Proba
- 1. ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت
اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ
-Iاﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ
1- ﺗﻘﺪﻳﻢ ﻳﻮﺟﺪ ﻧﻮع ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث ﺗﻘﻊ داﺋﻤﺎ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ، ﻓﻤﺜﻼ إذا أﻃﻠﻘﻨﺎ ﺷﻴﺌﺎ ذا وزن ﻣﻦ ﻳﺪﻧﺎ ﻧﻌﻠﻢ ﻣﺴﺒﻘﺎ أﻧﻪ
ﺳﻮف ﻳﺴﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﻷرض ، إن دراﺳﺔ هﺪا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث ﺑﻌﺪ إﻳﺠﺎد اﻟﻤﻌﺎدﻻت و ﻗﻮاﻧﻴﻨﻬﺎ و ﻣﻌﻄﻴﺎﺗﻬﺎ
اﻷوﻟﻴﺔ اﻟﻤﻨﻈﻤﺔ ﻟﻬﺎ ﻳﻤﻜﻨﺄن ﻧﺘﻮﻗﻊ ﻧﺘﻴﺠﺘﻬﺎ اﻟﻨﻬﺎﺋﻴﺔ .
ﻟﻜﻦ هﻨﺎك ﻧﻮع ﺁﺧﺮ ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت وﻣﻊ دﻟﻚ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﺘﻮﻗﻊ ﻧﺘﻴﺠﺘﻬﺎ , ﻓﻤﺜﻼ إذا
رﻣﻴﻨﺎ ﻧﺮدا ﻋﻠﻰ ﻃﺎوﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ إن ﻧﻌﻠﻢ ﻣﺴﺒﻘﺎ اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺬي ﺳﻴﻌﻴﻨﻪ اﻟﻨﺮد ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺴﺘﻘﺮ, رﻏﻢ إن
اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت ﻻ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﻓﻲ آﻞ ﻣﺤﺎوﻟﺔ.
إن هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺎرب ﺗﺴﻤﻰ ﺗﺠﺎرب ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ أو اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ .
إن اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺎ ﻣﻌﻨﺎﻩ ﺟﺮد ﺟﻤﻴﻊ اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت أي ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﺤﺘﻤﻠﺔ و ﺗﺮﺗﻴﺒﻬﺎ ﺣﺴﺐ
درﺟﺔ اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮﻋﻬﺎ.
هﻨﺎك 6 ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻣﻤﻜﻨﺔ 2- أﻣﺜﻠﺔ * "رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء" ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ.
* " ﺳﺤﺐ ﺛﻼﺛﺔ آﺮات ﻣﻦ آﻴﺲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ 7آﺮات " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ .
هﻨﺎك - 7 Cﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ إذا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺗﺄﻧﻴﺎ .
3
- 7 Aﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ إذا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل.
3
- 37 ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ ادا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل.
* " رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﻴﻦ " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎرﻳﻦ ﻋﺸﻮاﺋﻴﻴﻦ.
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ }{FF ; FP; PF ; PP
3- ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت
-aاﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺔ – آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت
آﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺴﻤﻰ إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ .
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺴﻤﻰ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ Ω
أﻣﺜﻠﺔ * } Ω = { F ; Pآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد ﻣﺮة واﺣﺪة ".
* }6;5;4 ;3;2 ,1{ = Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة ".
-bاﻟﺤﺪث
آﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ﻳﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ .
* } A = { PP; FFهﻮ ﺣﺪث ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ " أﻣﺜﻠﺔ
هﻮ ﺣﺪث ﻣﻦ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة " }1{ *
* ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة "
}6;4 ;2{ = B " Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد زوﺟﻲ " هﻮ ﺣﺪث ﻓﻲ هﺪﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ
-cﺗﺤﻘﻴﻖ أو وﻗﻮع ﺣﺪث
إذا ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺘﺠﺮﺑﺔ و آﺎﻧﺖ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﺤﺪث Aﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث Aﻗﺪ ﺗﺤﻘﻖ.
ﻓﻤﺜﻼ إذا رﻣﻴﻨﺎ ﻧﺮدا و ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻷﻋﺪاد 2 أو 4 أو 6 ﻓﺎن ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث " Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد زوﺟﻲ "
ﻗﺪ ﺗﺤﻘﻖ.
-dﺗﺤﻘﻴﻖ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ A ∩ Bو A ∪ B
إذا ﺗﺤﻘﻘﺎ اﻟﺤﺪث Aو اﻟﺤﺪث Bﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث A ∩ Bﻗﺪ ﺗﺤﻘﻖ.
إذا ﺗﺤﻘﻘﺎ اﻟﺤﺪث Aأو اﻟﺤﺪث Bأو هﻤﺎ ﻣﻌﺎ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث A ∪ Bﻗﺪ ﺗﺤﻘﻖ.
ﻣﺜﺎل
اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة "
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 " و " Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد زوﺟﻲ "
إذا رﻣﻴﻨﺎ اﻟﻨﺮد و ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ 6 ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث A ∩ Bﻗﺪ ﺗﺤﻖ
إذا رﻣﻴﻨﺎ اﻟﻨﺮد و ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻣﺜﻼ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ اﻷﻋﺪاد 2 , 3, 4 , 6 ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪث A ∪ Bﻗﺪ ﺗﺤﻘﻖ
-eأﺣﺪاث ﺧﺎﺻﺔ
ﻟﻴﻜﻦ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 1
- 2. أ- اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ
Ω ⊂ Ωو ﺑﻤﺎ أن ﻧﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ داﺋﻤﺎ إﻟﻰ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت Ωأي أن Ωﺣﺪث ﻳﺘﺤﻘﻖ داﺋﻤﺎ
ﻓﺎن Ωﻳﺴﻤﻰ اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ.
ب- اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ
○ ⊂ Ωو ﺑﻤﺎ أن ○ ﻻ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ أي ﻧﺘﻴﺠﺔ , أي ○ ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ أﺑﺪا ﻓﺎن ○ ﻳﺴــﻤﻰ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ.
ج- اﻟﺤﺪث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ اﻟﺤﺪث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ هﻮ ﺣﺪث ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ واﺣﺪة.
ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ ﻓﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﻴﻦ " }{ pp
-fاﻧﺴﺠﺎم ﺣﺪﺛﻴﻦ
ﻧﻘﻮ ل إن اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ Aو Bﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ A∩B=Ø
ﻣﺜﺎل
اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ "
}C = { FPF ; PFF ; FFP } B = { FPP; PFF ; PPF ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث }A = { FFF ; PPP
Aو Bﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ ﻷن A∩B=Ø
} B ∩ C = { PFFوﻣﻨﻪ Bو Cﻣﻨﺴﺠﻤﺎن
ﻟﻴﻜﻦ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت -gاﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد
ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ Aو Bﻣﺘﻀﺎدان إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن A∩B=Øو A ∪ B=Ω
ﻧﻜﺘﺐ A = Bأو B = A
أﻣﺜﻠﺔ
* ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة " و ﻧﺴﺠﻞ رﻗﻢ وﺟﻬﻪ اﻷﻋﻠﻰ.
آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت }6;5;4 ;3;2 ;1{ = Ω
و " Cﻋﺪد ﻓﺮدي " و " Dﻋﺪد ﻣﻀﺎﻋﻒ ل 6 " }5;3{ = B ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث }6;4 ;2 ;1{ = A
و " Eﻋﺪد زوﺟﻲ " و " Fﻋﺪد أآﺒﺮ ﻗﻄﻌﺎ ﻣﻦ 6 "
ﻟﺪﻳﻨﺎ C = E و ﻣﻨﻪ A = B ﻟﺪﻳﻨﺎ A∩B=Øو A ∪ B=Ω
}6{ = Dﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ .
○ ≠ A ∩ Cو ﻣﻨﻪ Aو Cﺣﺪﺛﺎن ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن.
○ = E ∩ Bو ﻣﻨﻪ Eو Bﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ.
Fﺣﺪث ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ .
** ﻧﻌﺘﺒﺮ آﻴﺲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻋﻠﻰ2 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء و 4 آﺮات ﺣﻤﺮاء . " ﻧﺴﺤﺐ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ﺗﺄﻧﻴﺎ 3 آﺮات "
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة واﺣﺪة ﺣﻤﺮاء ﻓﻘﻂ " " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة واﺣﺪة ﺑﻴﻀﺎء ﻓﻘﻂ "
" Dاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاوﻳﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ " " Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ3 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء "
آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت Ωﻳﻀﻢ ﺟﻤﻴﻊ اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت و ﻋﺪدهﺎ 6C
3
2 1
ﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺤﺪث Bهﻮ 2 C 4C ﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺤﺪث Aهﻮ 4C2 C
2 1
3 2 1
ﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺤﺪث Dهﻮ 4 C 4 + C 2C Cﺣﺪث ﻣﺴﺘﺤﻴﻞ
Aو Bﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ ﻷن ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ آﺮة واﺣﺪة ﺣﻤﺮاء ﻓﻘﻂ و آﺮة واﺣﺪة ﺑﻴﻀﺎء ﻓﻘﻂ
) ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﺘﺤﻘﻘﺎ ﻣﻌﺎ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ ( B = D ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ
-IIاﻟﻔﻀﺎءات اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ
1- أﻧﺸﻄﺔ
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا أوﺟﻬﻪ ﺗﺤﻤﻞ اﻷرﻗﺎم 1و2و3و4 و5و6
ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد و ﻧﺴﺠﻞ اﻟﺮﻗﻢ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺴﺘﻘﺮ .
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟـ 3 " ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد زوﺟﻲ "
" Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟـ 7 "
1- ﺣﺪد Aو Bﺑﺘﻔﺼﻴﻞ . ﻣﺎ هﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﺬي ﻟﻪ أآﺒﺮ ﺣﻆ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ ؟
2- ﻣﺎ هﻲ ﻧﺴﺒﺔ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ 1 أي ﺗﺤﻘﻴﻖ اﻟﺤﺪث }1{ ؟
3- ﻣﺎ هﻲ ﻧﺴﺒﺔ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ Aﺛﻢ ﻋﻠﻰ Bﺛﻢ ﻋﻠﻰ C؟
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 2
- 3. 2 – اﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ
-aﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ } Ω = {a1 ; a2 ;........anﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ
إذا رﺑﻄﻨﺎ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ aiﻣﻦ Ωﺑﻌﺪد piﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ]1;0 [ و آﺎن ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻴﻊ اﻷﻋﺪاد هﻮ 1 ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل
إﻧﻨﺎ ﻋﺮﻓﻨﺎ اﺣﺘﻤﺎﻻ pﻋﻠﻰ . Ω
} {aiهﻮ اﻟﻌﺪد piﻧﻜﺘﺐ . p ({ai } ) = pi ﻧﻘﻮل إن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻲ
اﻟﺰوج ) ( Ω; pﻳﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎءا اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ
– bاﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث
ﺗﻌﺮﻳﻒ
اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث Aهﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺟﺪ ﺿﻤﻦ Aﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ب ) p ( A
]1;0[ ﻣﻼﺣﻈﺔ * آﻞ اﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ Ωهﻮ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﺣﺪاث ) P ( Ωﻧﺤﻮ
1 = )p (Ω 0 = ) ○ (p *
ﻣﺜﺎل ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ
ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺟﻪ ﻣﺮﺗﻴﻦ
ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث " Aﻇﻬﻮر اﻟﻮﺟﻪ ﻋﻠﻰ اﻷآﺜﺮ ﻣﺮة "
1
= ) } p ({ FF }Ω = { FF ; FP; PF ; PP
4
3 1 1 1
= + + = ) }p ( A ) = p ({ PF } ) + p ({ FP} ) + p ({ PP }A = { PP; PF ; FP
4 4 4 4
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا ﻣﻐﺸﻮﺷﺎ ﺑﺤﻴﺚ اﺣﺘﻤﺎل ﻇﻬﻮر اﻟﻌﺪد2 هﻮ ﺛﻼث ﻣﺮات اﺣﺘﻤﺎل ﻇﻬﻮر اﻟﻌﺪد1 , و أن اﻷﻋﺪاد 1و3 و4
و 5 و6 ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﻈﻬﻮر . ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة.
1- اﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ ﻓﻲ هﺪﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ .
2- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد زوﺟﻲ "
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاوﻳﺘﻴﻦ ﻣﺮﻗﻤﺘﻴﻦ ﺑـ 1و2 ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ و 3 آﺮات ﺧﻀﺮاء ﻣﺮﻗﻤﺔ ب 1و2
و 3 ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ . ﻧﺴﺤﺐ ﺗﺄﻧﻴﺎ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق
1- ﺣﺪد آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت .
2- أﺣﺴﺐ آﻞ ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ .
3- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺣﻤﺮاء واﺣﺪة ﻓﻘﻂ "
4- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث " Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮع رﻗﻤﻴﻬﻤﺎ 4 "
3- اﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد و ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺣﺪﺛﻴﻦ
- aاﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ
ﻟﻴﻜﻦ Aو Bﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ
} A ∪ B = {a1 ; a2 ;......; an ; b1 ; b2 ;.......; bm } B = {b1 ; b2 ;.......; bm } A = {a1 ; a2 ;......; an
n m
) p ( A ∪ B ) = ∑ p ({ai } ) + ∑ p ({bi } ) = p ( A ) + p ( B
1= i 1= i
ﺧﺎﺻﻴﺔ
) p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ Aو B
-bاﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد
A∪ A = Ω ○= A∩ A ﻟﺪﻳﻨﺎ
) p ( A ∪ A ) = p ( A) + p ( A ) ⇔ p ( Ω ) = p ( A) + p ( A ) ⇔ 1 = p ( A) + p ( A
ﺧﺎﺻﻴﺔ
)p ( A ) = 1 − p ( A ﻟﻜﻞ ﺣﺪث Aﻣﻦ Ω
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 3
- 4. -cاﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﻴﻦ
}B − A = { x ∈ B / x ∉ A ﻟﻴﻜﻦ Aو Bﺣﺪﺛﻴﻦ ﻣﻦ Ω
○ = )A ∩ ( B − A )A ∪ B = A ∪ ( B − A ﻟﺪﻳﻨﺎ
)p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B − A وﻣﻨﻪ
○ = )( A ∩ B ) ∩ ( B − A )B = ( A ∩ B ) ∪ ( B − A و ﻟﺪﻳﻨﺎ
)p ( B ) = p ( A ∩ B ) + p ( B − A و ﻣﻨﻪ
) p ( B − A) = p ( B ) − p ( A ∩ B أي
) p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ادن
ﺧﺎﺻﻴﺔ
) p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﻴﻦ Aو Bﻣﻦ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ﻣﻦ Ω
4- ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت
ﺗﺬآﻴﺮ اﻟﺮﻣﺰ cardEﻳﻘﺮأ رﺋﻴﺴﻲ Eو هﻮ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ E اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث
ﺧﺎﺻﻴﺔ
cardA
= )p ( A إذا آﺎﻧﺖ ﺟﻤﻴﻊ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﺎن اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﺣﺪث Aهﻮ
card Ω
ﺣﻴﺚ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت.
Aﺣﺪث ﺣﻴﺚ cardA = k card Ω = n ﻟﻴﻜﻦ } Ω = {a1 ; a2 ;.........; an اﻟﺒﺮهﺎن
1
∀i 1≤ i ≤ n = ) } p ({ai
ﺑﻤﺎ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ﻓﺎن
n
و ﺑﻤﺎ أن ) p ( Aﺗﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺿﻤﻦ Aو ﻋﺪدهﺎ kﻓﺎن
1 k cardA
× p ( A) = k = =
n n card Ω
ﻣﻼﺣﻈﺔ
إن ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﺬآﺮ ﺻﺮاﺣﺔ ﻓﻲ ﻧﺺ اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ آﻤﺎ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻔﻬﻢ
ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﺮوط اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ .
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ 4 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء و 5 ﺣﻤﺮاء و 6 ﺻﻔﺮاء . ﻧﺴﺤﺐ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺻﻔﺮاء "
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن "
" Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ اﻟﻠﻮن "
" Dاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ آﺮة ﺻﻔﺮاء "
1- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﺣﺪث ﻣﻦ اﻷﺣﺪاث Aو Bو Cو Dإذا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺗﺄﻧﻴﺎ .
2- ﻧﻔﺲ اﻟﺴﺆال إذا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل.
3- ﻧﻔﺲ اﻟﺴﺆال إذا آﺎن اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل.
اﻟﺤﻞ
1- ﻟﻴﻜﻦ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت 554 = 51card Ω = C
3
43 02 4
= )p ( B 43 = 4cardB = C6 + C53 + C
3 3
= )p ( A = 02 = 6cardA = C
3
554 99 554
43
− 1 = ) p (C ) = 1 − p ( B Cهﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ل B
554
ﻟﻴﻜﻦ " Fاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻻ ﺗﻀﻢ أي آﺮة ﺻﻔﺮاء "
48
= ) p(F 48 = 9cardF = C
3
554
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 4
- 5. 48
− 1 = ) p ( D) = 1 − p ( F Fﺣﺪث ﻣﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث D
554
ﺗﻤﺮﻳﻦ
1 1 1
= )p ( A ∩ B = )p ( B = )p ( A و Bﺣﺪﺛﻴﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﺣﻴﺚ A ﻟﻴﻜﻦ
6 4 3
1- ﺑﻴﻦ أن A ∩ B = A ∪ B
)p( A ∪ B 2- أﺣﺴﺐ ) p ( A ∪ B
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا أوﺟﻬﻪ اﻟﺴﺘﺔ ﻣﺮﻗﻤﺔ ﻣﻦ 1 اﻟﻰ6 , ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻣﻜﻮن ﻣﻦ
أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻷﺣﺪاث ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم .
" Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد رﻗﻢ ﻣﺌﺎﺗﻪ هﻮ 2 "
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻣﻜﻮن ﻣﻦ أرﻗﺎم ﻣﺰدوﺟﺔ "
" Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻣﻜﻮن ﻣﻦ أرﻗﺎم ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ "
-IIIاﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ
1- اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ
-aأﻧﺸﻄﺔ ﺗﻀﻢ إﺣﺪى اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺎت 005 ﺗﻠﻤﻴﺬ ﻣﻮزﻋﻴﻦ ﺣﺴﺐ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ :
اﻟﻤﺠﻤﻮع ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ اﻷدب اﻟﺸﻌﺒﺔ
اﻟﺠﻨﺲ
062 021 041 إﻧﺎث
042 081 06 ذآﻮر
005 003 002 اﻟﻤﺠﻤﻮع
ﻧﺨﺘﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺗﻠﻤﻴﺬا ﻣﻦ ﺑﻴﻦ 005 ﺗﻠﻤﻴﺬ
1- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
" Eاﺧﺘﻴﺎر ﻓﺮد ﻣﻦ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ " " Fاﺧﺘﻴﺎر أﻧﺜﻰ " " Gاﺧﺘﻴﺎر ذآﺮ "
" G ∩ Eاﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮ ﻣﻦ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ " " Lاﺧﺘﻴﺎر ﻓﺮد ﻣﻦ اﻷدب "
2- إذا آﺎن ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮا ﻓﻤﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﻦ ﺷﻌﺒﺔ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ؟
اﻟﺤﻞ
081 002 003 062 402
= ) p (G ∩ E = )p ( L = )p(E = ) p(F = ) p (G 1- 005 = card Ω
005 005 005 005 005
081
2- إذا آﺎن ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮا ﻓﺎﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﻦ ﺷﻌﺒﺔ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ هﻮ
042
ﻷﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ 081 ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮ ﻓﻲ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ 042 ذآﺮ .
081
هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﻠﻤﻴﺬ ﻣﻦ ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ أﻧﻪ ذآﺮا ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) pG ( Eأو ) p ( E / G
042
081
= ) pG ( E ﻳﻘﺮأ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Eﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ﻣﺤﻘﻘﺎ ﻧﻜﺘﺐ
042
) card ( G ∩ E
) card ( G ∩ E ) card ( Ω ) p (G ∩ E
= ) pG ( E = = ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﻼﺣﻈﺔ
) card ( G ) card ( G ) p (G
) card ( Ω
-bﺗﻌﺮﻳﻒ
0 ≠ )p ( A ﻟﻴﻜﻦ Aو Bﺣﺪﺛﻴﻦ ﻣﻦ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﻨﺘﻪ ﺣﻴﺚ
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 5
- 6. ) p (A ∩ B
= ) pA ( B ) = p ( B / A اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Bﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻘﺎ هﻮ
) p (A
) card ( A ∩ B
= ) pA ( B إذا آﺎن ﻟﺠﻤﻴﻊ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﺎن ﻣﻼﺣﻈﺔ
) card ( A
-cﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
إذا آﺎن Aو Bﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻟﻬﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ﻓﺎن ) p ( A ∩ B ) = p ( A ) p A ( B ) = p ( B ) pB ( A
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ 5 آﺮات ﺳﻮداء ﻣﺮﻗﻤﺔ ﺑـ 1 , 1 , 1 , 1 , 2 و ﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء ﻣﺮﻗﻤﺔ ب 1 , 1 , 2 .
ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل آﺮﺗﻴﻦ
" Iاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﺘﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮع رﻗﻤﻴﻬﻤﺎ 2 " أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ
" Jاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﺘﻴﻦ ﻋﻠﻤﺎ أن ﻣﺠﻤﻮع رﻗﻤﻴﻬﻤﺎ 2 "
اﻟﺤﻞ
card Ω = A ﻟﻴﻜﻦ Ωآﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت
2
8
* ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﺘﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 2 ﻳﺠﻴﺐ أن ﺗﺴﺤﺐ ﻣﻦ 4 آﺮات ﺳﻮداء ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 1
2A
4 = ) p(I 4cardI = A2
28A
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 2 " * ﻧﻌﺘﺒﺮ " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﺘﻴﻦ "
2
4A
4 p ( A ∩ B ) p ( I ) A8 A
2 2
= ) p ( J ) = pB ( A = 2 = 2 = 2
5cardB = A 6 cardA = A2
) p (B 6p ( B ) A6 A
2
8A
4 card ( A ∩ B ) A
2
= ) p (J ﺑﻤﺎ أن اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت ﻓﺎن 2 = ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ
cardB 6A
2- اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ
-aﺗﺠﺰﻳﺊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث 1 An ;........... A2 ; Aﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء Ωادا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن :
) ∀ ( i; j i≠ j 1≤ i ≤ n 1≤ j ≤ n ○ = Ai ∩ Aj
A1 ∪ A2 .......... ∪ An = Ω
-bﺧﺎﺻﻴﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ 1 An ;........... A2 ; Aﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء . Ωﻧﻌﺘﺒﺮ Bﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ Ω
) p ( B ) = p ( A1 ) p A1 ( B ) + p ( A 2 ) p A2 ( B ) + ........... + p ( A n ) p An ( B
اﻟﺒﺮهﺎن
) B = B ∩ Ω = B ∩ (A1 ∪ A 2 ......... ∪ A n ) = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A 2 ) ............. ∪ ( B ∩ A n
ﺑﻤﺎ أن 1 A n ;...........A 2 ; Aﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ﻓﺎن ) (A n ∩ B );...........(A 2 ∩ B );(A1 ∩ B
ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ. وﻣﻨﻪ
) p ( B ) = p ( B ∩ A1 ) + p ( B ∩ A 2 ) ............................. + p ( B ∩ A n
) p ( B ) = p ( A1 ) p A1 ( B ) + p ( A 2 ) p A 2 ( B ) + ........... + p ( A n ) p A n ( B
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺛﻼث ﺻﻨﺎدﻳﻖ . ﻳﺤﺘﻮي اﻟﺼﻨﺪوق اﻷول ﻋﻠﻰ 4 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء وآﺮة ﺳﻮداء و اﻟﺼﻨﺪوق اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻋﻠﻰ
آﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﺘﻴﻦ و آﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﺘﻴﻦ و اﻟﺼﻨﺪوق اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﻠﻰ 3 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء و آﺮة ﺳﻮداء .
ﻧﺨﺘﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺻﻨﺪوﻗﺎ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﺼﻨﺎدﻳﻖ اﻟﺜﻼث ﺛﻢ ﻧﺴﺤﺐ ﻣﻨﻪ آﺮة واﺣﺪة .
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 6
- 7. ﻟﻨﺤﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء .
" Bﺳﺤﺐ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء " ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث " Ciاﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق 1 ≤ i ≤ 3 " i
ﻟﺪﻳﻨﺎ 1 Cو 2 Cو 3 Cﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ . و اﺗﺤﺎدهﻢ هﻮ Ωوﻣﻨﻪ 1 Cو 2 Cو 3 Cﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟـ Ω
1
= ) 3p ( C1 ) = p ( C2 ) = p ( C ﺑﻤﺎ أن ﻟﻠﺼﻨﺎدﻳﻖ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﺎن
3
4
= ) pC1 ( B اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ ﺻﻨﺪوق 1 Cهﻲ
5
2
= ) pC2 ( B اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ ﺻﻨﺪوق 2 Cهﻲ
4
3
= ) pC3 ( B اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ ﺻﻨﺪوق 3 Cهﻲ
4
ﺑﻤﺎ أن 1 Cو 2 Cو 3 Cﺗﺠﺰﻳﺌﺎ آﻠﻴﺎ ﻟـ Ωﻓﺎن ﺣﺴﺐ ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ
) p ( B ) = p (C 1 ) pC1 ( B ) + p (C 2 ) pC 2 (C 2 ) + p (C 3 ) pC 3 ( B
14 3 1 1 1 4 1
= × + × + × = ) p (B
46 4 3 2 3 5 3
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﺟﻤﻴﻊ ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻓﻲ هﺪﻩ اﻟﺸﺠﺮة
1 4
= ) pC 3 ( B = ) pC1 ( B ﻣﺜﻼ
4 5
91 1 1 1 1 1 1
= × + × + × = ) p(N ﻣﻦ ﺧﻼ ل اﻟﺸﺠﺮة ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ
06 5 3 2 3 4 3
ﻳﻨﺘﺞ ﻣﻌﻤﻞ ﻣﺼﺎﺑﻴﺢ آﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺛﻼث ﺁﻻت Aو Bو Cﺑﺤﻴﺚ ﺗﻤﺮﻳﻦ
اﻵﻟﺔ Aﺗﻀﻤﻦ °/°02 ﻣﻦ اﻹﻧﺘﺎج و °/° 5 ﻣﻦ اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﻤﺼﻨﻮﻋﺔ ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺤﺔ
اﻵﻟﺔ Bﺗﻀﻤﻦ °/°03 اﻹﻧﺘﺎج و °/° 4 ﻣﻦ اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﻤﺼﻨﻮﻋﺔ ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺤﺔ
اﻵﻟﺔ Cﺗﻀﻤﻦ °/°05 ﻣﻦ اﻹﻧﺘﺎج و °/° 1 ﻣﻦ اﻟﻤﺼﺎﺑﻴﺢ اﻟﻤﺼﻨﻮﻋﺔ ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺤﺔ
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 7
- 8. ﻧﺨﺘﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﻣﺼﺒﺎﺣﺎ آﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺎ .
1- ﻣــــــــــﺎ هــــــــﻮ اﺣﺘﻤـــــــــﺎل
-aﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ و ﻣﺼﻨﻮع ﺑـ A
-bﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ و ﻣﺼﻨﻮع ﺑـ B
-cﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ و ﻣﺼﻨﻮع ﺑـ C
2- اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ
02
=°/°02 هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻣﺼﻨﻮﻋﺎ ﺑـ Aو °/° 5 هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ) ﻻﺣﻆ أن
001
اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ ﻋﻠﻤﺎ أﻧﻪ ﻣﺼﻨﻮﻋﺎ ﺑـ ( A
3- أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻣﺼﻨﻮﻋﺎ ﺑـ Aﻋﻠﻤﺎ أﻧﻪ ﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ .
اﻟﺤﻞ
" Iﻏﻴﺮ ﺻﺎﻟﺢ " " Aﻣﺼﻨﻮع ﺑـ " A 1- -a
02 5 1
= ) p ( A ∩ I ) = p ( A ) pA ( I × =
01 001 001
03 4 21
= ) p ( B ∩ I ) = p ( B ) pI ( B × = " Bﻣﺼﻨﻮع ﺑـ " B -b
0001 001 001
05 1 5
= ) p (C ∩ I ) = p (C ) p I (C × = " Cﻣﺼﻨﻮع ﺑـ " C -c
0001 001 001
p ( I ) = p ( A ) p A ( I ) + p ( B ) p B ( I ) + p (C ) pC ( I ) = ... -d
) p (A ∩ I
= ) pI ( A 2-
) p (I
-IVاﻻﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ
1- اﻷﺣﺪاث اﻟﻤﺴﺘﻘﻠﺔ
ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ 4آﺮات ﺣﻤﺮاء و آﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاوﻳﺘﻴﻦ . ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻜﻴﺲ ﻧﺸﺎط
2 " Rاﻟﻜﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺣﻤﺮاء " ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ 1 " Rاﻟﻜﺮة اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء "
ﺛﻢ ﻗﺎرﻧﻬﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ) 2 p R1 ( R أﺣﺴﺐ ) 2 p ( R
1- اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺈﺣﻼل
2- اﻟﺴﺤﺐ ﺑﺪون إﺣﻼل
ﻧﻘﻮل إن 1 Rو 2 Rﻣﺴﺘﻘﻼن . 1- ) 2 p R1 ( R 2 ) = p ( Rأي ) 2 p ( R1 ∩ R 2 ) = p ( R1 ) × p ( R
) 2 p R1 ( Rﻧﻘﻮل إن 1 Rو 2 Rﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻠﻴﻦ. ≠ 2- ) 2 p ( R
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻧﻘﻮل إن اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ Aو Bﻣﺴﺘﻘﻼن إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ) p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ . ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ﻓﻲ اﻟﺮﻣﻴﺔ اﻷوﻟﻰ"
" Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 7 " " Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ زوﺟﻴﻴﻦ "
هﻞ Aو Bﻣﺴﺘﻘﻼن ؟ هﻞ Aو Cﻣﺴﺘﻘﻼن ؟
2- اﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ
ﻧﻌﻠﻢ أن ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎر واﺣﺪ أو ﻋﺪة اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻓﻤﺜﻼ
أ- "رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد nﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ nاﺧﺘﺒﺎر "رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻨﻘﻮد"
ب- "رﻣﻲ اﻟﻨﺮد nﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ nاﺧﺘﺒﺎر "رﻣﻲ اﻟﻨﺮد "
ت- " ﺳﺤﺐ nآﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ mآﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ nاﺧﺘﺒﺎر "ﺳﺤﺐ آﺮة"
ث- " ﺳﺤﺐ nآﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ mآﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل " ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ nاﺧﺘﺒﺎر "ﺳﺤﺐ
آﺮة"
ﻧﻼﺣﻆ أﻧﻪ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻣﺜﻼ آﺘﺠﺎرب اﻷﻣﺜﻠﺔ أ- ب – ت
و أﻧﻪ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻣﺜﻼ – ث.
إذا آﺎﻧﺖ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻣﺎ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 8
- 9. ﺣـــــــــــﺎﻟﺔ ﺧــــــــــﺎﺻﺔ ) اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺮرة(
ﻣﺜﺎل1 ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ . أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث " Aﻇﻬﻮر اﻟﻮﺟﻪ Fﻣﺮﺗﻴﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ "
} A = { FFP; FPF ; PFF
) p ( A ) = p ( FFP ) + p ( FPF ) + p ( PFF
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
p ( A ) = × × + × × + × × = 3 = C32
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ﻣﺜﺎل 2
ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎ ﻟﻴﺔ . ﻟﻨﺤﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 ﺛﻼث ﻣﺮات
ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ .
ﺗﺘﻜﻮن هﺪﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻜﺮار اﻻﺧﺘﻴﺎر " رﻣﻲ اﻟﻨﺮد" ﺧﻤﺲ ﻣﺮات .
ﻓﻲ هﺪا اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث " Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3"
1
}6;3{ = A = )p ( A
3
ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد اﻣﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث Aو اﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث A
و هﻜﺬا ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻤﺜﻞ هﺪﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
ﺣﻴﺚ ﺗﺸﻐﻞ اﻟﺨﺎﻧﺎت اﻟﺨﻤﺲ ﺑـ Aأو . A
ﻧﻌﺘﺒﺮ " Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ3 ﺛﻼث ﻣﺮات "
اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ Bهﻲ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺪي ﻳﺤﺘﻞ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺤﺪث Aﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﻦ ﻳﺒﻦ 5 أﻣﻜﻨﺔ .
و ﻣﻨﻪ ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ Bهﻲ 5. C
3
2 2 2 1 1 1
= )p ( A و ﺑﻤﺎ أن اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ Bهﻮ × × × × ﻷن
3 3 3 3 3 3
3 2 3 2 −5
31 2 31 2
p (B ) = C5 × = C5 × ﻓﺎن
3 3 3 3
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ Aﺣﺪﺛﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﻪ pﻓﻲ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻲ .
kﻣﺮة ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ k ≤ nهﻮ ادا أﻋﻴﺪ هﺪا اﻻﺧﺘﺒﺎر nﻣﺮة ﻓﺎن اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث A
n −k
) C n p k (1 − p
k
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 9
- 10. 2
, ﻗﺎم اﻟﺮاﻣﻲ ﺑﻌﺸﺮ ﻣﺤﺎوﻻت . ﺗﻤﺮﻳﻦ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ رام اﻟﻬﺪف هﻮ
3
ﻣﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ اﻟﻬﺪف 6 ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ؟
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ 5 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء و 21 آﺮة ﺳﻮداء و 3 آﺮات ﺣﻤﺮاء
ﻧﺴﺤﺐ 8 آﺮات ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺎﺣﻼل .
أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ 6 آﺮات ﺑﻴﻀﺎء ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ .
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 01
