2. Cele prezentacji
Przybliżenie
postaci Alana Turinga
Przypomnienie modelu MT
Przedstawienie modyfikacji modelu
podstawowego
Omówienie zagadnień
nierozstrzygalności
3. Korzyści dla słuchaczy
Informacje
przydatne do egzaminu
dyplomowego
Interesujące zastosowania MT
Nieznane szczegóły biografii Alana
Turinga
4. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
5. Alan Turing
Urodzony
w 1912 w domu opieki
Student Cambridge University oraz
Princeton University
Matematyk, kryptolog, neurolog,
wizjoner
Prekursor sztucznej inteligencji
8. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX
wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
9. Idea Hilberta
Przekonanie o
niesprzeczności i
zupełności matematyki
Znaleźć skończony zbiór
reguł i aksjomatów,
pozwalający rozstrzygnąć
dowolny problem
matematyczny
Mechaniczna procedura
dowodzenia – algorytm
decyzyjny całej
matematyki
10. Cios Kurta Gödla
Pewnych zdań
matematycznych nie
sposób rozstrzygnąć
Nieuchronność
paradoksów typu
„to zdanie jest
fałszywe”
Nie można wykazać
niesprzeczności
danego systemu
formalnego
11. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
12. Maszyna Turinga (MT)
Pierwszy
krok w kierunku realizacji
maszyny określającej prawdziwość
zdań matematycznych
Uniwersalna maszyna Turinga – może
wykonać instrukcje innej MT – prototyp
programu
13. Model podstawowy MT (1936)
Procedura w postaci dyskretnych kroków
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F)
wyjaśnienie
14. Model podstawowy MT
Krok
maszyny w zależności od
bieżącego stanu i obserwowanego
symbolu:
Zmień
stan
Wydrukuj symbol w obserwowanej
komórce
Przesuń głowicę o 1 komórkę w lewo lub w
prawo
pokaz
15. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
16. Zastosowania MT
Urządzenie obliczające funkcje na liczbach
naturalnych - zapis unarny
Jeśli MT zatrzyma się z taśmą zawierającą k
symboli ”0”, wartością funkcji jest k
Funkcje obliczane przez MT to funkcje
częściowo rekurencyjne
Jeśli funkcja jest określona dla całej
dziedziny, jest funkcją całkowicie
rekurencyjną (np. n!, 2n, mnożenie)
pokaz
17. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
18. Proste modyfikacje MT
Przechowywanie
informacji w
sterowaniu skończonym
Taśmy wielościeżkowe
22. Wielotaśmowa MT
k głowic taśmowych
k taśm dwustronnie
nieskończonych
W każdym ruchu:
zmiana stanu
nowy symbol w
każdej komórce
przesunięcie każdej
głowicy niezależnie
od pozostałych
24. Wielowymiarowa MT
Taśma – k wymiarowa tablica komórek,
nieskończona we wszystkich 2 k kierunkach
Ruch głowicy możliwy w każdym z 2k kierunków
Skończona liczba rzędów zawierających
niepuste symbole
26. Wsadowa MT
Wielotaśmowa
Taśma
wejściowa tylko do czytania
Znaczniki końców: ¢ i $
„Uwięziona” głowica taśmy wejściowej
Szczególny przypadek wielotaśmowej
MT
27. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
28. Języki akceptowane przez MT
Języki
rekurencyjnie przeliczalne
Rozwiązanie problemu należenia w
sposób mechaniczny nie dla wszystkich
Obliczenia nieskończone
Języki rekurencyjne
29. Teza Churcha
funkcja obliczalna ≡ funkcja
częściowo rekurencyjna
Inne formalizmy: rachunek λ,
systemy Posta, uogólnione
funkcje rekurencyjne
Abstrakcyjny model komputera:
maszyna o dostępie swobodnym (RAM)
Generacja funkcji częściowo
rekurencyjnych
30. Inne zastosowania MT
Generator
języków – wielotaśmowa MT
z taśmą wyjściową
Maszyna wielostosowa – wielotaśmowa
MT z wejściem tylko do czytania
Maszyna licznikowa – wsadowa MT
z Γ={Z, B}; Z – znacznik spodu stosu
31. Plan prezentacji
Przedstawienie
osoby Alana Turinga
Wyzwania logiki na początku XX wieku
Model podstawowy MT
Zastosowania MT
Modyfikacje MT
Perełki MT
Nierostrzygalność a MT
32. Problem
Wystąpieniem
jakiegoś problemu
nazywamy listę argumentów,
zawierającą po jednym argumencie dla
każdego parametru problemu
Łańcuchy – kody konkretnych
wystąpień pewnych problemów
czy istnieje algorytm? → czy język jest
rekurencyjny?
33. Problemy rozstrzygalne
i nierozstrzygalne
→ język rekurencyjny ⇒
problem rozstrzygalny
Inaczej ⇒ problem nierozstrzygalny
Nierozstrzygalny, gdy nie istnieje
algorytm przyjmujący jako wejście
wystąpienie tego problemu i
rozstrzygający, czy odpowiedzią na to
wystąpienie jest TAK, czy też NIE
Problem
34. Tw. Gödla o niepełności
Dowolny system
formalny o mocy
wystarczającej do
objęcia teorii liczb
musiałby zawierać
stwierdzenia, które
byłyby prawdziwe,
ale nie dałyby się
udowodnić w tym
systemie
35. Bibliografia
J.
Hopcroft, J. Ullman „Wprowadzenie
do teorii automatów, języków i
obliczeń”, PWN 1994
A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman
„Projektowanie i analiza algorytmów
komputerowych”, PWN 1983
P. Coveney, R. Highfield „Granice
złożoności”, Prószyński i S-ka 1997
www.turing.org.uk
37. Maszyna Turinga - symbole
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F)
Q – zbiór stanów maszyny
Σ – zbiór symboli wejściowych
Γ – zbiór symboli taśmowych, Γ ⊂ Σ
δ – funkcja przejść
q0 – stan początkowy
B – symbol pusty (blank)
F – zbiór stanów końcowych, F ⊆ Q
powrót
