit alors l’équation (5) comme le système algébrique suivant
avec a≡2-h²κ²
Sous forme matricielle ce système s’écrit
(6)
paaapaNNNNN−=− =+− =+− −=+− −− −−− 121233212100 ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ        − − =             − − − − − − − ppaaaaaNN0001000110001100011000112321        ϕϕϕϕϕ

Le problème revient donc à chercher les racines d’un système de N-1 équations linéaires couplées. Ce système peut être résolu par la méthode d’élimination de Gauss ou de Gauss-Jordan ou des méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires (ex; Jacobi, Gauss-Seidel, SOR,…) C- Stabilité et convergence Dans l’exemple de l’oscillateur, où on fait propager les deux conditions initiales, l’erreur peut s’accumuler et peut rendre le résultat numérique erroné (l’erreur provient essentiellement de l’approximation consistant à remplacer les dérivées par des différences finies).
•
Cohérence ou compatibilité erreur → 0 c’est-à-dire ne diverge pas h → 0
0² ² ttdtd= ϕ

•
Stabilité: lorsque h → 0, l’erreur n’augmente pas Pour l’équation dϕ/dt = f(ϕ,t) la forme discrète s’écrit (7) ou après un développement de Taylor L’erreur est donc donnée par dans le cas ou l’on utilise la forme ϕi +1 = ϕi + hfi , seules les valeurs au point i sont utilisées pour trouver la solution au point i+1. Pour réduire l’erreur de troncature, on peut inclure dans le membre de droite des points autre que i.
()()iiiiiftfh≡=−+,11ϕϕϕ () ()  ++= ++=− = == + iiittiittttiidtdhtfdtdhdtdh ² ² !2, ² ² !211 ϕϕϕϕϕϕ ()()+=−− = + ittiiiidtdhtfh² ² !2,11 ϕϕϕϕ

En général, on peut écrire la solution au point i+k comme fonction des valeurs au points k précédents où a0,…,ai+k sont des coefficients et F une fonction connue de la variable dépendante ϕ et de la variable indépendante t aux points i, i+1,…, i+k On distingue les deux cas suivants:
•
k=1 et F=f(ϕi,ti), on retrouve ϕi +1 = a0ϕi + hf(ϕi ,ti) méthode à une seule étape
•
k>1, on parle de méthode à plusieurs étapes
()kikiiiiikikiikittthFaaa++++−+−++++++=,;,;,1111110ϕϕϕϕϕϕϕ

La fonction F est souvent remplacée par une combinaison linéaire des valeurs de f(ϕ,t) aux points k précédents
•
Pour k>0, cette méthode est dite linéaire
•
Si les coefficients βkne s’annulent pas, ϕi +k apparaît aussi dans le membre de droite, on parle alors de méthode implicite
•
Si ϕi +k n’apparaît que dans le membre de gauche, on parle alors de méthode à plusieurs étape explicite
()Σ= +++++= kjjijkikiiiiiftttF011,;,;,βϕϕϕ

Rappel : Solutions d’EDO simples
4.2- Méthodes itératives d’ordre supérieur
baxx+=() abCetxat−= ()()tbxtax+= ()()()()CtBetxtA+=
avec
()()∫=dttatA
et
()()()()∫−=dttbtAtBexp()xfxxt=−()()CgCttx+=
Ordre 1
Solution générale

On considère l’EDO de premier ordre à travers IVP suivant:
(9)
A- Construction d’une hiérarchie
Nous avons vu qu’une solution numérique de ce problème est obtenue par itération
Commencant au point x0,y0=f(x0), on peut obtenir aux points équidistants xi = x0+ih, i=1,2,… des approximations ni aux valeurs yi de la solution exacte y(x)
0)0(),('yyyxfy== ))(,()()(xyxhfxyhxy+≈+ (),,,,,,2101100=+=+= = ++ihxxnxhfnnyniiiiii

C’est la méthode à une seule étape d’Euler. Ce type de méthode est caractérisé par une fonction Φ(x,y,h,f). L’équation s’écrit donc (10) Pour la méthode d’Euler, on a Φ(x,y,h,f) = f(x,y) et Φ ne dépends pas de h. En général la solution ni dépend de h, mais nous allons omettre de faire apparaître cette dépendance explicitement pour simplifier l’écriture. Nous allons maintenant définir l’erreur associé à une méthode et préciser la signification de l’ordre de celle-ci. Soient x et y arbitraires, mais fixés, et z(t) la solution exacte de l’IVP (11) avec les conditions initiales x et y.
(),2,1,0,,,,,1100=+=Φ+= = ++ihxxfhnxhnnyniiiiiiyxztzxftz==)())(,()('

Alors la fonction représente le rapport des différences de la solution exacte z(t) dans (11) pour le pas h. Φ(x,y;h) est le rapport de différence pour le pas h de la solution approchée de (11) puisque, d’après (10) Φ=(ni+1-ni)/h. La différence des deux C’est une mesure de la qualité de l’approximation de la méthode. On appelle τ(x,y;h) l’erreur de discrétisation locale au point (x,y) de la méthode. Pour une méthode a une seule étape raisonnable, on doit avoir
() ()    = ≠ −+ =Δ0),( 0;;, hsiyxfhsihyhxzfhyx()()()hyxhyxhyx;,;,;,Φ−Δ≡τ 0);,(lim0= → hyxh τ

Alors si l’on a limh→0Δ(x,y;h) = f(x,y), la condition précédente revient à
On dit que le choix de Φ et la méthode à une seule étape sont cohérents si la condition ci-dessus est vérifiée ∀x∈[a,b], y∈ℜ, et f une fonction de première dérivée continue sur [a,b]
La formulation générale des méthodes explicite à un pas est :
Où la fonction Φ définie la méthode utilisée.
La formulation générale des méthodes implicite à un pas est
),();,(lim0yxfhyxh=Φ→ (),,,,,,,,2101100=+=Φ+= = ++ihxxfhnxnnyniiiiii(),,,,,,,,,,210111100=+=Φ+= = ++++ihxxfhnxnxnnyniiiiiiii

Pour générer des méthodes d’ordre supérieur à 1, il suffit de prendre pour Φ(x,y;h) des « portions » du développement de Taylor de Δ(x,y;h). Par Exemple Conduit à une méthode d’ordre 2. Les méthodes supérieurs ainsi obtenues ne sont pas très utiles car il faut, à chaque étape (xi,ni)→(xi+1,ni+1), calculer non seulement f mais aussi ses dérivées partielles fx,fy,etc… En fait des méthodes d’ordre supérieures plus simple peuvent être construites de la méthode (12) où les constantes a1, a2, p1 et p2 sont choisies de telle manière que le développement de Taylor de Δ(x,y;h)-Φ(x,y;h) en puissance de h commence avec la puissance la plus élevée possible.
()()[]),(),(),( 2,;,yxfyxfyxfhyxfhyxyx++=Φ()()()),(,,;,2121yxhfpyhpxfayxfahyx+++=Φ

Le développement de Taylor de Φ(x,y;h) dans (12) s’écrit En comparant avec le développement en série de Taylor, on identifie les coefficients a1+a2 = 1, a2p1 = ½, a2p2 =½, L’une des solutions conduit à a1 = ½, a2=½, p1 = 1, p2 = 1 conduisant à la méthode de Heun qui requiert seulement deux évaluations de f par chaque étape
()()()[]++++=Φ),(),(),(,;,21221yxfyxfpyxfphayxfaahyxyx()()()]),(,,[ 21;,yxhfyhxfyxfhyx+++=Φ

Une autre solution est donnée par
a1 = 0, a2 = 1, p1 = ½, p2 = ½
correspond à la méthode d’Euler modifiée
qui est aussi du second ordre et qui requiert deux évaluations de f par chaque étape.
La méthode de Runge-Kutta s’obtient par une combinaison plus générale.
(13)
()   ++=Φ),( 2,2;,yxfhyhxfhyx()[]4321)(261;,kkkkhyx+++=Φ

Calcul Scientifique – année 2010-2011
),( ), 21,21( ), 21,21( ),,( 3423121hkyhxfkhkyhxfkhkyhxfkyxfk++= ++= ++= =
Le développement de Taylor en h donne alors Ce qui signifie que Runge-Kutta est d’ordre 4 et requiert quatre évaluations de f à chaque étape.
()())(;,;,4hOhyxhyx∝Δ−Φ

B- Méthode de Runge-Kutta
Cette méthode s’applique aux ODE d‘ordre 1. Pour l’appliquer au cas d’une
ODE d’ordre supérieur, il faut transformer celle-ci en un système d’ODE
d’ordre 1.
1- Réduction d’une ODE d’ordre supérieur au 1er ordre
Les ODE d’ordre supérieur à 1 peuvent être transformées en un système
d’ODE d’ordre 1 couplées.
Pour une ODE d’ordre n, on introduit la notation vectorielle
Ex :
, ),( ),( ),(, )( )( )(       =       = tyftyftyftytytynn  11

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