رياضيات 2ث فلسطين ج1

U??O{U�d�«
‰Ë_« ¡e?'«
Íu�U��« w�U��« n?BK�
wŽUMB�«Ë wLKF�«
WO�UŽ bL×� Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎUI�M�ò nÝu¹ rOŠd�« b³Ž s�Š Æœ
qL'« nÝu¹ bL×� Æ√ `�U� bL×� Æœ r$ wLKŠ bL×� Æ√
W½UHŽ ËeŽ Æœ
ÊuH�R*«
5D�K� W�Ëœ
w�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë

5D K WÃËœ w wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë —dÁ
Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—bÃ« ÂUFKÃ UNÝ—«bÄ w wLKFÃ« Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKÃ UO{U¹dÃ« »U²Â f¹—bð
Z¼UM*« e?ÂdÄ
hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈
ÂUFÃ« ·«d?ýù«
hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—
5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« eÂdÄ ÂUŽ d¹bÄ
WOMHÃ« …dz«bÃ«
…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈
ÍËUL× œuL×Ä ‰ULÂ ∫r?OL?Bð
Õu³?×Ð Ê«bL?Š ∫WŽU³DKÃ VÝu;« œ«bŽù«
ÊUŠdÝ ÊU ž ¡«dOÝ ¨dÄUŽ œuL×Ä dLÝ ¨w ¹bÃ« Í“u ÊUNLÝ√ ∫bOCMð
UO{dÃ« ÃUNM* wMÞuÃ« o¹dHÃ«
—UHÃ« “UMNý jO³{ ”UOÃ« Æœ åÎUI MÄò bF Ä 5D Æœ
dÐUł U½UOÃ WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ
pAÂ qz«Ë q³IÄ bL×Ä Ê«bLŠ bL×Ä Æœ
WO d « w Ë_« WF D «
?¼ ±¥≤∑ØÂ≤∞∞∂
Z¼UM*«eÂdÄØwÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“uÃWþuH×Äl?³DÃ«‚uIŠlOLł
WM¹b*«eÂdÄWNłsÄ5LOÃ«vKŽŸ—Uý‰Ë√≠b¼UF*«Ÿ—Uý≠ÊuOB*«wŠ≠Z¼UM*«eÂdÄ
5D K ≠ tKÃ« Â«— ≠ ∑±π »Æ ’
´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fÂU ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð
pcdc@palnet.com ∫w½Ëd²JÃô«Ê«uMFÃ« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²JÃô«W×HBÃ«

bONL
VFAÃ« UŠuLÞoOI×²ÃªWOMOD KHÃ«WO uB)«wŽ«d¹ÃUNMÄl{Ë…—Ëd{wÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“Ë √—
VFAKÃ WOMÞuÃ« …œUO Ã« ¡UM³Ã ÎUÒLNÄ ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD K ÃUNMÄ ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFAÃ« 5Ð t½UJÄ cšQ¹ v²Š wMOD KHÃ«
w²Ã« WÄ«b² *« W¹dA³Ã« œ—«uLKÃ WOLMð …«œ√Ë ¨w½U ½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1bÃ«Ë rOIÃ« aOÝd²Ã ÎUÝUÝ√Ë ¨wMOD KHÃ«
Æ…—«“uKÃ WO L)« WD)« ΔœU³Ä UN² Ý—
…—«“uÃ« wÃuð «cÃ ªlL²−*« ·«b¼√ oI×²ð UNÃöš sÄ w²Ã« ¨rOKF²KÃ W OzdÃ« WKOÝuÃ« t½√ w ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË
¨VÃUDÃ«ËrKF*«bOÐvÃË_«…«œ_«Ë¨rKF²KÃjOÝuÃ«—bB*«t½_ªÃUNM*«d UMŽbŠ√¨wÝ—b*«»U²JÃUÐW UšW¹UMŽ
jzUÝuÃ«sÄU¼dOžË¨ÍdÝ_«rKF²Ã«Ë¨WOK;«W UI¦Ã«Ë¨»uÝU(«Ë¨X½d²½ù«∫rKF²Ã«qzUÝËsÄÁdOžvÃ≈W U{≈
Æ…bŽU *«
X Ół=uÔð w²Ã«¨©±≤≠ ±® WOÝ—b*« V²JÃ« lOLł nOÃQð WKŠdÄ ÂU9SÐ wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë XÄUÁ bIÃ
W¹«bÐ lÄ¨wMI²Ã«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U ½ù« ÂuKFÃ«Ë¨ wLKFÃ« ∫tŽËd lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBÃ« V²Â oO³D²Ð
¨WÄœUIÃ« Àö¦Ã« «uM Ã« w WKÄUýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUOÃUŠ …—«“uÃ« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—bÃ« ÂUFÃ«
WÃœ√® WOÃULJ²Ý« WDA½√Ë¨©±≤≠ ± ·uHBKÃ V²JÃ« lOLł WFł«dÄ® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë¨ ôU−Ä WFÐ—√ wDGð
ÎUOI √ YŠU³*« lOLł w Àö¦Ã« qŠ«d*« Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð UÝ«—œ® WOK³I² Ä WDA½√Ë¨©WMOF*« qzUÝuÃ«Ë rKF*«
ÊU×²Ä« WOÃ¬ 5 %Ë ¨w½Ëd²JÃù« rOKF²Ã«Ë UJ³AÃ« ‰U−Ä w WO²×²Ã« WOM³Ã« lOÝuð® W¹“«uÄ WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË
Æ©WÄUFÃ« W¹u½U¦Ã«
WOÝUÝ√…eOÂ—¨ÎUÐU²Â¥μ∞»—UI¹U¼œbŽË¨dAŽwMŁô«·uHBKÃ e$√w²Ã«rKF*«WÃœ√ËWOÝ—b*«V²JÃ«bFðË
«d³š dO u²Ã ªwIDMÄË qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ UÄuKFÄË ·—UFÄ sÄ tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²Ã«Ë rOKF²Ã« WOKLŽ w
lÄ Â¡ö²ðË ¨.uI²Ã« VOÃUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝuÃ«Ë ¨f¹—b²Ã« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýRÄ sLC²ð ¨WŽuM²Ä
ÆÁöŽ√ …—uÂc*« WO L)« WD)« ΔœU³Ä
¨UN ¹—b²Ð ÊuÄuI¹ s¹cÃ« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²Ã« WÂ—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²JÃ« WFł«dÄ r²ðË
w «dOG²Ã« lÄ Â¡ö²ð wÂ ªd¹uD²Ã«Ë q¹bF²KÃ WKÐUÁ WO³¹d& UF³Þ WFÐ«dÃ« vÃ≈ vÃË_« sÄ UF³DÃ« …—«“uÃ« ÈdðË
¨œuNłsÄtO ‰c³¹UÄ—«bI0œ«œeðwMOD KHÃ«wÝ—b*«»U²JÃ«WLOÁÊ≈Æ…UO(« «—UNÄËwłuÃuMJ²Ã«ËwLKFÃ«ÂbI²Ã«
w ÎUÒ¹d¼uł Î«dOOGð ÊuŁb×¹ s¹cÃ« ¨WOÝ—b*« V²JÃ« œ«bŽ≈ ‰U−Ä w 5BB ²*« sÄ sJ2 œbŽ d³Â√ WÂ—UAÄ sÄË
w Ã«dšù«Ë nOÃQ²Ã« wÃU−Ä w Z¼UM*« eÂdÄ UN Ý— WO−NM0 ¨WFł«d*« sÄ WFÝ«uÃ« UOKLFÃ« ‰öš sÄ ¨rOKF²Ã«
ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ ÍcÃ« sÞuÃ« w dÞ
¨WOÃËbÃ« ULEM*«Ë U ÝR*«vÃ≈d¹bI²Ã«ËdJAÃ«q¹e−ÐÂbI²ðÊ√ô≈UNF ¹ôwÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“ËÊ≈
ÆZ¼UM*« ŸËdA* wÃU*« UNLŽbÃ ªUJO−KÐ WÄuJŠ W U ÐË WI¹bBÃ«Ë WOÐdFÃ« ‰ËbÃ«Ë
‰öšsÄw ¹—U²Ã«wMÞuÃ«qLFÃ««c¼ “U$≈w XÂ—Uýw²Ã«¨WOMÞuÃ«W¹uÐd²Ã« «¡UHJÃUÐd H²Ã…—«“uÃ«Ê√ULÂ
¨tFÁuÄV Š yqÂ¨…eOL*«r¼œuN−ÐrN²Â—UAÄvKŽr¼dJAðË¨WOÝ—b*«V²JÃ«œ«bŽSÐÂuIðw²Ã«¨W¹uÐd²Ã«ÊU−KÃ«
¨qLFÃ« Uý—Ë w 5Â—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HÃR*«Ë ¨—«dÁù«Ë ¨Z¼UM*«eÂdÄË ¨W¹—«“uÃ« Z¼UM*« ÊU' qLAðË
ÆoO³D²Ã« ¡UMŁ√ Ê«bO*« sÄ WOÝ—b*« V²JÃ« ¡«dŁ≈ w 5Â—UA*«Ë ¨5FÐUDÃ«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5ÄUÝdÃ«Ë ¨5LLB*«Ë
wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë
Z¼UM*« e?ÂdÄ
Â ≤∞∞∂ ‰uK¹√

W bI
ÆÆÆ bFÐË sOLÃUFÃ« »— tKÃ bL×Ã«
UO{U¹dÃ« »U²Â sÄ ‰Ë_« ¡e−Ã« ¡«eŽ_« UM²³KDÃË ¨ ULKFLÃ«Ë sOLKFLÃ« UMzöÄeÃ ÂbI½ Ê√ U½d ¹
ÃUNMLÃ« WDš sL{ UO{U¹dÃ« Y×³LÃ WÃbFLÃ« WC¹dFÃ« ◊uD Ã« o Ë ¨wLKFÃ« Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKÃ
Æ‰Ë_« wMOD KHÃ«
Æq{UH²Ã« UIO³DðË ¨q{UH²Ã« »U ŠË ¨‰UBðô«Ë U¹UNMÃ« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ »U²JÃ« qL²A¹
¨ U¹UNMÃ« U¹dE½Ë ¨WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÂuNHÄ UMÄbÁ ©‰UBðô«Ë U¹UNMÃ«® vÃË_« …bŠuÃ« w
WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½Ë ¨‰UBðô« U¹dE½Ë ¨‰UBðô«Ë ¨W¹UN½ôULÃ« w U¹UNMÃ«Ë ¨WMOFLÃ« dOž —uBÃ«Ë
Æu½«eKÐ W¹dE½Ë
‰UBðô«sOÐWÁöFÃ«Ë¨vÃË_«WI²ALÃ«Ë¨dOG²Ã«jÝu²ÄUMÄbÁ©q{UH²Ã«»U Š®WO½U¦Ã«…bŠuÃ«w Ë
‚UI²ýô«Ë¨WK K Ã«…bŽUÁË¨‚UI²ýô«vKŽWOzU¹eO ËWOÝbM¼ UIO³DðË¨‚UI²ýô«bŽ«uÁË¨‚UI²ýô«Ë
ÆW¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄË ¨wMLCÃ«
¨hÁUM²Ã«Ëb¹«e²Ã«Ë¨‰Ë—W¹dE½ËWDÝu²LÃ«rOIÃ«W¹dE½UMÄbÁ©q{UH²Ã« UIO³Dð®W¦ÃU¦Ã«…bŠuÃ«w Ë
·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã«Ë ¨WO½U¦Ã« WI²ALÃ«Ë vÃË_« WI²ALÃ« —U³²š«Ë ¨WIKDLÃ«Ë WOK×LÃ« ÈuBIÃ« rOIÃ«Ë
ÆWD³ðdLÃ« WOMÄeÃ« ôbFLÃ«Ë ¨ÈuBIÃ« rOIÃ« vKŽ WOKLŽ UIO³DðË ¨ UOM×MLÃ« rÝ—Ë
vKŽË¨ «bŠuÃ«Ë U¹dEMÃ«ËrO¼UHLKÃwIDMLÃ«q K ²Ã«vKŽUM dŠbI ¨»uKÝ_«YOŠsÄUÄ√
WK¦Ä_«ËWO×O{u²Ã«ÂuÝdÃ«pÃ–sÄ ÎôbÐU½bL²Ž«Ë¨ U¹dEMÃ«sO¼«dÐvKŽbz«“eOÂdðÊËœ¨WOLKFÃ«WÁbÃ«
ÆsJÄ√ UL¦OŠ ¨q×KÃ WÄUŽ UO−Oð«d²Ý« l{Ë lÄ WŽuMLÃ«
qC √oOI×²Ã…œ«e²Ýô«ËoLF²Ã«ËW dFLÃ«vKŽ’d×Ã«qÂÊuB¹dŠWÄUFÃ«W¹u½U¦Ã«W³KÞÊ√UM²ŽUMIÃË
s¹—UL²Ã« sÄ WŽuL−LÐ …bŠË qÂ UMF³ð√ bI ¨WOFÄU−Ã« rNðUÝ«—bÃÎ«bONLð WÄUFÃ« W¹u½U¦Ã« ÊU×²Ä« w ZzU²MÃ«
w …œ—«uÃ« «—UNLÃ«ËsO½«uIÃ«Ë ULOLF²Ã«ËrO¼UHLÃ«wDGðw²Ã«WOÃUILÃ«ËWOŽu{uLÃ«WŽuMLÃ«WK¾Ý_«Ë
ÆÀö¦Ã« «bŠuÃ« œuMÐ sÄ bMÐ qÂ W¹UN½ w qzU LÃ«Ë s¹—UL²Ã« vÃ≈ W U{ùUÐ ¨…bŠuÃ«
sOLKFÄË ¨ U dAÄË sO dAÄ ¨Ê«bOLÃ« w UMzöÄ“ sÄ ÂbI²½Ë ¨ÕU−½Ë oO uð qÂ W³KDÃ« UMzUMÐ_ vML²½
¨d¹bI²Ã«Ë Â«d²Šô« qJÐ ¨»U²JÃ« «c¼ «œu Ä ¡«dŁ≈ w «uÂ—Uý s¹cÃ« UE U×LÃ« lOLł sÄ ¨ ULKFÄË
¨t½UÄ√Ë‚b qJÐrNNOłuðË¡«eŽ_«UM²³KÞrOKF²ÐWKO³MÃ«rNðdO Ä‰ULÂ≈w rNI u¹Ê√qłËeŽvÃuLÃ«sOKzUÝ
ÆW×IMÄ …b¹bł WF³Þ —«b ù cOHM²Ã« l{uÄ »U²JÃ« l{Ë bFÐ Z¼UMLÃ« eÂdLÃ WFł«dÃ« W¹cG²Ã« r¹bIðË
oO u²Ã« wÃË tKÃ«Ë
ÊuHÃRLÃ«

U???¹u??²;«
q????{UH²Ã« »U???? Š
μ≤ d??OG²Ã« j??Ýu²Ä ±≠≤
μ∑ vÃË_« WI²A*« ≤≠≤
∂∂ ‚UI²ýô« bŽ«uÁ ≥≠≤
∑μ ‚UI²ýô« WOKÐUÁË ‰UBðô« ¥≠≤
∏± ‚UI²ýô« vKŽ UIO³Dð μ≠≤
∏∏ ©VÂd*« Ê«d²Áô« WI²AÄ® WK K Ã« …bŽUÁ ∂≠≤
π≤ wMLCÃ« ‚UI²ýô« ∑≠≤
π∏ W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄ ∏≠≤
±∞≥ WÄUŽ s¹—U9
W??O½U¦Ã« …b?ŠuÃ«
q???{UH²Ã« U??IO³Dð
±∞∑ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ±≠≥
±±∂ WBÁUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²Áô« ≤≠≥
±≤≥ Èu??BIÃ« r???OIÃ« ≥≠≥
±≥μ ·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã« ¥≠≥
±¥≥ UOM×M*« rÝ— μ≠≥
±¥∂ ÈuBIÃ« rOIÃ« vKŽ WOKLŽ UIO³Dð ∂≠≥
±μ≤ WD³ðd*« WOMÄeÃ« ôbF*« ∑≠≥
±∂∞ WÄUŽ s¹—U9
W??¦ÃU¦Ã« …b?ŠuÃ«
v???ÃË_« …b?ŠuÃ«‰UBðô«Ë U¹UNMÃ«
≥ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ±≠±
±± U¹UNMÃ« U¹dE½ ≤≠±
±∏
dH
dH
WMÒOÓFÔ*« dOž …—uBÃ«Ë U¹UNMÃ« ≥≠±
≤≤ WO¦K¦*« U½«d²Áô«Ë U¹UNMÃ« ¥≠±
≤∑ ∞∓ ← ” UÄbMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ μ≠±
≥≥ ‰UBðô« ∂≠±
¥≤ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ∑≠±
¥∑ WÄUŽ s¹—U9

‰U??B??ðô«Ë U¹UNMÃ« ±
…b???????Šu???????Ã«
≤

©Limit of a Function at a Point® WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ±≠±
’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ ¨WDIMÃ« pKð ‰uŠ WŠu²HÄ …d² w Ê«d²Áô« „uKÝ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ `{uð
5³²OÝULÂ ¨qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« rKŽ tOÃ≈ bM² ¹ ÍcÃ« ”UÝ_« U¹UNMÃ« d³²FðË ¨UNð«– WDIMÃ« bMŽ Ê«d²Áô« WLOIÃ
Æ»U²JÃ« «c¼ w pÃ
WO¦K¦ÄË W¹d³ł U½«d²Áô U¹UNMÃ« »U ŠË ¨tÄbŽË U¼œułËË¨W¹UNMÃ« ÂuNHÄ …bŠuÃ« Ác¼ w ”—bMÝË
ÆWOÝUÝ_« UNBzUBš iFÐ ·dF²½Ë WKB²*« U½«d²Áô« ”—bMÝÎ«dOš√Ë ¨WŽuM²Ä
©±® ‰U¦Ä
Æ ” ¨± ´ ”≤Ω ©”® ‚ Ê«d²Áô« sJOÃ
ø± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ
∫…dþUM*« ©”®‚ rOÁË ¨± œbFÃ« —«uł w ” dOG²LKÃ ÎULOÁ 5³¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”±,μ±,±±,∞±±,∞∞±←ÆÆÆ±ÆÆÆ→,πππ∞,ππ,π∞,μ
©”®‚¥≥,≤≥,∞≤≥,∞∞≤←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤,ππ∏≤,π∏≤,∏≤
»d²Ið”Ê√Í√®tMÄd³Â√rOÁ‰öšsÄ±œbFÃ«sÄ”»d²IðUÄbMŽt½√‰Ëb'«sÄkŠö½
©”®‚ rOÁ ÊS ±[∞∞± ¨ ±[∞± ¨ ±[± ¨ ±[μ rOIÃ« …c ²Ä ©5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ
Æ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið VOðd²Ã« vKŽ ≥[∞∞≤ ¨ ≥[∞≤ ¨ ≥[≤ ¨ ¥ w¼Ë …dþUM*«
‰öš sÄ ± œbFÃ« sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½√ ÎUC¹√ kŠö½Ë
©—U OÃ« WNł sÄ ± sÄ »d²Ið ” Ê√ Í√® tMÄ dG √ rOÁ
©”®‚ rOÁ ÊS ∞,πππ¨∞,ππ¨∞,π¨∞,μ rOIÃ« …c ²Ä
VOðd²Ã«vKŽ≤,ππ∏ ¨ ≤,π∏ ¨ ≤,∏ ¨≤w¼Ë…dþUM*«
Æ©±≠±® qJAÃ« kŠô Æ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið
’
”
≥
±±≠
©±≠±® qJAÃ«
5LOÃ«WNłsÄ±œbFÃ«sÄUMÐd²Á«¡«uÝ¨5²ÃU(«w Ê–≈
…bŠ«Ë WLOÁ sÄ »d²Ið Ê«d²Áô« rOÁ ÊS ¨—U OÃ« sÄ Ë√
Æ≥ w¼ jI
≥

” rOÁ cšQÐ pÃ–Ë ¡UA½ ÍcÃ« —bIÃUÐ ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ qF$ Ê√ sJ1Ë ¨«c¼
dG √ —«bI0 ≥ œbFÃ« sÄ W³¹dÁ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1 Îö¦L ¨ÎUO UÂ ÎUÐdÁ ± œbFÃ« sÄ W³¹dÁ
pÃ–Ë ¨ ≥[∞∞∞± ¨ ≤[ππππ s¹œbFÃ« 5Ð lIð ©”®‚ rOÁ qF$ Í√ ª ∞,∞∞∞± sÄ
WFÁ«uÃ« ” rOÁ lOL' Í√ ª ∞,∞∞∞∞μ sÄ dG √ —«bI0 ± œbFÃ« sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ lOL'
Æ±[∞∞∞∞μ ¨ ∞[ππππμ 5Ð
∫V²J½ “uÄdÃUÐË ¨ ≥ ÍËU ð ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ pÃcÃ
Æ ≥ Ω ©”®‚
± ← ”
∫n¹dFð
¨wIOIŠ œbŽ ‰ YOŠ ¨‰ Ω ©”®‚
← ”
Ê≈ ‰UI¹ Æ ‰uŠ WŠu²HÄ …d² vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
‰ sÄ W³¹dÁ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1 YO×Ð ¨ œbFÃ« sÄ ” »«d²ÁUÐ ‰ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ X½UÂ «–≈
ÆÎUO UÂ ÎUÐdÁ sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ lOL−Ã ¨¡UA½ ÍcÃ« »dIÃ«
WK¦Ä_«w 5³Äu¼ULÂÂUŽtłuÐÎU×O× fOÃ«c¼sJÃË¨©±®‚Ω©”®‚
± ← ”
Ê√oÐU Ã«‰U¦*«w kŠô
∫WOÃU²Ã«
©≤® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
≥ ← ”
błË√ Æ≥ ≠ ” ¨ π ≠≤”
≥ ≠ ”
Ω ©”®‚ sJOÃ
∫…dþUM*« ©”®‚ rOÁË ≥ sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ iFÐ 5³¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”≥,μ≥,±≥,∞±≥,∞∞±←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤[πππ≤[ππ≤,π≤,μ
©”®‚∂,μ∂,±∂,∞±∂,∞∞±←ÆÆÆ∂ÆÆÆ→μ,πππμ,ππμ,πμ,μ
Æ∂ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ ÊS ≥ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½√ ‰Ëb'« sÄ kŠö½
Æ∂ Ω ©”®‚
≥ ← ”
∫Ê√ Í√
©≥ ´ ”® ©≥ ≠ ”®
©≥ ≠ ”®
Ω ©”®‚ Ê√ kŠô
∫`³B²Ã ©”®‚ …bŽUÁ jO ³ð sJ1 t½S ≥ ≠ ” WLOÁ Ê≈ YOŠË
¥

≥ ≠ ” ¨≥ ´ ” Ω ©”®‚
©”®‚ Ê«d???²???Áô« vM×MÄ q??¦1 ©≤≠±® q??J??A??Ã«
rOI² *« j)« vM×MÄ fH½u¼Ë
Æ©∂¨≥® WDIMÃ« ·cŠ bFÐ ≥ ´ ” Ω ’
rždÃUÐ∂Ω©”®‚
≥ ← ”
Ê√‰U¦*««c¼w kŠö½
fOÃt½√Í√ª≥Ω”bMŽ·dFÄdOž©”®‚Ê√sÄ
bMŽ ÎU dFÄ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ Ê√ ÂUŽ tłuÐ …—ËdCÃUÐ
Æ Ω ” bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ Y×³Ã Ω ”
’
”
∂
≥
©≤≠±® qJAÃ«
©≥® ‰U¦Ä
≤ ≠”¨ ¥ ≠≤”
≤ ≠ ”
≤ Ω ”¨ ≥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
≤ ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
≤ ” ¨ ≤´”
≤ Ω ” ¨ ≥
Ω ©”®‚
©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄq¦1©≥≠±®qJAÃ«
¨≤ œbFÃ« sÄ ” »«d²ÁUÐ t½√ kŠö½ tMÄË
Æ¥ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ ÊS
Æ¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
∴
≥ Ω ©≤®‚ Ê√ kŠô
fOÃ t???½√ Í√ ¨¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
ULMOÐ
W¹UN½ Êu??J??ð Ê√ ¨ÂU???Ž t??łu??Ð ¨ÎU???¹—Ëd???{
Æ© ®‚ ÍËU ð Ω ” bMŽ Ê«d²Áô«
’
”
¥
≥
≤
©≥≠±® qJAÃ«
μ

©¥® ‰U¦Ä
± ” ¨ ≤”
± ” ¨ ±´” Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
± ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©¥≠±® qJAÃ« q¦1
¨5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ∫ÎôË√
± sÄd³Â√ ÎULOÁ …c ²Ä ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√
≤ œbFÃ« sÄ »d²Ið ± ´ ” Ω ©”®‚ rOÁ ÊS
∫“uÄdÃUÐ pÃ– sŽ d³F½Ë
’
”
≤
±
±
©¥≠±® qJAÃ« ≤ Ω ©± ´ ”® ´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
Æ≤ ÍËU ð 5LOÃ« WNł sÄ± œbFÃ« sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË
¨± sÄ dG √ ÎULOÁ …c ²Ä ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√ —U OÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ∫ÎUO½UŁ
∫“uÄdÃUÐ pÃ– sŽ d³F½Ë ± œbFÃ« sÄ »d²Ið ≤” Ω ©”®‚ rOÁ ÊS
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
Æ± ÍËU ð —U OÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË
UM½S ¨± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t H½ œbFÃ« sÄ »d²Ið ô WÃU(« Ác¼ w ©”®‚ rOÁ Ê√ U0Ë
Æ…œułuÄ dOž ©”®‚
± ← ”
Ê≈ ‰uI½
∫n¹dFð
Æ¤ ?ł¨ › q¦Ä WŠu²HÄ …d² w ÎU dFÄ Í√ 51 vKŽÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
V²JðË ¨©vMLOÃ« W¹UNMÃ« vL ðË® ‰ ÍËU ð 5LOÃ« WNł sÄ sÄ »d²Ið ” UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰UI¹
·dFð q¦*UÐË Æ5LOÃ« WNł sÄ sÄ ” »«d²ÁUÐ ‰ sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ X½UÂ «–≈ ¨‰ Ω ©”®‚
´ ← ”
Æ©”®‚
≠ ← ”
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨—U OÃ« WNł sÄ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Èd OÃ« W¹UNMÃ«
∂

∫W¹dE½
W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊUÂ «–≈ jI Ë «–≈ ¨ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ‰ ÍËU ð W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊuJð
∫“uÄdÃUÐ Æ‰ ÍËU ð ULNMÄ qÂË ¨5²¹ËU ²Ä ÊU²¹UNMÃ« X½UÂË ¨ Ω ” bMŽ Èd ¹ W¹UN½Ë vM1
‰ Ω ©”®‚
≠ ← ”
Ω ©”®‚
´ ← ”
⇔ ‰ Ω ©”®‚
← ”
©μ® ‰U¦Ä
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« w Y×Ð« Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©μ≠±® qJAÃ« q¦1
©”®‚
≤≠ ← ”
?ł ©”®‚
´≤≠ ← ”
» ©”®‚
≠≤≠ ← ”
√
©”®‚
≤ ← ”
?¼ ©”®‚
∞ ← ”
œ
∫Ê√ kŠö½ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ sÄ
’
”
≥
≤
±
≤≤≠
±≠
©μ≠±® qJAÃ«
≥ Ω ©”®‚
≠≤≠ ← ”
√
± Ω ©”®‚
´≤≠ ← ”
»
W¹UNMÃ« Ê_ …œułuÄ dOž ©”®‚
≤≠ ← ”
?ł
Æ—U OÃ« sÄ W¹UNMÃ« ÍËU ð ô 5LOÃ« sÄ
∞ Ω ©”®‚
∞ ← ”
œ
≤ Ω ©”®‚
≤ ← ”
?¼
©∂® ‰U¦Ä
≤ > ” ¨ ≤´”
≤ Ω ” ¨ ≤
≤ < ” ¨ ¥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
≤ ← ”
błË√ rÝdÃ« sÄË ¨ÎUO½UOÐ ©”®‚ q¦Ä
∑

©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∂≠±® qJAÃ« q¦1
∫kŠö½ tMÄË
¥ Ω ¥
´≤ ← ”
Ω ©”®‚
´≤ ← ”
∫ÎôË√
¥Ω©≤´”®
≠≤ ← ”
Ω©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ
¥ ÍËU ð ULNMÄ ÎöÂË ÊU²¹ËU ²Ä 5²¹UNMÃ« Ê√ U0
¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
∴
’
”
¥
≤
≤
©∂≠±® qJAÃ«
©∑® ‰U¦Ä
∞ ≠ ” ¨
¸”¸
” Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
∞ ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”® ‚ vM×MÄ rÝ—«
∫wK¹ ULÂ ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
∞ < ” ¨
”
”
∞ ” ¨
”≠
”
Ω ©”®‚
∞ < ” ¨ ±
∞ > ” ¨ ±≠
Ω
Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∑≠±® qJAÃ« q¦1
’
”
≤
±
± ≤≤≠ ±≠
±≠
≤≠
©∑≠±® qJAÃ«
± Ω ±
´∞ ← ”
Ω ©”®‚
´∞ ← ”
∫ÎôË√
±≠ Ω ±≠
≠∞ ← ”
Ω ©”®‚
≠∞ ← ”
∫ÎUO½UŁ
∞ ← ”
∴ ∞ Ω ” bMŽ Èd OÃ« W¹UNMÃ« ÍËU ð ô vMLOÃ« W¹UNMÃ« Ê√ U0Ë
∏

©∏® ‰U¦Ä
∫błË√ rŁ ¨©”®‚ vM×MÄ rÝ—« Æ[≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ [”] ≠ ” Ω©”®‚ sJOÃ
©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ ©”®‚
± ← ”
∫ÎôË√
∫wÃU²ÃUÂ ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
± > ” ≥ ∞ ¨ ∞ ≠ ”
≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”
≤ Ω ” ¨ ≤ ≠ ”
Ω ©”®‚
Ω
± > ” ≥ ∞ ¨ ”
≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”
≤ Ω ” ¨ ∞
∫kŠö½ qJAÃ« sÄË ¨[≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∏≠±® qJAÃ« q¦1
∞ Ω ©± ≠ ”®
´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
√ ∫ÎôË√
± Ω ”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
»
©”®‚
≠± ← ”
≠©”®‚
´± ← ”
Ê√ U0Ë
± ← ”
ÊS
± Ω ©± ≠ ”®
≠≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ
’
”
±
± ≤
©∏≠±® qJAÃ«
π

©±≠±® s¹—U9
Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 —ËU−*« qJAÃ« ±
∫sÄ qÂ œU−¹≈ w rÝdÃ« vKŽ bL²Ž«
’
”
±
± ≤ ≥ ¥±≠
©”®‚
≠± ← ”
» ©”®‚
´± ← ”
√
©”®‚
≥ ← ”
œ ©”®‚
± ← ”
?ł
…œułuÄ dOž ©”®‚
← ”
U¼bMŽ ÊuJð w²Ã« rOÁ Ë ©”®‚
≤ ← ”
?¼
∞ ≥ ” ¨ ≤
”
≤ > ” > ∞ ¨ ”≤ ≠≥
≤ ” ¨ ≤
Ω©”®‚ sJOÃ ≤
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« w Y×Ð« rŁ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
©”®‚
´≤ ← ”
œ ©”®‚
∞ ← ”
?ł ©”®‚
´∞ ← ”
» ©”®‚
≠∞ ← ”
√
©”®‚
± ← ”
“ ©”®‚
≤ ← ”
Ë ©”®‚
≠≤ ← ”
?¼
Æ [≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ [± ´ ”≤] Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« sJOÃ ≥
∫rÝdÃ« sÄ błË√ rŁ ©”®‚ vM×MÄ rÝ—«
©”®‚
±
≤
← ”
?ł ©”®‚
´ ±
≤
← ”
» ©”®‚
≠ ±
≤
← ”
√
©”®‚
±[≤ ← ”
?¼ ©”®‚
≠≤ ← ”
œ
∫Ê≈ YO×Ð Ê«d²Á« vM×M* ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« ¨WOðü« ôU(« sÄ WÃUŠ qÂ w ¥
≤ Ω ©±≠®?¼¨ …œułuÄ dOž ©”®?¼
±≠ ← ”
» ·dFÄ dOž ©±®‚ ¨ μ Ω ©”®‚
± ← ”
√
μ Ω ©≥®‰ ¨ ¥ Ω ©”®‰
≥ ← ”
œ W dFÄ dOž ©≤® Â ¨…œułuÄ dOž ©”®Â
≤ ← ”
?ł
±∞

©Limit Theorems® U¹UNMÃ« U¹dE½ ≤≠±
WK¹uÞ WOKLŽ ÊuJð Ê√ sJ1 ‰Ëbł s¹uJð vKŽ œUL²ŽôUÐ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ »U Š WOKLŽ Ê√ UMÃ 5³ð
d OÐ W¹UNMÃ« »U ŠË ¨l{uÃ« «c¼ W'UFÄ w bM³Ã« «c¼ w UNÝ—bMÝ w²Ã« U¹UNMÃ« U¹dE½ U½bOHðË ªWÁUýË
ÆU¼dOžË WO³ MÃ« U½«d²Áô«Ë œËb(« «dO¦Â q¦Ä U½«d²Áô« iFÐ w W U ÐË ¨WÃuNÝË
©±® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
± ← ”
błË√ ¨ ∋ ”¨≥ Ω ©”®‚ sJOÃ
WOIOI(« ” rOÁ lOL' ≥ Ω ©”®‚ Ê√ U0
5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ W³¹dÁ ÎULOÁ ” c ²ð UÄbMŽ t½S
Æ©π≠±® qJAÃ« dE½« ¨—U OÃ« Ë√
∫Ê√ Í√ ª≥ ÍËU ð ©”®‚ ÊS
Æ≥ Ω ©”®‚
± ← ”
’
”
≥
±
©π≠±® qJAÃ«
∫ÂUŽ tłuÐ
∫©±® W¹dE½
Æ?ł Ω ©”®‚
← ”
¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©≤® ‰U¦Ä
¨ ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ©”®‚
≤ ← ”
błË√
WOIOI(« ” rOÁ lOL' ” Ω ©”® ‚ Ê√ U0
—U OÃ« Ë√ 5LOÃ« WNł sÄ ≤ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½S
Æ©±∞≠±® qJAÃ« dE½« ¨ÎUC¹√ ≤ sÄ »d²Ið ©”®‚ ÊS
≤ Ω ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ Í√
’
”
≤
≤
©±∞≠±® qJAÃ«
±±

∫ÂUŽ tłuÐ
∫©≤® W¹dE½
Ω ©”®‚
← ”
¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Ë√ ¨ÕdÞ Ë√ ¨lLł UOKLŽ ULNDÐdð 5½«d²Á« sÄ ÊuJÄ Ê«d²Áô W¹UNMÃ« »U Š sÄ UMMJ9 WOÃU²Ã« W¹dEMÃ«
ÆÊU¼dÐ ÊËœ UNÄbI½Ë ªWL Á Ë√ ¨»d{
©≥® W¹dE½
∫ÊS ÎUOIOIŠÎ«œbŽ ?ł ÊUÂË Â Ω ©”®?¼
← ”
¨‰ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈
©wIOIŠ œbŽ w »dCÃ«® ‰ × ?ł Ω ©”®‚
← ”
?ł Ω ©”®‚ ?ł
← ”
±
©lL'« …bŽUÁ® Â ´ ‰ Ω ©”®?¼
← ”
´ ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ ´ ©”®‚® ← ”
≤
©ÕdDÃ« …bŽUÁ® Â ≠ ‰ Ω ©”®?¼
← ”
≠ ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ ≠ ©”®‚® ← ”
≥
©»dCÃ« …bŽUÁ® Â × ‰ Ω ©”®?¼
← ”
× ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ × ©”®‚® ← ”
¥
©WL IÃ« …bŽUÁ® ∞ ≠ Â ◊dAÐ ¨
‰
Â Ω
©”®‚
← ”
©”®?¼
← ”
Ω
©”®‚
©”®?¼ ← ”
μ
©≥® ‰U¦Ä
∫błËQ ¨ ∂ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨ ¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈
©©”®‚ ≠ ”
®≤ ← ”
» ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®≤ ← ”
√
©μ ´ ©”®≤
‚®≤ ← ”
œ ©©”®?¼ × ©”®‚
©”®?¼ ´ ” ® ≤ ← ”
?ł
±≤

©”® ?¼≤
≤ ← ”
´ ©”®‚
≤ ← ”
Ω ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®≤ ← ”
√
©”® ?¼
≤ ← ”
≤´ ©”®‚
≤ ← ”
Ω
∂ ≤ ´ ¥ Ω
±∂ Ω
©”®‚
≤ ← ”
≠ ”
≤ ← ”
Ω ©©”®‚ ≠ ”
®≤ ← ”
»
¥ ≠ ≤Ω
≤≠Ω
©©”® ?¼ × ©”®‚®≤ ← ”
©©”®?¼ ´ ”
®≤ ← ”
Ω ©©”® ?¼ ©”®‚
©”®?¼ ´ ” ®≤ ← ”
?ł
©”® ?¼
≤ ← ”
× ©”®‚
≤ ← ”
©”®?¼
≤ ← ”
´ ”
≤ ← ”
Ω
∂ × ¥
∂ ´ ≤
Ω
≥ Ω
μ
≤ ← ”
´©”®≤
‚
≤ ← ”
Ω ©μ´©”®≤
‚®≤ ← ”
œ
μ
≤ ← ”
´ ©”®‚
≤ ← ”
©”®‚
≤ ← ”
Ω
μ ´ ©¥ ¥® Ω
≤±Ω
±≥

∫5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã WIÐU Ã« ©≥® W¹dEMÃ« w »dCÃ«Ë lL'« wðbŽUÁ rOLFð sJ1
©”®Ê
‚
← ”
´ÆÆÆ´ ©”®≤
‚
← ”
´ ©”®±
‚
← ”
Ω©©”®Ê
‚´ÆÆÆ´©”®≤
‚´©”®±
‚® ← ”
±
©”®Ê
‚
← ”
×ÆÆÆ× ©”®≤
‚
← ”
×©”®±
‚
← ”
Ω©©”®Ê
‚ ×ÆÆÆ×©”®≤
‚×©”®±
‚® ← ”
≤
∫ZzU²½
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ ¨
Ê
©©”®‚
← ”®Ω
Ê
©©”®‚® ← ”
±
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ
Ê
Ω
Ê
”
← ”
≤
∫ ÊS œËbŠ dO¦Â ÎU½«d²Á« ∞
´ ”
±
´ ∞∞∞´±≠Ê”
±≠Ê
´ Ê
” Ê
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
Æ©?ł®‚ Ω∞
´ ?ł ±
´ ∞∞∞´ ±≠Ê
?ł±≠Ê
´ Ê
?ł Ê
Ω ©”®‚
?ł ← ”
Æ©?ł®‚ ÍËU ð tÃU−Ä w ?ł Ω ” bMŽ ©”®‚ œËb(« dO¦Â W¹UN½ Ê√ Í√
∫ÊS ∞ ≠ ©”®?¼ ¨œËbŠ «dO¦Â ©”® ?¼ ¨ ©”®‚ YOŠ ÎUO³ ½ ÎU½«d²Á«
©”®‚
©”® ?¼
Ω ©”®Â ÊUÂ «–≈ ¥
∞ ≠ ©?ł® ?¼ ◊dAÐ ©?ł® Â Ω
©?ł®‚
©?ł® ?¼
Ω
©”®‚
©”® ?¼ ?ł ← ”
Ω ©”®Â
?ł ← ”
Æ© ?ł®Â ÍËU ð tÃU−Ä w ?ł Ω ” bMŽ ©”®Â w³ MÃ« Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê√ Í√
©¥® ‰U¦Ä
Æ©∂´”μ´≥
”¥®
≤← ”
błË√
∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ Ê–≈ ¨œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« u¼ ∂ ´ ”μ ´ ≥ ”¥ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô«
¥∏ Ω ∂ ´ ©≤®μ ´ ≥
©≤®¥ Ω ©∂´”μ´ ≥ ”¥®
≤ ← ”
±¥

©μ® ‰U¦Ä
Æ
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤ μ ← ”
błË√
¨μ Ω ” bMŽ Î«dH ÍËU ¹ ô tÄUIÄ w³ ½ Ê«d²Á« u¼
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤
Ω ©”® ?¼ Ê«d²Áô«
∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ Ê–≈
≤´©μ®¥ ´≤
©μ®
≥´©μ®≤
Ω
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤ μ ← ”
¥∑
±≥
Ω
©¥® W¹dE½
∫ÊS ÎU³łuÄ ÎU×O× Î«œbŽ Ê ÊUÂË ¨‰ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈
ÆWOłË“ ©Ê® ÊuJð UÄbMŽ ∞ ‰ ÊuJð Ê√ ◊dAÐ ¨
±
Ê
‰ Ω
±
Ê
©©”®‚
← ”®Ω
±
Ê
©©”®‚® ← ”
‰
Ê
Ω ©”®‚
← ”
Ê
Ω ©”®‚
Ê
← ”
Ê√ Í√
©∂® ‰U¦Ä
∫7OÃU²Ã« 5²¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√
≤ ´ ”
≥
±∞≠ ← ”
» π ´≤”
¥ ← ”
√
μ Ω π´±∂ Ω ©π´≤
”®
¥ ← ”
Ω π´≤”
¥ ← ”
√
≤≠ Ω ≤ ´ ±∞≠
≥
Ω ©≤´”®
±∞≠ ← ”
≥
Ω≤´”
≥
±∞≠ ← ”
»
±μ

©≤≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błËQ ¨±≠ Ω ©”® „
≤ ← ”
¨ ≥ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨μ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈ ±
©”® ‚ ”
©”®„ ´ ©”® ?¼ ≤ ← ”
»
©©”® ?¼ ≥ ≠ ©”®‚≤®≤ ← ”
√
©”®≤
?¼≠©”® ≤
‚
≤ ← ”
?ł
Æ
©”® ?¼ Ê ≠ ©”®‚ Â
Ê ≠ Â ← ”
błË√ ¨Ê ≠ Â YOŠ Ê Ω ©”®?¼
← ”
¨Â Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈ ≤
Æ rOÁØWLOÁ błËQ ¨± Ω ©∑´ ”μ ´≤”®
← ”
Ê√ XLKŽ «–≈ ≥
∫wK¹ U2 qÂ WLOÁ błË√ ¥
≥
©μ ≠ ”®
≤ ´¥
©μ ≠ ”≤® ≥ ← ”
?ł ±
≥ ©¥ ≠≤”≥®
≤ ← ”
» μ´≤”
≤ ← ”
√
©∑® ‰U¦Ä
Ê«d²Áô« vM×MÄ ©±±≠±® qJAÃ« q¦1
©”®‚
π
∂ ← ”
błË√ ¨” UŠ Ω ©”®‚
∫Ê√ kŠö½ qÐUI*« w½UO³Ã« rÝdÃ« sÄ
” UŠ
π
∂ ← ”
Ω ©”®‚
π
∂ ← ”
±
≤
Ω
’
”
±
±≠
π−
≤
ππ− ∞
π
∂
±
≤
©±±≠±® qJAÃ«
∫ÂUŽ tłuÐ
Æ ∋ qJÃ ¨ Uł Ω ”Uł
← ”
±
Æ ∋ qJÃ ¨ U²ł Ω ”U²ł
← ”
≤
±∂

∫ błË√ ¨
± ” ¨ ±´”≤
≥ ” ± ¨ μ ≠≤”
≥ <” ¨ ±≥ ´”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
©”®‚
≥ ← ”
» ©”®‚
± ← ”
√
ø WLOÁ UL …œułuÄ ©”®‚
± ← ”
X½UÂË ¨
± ” ¨ μ´≤”
± ” ¨ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∂
≤ ” ¨ μ ≠≤”Â
≤ ” ¨ Ê ´ ”≤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ∑ Ω ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ XLKŽ «–≈ Ê ¨Â sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√
∫© błË Ê≈® WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ∏
›≥´”≤¤
±
≤
← ”
» ›”¤ ”
∞ ← ”
√
›”¤
” ≤ ← ”
œ ¸¥≠
≤
”¸
≤ ≠ ” ≤ ← ”
?ł
∞ ” ¨ ±
∞ ” ¨ ±≠
Ω ©”®?¼ ¨
∞ ” ¨ ±≠
∞ ” ¨ ±
Ω ©”®‚ sJOÃ π
…œułuÄ dOž ©”® ?¼
∞ ← ”
Ê√ 5Ð » …œułuÄ dOž ©”®‚
∞ ← ”
Ê√ 5Ð √
©”® ©?¼ ‚®
∞ ← ”
błË√ œ ©”® ©?¼ ‚® …bŽUÁ błË√ ?ł
©”® ©
‚
?¼
®
∞ ← ”
błË√ Ë ©”® ©
‚
?¼
® …bŽUÁ błË√ ?¼
ø©≥® W¹dE½ w WL IÃ«Ë »dCÃ« wðbŽUÁ lÄ Ë ¨ œ 5ŽdHÃ« sÄ ÌqÂ w W−O²MÃ« ÷—UF²ð q¼
©≤” ´ ©± ≠ ”≤®‚¥®≥ ← ”
błËQ ∑ Ω ©”®‚
μ ← ”
X½UÂ «–≈ ±∞
±∑

(Limits & Indeterminate Forms)
dH
dH
WMÒÓOÓFÔ*« dOž …—uBÃ«Ë U¹UNMÃ« ≥≠±
d¹œUIÄ „UM¼ Ê√ dOž ÆÎ«dH ÍËU ð ÂUI*« W¹UN½ ÊuJð ô√ ◊d²Að U¹UNMÃ« w WL IÃ« …bŽUÁ Ê√ ÎUIÐUÝ U½błË
¨
∞
∞ Ω
j ³Ã« W¹UN½
ÂUI*« W¹UN½
ÊuJð Í√ ¨ ”?Ã WMOFÄ WLOÁ bMŽÎ«dH ÍËU ð UNO ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ W¹UN½ ÊuJð W¹d Â
Ác¼ q¦Ä U¹UN½ »U Š sJ1 sJÃË ¨…œb×Ä W¹œbŽ W−O²½ wDFð ô UN½_ WMOFÄ dOž …—u vL ð …—uBÃ« Ác¼Ë
…—uBÃ«“ËU−²ð¨W¾ UJÄ…—u vKŽÍd JÃ«Ê«d²Áô«l{uÃW¹d³ł UOKLŽ¡«dłSÐ¨ÎU½UOŠ√¨W¹d JÃ« U½«d²Áô«
∫WOðü« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ULÂ ¨WMOF*« dOž
©±® ‰U¦Ä
” ≠
≥
”
±≠ ” ≠≤ ”≤ ± ← ”
błË√
∞ Ω ©± ≠ ” ≠≤”≤®
± ← ”
pÃcÂË ∞ Ω ©” ≠≥”®
± ← ”
Ê√ kŠö½
∫wK¹ ULÂ W¾ UJÄ …—u vKŽ Íd JÃ« Ê«d²Áô« WÐU²ÂË ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ qOK% vÃ≈ Q−K½ pÃcÃ
©±´”® ©±≠”®”
©±´”≤® ©±≠”® ± ← ”
Ω
” ≠≥”
±≠ ” ≠≤ ”≤ ± ← ”
± ≠ ” ¨
©±´”®”
©±´”≤® ± ← ”
Ω
≤
≥
Ω
©≤® ‰U¦Ä
Æ
≥≠ ¥´”
μ ≠ ” μ ← ”
błË√
∞ Ω ©μ≠”®
μ ← ”
pÃcÂË ∞ Ω ©≥≠ ¥ ´”
® μ ← ”
Ê√ kŠö½
±∏

o «dÄ w ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ »dCÐ pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ …—uBÐ Ê«d²Áô« WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃ
∫wK¹ ULÂ j ³Ã«
¥´”≥´
≥´ ¥´”
¥´”≥≠
μ ≠ ” μ ← ”
Ω
¥´”≥ ≠
μ ≠ ” μ ← ”
π ≠ ©¥´”®
©≥´ ¥´” ® ©μ≠”®
μ ← ”
Ω
©μ ≠ ”®
©≥´ ¥´” ® ©μ≠”®
μ ← ”
Ω
μ ”¨
±
©≥´ ¥´” ®
μ ← ”
Ω
±
∂
Ω
©≥® ‰U¦Ä
Æ
±
≤
≠
±
≤´”
” ∞ ← ”
błË√
∞ Ω ”
∞ ← ”
pÃcÂË ∞ Ω © ±
≤
≠
±
≤´” ® ∞ ← ”
∫Ê√ kŠô
∫wK¹ ULÂ —UB²šô«Ë UÄUI*« bOŠu²Ð pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ …—uBÐ Ê«d²Áô« WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃ
”
©≤´” ®≠≤
©≤´”®≤
∞ ← ”
Ω
≠
”
±
≤´”
±
≤
∞ ← ”
© ±
” ×
” ≠
©≤´”®≤®∞ ← ”
Ω
∞ ≠ ” ¨
±≠
©≤´”®≤ ∞ ← ”
Ω
±≠
¥
Ω
±π

©¥® ‰U¦Ä
Æ
≥
≠≥
”
≠ ” ← ”
błË√
WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃË ªWMOFÄ dOž …—u Ác¼Ë ¨
∞
∞ Ω W¹UNMÃ« Ê√ kŠö½ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ
∫qÄ«uFÃ« vÃ≈ qOK×²ÃUÐ pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ Èdš√ …—uBÐ d JÃ«
©≤
´ ” ´≤”® © ≠ ”®
© ≠ ”® ← ”
Ω
≥
≠≥”
≠ ” ← ”
≠ ” ¨ ©≤
´ ” ´ ≤”®
← ”
Ω
≤
≥ Ω
∫rOLFð
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ
±≠Ê
Ê Ω
Ê
≠Ê
”
≠ ” ← ”
©μ® ‰U¦Ä
Æ
∂≤μ ≠ ¥
©≤ ´ ”®
≥ ≠ ” ≥ ← ”
błË√
≤ ≠ ’ Ω ” ÊuJð ¨ ≤ ´ ” Ω ’ Ê√ ÷dHÐ
μ ← ’ ÊS ≥ ← ” UÄbMŽË
Æ
¥
μ ≠ ¥’
μ ≠ ’ μ ← ’
Ω
∂≤μ ≠ ¥
©≤ ´ ”®
≥ ≠ ” ≥ ← ”
∴
≥
μ × ¥ Ω
±≤μ × ¥ Ω
μ∞∞ Ω
≤∞

©≥≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ±
∏≠”≤´≤
”
”≤≠ ≤” ≤ ← ”
» ± ´”
≤ ≠”≠ ≤” ± ← ”
√
¥ ≠ ”
≤≠ ”
¥ ← ”
œ
±
∑ ≠ ±
”´≤
μ ≠ ” μ ← ”
?ł
≤≠ ” ≠≤”≤´≥”
¥ ≠≤” ≤≠ ← ”
Ë
”
≥ ≠ ” ´π ∞ ← ”
?¼
∏ ´≥ Â
≤ ´ Â ≤≠ ← Â
Õ
” ´±≠
”
” ≠±
∞ ← ”
“
∏± ≠ ¥”
≥ ≠ ” ≥ ← ”
„
≥ ≠ ∂ ≠ ”
±μ ≠ ” ±μ ← ”
◊
≤¥≥ ≠ μ
©± ≠ ”®
¥ ≠ ” ¥ ← ”
Â ∏ ≠ ∂”
¥ ≠ ¥” ≤ ← ”
‰
∫5²OÃU²Ã« 5²ÃU(« sÄ qÂ w ©≤®‚ ≠ ©?¼ ´≤®‚
??¼ ∞ ← ?¼
błË√ ≤
” Ω ©”®‚ » ≤” Ω ©”®‚ √
≤ ≥ ” ¨ ¥ ≠≤”
≤ ≠ ”
≤ < ” ¨ ± ´ ”
Ω ©”®‚ sJOÃ ≥
WLOÁ błËQ ¨…œułuÄ ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂË
≤±

(Limits & Trigonometric Functions) WO¦K¦*« U½«d²Áô«Ë U¹UNMÃ« ¥≠±
ªÍdz«bÃ«d¹bI²ÃUÐ”YOŠ ∞←”UÄbMŽ
”Uł
” Ω©”®‚Ê«d²Áô«W¹UN½vKŽbM³Ã««c¼w UM²Ý«—œbL²Fð
ÆUNðUI²AÄË W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« U¹UN½ w ÎUIŠô UN²OL¼_ pÃ–Ë
Â«b ²ÝUÐW¹UNMÃ«ÃU²M²Ý«UMMJ1ôË¨
∞
∞ WMOF*«dOž…—uBÃ«vKŽqB×½
”Uł
”
Ê«d²Áô«w dýU³*«i¹uF²ÃUÐ
ÆoÐU Ã« bM³Ã« w W¹d³'« ‚dDÃ«
∞ Ω ” ‰uŠ
”Uł
”
Ê«d²Áô« „uKÝ `{u¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”±∞[±∞[∞±∞[∞∞±ÆÆÆ←∞ÆÆÆ→∞[∞∞±≠∞[∞±≠∞[±≠±≠
”Uł
”∞[∏¥±¥∑∞[ππ∏≥≥∞[ππππ∏∞[ππππππ∏≥ÆÆÆ←±ÆÆÆ→∞[ππππππ∏≥∞[ππππ∏∞[ππ∏≥≥∞[∏¥±¥∑
wH²JMÝ w²Ã« WOÃU²Ã« W¹dEMÃ« «c¼ `{u¹Ë ∞ ← ” UÄbMŽ ± sÄ »d²Ið
”Uł
” Ê√ ‰Ëb'« sÄ kŠö½
ÆÊU¼dÐ ÊËœ U¼dÂcÐ
∫W¹dE½
Ídz«bÃ« d¹bI²ÃUÐ ” ¨ ± Ω
”Uł
”
∞ ← ”
©±® ‰U¦Ä
”≤Uł
” ∞ ← ”
błË√
”≤Uł
”≤ ∞ ← ”
≤ Ω
”≤Uł
”≤
≤
∞ ← ”
Ω
”≤Uł
” ∞ ← ”
©∞ ← ” UÄbMŽ ∞ ← ?¼ Ê√ kŠô®Æ”≤ Ω ?¼ YOŠ ¨
?¼Uł
?¼ ∞ ← ?¼
≤ Ω
≤ Ω± ≤ Ω
”U²ł ”Uł≤
” ∞ ← ”
Ω
”≤Uł
” ∞ ← ”
∫dš¬ qŠ
”U²ł
∞ ← ”
”Uł
” ∞ ← ”
≤ Ω
≤ Ω ± ± ≤ Ω
≤≤

∫W−O²½
©Ídz«bÃ« d¹bI²ÃUÐ ”® ¨ ± Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
∫ÊU¼d³Ã«
” Uł
”U²ł
±
” ∞ ← ”
Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
±
”U²ł ∞ ← ”
” Uł
” ∞ ← ”
Ω
± Ω ± ±Ω
∫rOLFð
Ω
” Uł
” ∞ ← ”
±
Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
≤
©≤® ‰U¦Ä
Æ
”≥Uł
”μUł ∞ ← ”
błË√
©” vKŽ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ WL IÐ®
”≥Uł
”
”μUł
”
∞ ← ”
Ω
”≥Uł
”μUł ∞ ← ”
”≥Uł
” ∞ ← ”
”μUł
” ∞ ← ”
Ω
≥
μ
Ω
≤≥

©≥® ‰U¦Ä
Æ
±≠”U²ł
” ∞ ← ”
błË√
±≠©
”
≤
≤
Uł ≤≠±®
” ∞ ← ”
Ω
±≠”U²ł
” ∞ ← ”
”
≤
≤
Uł ≤≠
” ∞ ← ”
Ω
©
”
≤
Uł®
”
≤
Uł
” ∞ ← ”
≤≠ Ω
©
”
≤
Uł®
∞ ← ”
” ±
≤
Uł
” ∞ ← ”
≤≠ Ω
ÆdH Ω dH
±
≤
≤≠ Ω
©± ´ ” U²ł® —«bI*UÐ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ »dCÐ pÃ–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1 ∫WEŠöÄ
©¥® ‰U¦Ä
Æ
”≥Uł ´ ”μUł
”≤Uł ´ ”∏Uł ∞ ← ”
błË√
©” vKŽ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ WL IÐ®
”≥Uł
” ´
”μUł
”
”≤Uł
” ´
”∏Uł
”
∞ ← ”
Ω
”≥Uł ´ ”μUł
”≤Uł ´ ”∏Uł ∞ ← ”
”≥Uł
” ∞ ← ”
´
”μUł
” ∞ ← ”
”≤Uł
” ∞ ← ”
´
”∏Uł
” ∞ ← ”
Ω
¥
μ
Ω
∏
±∞
Ω
≥ ´ μ
≤ ´ ∏
Ω
≤¥

©μ® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
± ← ”
błË√ ¨
± ” ¨
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ”
± ” ¨ ± ´ ›”¤
Ω ©” ®‚ sJOÃ
∫wÃU²ÃUÂ ± Ω” —«uł w ©”®‚ …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
± ” ¨
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ”
± ” ∞ ¨ ±
± Ω ” ¨ ≤
Ω ©”®‚
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ” ´± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
√
©±≠ ” √® Uł ”≤
©±´ ” √® ©±≠ ” √® ´± ← ”
Ω
±≠ ” √ Ω ?¼ YOŠ ¨
?¼ Uł
?¼ ´∞ ← ?¼
”≤
±´ ” √ ´± ← ”
Ω
± Ω ± ± Ω
± Ω ±
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
»
± Ω ©”®‚
± ← ”
∴
©∂® ‰U¦Ä
Æ
” Uł
” ≠ ± ± ← ”
błË√
©WKLJ*« VOł Ω W¹Ë«“ Í√ VOł Ê_®
©” ≠ ®Uł
” ≠ ± ± ← ”
Ω
” Uł
” ≠ ± ± ← ”
©” ≠ ±® Uł
” ≠ ± ± ← ”
Ω
Æ” ≠ ± Ω ?¼ YOŠ
?¼ Uł
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
Ω
≤μ

©¥≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√ ±
” Uł
±´ ” √ ´∞ ← ”
»
”≥Uł
”≤ ∞ ← ”
√
” ≥ Uþ
”μ ∞ ← ”
œ ”
” Uþ ∞ ← ”
?ł
≤
”
”≤
U²ł ≠± ∞ ← ”
Ë
”μ Uþ
” ≤ Uþ ∞ ← ”
?¼
”¥ U²ł ≠±
±≠ ”∏ U²ł ∞ ← ”
Õ ≤
”
”U²ł ≠± ∞ ← ”
“
”Uł”
”U²ł ≠± ∞ ← ”
Í
” Uł ´”≤
” ∞ ← ”
◊
±∞´ ” μ
©≤´”® Uł ≤≠ ← ”
‰ ”μ U²Á ”≤ Uþ
∞ ← ”
„
©±≠”® Uł
≥≠”´≤”≤ ± ← ”
Ê
≤”≤´ ” ±∞
”Uł∑ ∞ ← ”
Â
©”Uł® Uł
” ∞ ← ”
Ÿ ” Uł ” ´ ”≤ U²ł≠±
” ≤
Uł ∞ ← ”
”
©”®‚
∞ ← ”
błË√
∞ <” ¨
”∂ Uł
”≥ Uþ
∞ ≥” ¨ › ≥ ´ ” ¤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
” Uł
” ´ ≤ ≤≠ ← ”
błË√ ≥
≤∂

(Limits at Inﬁnity) ∞∓ ← ” UÄbMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ μ≠±
W¹UN½ bM³Ã« «c¼ w ”—bMÝË ¨ 5FÄ wIOIŠ œbŽ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UM dFð
UÄbMŽpÃcÂË¨©∞®W¹UN½ôUÄsÄ”»d²IðUÄbMŽÍ√¨œËbŠöÐËW³łuÄrOIÐ”œ«œeðUÄbMŽ©”®‚Ê«d²Áô«
Æ©∞≠® W¹UN½ôUÄ VÃUÝ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√ ¨œËbŠ öÐË W³ÃUÝ rOIÐ ” hÁUM²ð
ÆjI WO³ MÃ« U½«d²Áô« vKŽ bM³Ã« «c¼ w UM²Ý«—œ dB²I²ÝË
©±® ‰U¦Ä
∞ ≠ ” ¨ ±
” Ω ©”®‚ sJOÃ
ø ∞ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ √
ø ∞≠ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ »
W³łuÄ rOIÐ d¦ÂQ d¦Â√ ” rOÁ œ«“ ULKÂ t½√ ©±≤≠±® qJAÃ« sÄ kŠö½ √
¨dHBÃ« sÄ ©”®‚ rOÁ XÐd²Á«
©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ pÃcÃ
ÍËU ð W¹UN½ôUÄ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ
∫“uÄdÃUÐË ªÎ«dH
dH Ω ±
”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
ULKÂ t½√ qJAÃ« sÄ kŠö½ pÃcÂ »
W³ÃUÝ rOIÐ d¦ÂQ d¦Â√ ” rOÁ dG
ªdHBÃ« sÄ ©”®‚ rOÁ XÐd²Á«
dH Ω ±
”
∞≠ ← ”
∫Ê≈ ‰uI½ pÃcÃË
∞≠ ←”
” → ∞
’
”
©±≤≠±® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
∫błË√ ¨ ≥” Ω ©”®‚ sJOÃ
©”®‚
∞≠ ← ”
» ©”®‚
∞ ← ”
√
≤∑

œ«œeð…dþUM*«©”®‚rOÁÊS ¨W¹UN½ôUÄsÄ”»d²IðUÄbMŽt½√©±≥≠±®qJAÃ«sÄkŠö½ √
pÃ–Ë¨Á—uBð sJ1 VłuÄ wIOIŠ œbŽ Í√ sÄ d³Â√ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1Ë ¨d¦ÂQ d¦Â√
UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê≈ WÃU(« Ác¼ w ‰uI½Ë ÆWO UÂ Wł—bÐ …dO³Â ” rOÁ —UO²šUÐ
∫“uÄdÃUÐË ªW¹UN½ôUÄ ÍËU ð W¹UN½ôUÄ sÄ ” »d²Ið
∞ Ω ≥”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê√ vÃ≈ q u²Ã« UMMJ1 q¦*UÐË »
w¼ W¹UN½ôUÄ VÃUÝ sÄ »d²Ið ” UÄbMŽ
∫“uÄdÃUÐË ªW¹UN½ôUÄ VÃUÝ
∞≠ Ω ≥”
∞≠ ← ”
Ω ©”®‚
∞≠ ← ”
∞
∞≠ ←”
” → ∞
∞−
’
”
©±≥≠±® qJAÃ«
©≥® ‰U¦Ä
∫œU−¹≈ w wÃU²Ã« ©±¥≠±® qJAÃ« Âb ²Ý«
©”®‰
∞∓ ← ”
» ©”®‚
∞∓ ← ”
√
’
”
≤” Ω ©”®‰
”
≥
≥ Ω ©”®‚
’
©±¥≠±® qJAÃ«
∫Ê√ `C²¹ 5½«d²Áô« wOM×MÄ sÄ
≥ Ω ©”®‚
∞≠ ← ”
¨ ≥ Ω ©”®‚
∞ ← ”
√
∞ Ω ©”®‰
∞≠ ← ”
¨ ∞ Ω ©”®‰
∞ ← ”
»
≤∏

∫ÂUŽ tłuÐ
…bŽUÁ
XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ?ł
∞≠ ← ”
¨ ?ł Ω ?ł
∞ ← ”
±
∫ÊS ÎU³łuÄ ÎU×O× Î«œbŽ Ê ÊUÂ «–≈ ≤
∞ Ω Ê
”
∞ ← ”
©√®
WOłË“ Ê X½UÂ «–≈ ¨ ∞
W¹œd Ê X½UÂ «–≈ ¨ ∞≠
Ω Ê
”
∞≠ ← ”
©»®
∫WEŠöÄ
5½«d²Á« WL Á Ë√ »d{ Ë√ ‚d Ë√ ŸuL−Ä W¹UNMÐ WIKF²*«Ë ±≤ W×H w WIÐU Ã« U¹UNMÃ« W¹dE½
∫WOÃU²Ã« bŽ«uIÃ« …UŽ«dÄ lÄ ¨ ←” sÄ ÎôbÐ ∞∓ ←” lC½ UÄbMŽ W×O× vI³ð ¨ ←” UÄbMŽ
XÐUŁ ?ł¨ ∞≠ Ω ?ł ∓ ∞≠ ©»® XÐUŁ ?ł ¨ ∞ Ω ?ł ∓ ∞ ©√®
∞ < ?ł UÄbMŽ ¨ ∞≠
∞ > ?ł UÄbMŽ ¨ ∞
Ω ∞≠ × ?ł ©œ®
∞ < ?ł UÄbMŽ ¨ ∞
∞ > ?ł UÄbMŽ ¨ ∞≠
Ω ∞ × ?ł ©?ł®
∞ Ω ∞ + ∞ ©Ë® ∞ Ω ∞ × ∞ ©?¼®
©
dH
dH …—uBÃ« ÊQý pÃ– w UN½Qý® WMOFÄ dOž —u wN WOÃU²Ã« —uBÃ« UÄ√
∞
∞ ©?ł® ∞ × ∞ ©»® ∞ ≠ ∞ ©√®
©¥® ‰U¦Ä
©μ ´ ±
” ®
∞ ← ”
błË√
μ Ω μ ´ ∞ Ω μ
∞ ← ”
´ ±
” ∞ ← ”
Ω ©μ ´ ±
” ®
∞ ← ”
©μ® ‰U¦Ä
±
≥” ∞≠ ← ”
błË√
±
” ∞≠ ← ”
× ±
” ∞≠ ← ”
× ±
” ∞≠ ← ”
Ω ±
≥” ∞≠ ← ”
dH Ω dH × dH × dH Ω
≤π

∫ÂUŽ tłuÐ
∫…bŽUÁ
XÐUŁ ¨ VłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ ¨ ∞ Ω Ê” ∞≠ ← ”
¨ ∞ Ω Ê” ∞ ← ”
qÄUFÂ”ÈuÁd³Â√Ã«dšSÐpÃ–»U ŠUMMJ1Ë¨∞∓←”UÄbMŽWO³ ½ U½«d²Á« U¹UN½wK¹ULO ”—bMÝ
∫WOðü« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ULÂ —UB²šô« rŁ ¨ÂUI*« w „d²AÄ qÄUFÂ ” ÈuÁ d³Â√ pÃcÂË j ³Ã« w „d²AÄ
©∂® ‰U¦Ä
∑ ≠ ”μ ´ ≤”≤
μ ≠ ≤”≥ ∞ ← ”
błË√
© ∑
≤” ≠ μ
” ´ ≤® ≤”
© μ
≤” ≠ ≥® ≤
” ∞ ← ”
Ω ∑ ≠ ”μ ´ ≤”≤
μ ≠ ≤”≥ ∞ ← ”
∑
≤” ≠ μ
” ´ ≤
μ
≤” ≠ ≥ ∞ ← ”
Ω
∑
≤” ∞ ← ”
≠ μ
” ∞ ← ”
´≤
∞ ← ”
μ
≤” ∞ ← ”
≠ ≥
∞ ← ”
Ω
≤
≥
Ω
∞ ≠ ∞ ´ ≤
∞ ≠ ≥
Ω
©∑® ‰U¦Ä
”∑ ´ ≤”μ
μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ← ”
błË√
© ∑
” ´ μ® ≤”
© μ
≥” ≠ ≤® ≥
” ∞ ≠ ← ”
Ω
”∑ ´ ≤”μ
μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ← ”
≥∞

∑
” ´ μ
μ
≥” ≠ ≤ ∞ ≠ ← ”
×
±
”
∞ ≠ ← ”
Ω
μ
≤
× dH Ω
dH Ω
©∏® ‰U¦Ä
”∑ ´ ≤” ≠ ≥”μ
”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”
błË√
© ∑
≤” ´ ±
” ≠ μ® ≥”
©≤ ≠ ∂
” ® ” ∞ ← ”
Ω
”∑ ´ ≤” ≠ ≥”μ
”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”
∑
≤” ´ ±
” ≠ μ
©≤ ≠ ∂
” ® ∞ ← ”
× ≤
”
∞ ← ”
Ω
μ
≤≠
× ∞ Ω
∞≠ Ω
©π® ‰U¦Ä
©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
błË√
© ∑
≥” ´ μ
≤” ≠ ±® ≥”
∞ ← ”
Ω ©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
© ∑
≥” ´ μ
≤” ≠ ±®
∞ ← ”
× ≥”
∞ ← ”
Ω
± × ∞ Ω
∞ Ω
≥±

©μ≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√ ±
©± ≠ ”μ ≠ ≥”®
∞ ≠ ← ”
≤ ©± ´ ≤”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
±
¥ ´ ”≤
≤ ´ ”μ ∞ ← ”
¥ μ
Ÿ ´ ≥ ∞ ≠ ← Ÿ
≥
≥”μ
”μ ≠ ≤”≤ ∞ ≠ ← ”
∂ ≤ ≠ ”
∂ ´ ”μ ≠ ≤” ∞ ≠ ← ”
μ
± ´ ≥”¥
± ≠ ≥”μ ∞ ← ”
∏
≤”μ ≠ ≤
≤”≥ ≠ ” ∞ ≠ ← ”
∑
”
± ´ ” »
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
¥
∑
Ω ©”®‚
± ← ”
¨ ≤
≥
Ω ©”®‚
∞ ← ”
X½UÂË
Æ» ¨ 5²ÐU¦Ã« błË√
≥≤

(Continuity) ‰UBðô« ∂≠±
bM³Ã« «c¼ w Ë ¨WDIMÃ« pKð bMŽ Ê«d²Áô« WLOIÃ ’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UMÝ—œ
ÆÎUFÄ t²¹UN½Ë Ê«d²Áô« WLOÁ ”—bMÝ
∫WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« ‰UBð«
vKŽ WDIMÃ« ‰uŠ ©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚ ¨©”®≤
‚ ¨©”®±
‚ U½«d²Áô« UOM×MÄ ©±μ≠±® qJAÃ« `{u¹
∫ Ω ” YOŠ vM×M*«
©”®≤
‚ Ê
Â
”
’
©”®±
‚ Ê
Â
”
’
©”®¥
‚
Ê
Â
”
’
©”®≥
‚ Ê
Â
”
’
©±μ≠±® qJAÃ«
WDIMKÃ 5ð—ËU−*« Ê ¨Â 5²DIMÃ« 5Ð lÁ«uÃ« vM×M*« ¡eł rÝ— sJ1¨©”®±
‚ Ê«d²Áô« WÃUŠ w ¨t½√ kŠö½
¨©”®≤
‚ U½«d²Áô« WÃUŠ w pÃ– lOD² ½ ô ULMOÐ ªWÁ—uÃ« sŽ rKIÃ« sÝ l dÃ WłU(« ÊËœ Ω ” bMŽ
Æ©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚
©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚ ¨©”®≤
‚ U½«d²Áô« Ê√ 5Š w ¨ Ω” bMŽ qB²Ä ÏÊ«d²Á« ©”®±
‚ Ê«d²Áô« Ê≈ ‰uI½
Æ Ω ” bMŽ WKB²Ä dOž Ë√ WKBHMÄ U½«d²Á«
≥≥

∫n¹dFð
© ®‚ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈ jI Ë «–≈ tÃU−Ä w Ω” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹
∫Ê√ wMF¹ «c¼Ë
∫ÎUFÄ WOÃU²Ã« WŁö¦Ã« ◊ËdAÃ« XII% «–≈ jI Ë «–≈ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²Áô«
Ω ” bMŽ ·dFÄ ©”®‚ ±
…œułuÄ ©”®‚
← ”
≤
© ®‚ Ω ©”®‚
← ”
≥
¨oÐU Ã«©±μ≠±®qJAÃ«w ¨©”®¥
‚¨©”®≥
‚¨©”®≤
‚¨©”®±
‚ U½«d²Áô« UOM×MÄvÃ≈ŸułdÃUÐË
∫ Ê√ kŠö½
Æ© ®±
‚ Ω ©”®±
‚
← ”
Ê_ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®±
‚ ±
Æ Ω ” bMŽ ·dFÄ dOž ©”®≤
‚ Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®≤
‚ ≤
Æ© ®≥
‚ ©”®≥
‚
← ”
Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®≥
‚ ≥
Æ…œułuÄ dOž ©”®¥
‚
← ”
Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®¥
‚ ¥
©±® ‰U¦Ä
± ” ¨ ≤”
± ” ¨ ±´”
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
± Ω ” bMŽ » ∞ Ω ” bMŽ √
∞Ω©∞®‚ √
dH Ω ≤”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
©∞®‚ Ω ©”®‚
∞ ← ”
Ê√ U0
≥¥

∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
±Ω©±®‚ »
≤ Ω ©±´”®
´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
± ← ”
⇐
± Ω” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ Í√
Æ©±∂≠±® qJAÃ« w ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ dE½«
’
”
≥
≤
±
± ≤±≠
©±∂≠±® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
≤ Ω ” bMŽ ¨
≤ ” ¨
¥≠≤”
≤≠”
≤ Ω ” ¨ μ
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
¥≠≤”
≤≠” ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≤ ← ”
©≤≠”® ©≤´”®
≤≠” ≤ ← ”
Ω
¥ Ω ©≤´”®
≤ ← ”
Ω
μ Ω ©≤®‚
©≤®‚ ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ U0Ë
≤ Ω ” bMŽ ©qBHMÄ® qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
©±∑≠±® qJAÃ« kŠô
μ
¥
≥
≤
±
± ≤ ≥ ¥
’
”
©±∑≠±® qJAÃ«
∫WEŠöÄ
U½bŽ√ «–≈ sJÃË Æ©≤®‚ ©”®‚
≤ ← ”
Ê_ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ Ê√ oÐU Ã« ‰U¦*« w kŠö½
Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä `³B¹ ©”®‚ ÊS ¥ Ω ©≤®‚ `³BOÃ ≤ Ω ” bMŽ Ê«d²Áô« n¹dFð
≥μ

©≥® ‰U¦Ä
± ” ¨ ?ł´ ”≤
± ” ¨ ≥´≤”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« ?ł WLOÁ błË√
Æ ± Ω ” bMŽ ÎöB²Ä
…œułuÄ ©”®‚
± ← ”
ÊuJð Ê√ V−¹ ¨± Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ v²Š
Æ©±®‚ ÍËU ðË
©±®‚ Ω ©”®‚
≠± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
⇐
≤ Ω ?ł UNMÄË ¨ ?ł ´ ≤ Ω ¥ ∴
‰UBðô« U¹dE½
‰UBð« WÝ«—œ w U½bŽU ð w²Ã« WOÃU²Ã« U¹dEMÃ« vÃ≈ q u²Ã« sJ1 WIÐU Ã« U¹UNMÃ« U¹dE½ vKŽ œUL²ŽôUÐ
ÆWKB²Ä Èdš√ U½«d²Á« WÃôbÐ W dFÄ U½«d²Á«
∫©±® W¹dE½
∫ÊS Ω ” bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”®‚ ÊUÂ «–≈
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ ´ ‚® ±
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ ≠ ‚® ≤
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ Æ ‚® ≥
∋ „ YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ?¼ Æ „ ¥
∞ ≠© ® ?¼ YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® © ‚
?¼ ® μ
«–≈ ∞ <© ®‚ Ê√ ◊dAÐË ¨VłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚
Ê
∂
ÆWOłË“ Ê X½UÂ
©¥® ‰U¦Ä
≤ Ω ” bMŽ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ‰UBð« w Y×Ð« Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ ?ł ©”®‚
μ ´ ” Ω ©”®‰ » ©”®‚ ´ ≤
” Ω ©”®Ÿ √
≥∂

©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ≤” Ê«d²Áô« √
bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ´ ≤
” Ω ©”®Ÿ Ê«d²Áô« ∴
ÆUN H½ WDIMÃ«
©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä μ ´ ” Ê«d²Áô« »
bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« WL Á "U½ t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²Ä
©”®‚
μ ´ ” Ω ©”®‰ Ê«d²Áô« ∴
∞ ≠ ≤ bMŽ ÂUI*« WLOÁË ¨UN H½ WDIMÃ«
©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ± ≠ ≤” Ê«d²Áô« ?ł
©∂ Ÿd ©±® W¹dE½® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« ∴
∫…d² vKŽ Ê«d²Áô« ‰UBð«
∫n¹dFð
∫ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊS ›»¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ© ®‚ Ω ©”®‚
´ ← ”
X½UÂ «–≈ Ω ” bMŽ 5LOÃ« WNł sÄ ÎöB²Ä ±
Æ©»®‚ Ω ©”®‚
≠» ← ”
X½UÂ «–≈ » Ω ” bMŽ —U OÃ« WNł sÄ ÎöB²Ä ≤
∫©±∏≠±® qJAÃ« w wÃU²Ã« `O{u²Ã« kŠô
©”®≤
‚
”
’
»
—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®≤
‚
5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ qBHMÄË
©”®±
‚
”
’
»
5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®±
‚
—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽ qBHMÄË
©±∏≠±® qJAÃ«
≥∑

∫n¹dFð
Æ…d²HÃ« w WDI½ qÂ bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂ «–≈ ¤»¨ › WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ ±
…d²HÃ« w WDI½ qÂ bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂ «–≈ ›»¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ ≤
Æ—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽË 5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂË ¨¤»¨ › WŠu²H*«
∫wK¹ U2 qÂ W× sÄ oI×²Ã« pMJ1 U½«d²Áô« U¹UN½Ë oÐU Ã« n¹dF²Ã« vKŽ œUL²ŽôUÐ
Æ vKŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ œËb(« dO¦Â Ê«d²Áô« ±
ÆÂUI*« —UH √ «bŽ vKŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ w³ MÃ« Ê«d²Áô« ≤
Æ vKŽ ÊöB²Ä ÂUL²Ã« VOł Ê«d²Á«Ë VO'« Ê«d²Á« ≥
Æ vKŽ qB²Ä ¸”¸ Ω ©”®‚ WIKD*« WLOIÃ« Ê«d²Á« ¥
©μ® ‰U¦Ä
∫WOÃU²Ã« U½«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √
±´≤”
¥≠≤” Ω ©”® ?¼ »
¤ π∞¨∞ › …d²HÃ« vKŽ ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł
Æ ∋ ” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √
≤≠Ω”¨≤ Ω” «bŽ ∋” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN w³ ½ Ê«d²Á«
±´≤”
¥≠≤” Ω©”®?¼ »
5KB²Ä 5½«d²Á« WL Á Ã—Uš
”Uł
”U²ł
Ω ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł
©ÂUI*« dH ® π
≤
Ω ” «bŽ UÄ ¤ π∞¨∞ › ∋” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN
≥∏

©∂® ‰U¦Ä
± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ≤ ´ ”
≤ ≥ ” > ± ¨ ≥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ›≤¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤±¨∞› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎôË√
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎUO½UŁ
∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎU¦ÃUŁ
≥ Ω ©±®‚ Ω©”®‚
≠± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
∫Ê_ ª5LOÃ« WNł sÄ ∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎUFÐ«—
≤ Ω ©∞®‚ Ω ©≤´”®
´∞ ← ”
Ω ©”®‚
´∞ ← ”
∫Ê_ ª—U OÃ« WNł sÄ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎU ÄUš
≥ Ω ©≤®‚ Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
›≤ ¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
©∑® ‰U¦Ä
≤≠ Ω ” ¨ ≤
± ≥ ” > ≤≠ ¨ ≤”
≤ ≥ ” >± ¨ ” ≠≤
Ω ©”®‚ sJOÃ
‰UBð« w Y×Ð« rŁ ©”®‚ vM×MÄ rÝ—«
Æ›≤¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚
Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©±π≠±® qJAÃ« q¦1
¤±¨≤≠› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎôË√
ÆœËbŠ dO¦Â t½_
¤≤[±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎUO½UŁ
ÆÎUC¹√ œËbŠ dO¦Â t½_
”
¥
≥
≤
±
± ≤
’
≤≠ ±≠
©±π≠±® qJAÃ«
≥π

∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎU¦ÃUŁ
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω©”®‚
≠± ← ”
¨ ± Ω ©”≠≤®
´± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
± Ω ©±®‚ Ω©”®‚
± ← ”
∴
∫Ê_ 5LOÃ« WNł sÄ ≤≠ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∫ÎUFÐ«—
≤ Ω ©≤≠®‚ ULMOÐ ¥ Ω ≤”
´≤≠ ← ”
Ω ©”®‚
´≤≠ ← ”
©≤≠®‚ ©”®‚
´≤≠ ← ”
Ê√ Í√
∫Ê_ —U OÃ« sÄ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎU ÄUš
∞ Ω ©≤®‚ ¨ ∞ Ω ©”≠≤®
≠≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
©≤®‚ Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
Ê√ Í√
›≤ ¨≤≠¤ vKŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
qB²ÄË¨¤≤¨≤≠›∋ ”rOÁlOLłbMŽqB²Ät½_›≤¨≤≠›vKŽqB²Ä©”®‚Ê√kŠô
Æ—U OÃ« sÄ ≤ Ω ” bMŽ
©∂≠±® s¹—U9
Æ›≥¨±≠¤ vKŽ©”®‚Ê«d??²Áô«v??M×MÄq??ÐUI*«qJ??AÃ«q???¦1 ±
∫V³ Ã« dÂ– lÄ W¾ÞUš UN¹√Ë W³zU WOÃU²Ã« «—U³FÃ« Í√ 5Ð
”
±
± ≤ ≥
’
±≠ ∞
Æ —U OÃ« WNł sÄ ±≠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ √
± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ »
∞ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ?ł
≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ œ
Æ›∞ ¨±≠¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ?¼
Æ›± ¨∞ › …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ë
Æ¤ ≥ ¨± › …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ “
ÆU¼bMŽ ÎöB²Ä `³BOÃ ± Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð sJ1 Õ
ÆU¼bMŽ ÎöB²Ä `³BOÃ ∞ Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð …œUŽ« sJ1 ◊
¥∞

∫UNMÄ qÂ ¡«“≈ WMO³*« ” rOÁ bMŽ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ‰UBð« w Y×Ð« ≤
± Ω ” bMŽ ± ” ¨
±≠≤”
±≠”
± Ω ” ¨ ¥
Ω ©”®‚ √
± Ω ” bMŽ ± ” ¨
¸±≠”¸
±≠”
± Ω ” ¨ μ
Ω ©”®‰ »
∞ Ω ” bMŽ
∞ ≠ ” ¨
” Uł
¸ ”¸
∞Ω ” ¨ ±
Ω ©”®Â ?ł
Æ›≤ ¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ ‰UBð« w Y×Ð«
± ” ∞¨ ” ≠≤
≤ ” ±¨ ±
≤ Ω ” ¨ μ
Ω ©”®‚ sJOÃ ≥
Æ vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ ÊuJOÃ » ¨ 5²ÐU¦Ã« błË√
±≠ ” ¨ ´ ≤”
± ” ±≠ ¨ ¥ ´”
± ” ¨
”
»´”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ¥
± > ” ≥≤≠ ¨ ≤” ≠≥
≤ ≥ ” > ± ¨ ±´ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
Æ ›≤ ¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
∫U¼bMŽ ÎöB²Ä WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ÊuJ¹ w²Ã« ” rOÁ błË√ ∂
” Uł ´ ¸± ≠ ”¸Ω ©”®‚ ?ł
μ´”
≥´” ≠≤”
Ω©”®‚ » ”μ ´
±
≤≠”
Ω ©”®‚ √
” Uþ ” Ω ©”®‚ Ë
” ≤
Uł ≠ ±
” U²ł
Ω ©”®‚ ?¼ ± ´ ”≤ Ω ©”®‚ œ
∞ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä
∞ ≠ ” ¨
” Uł
” ≤
∞Ω ” ¨
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« WLOÁ błË√ ∑
¥±

(Intermediate Value Theorem) WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ∑≠±
WO{U¹— hzUBš WIKGÄ …d² vKŽ WKB²*« U½«d²ÁöÃ
ÆbM³Ã« «c¼ w UNCFÐ ·dF²½ ·uÝ WLNÄ
vKŽqB²*«©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄ©≤∞≠±®qJAÃ«q¦1
¨©»®‚ ¨© ®‚ 5Ð lIð ±
‰ WLOIÃ« Æ› » ¨ ¤ W?IKG*« …d²HÃ«
Æ±
‰ Ω ©?ł®‚ YOŠ » ¨ 5Ð lIð ?ł Ω ” œułË kŠö½Ë”
’
?ł ± ?ł ≤ ?ł ≥ ?ł »
©»®‚
≤ ‰
± ‰
© ®‚
©≤∞≠±® qJAÃ«
t½√Ë¨ÎUC¹√©»®‚¨© ®‚5ÐlIð≤
‰Ê√kŠö½pÃcÂ
5Ð UNFOLł lIðË ≥
?ł¨≤
?ł¨±
?ł w¼ ”?Ã rOÁ ÀöŁ błu¹
≤
‰ Ω ©≥
?ł®‚ Ω ©≤
?ł®‚ Ω ©±
?ł®‚ YOŠ » ¨
» ¨ 5Ð lIð ”?Ã qÁ_« vKŽ …bŠ«Ë WLOÁ błuð ©»®‚ ¨ © ®‚ 5Ð lIð ‰ WLOÁ Í_ t½S ¨ÂUŽ tłuÐË
vKŽ …bŠ«Ë WDI½ bMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ lDI¹ Ê√ bÐô ‰ Ω ’ rOI² *« Ê√ Í√ ª‰ Ω ©”®‚ Ê≈ YO×Ð
∫WOÃU²Ã« W¹dEMÃ« vÃ≈ U½œuI¹ «c¼Ë¨¤ » ¨ › ∋ ?ł YOŠ ¨©©?ł®‚ ¨ ?ł®qÁ_«
∫WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½
lI¹ ‰ q¦Ä œbŽ Í_ t½S ©»®‚ ≠ © ®‚ ¨› » ¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊUÂ «–≈
Æ‰ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð¨¤ » ¨ › ∋ ?ł q¦Ä qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ błu¹ ©»® ‚ ¨© ® ‚ 5Ð
©±® ‰U¦Ä
Æ ›≥¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ”≥≠≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« sJOÃ
≤Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¨¤≥¨±› ∋ ?ł œbŽ œułË X³Ł« √
Æ?ł WLOÁ błË√ »
œËbŠ dO¦Â t½_ ›≥¨±¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ”≥ ≠≥”Ω ©”®‚ √
±∏ Ω ©≥®‚ ¨ ≤≠Ω ©±®‚
¤≥¨±› ∋ ?ł błu¹ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ V Š t½S ±∏¨≤≠ 5Ð lIð ≤ Ω ‰ Ê≈ YOŠË
Æ≤ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð
¥≤

≤ Ω ©?ł®‚ »
∞ Ω ≤ ≠ ?ł≥ ≠≥?ł ∴
∞ Ω ©± ´ ?ł≤´ ≤
?ł® ©≤ ≠ ?ł®
∞ Ω ≤
©± ´ ?ł® ©≤ ≠ ?ł®
±≠¨ ≤ Ω ?ł ∴
Æ¤≥¨±› …d²HKÃ wL²Mð ô ±≠ Ê_ ±≠ Ω ?ł i dðË ≤ Ω ?ł ∴
©≤® ‰U¦Ä
≤ >” ≥ ∞ ¨ ± ´≤”
≤ Ω ” ¨ ≤
¥ ≥” > ≤ ¨ ≤ ´”
Ω ©”®‚ sJOÃ
›¥¨∞¤ vKŽ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ Ê√ 5Ð √
øμ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤¥¨∞› ∋ ?ł błuð q¼ »
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤≤¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚ √
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›¥¨≤› vKŽ qB²Ä ©”®‚
μ Ω ©± ´ ≤”®
≠ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
¥ Ω ©≤ ´ ”®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
”
∂
μ
¥
≥
≤
±
± ≤ ≥ ¥
’
©≤±≠±® qJAÃ«
≤ ← ”
∴
≤Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
›¥¨∞¤ vKŽ qB²Ä dOž wÃU²ÃUÐË
›¥¨∞¤ vKŽ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ⇐
μ Ω ©?ł®‚ »
©±® ÆÆÆÆÆÆ ≤ >?ł ≥∞ ¨ μ Ω ± ´ ≤?ł UÄ≈ ∴
©≤® ÆÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł >≤ ¨ μ Ω ≤ ´ ?ł Ë√
≥ Ω ?ł w¼ WO½U¦Ã« WÃœUF*« oI% w²Ã« ?ł WLOÁË vÃË_« WÃœUF*« oI% ?ł?Ã WLOÁ błuð ô
Æ©≤±≠±® qJAÃ« kŠô Æ≥ w¼ WÐuKD*« ?ł WLOÁ ∴
¥≥

©≥® ‰U¦Ä
∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹ t½√ X³ŁQ ± ≠ ” ≠ ≥” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›≤ ¨ ± ¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ©”®‚
μ Ω ©≤®‚ ¨±≠ Ω ©±®‚
μ¨±≠ 5Ð lIð dH Ω ‰ WLOIÃ« Ê≈ YOŠË
WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ V Š t½S
ÆdH Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹
Æ©≤≤≠±® qJAÃ« dE½«
’
”
± ≤±≠
©≤≤≠±® qJAÃ«
∫u½«eKÐ W¹dE½ rÝUÐ ·dFð WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ sÄ W Uš WÃUŠ `{u¹ oÐU Ã« ‰U¦*«
∫u½«eKÐ W¹dE½
¨…—Uýù« w 5HK² Ä ©»® ‚ ¨© ® ‚ ÊUÂË ¨› » ¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨¤ » ¨ › ∋ ?ł błu¹ t½S
©¥® ‰U¦Ä
∋ ”¨¥ ≠ ” ´ ¥”Ω ©”®‚ sJOÃ
ÆtÃU−Ä w Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH œułË u½«eKÐ W¹dE½ Â«b ²ÝUÐ X³Ł«
Æu½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý ©”®‚ Ê«d²Áô« UNO oI×¹ ›≤ ¨ ±¤ sJ²ÃË UÄ …d² »d$
∞ >≤≠ Ω ¥ ≠ ± ´ ± Ω ©±®‚
∞ <±¥ Ω ¥ ≠ ≤ ´ ±∂ Ω ©≤®‚
…—Uýù« w ÊUHK² Ä ©≤®‚ ¨ ©±®‚ ∴
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›≤ ¨ ±¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚
Æ›≤ ¨ ±¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ©”®‚ ∴
Æ¤≤ ¨ ±› …d²HÃ« w ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH błu¹ ∴
ÆtÃU−Ä w qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ∴
¥¥

©μ® ‰U¦Ä
≤ ≥ ” ¨ ¥≠”≥´≤”
≤ < ” ¨ ≤”≥≠≥”
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI% w Y×Ð« √
øu½«eKÐ W¹dE½ lÄ W−O²MÃ« Ác¼ ÷—UF²ð q¼ ¨∞ Ω © ?ł®‚ YO×Ð ¤¥ ¨ ≥≠› ∋ ?ł bł »
¥≠ Ω ©≤”≥ ≠ ≥”®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
√
∂ Ω ©¥ ≠ ”≥ ´ ≤”®
≠ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
≤ ← ”
∴
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä dOž uN ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ∴
∞ Ω ©?ł®‚ »
©±® ÆÆÆÆÆ ≤ ≥ ?ł ≥≥≠ ¨ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´ ≤
?ł UÄ≈ ∴
©≤® ÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł >≤ ¨ ∞ Ω ≤
?ł≥ ≠ ≥
?ł Ë√
¥≠ Ω ?ł i d½Ë ± Ω ?ł ⇐ ∞Ω ©±≠ ?ł® ©¥´ ?ł® ⇐ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´≤
?ł
∞ Ω ?ł i d½Ë ≥ ¨ ∞ Ω ?ł ⇐ ∞ Ω ≤
?ł≥ ≠≥
?ł
∞ Ω ©?ł®‚ ÊöF& ≥ ¨ ± UL¼ ¤¥ ¨ ≥≠› …d²HKÃ ÊUOL²Mð ?ł ?Ã ÊU²LOÁ błuð ∴
sJ1 ô t½S u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×²ð rÃ «–≈ t½_ ªu½«eKÐ W¹dE½ lÄ W−O²MÃ« Ác¼ ÷—UF²ð ô
Æ ?ł œułË ÂbŽ Ë√ œułuÐ pÃ– sÄ Âe'«
nOBM²Ã« WI¹dÞ …UL *«WI¹dDÃ« vKŽ œUL²ŽôUÐ U½«d²Áô« —UH _ WO³¹dIð rOÁ œU−¹≈ w u½«eKÐ W¹dE½ Âb ² ð
∫wÃU²Ã« ‰U¦*« w W×{u*«
¥μ

©∂® ‰U¦Ä
≥ ¨ ≤ 5Ð ¥≠” ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH błu¹ t½√ 5Ð
ÆnOBM²Ã« WI¹dÞ Â«b ²ÝUÐ tÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ błË√ rŁ
œËbŠ dO¦Â t½_ ›≥ ¨ ≤ ¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ¥ ≠” ≠≤” Ω ©”®‚
…—Uýù« w ÊU²HK² Ä ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ≤≠ Ω ©≤®‚
∞ Ω ©?ł®‚ YOŠ ¤ ≥ ¨ ≤ › ∋ ?ł błu¹ u½«eKÐ W¹dE½ V Š ∴
≤[μ Ω
≤
≥ ´ ≤
Ω ±
?ł wÐU (« jÝuÃ« —U² ½ ±
?ł vÃË√ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù
∫Ê«d²Áô« dHBÃ ≤
?ł WO½UŁ W³¹dIð WLOÁ œU−¹ù
dH >∞[≤μ≠ Ω ¥ ≠ ≤[μ ≠≤
©≤[μ® Ω ©≤[μ®‚ V ×½
vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oO³Dð sJ1 «cÃ ª©≥®‚ …—U??ý≈ sŽ nK² ð ©≤[μ®‚ …—U??ý≈ Ê√ kŠö½
Æ›≥¨≤[μ ¤ …d²HÃ«
≤[∑μ Ω
≤
≥ ´ ≤[μ
Ω ≤
?ł —U² ½Ë ¤≥¨≤[μ› ∋ Ê«d²Áô« dH ∴
∫≥
?ł W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ùË
∞ <∞[∏±≤μ Ω ¥≠ ≤[∑μ≠ ≤
©≤[∑μ® Ω ©≤[∑μ®‚ V ×½
Æ …—Uýù« w ©≤[μ®‚ sŽ nK² ðË
›≤[∑μ ¨ ≤[μ¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oI×²ð ∴
¤≤[∑μ ¨ ≤[μ› ∋ ≥
?ł Ê«d²Áô« dH ∴
≤[∂≤μ Ω
≤
≤[∑μ ´ ≤[μ
Ω ≥
?ł YÃU¦Ã« V¹dI²Ã« ÊuJ¹Ë
©∑≠±® s¹—U9
Æμ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤ ≥¨± › ∋ ?ł błu¹ t½√ sOÐ ¨›≥¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ±∞´”∏≠≥”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
ø∏ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤ ≥¨≤ › ∋ ?ł błu¹ qN ¨”≠≥”Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
›≤¨±¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ·dF*« μ≠≥”Ω©”®‚ Ê«d²Áô« dHBÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb ²Ý« ≥
Æ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« w ≤ √ Ω œbFKÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb ²Ý« ¥
Æ©›≤¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ¨ ≤ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Âb ²Ý« ∫œUý—«®
ÆqÁ_« vKŽÎ«bŠ«Ë ÎöŠ ” Ω ” U²ł WÃœUFLKÃ Ê√ 5Ð μ
Æ¤¥¨¥≠› …d²HÃ« w WHK² Ä —Ëcł WŁöŁ ∞ Ω ± ´ ”±μ ≠≥” WÃœUFLKÃ Ê√ 5Ð ∂
ø ¤≤¨≤≠› …d²HÃ« w ± ≠ ”¥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÏdH błu¹ q¼ ∑
¥∂

WÄUŽ s¹—U9
∫wK¹ ULO W×O×BÃ« WÐUłù« eÄ— ‰uŠ …dz«œ l{ ±
Ω ”
≤ ≠ ¥´” √
∞ ← ”
±
¥ œ
¥
± ?ł ∞ » dH √
Ω ”
” U²ł
π ← ”
≤
∞ œ
π
± ?ł
π
±≠ » π ≠ √
Ω
∑≠”≤
¸ ”¥¸
∞≠ ← ”
≥
∞≠ œ ∞ ?ł ≤≠ » ≤ √
Ω ” bMŽ qB²Ä ›∞[∑ ´ ”¤ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« ¥
∞[∑≠ œ ±[≥ ?ł ∞[≥ » dH √
∫w¼ ÎULz«œ ÎöB²Ä
≤ ≥ ” ¨ ≤≠ ≤”
≤ < ” ¨ ”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« WLOÁ μ
±≠ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ”≠≤”
π≠≤”
≥ ← ”
∂
…œułuÄ dOž œ ≥≠ ?ł ≥ » dH √
Ω ”≤≤
Uł
”≤
Uł
∞ ← ”
∑
¥ œ
¥
± ?ł ≤ »
≤
±
√
Ω
∏´”∂≠≤”
”≤≠≤”
∞ ← ”
∏
dH œ ± ?ł ±≠ » ≤≠ √
¥∑

Ω
≤´”
¸ ≤´”¸
´ ≤≠ ← ”
π
∞ œ dH ?ł ±≠ » ± √
Ω
±¥≠”μ´≤”
∂´”μ≠≤”
≤ ← ”
±∞
π
±
≠ œ
π
± ?ł ±≠ » ± √
©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 qÐUI*« qJAÃ« ♦
∫±≥ vÃ« ±± sÄ WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w pÃ– vKŽ bL²Ž«
≥
≤
±
± ≤ ≥
’
±≠
”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
±±
≥ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
±≤
≥ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ©”®‚
≤ ← ”
±≥
…œułuÄ dOž œ ≥ ?ł ≤ » ± √
Ω
±≠≥”
±´”μ
∞≠ ← ”
±¥
∞ œ dH ?ł μ≠ » μ √
Ω
±´”¥
≤”≤≠∂
∞ ≠ ← ”
±μ
∞ ≠ œ ∞ ?ł
≤
±
≠ » dH √
∫…d²HÃ« w Î«dH ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê√ bÂR*« sL ≥≠”≤´≤”≠μ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∂
¤±≠ ¨ ≤≠› œ ¤∞ ¨ ±≠› ?ł ¤≤ ¨ ±› » ¤± ¨ ∞› √
¥∏

Ω ©¸”¸
±
≠ ”
±
®∞ ≠ ← ”
±∑
…œułuÄ dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH √
Ω ©≤”±∞∞ ≠ ≥”≤®
∞≠ ← ”
±∏
…œułuÄ dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH √
Ω ”≤Uþ
”Uł
∞ ← ”
±π
…œułuÄ dOž œ
≤
±
≠ ?ł
≤
± » dH √
Ω ©≥®‚ ÊS ≤≤ Ω ©©”® ‚≤´∏®
≥ ← ”
X½UÂË ¨ÎöB²Ä ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤∞
dH œ ± ?ł ∑ » ±¥ √
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ≤
∑ ≠ ”
≤ ≠ ±´” ≥
√
∑ ← ”
?ł
π ≠ ”
π
±
≠ ”
±
π ← ”
»
¥´” √
± ≠ ”
± ← ”
√
”μ Uþ ”≥ Uł
”¥ Uł ”≤
∞ ← ”
Ë ”≤ U²Á ”
∞ ← ”
?¼ ”≤
©” Uł® Uþ
∞ ← ”
œ
± ≠ ≥”
± ´ ≤”μ
∞ ← ”
◊
± ≠ ”μ
≤”≤ ≠ ∂
∞≠ ← ”
Õ
μ ≠ ≤”≤
≤”≤
∞ ← ”
“
∫błËQ ¨ ∂ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈ ≥
©∏ ≠ ≤” ´ ©±´”®‚® ± ← ”
»
©”®?¼
≤” ´ ©”®‚
≤ ← ”
√
≥ ≥” ¨ ± ´ ”≤
μ >” >≥ ¨ » ´ ”
μ ≤” ¨ ≤ ´ ≤”
Ω ©”®‚ sJOÃ ¥
ÆWOIOI(« ” rOÁ qJÃ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« »¨ rOÁ błË√
¥π

±∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√ Æ”´≤”≠≥” Ω ©”®‚ sJOÃ μ
” Ω ©”®?¼ ¨ ± ≠ ”μ Ω ©”®‚ sJOÃ ∂
©?ł®?¼ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤± ¨ ∞› ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√
∞ ≠” ¨ ”≥
”≤ Uþ
∞ Ω ” ¨ ?ł
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
∞ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« ?ł WLOÁ błË√
błË√rŁª∑Ω©?ł®‚Ê≈YO×Ð¤≤¨±›∋ ?łbłu¹t½√X³ŁQ ¨›≤¨±¤∋”¨”´≥”Ω©”®‚ÊUÂ«–≈ ∏
Æ?ł œbFKÃ WO½UŁ WO³¹dIð WLOÁ
∞ Ω ” bMŽ ›”¤ ≤” Ω ©”®Â Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð« π
¨ ¥ Ω ©μ®‚ ¨ ±≠ Ω ©¥®‚ ¨ ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ±≠ Ω ©∞®‚ ÊUÂË ›μ¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∞
ø¤μ¨∞› …d²HÃ« w U¼œułuÐ Âe'« pMJ1 w²Ã« ©”®‚ Ê«d²Áô« —UH √ sÄ œbŽ qÁ√ u¼ UL
t½√ X³ŁQ ¨›±¨∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ± > ©”®‚ > ∞ ÊUÂË ›±¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±±
Æ?ł Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤±¨∞› ∋ ?ł błu¹
Æ© ›±¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ” ≠ ©”®‚ Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« ·ÒdŽ ∫œUý—« ®
μ∞

μ±
q????{UH²Ã« »U???? Š ≤
…b???????Šu???????Ã«
±
” ”

μ≤
∫bON9
pÃ–Ë¨w½U*_«eM³¹ôË¨ÍeOK$ô«sðuO½5*UFÃ«sÄ ÌqÂb¹vKŽdAŽlÐU Ã«ÊdIÃ«w q{UH²Ã«rKŽ√bÐ
WO½U¦Ã«Ë¨tOKŽWDI½bMŽvM×MÄÍ_”UL*UÐoKF²ðËWOÝbM¼vÃË_«∫5²OÝUÝ√5²ÃQ ÄqŠULN²ÃËU×ÄbMŽ
vÃ≈ 5²ÃQ *« qŠ UNOKŽ ÂuI¹ w²Ã« WÂd²A*« …dJHÃ« œ√ bÁË Æ„d×²Ä r ' WOE×KÃ« WŽd ÃUÐ oKF²ðË WOzU¹eO
ÂuKFÃ« lOLł w dB% œUJðô UIO³Dð UNÃ błË w²Ã« vÃË_« WI²A*« u¼Ë ô√ ¨rŽ√Ë qLý√ w{U¹— ÂuNHÄ
ÂeK¹ WI²A*« ÂuNHÄ .bI²ÃË ÆtÃ …eO2 WH dOG²Ã« ÊuJ¹ ‰U−Ä qÂ w Ë ¨W¹œUB²Áô«Ë ¨WOzU¹eOHÃ«Ë ¨WOÝbMNÃ«
ÆdOG²Ã« jÝu²Ä ÂuNHÄ vKŽ ÎôË√ ·dF²Ã«
(Average Rate of Change) d??OG²Ã« j??Ýu²Ä ±≠≤
ªlÐU²Ã« dOG²*« ©’® dšü« vL ¹Ë ¨qI² *« dOG²*« ©”® UL¼bŠ√ vL ¹ ’ ¨” s¹dOG²Ä 5Ð WÁöŽ Ê«d²Áô«
Æ’ dOG²LKÃ jI …bŠ«Ë WLOÁ ” dOG²*« rOÁ sÄ WLOÁ qJÃ 5F²ð YO×Ð
¨≤
” vÃ«±
” sÄ ” tO dOGðË ¨ÎU½«d²Á« ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
Æ©≤
”®‚ Ω≤
’ vÃ« ©±
”®‚ Ω±
’ sÄ dOG²ð ’ WLOÁ ÊS
©” U²Ãœ ∫√dIÔ¹Ë® ”Δ eÄdÃUÐ ≤
” vÃ≈ ±
” sÄ ” w dOG²KÃ eÄd¹
±
” ≠≤
” Ω ”Δ ∫Ê√ Í√
∫Ê√ Í√ ©’ U²Ãœ ∫√dIÔ¹Ë® ’Δ eÄdÃUÐ ’ w dOG²KÃ eÄd¹ t½S q¦*UÐË
©±
”®‚≠©≤
”®‚ Ω±
’ ≠≤
’ Ω ©”®‚ Δ Ω ’Δ
Æ©±≠≤® qJAÃ« kŠô
’
”
±
” ≤
”
©≤
’ ¨ ≤
”®
©±
’ ¨ ±
”®
”Δ
’Δ
©”®‚ Ω ’
©±≠≤® qJAÃ«
©±® ‰U¦Ä
∫” dOG²ð UÄbMŽ ©”®‚ Ω ’ w dOG²Ã« błËQ ¨μ≠”≥´ ≤” Ω ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
¥Ω≤
” vÃ≈ ± Ω±
” sÄ √
μ≠Ω≤
” vÃ≈ ≥ Ω±
” sÄ »
≥≠ Ω ”Δ YO×Ð ≤
” vÃ≈ ≤ Ω±
” sÄ ?ł
©±®‚ ≠ ©¥®‚ Ω’Δ √

μ≥
≤¥ Ω ©±≠® ≠≤≥ Ω
©≥®‚ ≠ ©μ≠®‚ Ω’Δ »
∏≠ Ω ±≥≠μ Ω
”Δ ´ ±
” Ω ≤
” ?ł
±≠ Ω ≥≠ ´ ≤ Ω
©±
”®‚ ≠ ©≤
”®‚ Ω’Δ ⇐
©≤®‚≠©±≠®‚ Ω
±≤≠ Ωμ ≠∑≠ Ω
dOG²Ã« jÝu²Ä ∫n¹dFð
W³ MÃUÐÊ«d²Áô«dOGðjÝu²ÄÊS ¨”Δ´±
”Ω≤
”vÃ≈±
”sÄ” dOGðË¨ÎU½«d²Á«©”®‚Ω’ÊUÂ«–≈
ÆÎ«dH ÍËU ¹ ô ” w dOG²Ã« Ê√ ◊dAÐ ¨” w dOG²Ã« vÃ≈ ’ w dOG²Ã« 5Ð W³ MÃ« t½QÐ ·dF¹ ” ?Ã
∞ ≠ ”Δ ¨
©±
”®‚ ≠ ©”Δ´±
”®‚
”Δ
Ω ”Δ
’Δ
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä Ê√ Í√
jÝu²Ä ÊS ©≤≠≤® qJAÃ« w 5³*« Ê«d²Áô« u¼ ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–S
UNK¦1Ë ¨ ”Δ
’Δ
W³ MÃ« u¼ ≤
” ¨±
” 5Ð ” ?Ã W³ MÃUÐ ©”®‚ w dOG²Ã«
∫5²DIMÃ« w Ê«d²Áô« vM×M* lÞUIÃ« » rOI² *« qOÄ
©©≤
”®‚ ¨≤
”®» ¨©©±
”®‚¨±
”®
Æ©≤≠≤® qJAÃ« dE½«
’
”
±
” ≤
”
»
”Δ
’Δ
?ł
?¼
?¼
©©±
”®‚ ¨±
”®
©©≤
”®‚ ¨≤
”®
©≤≠≤® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
” ?Ã W³ MÃUÐ ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨μ≠”´≤”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ¥ vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ
©±®‚≠©¥®‚
±≠¥
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä
∂ Ω
©≥≠®≠±μ
≥
Ω

μ¥
©≥® ‰U¦Ä
≤ ≥ ” ¨ ¥´”≥
≤ <” ¨ ”≥´≤”
Ω ©”®‚ sJOÃ
∫WOÃU²Ã« ôU(« w ©”®‚ dOGð jÝu²Ä błË√ √
Æμ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ±
±≠ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ≤
?¼ ´ ≤ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ≥
Æ≤ ¨± 5L IÃ« w pÐ«uł W× sÄ bÂQ²KÃ ©≥® r Á w UNOÃ≈ XK uð w²Ã« …bŽUIÃ« Âb ²Ý« »
≤ ≠ μ
©≤®‚ ≠ ©μ®‚
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ± √
±∞Ω ©¥´∂® ≠ ©±μ´≤μ®
≥
Ω
©≤®‚ ≠ ©±≠®‚
≤≠±≠
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ≤
≥ Ω
©¥´∂®≠©¥´≥≠®
≥≠
Ω
±∞ ≠ ©?¼´≤®‚
?¼
Ω
©≤®‚ ≠ ©?¼´≤®‚
≤≠?¼´≤
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ≥
∫5²ÃUŠ d³²F½
∫ ∞ <?¼ UÄbMŽ √
±∞≠ ?¼≥´∂´≤
?¼ ´ ?¼¥´¥
?¼
Ω
±∞≠ ©?¼´≤®≥´≤
©?¼´≤®
?¼
∞ ≠ ?¼ ¨ ?¼ ´∑ Ω
?¼
©?¼´∑®?¼
Ω
?¼
≤
?¼´?¼∑
Ω
∫ ∞ >?¼ UÄbMŽ »
?¼
©±∞® ≠¥ ´ ©?¼´≤®≥
∞ ≠ ?¼ ¨ ≥ Ω ?¼
?¼≥
Ω
∞ <?¼ ¨ ?¼ ´ ∑
∞ > ?¼ ¨ ≥
Ω ”Δ
’Δ
dOG²Ã« jÝu²Ä ∴

μμ
±∞ Ω ≥ ´ ∑ Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ÊuJ¹ pÃcÃË ª∞ <≥Ω ?¼ ÊuJð μ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ »
Æ≥ Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ÊuJ¹ pÃcÃ ª ∞ > ≥≠ Ω ?¼ ÊuJð ±≠ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽË
Æ≤ ¨± 5L IÃ« w 5²ÐUłù« lÄ ÊU²−O²MÃ« oÐUD²ð Ê–≈
©¥® ‰U¦Ä
©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©≥≠≤® qJAÃ« q¦1
∫©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä bł
» Ω ” ¨ Ω ” 5Ð √
œ Ω ” ¨ ?ł Ω ” 5Ð »
’
”
»
?ł
Ÿ
œ
‰
º
±μ∞
©≥≠≤® qJAÃ«
» Ω ” ¨ Ω ” 5Ð dOG²Ã« jÝu²Ä √
≥
±≠
Ω Ú ±μ∞Uþ Ω Ÿ ‰ lÞUIÃ« qOÄ Ω
ÆdH Ω UMO Ã« —u×Ä qOÄ Ω œ ?ł lÞUIÃ« qOÄ ÍËU ð œ Ω ” ¨ ?ł Ω ” 5Ð dOG²Ã« jÝu²Ä »
©μ® ‰U¦Ä
vDF¹ j)« vKŽ t²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²Ä_UÐ · ÁbFÐ Ê≈ YO×Ð rOI² Ä jš vKŽ r ł „d×²¹
w sÄeKÃ W³ MÃUÐ · w dOG²Ã« jÝu²Ä bł Æw½«u¦ÃUÐ Ê ¨Êμ´≤
Ê Ω ©Ê®‚ Ω · …bŽUIÃUÐ
Æ› ≥ ¨ ± ¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ«
ÊΔ
·Δ
Ω Ê ?Ã W³ MÃUÐ · w dOG²Ã« jÝu²Ä
±≠≥
©±®‚ ≠ ©≥®‚
Ω
ÀØÂ π Ω
≤
±∏
Ω
≤
©μ´±®≠©±μ´π®
Ω
Ær −KÃ WDÝu²*« WŽd Ã«
ÊΔ
·Δ
dOG²Ã« jÝu²Ä vL ¹ ∫WEŠöÄ

μ∂
©±≠≤® s¹—U9
∫©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« WLOÁ błËQ μ´” ≠≤” Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
Æ≥ vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ √
Æ?¼´± vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ »
Æ©√® ŸdHÃ« w pÐ«uł W× sÄ bÂQ²KÃ ©»® ŸdHÃ« w UNOÃ≈ XK uð w²Ã« …bŽUIÃ« Âb ²Ý« ?ł
Æπ ≥ Ω ≤
” ¨
≤
π Ω ±
” 5Ð ©”®?¼ w dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨”U²ł ≥≠”Uł Ω ©”®?¼ ÊUÂ «–≈ ≤
±≠ ≥” ¨ μ´”≥
±≠ <” ¨ ¥´”≥´≤”
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä bł ≥
Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä œU−¹ù "UMÃ« Âb ²Ý« rŁ¨”Δ´±≠ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð
ø» WLOÁ UL ¨
≥
± ÎU¹ËU Ä » Ω ” ¨≤ Ω ” 5Ð ±´”¥ Ω ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ ¥
dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨μ ÎU¹ËU Ä π Ω≤
” vÃ≈ ±Ω±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ μ
Æ≤ Ω ” ¨ ≤≠ Ω ” 5Ð ©μ´”≤®‚≤” Ω ©”®‰ Ê«d²Áô« w
sÄeÃ« Ê ¨—U²Ä_UÐ UNFDI¹ w²Ã« W U *« · YOŠ¨Ê≤´≥
Ê Ω · WÁöFÃ« o Ë rOI² Ä jš vKŽ r ł „d×²¹ ∂
Æ› μ ¨ ≤ ¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ« w r '« «cNÃ WDÝu²*« WŽd Ã« bł Æw½«u¦ÃUÐ
±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ WÃUŠ qÂ w q¦L*« Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä błË√ ¨WOÃU²Ã« WO½UO³Ã« ‰UJýô« vKŽ œUL²ŽôUÐ ∑
Æ≤
” vÃ≈
©”®‰
”
±
≤
Ω±
” ≤
±
≤
Ω≤
”
©”®‰ Ω ’
μ
¥
≥
≤
±
’
”
≤Ω±
” ¥Ω≤
”
º
≥∞
©”®?¼ Ω ’
≥
≤
±
’
”
±Ω±
” ≥Ω≤
”
©”®‚ Ω ’
≥
≤
±
©?ł® ©»® ©√®
›≤
”¨±
”¤ …d²HÃ« w ©”®‰ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä Ê√ X³ŁU ¨©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈ ∏
ÆUNð«– …d²HÃ« w ©”®?¼ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä ´ ©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä ÍËU ¹

μ∑
First Derivative vÃË_« WI²A*« ≤≠≤
∫t½QÐ ¨”Δ´±
” vÃ≈ ±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä UM ]dŽ Ê√ o³Ý
∞ ≠ ”Δ ¨ ”Δ
©±
”®‚ ≠ ©”Δ´±
”®‚
Ω ”Δ
’Δ
«c¼ ÊS ¨dHBÃ« sÄ »d²Ið ”Δ UMKFłË ¨W²ÐUŁ ±
” XOIÐ «–S ”Δ ¨±
” vKŽ t²LOÁ nÁu²ð —«bIÄ «c¼Ë
Æ±
” Ω ” bMŽ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ vL ð WMOFÄ W¹UN½ tÃ ÊuJð bÁ —«bI*«
∫n¹dFð
eÄdÃUÐ tÃ eÄd½Ë ¨tÃU−Ä w ±
” Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ ·dF¹
∫t½QÐ ¨©±
”®Ó‚
ÆW¹UNMÃ« œułË ◊dAÐ ¨
?¼
©±
”®‚ ≠ ©?¼´±
”®‚
∞ ← ?¼
Ω ©±
”®Ó‚
∫UC¹√ wÃU²Ã« u×MÃ« vKŽ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ WÐU²Â sJ1Ë
±
” ≠ ”
©±
”®‚ ≠ ©”®‚
±
” ← ”
Ω ©±
”®Ó‚
»«d²ÁUÐt½√ ©¥≠≤®qJAÃ«sÄkŠö½WOÝbMNÃ«WOŠUMÃ«sÄË
dOG²Ã« ‰bFÄ vÃ≈ ©lÞUIÃ« qOÄ® dOG²Ã« jÝu²Ä ‰ËR¹ ±
” sÄ ”
Æ±
” bMŽ ©”UL*« qOÄ®
”
±
” ”
lÞUÁ
’
”U2
©¥≠≤® qJAÃ«

μ∏
©±® ‰U¦Ä
Æ©μ®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ≤≠”≥´≤”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
?¼
©μ®‚ ≠ ©?¼´μ®‚
∞ ← ?¼
Ω ©μ®Ó‚
?¼
©≤≠±μ´≤μ®≠©≤≠©?¼´μ®≥´≤
©?¼´μ®®
∞ ← ?¼
Ω
?¼
≥∏≠≤≠?¼≥´±μ´≤
?¼´?¼±∞´≤μ
∞ ← ?¼
Ω
±≥ Ω
?¼
©?¼´±≥®?¼
∞ ← ?¼
Ω
?¼
≤
?¼´?¼±≥
∞ ← ?¼
Ω
©≤® ‰U¦Ä
Æ©∂®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ≥≠”≤ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∂ ≠ ”
©∂®‚ ≠ ©”®‚
∂ ← ”
Ω ©∂®Ó‚
∂ ≠ ”
≥ ≠ ≥≠”≤
∂ ← ”
Ω
ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ »dCÐ®
≥ ´ ≥≠”≤
≥ ´ ≥≠”≤
×
∂ ≠ ”
≥ ≠ ≥≠”≤
∂ ← ”
Ω
©j ³Ã« o «dÄ w
©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®
π≠ ≥ ≠ ”≤
∂ ← ”
Ω
©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®
©∂ ≠ ”®≤
∂ ← ”
Ω
≥
±
Ω
∂
≤
Ω
≥ ´ ≥≠”≤
≤
∂ ← ”
Ω

μπ
∫WEŠöÄ
bŠQÐ ÎUC¹√ UNÃ eÄd¹ ¨© ® Ó‚ Í√ ¨ Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« ÊS ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
∫WOÃU²Ã« “uÄdÃ«
Ω ” bMŽ Ó’ ¨ ” œ
’ œ
Ω ”
¸ ¨
Ω ”
¸ ©©”® ‚®” œ
œ
©≥® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
¥ Ω ”
¸ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ¨
±≠”≥
≥´”≤
Ω ©”®‚ Ω’ X½UÂ «–≈
¥ ≠ ”
©¥®‚ ≠ ©”®‚
¥ ← ”
Ω ” œ
’ œ
¥ Ω ”
¸
¥ ≠ ”
± ≠
± ≠ ”≥
≥ ´ ”≤
¥ ← ”
Ω
¥ ≠ ”
© ± ≠ ”≥
±´”≥≠≥´”≤
®
¥ ← ”
Ω
±±
±
≠ Ω
¥ ≠ ”
±
×
± ≠ ”≥
©¥ ≠ ”®≠
¥ ← ”
Ω
∫—U OÃ« sÄË 5LOÃ« sÄ WI²A*«
©”®‚Ω’Ê«d²ÁöÃ©vMLOÃ«WI²A*«®5LOÃ«sÄWI²A*«·=dF½¨—U OÃ«sÄW¹UNMÃ«Ë5LOÃ«sÄW¹UNMÃ«UM ]dŽULK¦Ä
∫UN½QÐ ´
© ®Ó‚ eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨tÃU−Ä w WFÁ«uÃ« Ω ” bMŽ
≠ ”
© ®‚ ≠ ©”®‚
´ ← ”
Ω ´
© ®Ó‚ W¾ UJÄ …—uBÐ Ë√
?¼
© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚
´∞ ← ?¼
Ω ´
© ®Ó‚
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨tÃU−Ä w Ω ” bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ ©Èd OÃ« WI²A*«® —U OÃ« sÄ WI²A*« ·dFð q¦*UÐË
≠ ”
© ®‚ ≠ ©”®‚
≠ ← ”
Ω ≠
© ®Ó‚ W¾ UJÄ …—uBÐ Ë√
?¼
© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚
≠∞ ← ?¼
Ω ≠
© ®Ó‚ ∫UN½QÐ ≠
© ®Ó‚
Æ≠
© ®Ó‚ Ω ´
© ®Ó‚ X½UÂ «–≈ jI Ë «–≈ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹Ë
Æ» ¨ sO dDÃ« bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÊuJ¹ ö ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²Áô« UÒÄ√

∂∞
©¥® ‰U¦Ä
± ≥” ¨ ”μ ´ ≤”
± <” ¨ ≤ ´ ”¥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©±®Ó‚ » ©≤®Ó‚ √ ∫n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ
¨≤ œbFÃ« —«uł w ” rOÁ lOL' ≤ ´ ”¥ Ω ©”®‚ Ê√ U0 √
≤ ≠ ”
©≤®‚ ≠ ©”®‚
≤ ← ”
Ω©≤®Ó‚ ∴
≤ ≠ ”
©≤ ´ ∏® ≠ ©≤ ´ ”¥®
≤ ← ”
Ω
≤ ≠ ”
∏ ≠ ”¥
≤ ← ”
Ω
¥
≤ ← ”
Ω
≤ ≠ ”
©≤ ≠ ”®¥
≤ ← ”
Ω
¥ Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
± ← ”
Ω ©±®Ó‚ »
± Ω ” —«uł w dOG²ð ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ Ê√ U0
± Ω ” bMŽ Èd OÃ«Ë vMLOÃ« WI²A*« »U Š vÃ≈ Q−K½ UM½S
± ≠ ”
∂ ≠ ”μ ´ ≤”
≠ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω ≠
©±®Ó‚ ∫ÎôË√
∑ Ω
± ≠ ”
©∂ ´ ”® ©± ≠ ”®
≠ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
´ ± ← ”
Ω ´
©±®Ó‚ ∫ÎUO½UŁ
± ≠ ”
¥ ≠ ”¥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©μ ´ ±® ≠ ©≤ ´ ”¥®
´ ± ← ”
Ω
¥ Ω
± ≠ ”
©± ≠ ”®¥
´ ± ← ”
Ω
Ê«d²Áô« Ê≈ WÃU(« Ác¼ q¦Ä w ‰uI½Æ …œułuÄ dOž ©±®Ó‚ Ê–≈ ´
©±®Ó‚ ≠ ≠
©±®Ó‚ Ê√ U0Ë
Æ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚

∂±
∫©vÃË_« WI²A*« Ê«d²Á«® o²A*« Ê«d²Áô«
Y×³MÝwK¹ULO ËÆtÃU−Äw Ω”…œb×ÄWDI½bMŽ©”®‚Ê«d²Áô«WI²AÄœU−¹«WOHOÂWIÐU Ã«WK¦Ä_«w UMÝ—œ
Æ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²Áô« vL ¹ dš¬ Ê«d²Á« vKŽ qB×MÃ ¨tÃU−Ä w ” WDI½ qÂ bMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« WI²AÄ w
∫n¹dFð
∫t½QÐ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²Áô« ·dF¹
?¼
©”®‚ ≠ ©?¼´”®‚
∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‚
ÆW¹UNMÃ« œułË ◊dAÐ ¨ ” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚ ∫Ë√
Æ©”®‚ ‰U−Ä sÄ WOzeł WŽuL−Ä ÎULz«œ ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ‰U−Ä Ê√ n¹dF²Ã« sÄ kŠö¹
©μ® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ¨ μ ≠ ”≥ ´≤” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
©μ ≠ ”≥ ´ ≤”® ≠ ©μ ≠ Ÿ ≥ ´ ≤Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©”≥ ≠ Ÿ ≥ ® ´ ©≤” ≠ ≤Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©” ≠ Ÿ ®≥ ´ ©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©≥ ´ ” ´ Ÿ ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
©≥ ´ ” ´ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
≥ ´ ”≤ Ω ≥ ´ ” ´ ” Ω
≥ ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚ Ê√ Í√

∂≤
©∂® ‰U¦Ä
ÆtÃU−Ä 5ŽË ©”®Ó‚ błËQ ¨ ∞ ≤” ¨ ” √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
” √ ≠ Ÿ √
” ← Ÿ
Ω
” √ ´ Ÿ √
” √ ´ Ÿ √
× © ” ≠ Ÿ
” √ ≠ Ÿ √
® ” ← Ÿ
Ω
©” √ ´ Ÿ √®©” ≠ Ÿ ®
©” ≠ Ÿ ®
” ← Ÿ
Ω
” √ ≤
±
Ω
” √ ´ Ÿ √
±
” ← Ÿ
Ω
” √ ≤
±
Ω ©”®Ó‚ ∴
ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« lOLł u¼ ©”®Ó‚ ‰U−Ä
©∑® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błË√ ¨
± >” ≥±≠ ¨ ≤”
≥ ≥” ≥± ¨ ≤ ≠ ”≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ ¤±¨±≠› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎôË√
∫ÊuJ¹ ¨ ¤±¨±≠› ∋ ” ∀
” ≠ Ÿ
≤” ≠ ≤Ÿ
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
”≤ Ω ©” ´ Ÿ ®
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω

∂≥
∫ ¤ ≥¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎUO½UŁ
∫ÊuJ¹ ¨ ¤ ≥¨±› ∋ ” ∀
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
”≥ ≠ Ÿ ≥
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©≤≠”≥® ≠ ©≤ ≠ Ÿ ≥®
” ← Ÿ
Ω
≥ Ω ” ≠ Ÿ
©” ≠ Ÿ ®≥
” ← Ÿ
Ω
± Ω ” YOŠ Ê«d²Áô« n¹dFð dOGð WDI½ bMŽ ‚UI²ýô« ∫ÎU¦ÃUŁ
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
´ ± ← ”
Ω
´
©±®Ó‚
± ≠ ”
©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ©≤ ≠ ”≥®
´ ± ← ”
Ω
≥ Ω ≥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
≥ ≠ ”≥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω
≠
©±®Ó‚
± ≠ ”
©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ≤”
≠ ± ← ”
Ω
≤ Ω ©± ´ ”®
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
± ≠ ≤”
´ ± ← ”
Ω
≠
©±®Ó‚ ≠
´
©±®Ó‚ Ê√ U0Ë
Æ…œułuÄ dOž ©±®Ó‚ ∴
ÊU²O dÞ ÊU²DI½ UL¼ ≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” Ê_ ª…œułuÄ dOž ©≥®Ó‚ pÃcÂË ¨…œułuÄ dOž ©±≠®Ó‚ ∫ÎUFÐ«—
± >” >±≠ ¨ ”≤
≥ >” >± ¨ ≥
≥¨±¨±≠ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚ ∴

∂¥
©∏® ‰U¦Ä
?¼≥
©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚
∞ ← ?¼
błËQ ¨ ±≤ Ω ©≥®Ó‚ X½UÂ «–«
∞ ← Ë ÊS ∞ ← ?¼ UÄbMŽË ¨
μ
Ë
Ω ?¼ ÊuJ² Ë Ω ?¼ μ Ê√ ÷dH½
μ
Ë
× ≥
©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚
∞ ← Ë
Ω
?¼≥
©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚
∞ ← ?¼
∴
Ë
©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚
∞ ← Ë ≥
μ
Ω
≤∞ Ω ±≤ ×
≥
μ
Ω ©≥®Ó‚ ×
≥
μ
Ω
©π® ‰U¦Ä
¥ ≠ ”
©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚
¥ ← ”
błËQ μ Ω ©±≤®Ó‚ ¨∑ Ω ©¥®Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈
±≤ ← Ÿ ÊS ¥ ← ” UÄbMŽË ¨
≥
Ÿ
Ω ” ÊuJ² Ÿ Ω ”≥ Ê√ ÷dH½
¥ ≠
≥
Ÿ
©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚
±≤ ← Ÿ
Ω
¥ ≠ ”
©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚
¥ ← ”
∴
±≤ ≠ Ÿ
©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚
±≤ ← Ÿ
× ≥ Ω
©±≤®Ó‚ × ≥ Ω
±μ Ω μ × ≥ Ω

∂μ
©≤≠≤® s¹—U9
∫ WÁöFÃUÐ …UDFÄ ”Δ´≤ vÃ≈ ≤sÄ ” dOGð sŽ W&UMÃ« ’Δ X½UÂË ©”®‚ Ω ’ X½UÂ «–≈ ±
Æ≤ Ω ” bMŽ
’œ
”œ błËQ ≤
©”Δ®≤ ´ ”Δ∂ Ω’Δ
∫UNMÄ qÂ ¡«“≈ …—uÂc*« WDIMÃ« bMŽ © błË Ê≈® WOðü« U½«d²Áô« sÄ qÂ WI²AÄ bł ¨WI²A*« n¹dFð Â«b ²ÝUÐ ≤
± Ω ” ¨ ≤
” ´ ” Ω ©”®‚ » ≤ Ω ”¨ ≥´”μ≠
≤
” Ω ©”®‚ √
± Ω” ¨
± ≥”¨ ”¥´≤”
± <”¨ ≥≠ ”∏
Ω ©”®‰ œ ¥ Ω ”¨ ¸∏≠”≤¸Ω’ ?ł
ÆUNÃU−Ä 5Ž rŁ ©”®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ”≥´μ √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
∫sÄ ÌqÂ WLOÁ błËQ ≤¥ Ω ©≥®Ó‚ X½UÂ «–≈ ¥
Ë∂
©≥®‚ ≠ ©Ë≤ ´ ≥®‚
∞ ← Ë
√
Æ©j ³KÃ ©≥®‚ ÕdÞ«Ë n{√ ∫œUý—≈®
Ë±≤
©Ë ≠ ≥ ®‚ ≠ ©Ëμ ´ ≥®‚
∞ ← Ë
»
Æ
∏ ≠ ”≤
©μ®‚ ≠ ©∑ ≠ ”≥®‚
¥ ← ”
błËQ ≥ Ω ©μ®Ó‚ X½UÂ «–≈ μ
Æ©±≠®Ó ?¼ WI²A*« n¹dFð Â«b ²ÝUÐ błËQ ¨ ©μ ´ ”≤®‚≥ Ω ©”®?¼ ÊUÂË ¨∂ Ω ©≥®Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈ ∂
≥ > ” ¨ ”μ´≤”
≥ Ω ” ¨ ≤¥
≥ < ” ¨ ≥ ≠ ”π
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ©”®Ó‚ œ ©≥®Ó‚ ?ł ´©≥®Ó‚ » ≠
©≥®Ó‚ √ ∫błËQ
‰uDÃ W³ MÃUÐ UN²ŠU Ä dOGð ‰bFÄ V Š« ÆUNKJAÐ WEH²×Ä vI³ð YO×Ð qJAÃ« WFÐdÄ W×OH œbL²ð ∏
ÆrÝ ≤∞ lKCÃ« ‰uÞ ÊuJ¹ UÄbMŽ UNFK{

∂∂
(Rules of Differentiation) ‚UI²ýô« bŽ«uÁ ≥≠≤
WI²A*« Ác¼ vKŽ ‰uB(« qON ²ÃË ¨UÄ Ê«d²Áô vÃË_« WI²A*« œU−¹« w WI²A*« n¹dFð ÎUIÐUÝ Âb ² ½ UMÂ
∫WOÃU²Ã« bŽ«uIÃ« Â«b ²Ý« UMMJ1
∫©±® …bŽUÁ
∋”∀ ∞ Ω ©”®Ó‚ ÊS ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
?ł ≠ ?ł
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
©”®‚≠©?¼´”®‚
?¼ ∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ∞
∞ ← ?¼
Ω
∞
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
©±® ‰U¦Ä
Æ©≥®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ ±μ √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∋” rOÁ lOL' ∞ Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ©≥®Ó‚ ∴
∫©≤® …bŽUÁ
±≠Ê”Ê Ω ©”®Ó‚ ÊS ™
◊ ∋Ê ¨ Ê” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
Ê” ≠ ÊŸ
” ← Ÿ
Ω
©≤∞ W×H rOLF²Ã« dE½«® ±≠Ê”Ê Ω

∂∑
©≤® ‰U¦Ä
Æ©≤≠®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ ¨ μ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∋” rOÁ lOL' ¨ ¥”μ Ω ©”®Ó‚
∏∞ Ω ¥
©≤≠® × μ Ω ©≤≠®Ó‚ ∴
∫©≥® …bŽUÁ
∫ÊS ∋ ?ł X½UÂË ¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ¨ ©”®‚ sÄ qÂ ÊUÂ «–≈
Æ©”®Ó‚ × ?ł Ω ©”®Ó„ ÊuJ¹Ë¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚ × ?ł Ω ©”®„ ±
Æ©”®Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω ©”®ÓŸ ÊuJ¹Ë¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®Ÿ ≤
Æ©”®Ó ?¼ ≠ ©”®Ó‚ Ω©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®?¼ ≠ ©”®‚ Ω ©”®‰ ≥
∫ÊU¼d³Ã«
Ë
©”®„ ≠ ©Ë ´ ”®„
∞ ← Ë
Ω ©”®Ó„ ±
Ë
©”®‚ ?ł ≠ ©Ë ´ ”®‚ ?ł
∞ ← Ë
Ω
Æ©”®Ó‚ ?ł Ω Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
?ł Ω
Ë
©”®Ÿ ≠ ©Ë ´ ”®Ÿ
∞ ← Ë
Ω ©”®ÓŸ ≤
Ë
©©”®?¼ ´ ©”®‚®≠ ©©Ë ´ ”®?¼ ´ ©Ë ´ ”®‚®
∞ ← Ë
Ω
Ë
©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼®´ ©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚®
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼
∞ ← Ë
´ Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Æ»uKD*« u¼Ë ©”®Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω
ÆVÃUDKÃ ÊU¼d³Ã« „d²¹ ≥

∂∏
©≥® ‰U¦Ä
Æ©≤®Ó‚ błËQ ≤” ´≥”μ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
”≤ ´≤”±μ Ω ”≤ ´≤”≥ × μ Ω ©”®Ó‚
∂¥ Ω ≤ × ≤ ´ ≤
©≤® × ±μ Ω ©≤®Ó‚ ∴
∫rOLFð
∫t½√ Í√ ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã ©≥® …bŽUÁ rOLFð sJ1
¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ WKÐUÁ U½«d²Á« ©”®Ê
‚ ¨ÆÆÆ ¨©”®≤
‚ ¨ ©”®±
‚ X½UÂ «–≈
∫ÊS ∋ Ê
?ł ¨ ÆÆÆ¨≤
?ł¨±
?ł X½UÂË
Æ©”®Ê
Ó‚Ê
?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®≤
Ó‚ ≤
?ł ∓ ©”®±
Ó‚ ±
?ł ΩÓ
©©”®Ê
‚ Ê
?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®≤
‚ ≤
?ł ∓ ©”®±
‚ ±
?ł®
∫’UšÌtłuÐË
‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚ ÊS ¨œËbŠ dO¦Â ÎU½«d²Á« ∞
´ ”±
´ ÆÆÆ ´ ±≠Ê”±≠Ê
´ Ê”Ê
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
±
´ ÆÆÆ ´ ≤≠Ê” ©±≠Ê® × ±≠Ê
´ ±≠Ê”Ê × Ê
Ω ©”®Ó‚ ÊuJ¹Ë ¨ ∋”∀
©¥® ‰U¦Ä
Æ©”® ?Ó ?¼ błËQ ±± ´ ”μ ≠≤”¥ ´ ≥”≥ ≠ ¥”≤ Ω ©”® ?¼ ÊUÂ «–≈
μ ≠ ”∏ ´ ≤”π ≠ ≥”∏ Ω©”® ?Ó ?¼
©μ® ‰U¦Ä
± Ω ©≤® ?Ó ?¼ ¨μ Ω ©≤®?¼ ¨©”®?¼≥´©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂË ¨”≥´≤” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ©≤®Ó‰ błËQ
©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©”®Ó‚Ω ©”®Ó‰
©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ”≤® Ω
©≤® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ≤ × ≤® Ω ©≤®Ó‰ ⇐
±∞ Ω ± × ≥ ´ ∑ Ω

∂π
∫©¥® …bŽUÁ
∫sO½«d²Á« »d{ q UŠ WI²AÄ
∫ÊS ©”®?¼ × ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂË ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”®‚ sÄ yqÂ ÊUÂ «–≈
Æ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚ Ω ©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
Ë
©”®‰ ≠ ©Ë ´ ”®‰
∞ ← Ë
Ω ©”®Ó‰
Ë
©”®?¼ × ©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ × ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®?¼ ©”®‚ ≠ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ´ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
©j ³Ã« w ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ —«bI*« ÕdÞË W U{UÐ®
Ë
©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚®©”®?¼ ´ ©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼®©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
©”®?¼
∞ ← Ë
´ Ë
©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼
©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Æ»uKD*« u¼Ë ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚ Ω
‰Ë_« WI²AÄ × w½U¦Ã« ´ w½U¦Ã« WI²AÄ × ‰Ë_« Ω ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« »d{ q UŠ WI²AÄ Ê√ Í√
©∂® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ ¨©¥´”≥®©±≠”μ´≤”® Ω ’ X½UÂ «–≈
©μ´”≤® ©¥´”≥® ´ ≥ × ©±≠”μ´≤”® Ω ” œ
’ œ
≤∞´”≤≥´≤”∂ ´ ≥≠”±μ´≤”≥ Ω
±∑´”≥∏´≤”π Ω

∑∞
¥≠”±∑´≤”±π´≥”≥Ω ’ ÊuJð dýU³*« »dCÃUÐ t½√ kŠô
Æ5²−O²MÃ« oÐUDð kŠô ±∑´”≥∏´≤”π Ω ” œ
’ œ
UNMÄË
©∑® ‰U¦Ä
Æ©±®Ó‚ błËQ ©≥≠”´≤”≠≥”≤®©±´”¥≠≤”≤´≥”® Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©¥≠”¥´≤”≥®©≥≠”´≤” ≠≥”≤®´©±´”≤≠≤”∂®©±´”¥≠≤”≤´≥”® Ω ©”®Ó‚
∫vKŽ qB×½ ± Ω ” i¹uF²ÐË
≥≠ Ω ≥ × ±≠ ´ μ × dH Ω ©±®Ó‚
©∏® ‰U¦Ä
Æ¥ Ω ©≤®?¼ ¨μ Ω ©≤®Ó ?¼ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤®Ó‚ błËQ ¨©”®?¼×©±±≠”μ´≤”®Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
©μ´”≤® × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼×©±±≠”μ´≤”® Ω ©”®Ó‚
π × ©≤®?¼ ´ ©≤®Ó ?¼ × ≥ Ω ©≤®Ó‚ ⇐
∫Z²M¹ i¹uF²ÃUÐ
μ± Ω π ×¥ ´ μ × ≥ Ω ©≤®Ó‚
∫Ê«d²Á« »uKIÄ WI²AÄ ∫©μ® …bŽUÁ
∫ÊS ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ ÊUÂË ¨∞ ≠ ©”®‚ ¨
©”®‚
±
Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈
≤
©©”®‚®
©”®Ó‚≠
Ω ©”® Ó‰ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
?¼
©”®‰ ≠ ©?¼ ´ ”®‰
∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‰
©©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
©?¼´”®‚ ≠ ©”®‚
® ?¼
±
∞ ← ?¼
Ω
©©”®‚
±
≠
© ?¼ ´ ”®‚
±
® ?¼
±
∞ ← ?¼
Ω

∑±
©©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
±
×
?¼
©©”®‚≠©?¼´”®‚®±≠
® ∞ ← ?¼
Ω
©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
±
∞ ← ?¼
×
?¼
©©”®‚≠©?¼´”®‚®
∞ ← ?¼
±≠ Ω
≤
©©”®‚®
©”®Ó‚≠
Ω ≤
©©”®‚®
±
× ©”®Ó‚ × ±≠ Ω
∫sO½«d²Á« WL Á ZðU½ WI²AÄ∫©∂® …bŽUÁ
∫ÊS ∞ ≠ ©”®?¼ ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®?¼ ¨©”®‚ sÄ qÂ ÊUÂ «–≈
≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚©”®?¼
Ω ©”®Ó‰ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ
©”®?¼
©”®‚
Ω©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
∞ ≠ ©”®?¼ ¨
©”®?¼
±
× ©”®‚ Ω
©”®?¼
©”®‚
Ω ©”®‰
” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÊöÐUÁ
©”®?¼
±
¨©”®‚ Ê√ U0Ë
∫ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰ Ê«d²Áô« u¼Ë »dCÃ« q UŠ ∴
©”®?¼
±
× ©”®Ó‚ ´ ≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼≠
× ©”®‚ Ω ©”®Ó‰
©”®?¼
©”®Ó‚
´ ≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ ©”®‚≠
Ω
≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©”®?¼
Ω ≤
©©”®?¼®
©”® ?¼ × ©”®Ó‚ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚≠
Ω
≤
©ÂUILÃ«®
ÂUILÃ« WI²AÄ × j ³Ã« ≠ j ³Ã« WI²AÄ × ÂUILÃ«
Ω ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« WL Á "U½ WI²AÄ Ê√ Í√
©π® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ¨
≤
μ
≠ ” ¨
μ≠ ”≤
± ´ ”≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
≤
μ
≠ ” ¨ ≤
©μ ≠ ”≤®
±∑≠
Ω ≤
©μ ≠ ”≤®
≤ × ©± ´ ”≥® ≠ ≥ × ©μ ≠ ”≤®
Ω ©”®Ó‚

∑≤
©±∞® ‰U¦Ä
∫ÊQÐ ÎULKŽ ©≥®Ó ?¼ błËQ ¨
μ
∂≠
≠ ” ¨
∂ ´ ”μ
©”®‚
Ω ©”®?¼ ÊUÂ «–≈
∑
±
Ω ©≥®Ó‚ ¨ ±μ Ω ©≥®‚
≤
©∂ ´ ”μ®
μ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©∂ ´ ”μ®
Ω ©”®Ó ?¼
©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤
©≤±®
μ × ©≥®‚ ≠ ©≥®Ó‚ ≤±
Ω ©≥®Ó ?¼ ⇐
∫Ê√ Z²M¹ ©±® w i¹uF²ÃUÐ
¥π
∏≠
Ω
¥¥±
∑≤≠
Ω ≤
©≤±®
μ × ±μ ≠
∑
±
× ≤±
Ω ©≥®Ó ?¼
∫W−O²½
±≠Ê≠” Ê≠ Ω ” œ
’ œ
∫ÊS ™
◊ ∋ Ê ∫Ê≠” Ω ’ X½UÂ «–≈
ÆW³ÃU Ã« W×O×BÃ« fÝ_« WÃUŠ w ÎUC¹√ o³DMð W³łu*« W×O×BÃ« fÝ_« WÃUŠ w ‚UI²ýô« …bŽUÁ Ê√ Í√
∫ÊU¼d³Ã«
™
◊ ∋ Ê ¨ Ê”
±
Ω Ê≠” Ω ’
±≠Ê≠”Ê≠ Ω Ê≤≠±≠Ê”Ê≠ Ω Ê≤”
±≠Ê”Ê≠
Ω ” œ
’ œ
©±±® ‰U¦Ä
Æ©≤®Ó‚ błËQ ≥≠” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
¥”
≥≠
Ω ¥≠”≥≠ Ω ©”®Ó‚
±∂
≥≠
Ω ¥
≤
≥≠
Ω ©≤®Ó‚ ⇐

∑≥
©±≤® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ∞ ≠ ” ¨ ≤”
¥
´ ”≤
μ
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∞ ≠ ” ¨ ≤≠”¥ ´ ±≠”
≤
μ
Ω ©”®‚
≥≠”≤≠ × ¥ ´ ≤≠”±≠ ×
≤
μ
Ω ©”®Ó‚ ⇐
≥”
±
× ∏ ≠ ≤”
±
×
≤
μ≠
Ω
≥”
∏
≠ ≤”≤
μ≠
Ω
∫UOKFÃ« UI²A*«
Ê«d²ÁöÃo²A*«Ê«d²Áô«vL ¹dš¬ÎU½«d²Á«q¦9©”®Ó‚WI²A*«ÊS ¨‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁÎU½«d²Á«©”®‚Ω’ÊUÂ«–≈
WI²A*« vL ð © ” œ
’ œ
® ” œ
œ
Í√ o²A*« Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*«Ë Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ ©”®‚
eÄd¹ q¦*UÐË Æ©”®Î‚ Ë√ ¨©lOÐdð ” ‰«œ ’ 5MŁ« ‰«œ √dIðË® ≤” œ
’≤
œ
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WO½U¦Ã«
Æ©”®©≥®
‚ Ë√ ≥” œ
’≥
œ
Ë√ ©≤” œ
’≤
œ
® ” œ
œ
eÄdÃUÐ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ W¦ÃU¦Ã« WI²ALKÃ
Ê” œ
’Ê
œ
Ë√ ©”® ©Ê®
‚ eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹ w²Ã«Ë ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ WO½uMÃ« WI²A*« ·dF½ UM½S ¨ÂUŽ tłuÐË
Æ ©±≠Ê” œ
’±≠Ê
œ
® ” œ
œ
UN½QÐ
©±≥® ‰U¦Ä
Æ ≤ ´ ”μ ´≥”≤ ≠¥” Ω ’ Ê«d²ÁöÃ W¦ÃU¦Ã«Ë WO½U¦Ã«Ë vÃË_« WI²A*« bł
μ ´≤”∂ ≠≥”¥Ω ” œ
’ œ
”±≤≠≤”±≤ Ω ©μ´≤”∂≠≥”¥® ” œ
œ
Ω ≤” œ
’≤
œ
±≤ ≠ ”≤¥ Ω ©”±≤ ≠≤”±≤® ” œ
œ
Ω ≥” œ
’≥
œ

رياضيات 2ث فلسطين ج1

رياضيات 2ث فلسطين ج1

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

رياضيات 2ث فلسطين ج1