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ER-ZR-01: EJERCICIO RESUELTO DE ZAPATA RÍGIDA
En este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado.
Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados.
Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 25
N
mm
2
⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcd
fck
γc
= fcd 16.667
N
mm
2
=
Acero
límite elástico característico fyk 500
N
mm
2
⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fyd
fyk
γs
= fyd 434.783
N
mm
2
=
Densidades
hormidensi 2500
kg
m
3
⋅= terrenodensi 1800
kg
m
3
⋅=
como valor de la aceleración
de la gravedad tomamos
graved 9.8
m
s
2
⋅=
Dimensiones de la zapata
Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, de
una pilastra y de un terreno dado.
zapatalargo 2 m⋅= zapataancho 2 m⋅= zapataalto 0.5 m⋅=
pilalargo 0.3 m⋅= pilaancho 0.3 m⋅= pilaalto 0.5 m⋅=
recub 5 cm⋅=
vuelo
zapatalargo pilalargo−
4
=
vuelo 0.425 m= < zapataalto => RÍGIDA

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Consideramos que el terreno que cubre la zapata se mantendrá
a lo largo de la vida de la zapata.
terrenoalto 0.5 m⋅=
Calculamos los volúmenes.
zapatavol zapatalargo zapataancho⋅ zapataalto⋅= zapatavol 2 m
3
=
pilavol pilalargo pilaancho⋅ pilaalto⋅= pilavol 0.045 m
3
=
terrenovol zapatalargo zapataancho⋅ pilalargo pilaancho⋅−( ) terrenoalto⋅=
terrenovol 1.955 m
3
=
Calculamos los pesos.
zapatapeso hormidensi zapatavol⋅ graved⋅= zapatapeso 49 kN=
pilapeso hormidensi pilavol⋅ graved⋅= pilapeso 1.103 kN=
terrenopeso terrenodensi terrenovol⋅ graved⋅= terrenopeso 34.486 kN=
Calculamos el peso del conjunto sin cargas exteriores aplicadas.
pesoSinCarga zapatapeso pilapeso+ terrenopeso+= pesoSinCarga 84.589 kN=
Acciones externas
Como ejemplo, solo se consideran dos acciones externas: una de peso propio de la
estructura a cimentar, y otra de sobrecarga.
peso propio PPverti 800 kN⋅= PPmom 0 kN⋅ m⋅= PPhoriz 50. kN⋅=
sobre carga SCverti 100. kN⋅= SCmom 100 kN⋅ m⋅= SChoriz 200 kN⋅=
Hipótesis para el equilibrio
Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y peso
propio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.
cargahoriz1 PPhoriz SChoriz+= cargamom1 PPmom SCmom+=
hipóteis 1
vertiTotal1 pesoSinCarga PPverti+ SCverti+= vertiTotal1 984.589 kN=
hipóteis 2 cargahoriz2 PPhoriz= cargamom2 PPmom=
vertiTotal2 pesoSinCarga PPverti+= vertiTotal2 884.589 kN=

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Coeficiente de seguridad al vuelco
El momento de vuelco lo calculamos en la parte inferior externa de la zapata para todas las
hipótesis.
hipótesis 1
momvuelco1 zapataalto pilaalto+( ) cargahoriz1⋅ cargamom1+= momvuelco1 350 kN m⋅=
γvuelco1
vertiTotal1
zapatalargo
2
⋅
momvuelco1
= γvuelco1 2.813=
hipótesis 2
momvuelco2 zapataalto pilaalto+( ) cargahoriz2⋅ cargamom2+=
momvuelco2 50 kN m⋅=
γvuelco2
vertiTotal2
zapatalargo
2
⋅
momvuelco2
= γvuelco2 17.692=
Como era de esperar, la condición con sobrecarga es mas restrictiva. El mínimo
coeficiente es alto (mayor que 2.0). Se podrían bajar las dimensiones de la zapata pero
antes vamos a ver las tensiones máximas sobre el terreno.

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Cálculo de las tensiones sobre el terreno
Consideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno.
Hay códigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no es
nuestro caso.
hipótesis 1
excen1
momvuelco1
vertiTotal1
= excen1 0.355 m=
zapatalargo
6
0.333 m=
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayor
que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:
σ1d
2 vertiTotal1⋅
3
zapatalargo
2
excen1−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
1
zapataancho
⋅=
σ1d 509.209
kN
m
2
= σ1i 0.=
x1
zapatalargo
2
excen1−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
3⋅= x1 1.934 m=
El porcentaje de superficie en contacto con el terreno es
porcen1
x1
zapatalargo
100⋅= porcen1 96.678=
hipótesis 2
excen2
momvuelco2
vertiTotal2
= excen2 0.057 m=
zapatalargo
6
0.333 m=
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es menor
que 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que no hay "despegue". La fórmula a utilizar
es:
σ2d
vertiTotal2
zapatalargo
6
momvuelco2
zapatalargo
2
⋅+
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
zapataancho
⋅=
σ2i
vertiTotal2
zapatalargo
6
momvuelco2
zapatalargo
2
⋅−
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
zapataancho
⋅=

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σ2d 258.647
kN
m
2
= σ2i 183.647
kN
m
2
=
La hipótesis 1 es claramente la que produce mayores tensiones en el terreno. En este
caso, algo elevadas para lo que suele ser habitual, aunue vamos a suponer que
disponemos de un buen terreno con una tensión máxima admisible mayor que la mayor
obtenida.
El despegue es muy pequeño, no llega al 4%, y lejos del 25% que consideramos máximo
admisible.
Cálculo de la armadura a flexión
Los coeficientes de mayoración de cargas son los correspondientes a nivel de control
normal.
La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga.
cargaDhoriz1 1.5PPhoriz 1.6SChoriz+=
cargaDmom1 1.5 PPmom⋅ 1.6SCmom+=
Primero aplicamos todas las cargas y
obtenemos la armadura inferior.
Luego aplicamos solo las cargas
uniformemente repartidas (peso
propio de la zapata y del terreno) y
obtenemos la armadura que se
restará de la anterior.
Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en el
apartado anterior (pero con las cargas mayoradas).
vertiTotalD1 1.5pesoSinCarga 1.5 PPverti⋅+ 1.6 SCverti⋅+= vertiTotalD1 1.487 10
3
× kN=
momTotalD1 zapataalto pilaalto+( ) cargaDhoriz1⋅ cargaDmom1+= momTotalD1 555 kN m⋅=
excenD1
momTotalD1
vertiTotalD1
= excenD1 0.373 m=

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σD1d
2 vertiTotalD1⋅
3
zapatalargo
2
excenD1−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
⋅
1
zapataancho
⋅=
σD1d 790.808
kN
m
2
=
σD1i 0.=
xD1
zapatalargo
2
excenD1−
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
3⋅= xD1 1.88 m=
ladoi xD1
zapatalargo
2
−= ladoi 0.88 m=
σm
σD1d ladoi⋅
xD1
= σm 370.212
kN
m
2
=
A partir de las leyes de tensiones obtenemos las fuerzas resultantes en cada mitad de la
base de la zapata. Este cálculo es algo engorroso: partiremos de las áreas de las leyes y
sus centros de gravedad para obtener las resultantes y sus puntos de aplicación.
adt
1
2
σD1d σm−( )⋅
zapatalargo
2
⋅= bdt
1
3
zapatalargo
2
⋅= bdt 0.333 m=
bdc
1
2
zapatalargo
2
⋅= bdc 0.5 m=
adc σm
zapatalargo
2
⋅=
Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 1.161 10
6
× N=
bd
zapatalargo
2
adt bdt⋅ adc bdc⋅+
adt adc+
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
−= bd 0.56 m=
Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16:
diam 16 mm⋅=
d zapataalto recub−
diam
2
−= d 0.442 m=
A partir de las fórmulas de la EHE para zapatas rígidas obtenemos el área de acero necesario.
Td
Rd
0.85 d⋅
bd 0.25 pilalargo⋅−( )⋅= Td 1.5 10
3
× kN=
Ast
Td
400
N
mm
2
⋅
=
Ast 37.499 cm
2
=

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Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respecto
al total, los restamos igualmente a modo de ejemplo.
El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuida
sobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que
combina todas las cargas.
Rresta 1.5
pesoSinCarga pilapeso−
2
⋅=
Rresta 62.615 kN=
bdr
1
2
zapatalargo
2
⋅= bdr 0.5 m=
Tdr
Rresta
0.85 d⋅
bdr 0.25 pilalargo⋅−( )⋅= Tdr 70.831 kN=
Asr
Tdr
400
N
mm
2
⋅
= Asr 1.771 cm
2
=
El área de acero final necesario es: As Ast Asr−= As 35.728 cm
2
=
Cuantía geométrica mínima
Tomando la indicada en la EHE para las vigas
cgm
2.8
1000
zapataalto⋅ zapataancho⋅=
cgm 28 cm
2
=
Cuantía menor que la obtenida anteriormente.

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Armado final
Tomando diámetros de φ 20 mm⋅=
areaΦ
φ
2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2
π⋅= As
areaΦ
11.373=
con 12 barras es suficiente.
La separación final es:
As1 12 areaΦ⋅= As1 37.699 cm
2
=
separ
zapataancho 2 recub⋅− 12 φ⋅−
12 1−
= separ 15.091 cm=
que cumple
es mayor que 2 cm
es mayor que el diámetro Φ
es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm)
es menor que 30 cm
RECUERDE: PUEDE REALIZAR ESTOS CÁLCULOS MÁS FÁCILMENTE CON
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