1. Unidad 3
NOTA: Leer muy bien las consignas antes de resolver los ejercicios. Leer comprensivamente todas las notas y
observaciones del material de estudio. Si pensás que no se entiende, podés consultar otros libros (siempre
teniendo en cuenta los conceptos que en este curso se consideran válidos, ya que según la posición del autor
puede haber diferencias). Por último, no sólo deben preocuparse por resolver los ejercicios, sino tratar de
obtener conclusiones de ellos.
1) La temperatura aumentó durante todo el período de registro para las sustancias 1, 2, 5, 9 y 10.
La temperatura descendió durante todo el período de registro para las sustancias 3, 4 y 7.
Esto no lo piden: Para la sustancia 8 la temperatura se mantuvo constante (no aumentó ni descendió) y para la 6
disminuyó hasta la tercera hora, y a partir de ahí aumentó durante las dos horas siguientes.
2)
Sustancia
1
2
T. inicial
T. final
T. 1ra hora
T. 2da hora
T. 3ra hora
0°c
10°c
2°c
4°c
6°c
0°c
10°c
0,4°c
1,6°c
3,6°c
2.3) La sustancia 1 aumentó su temperatura a velocidad constante (Por cada hora que transcurre aumenta 2°c)
En cambio, en la sustancia 2 la velocidad con la que aumenta la temperatura no es siempre la misma (En la 1ra
hora aumentó 0,4°c, en una hora más aumentó 1,2°c y a la hora siguiente aumentó 2°c)
3)
Sustancia
3
4
T. inicial
T. final
T. 1ra hora
T. 2da hora
T. 3ra hora
6°c
-4°c
5,6°c
4,4°c
2,4°c
6°c
-4°c
4°c
2°c
0°c
3.3) La sustancia 4 disminuyó su temperatura a velocidad constante (Por cada hora que transcurre disminuye
2°c) En cambio, en la sustancia 3 la velocidad con la que disminuye la temperatura no es siempre la misma (En la
1ra hora disminuyó 0,4°c, en una hora más disminuyó 1,2°c y a la hora siguiente disminuyó 2°c)
4) Las sustancias 1, 5 y 9 aumentaron su temperatura en forma constante. Las sustancias 4 y 7 disminuyeron su
temperatura en forma constante. Sus gráficos son líneas rectas inclinadas (eso es lo que tienen en común)
5) Observando la sustancia 5:
5.1) Temperatura inicial: 1°C
5.2) Temperatura 1 hora después: 1,5°C
Temperatura 2 horas después: 2°C
5.3)
Tiempo (h)
0
1
2
3
4
5
Temperatura 1
1,5
2
2,5
3
3,5
(°C)
5.4) Su temperatura se modificó a ½ grado centígrado (0,5°C ) por cada hora transcurrida
5.5) T = ½ . t + 1 (La temperatura aumentó ½ grado por hora (1/2 .h), y a ese aumento se le suma 1°C que tenía
al comenzar el registro) (T es temperatura y t es tiempo)
6) Observando la sustancia 7:
6.1) Temperatura inicial: 5°C
2. 6.2)
Tiempo (h)
0
1
2
3
4
5
Temperatura 5
4
3
2
1
0
(°C)
6.3) Su temperatura se modificó a – 1 grado centígrado por cada hora transcurrida. (-1 porque la temperatura
disminuye)
6.4) T = -1. T +5 (es lo mismo que T = - t+5)
7) Observando la sustancia 8:
Tiempo (h)
0
1
2
3
4
5
Temperatura 3
3
3
3
3
3
(°C)
La temperatura inicial es 3°c. La fórmula es T = 0.t +3 (es lo mismo que T = 3) (No depende del tiempo, la
temperatura es constante, siempre es 3°c)
Observando la sustancia 9:
Tiempo (h)
0
1
2
3
Temperatura -4
-1
2
5
(°C)
La temperatura inicial es -4°c. La fórmula es T = 3.t – 4
4
8
5
11
8) 8.1) El valor de la velocidad con la que varió la temperatura aparece, en cada fórmula, en el término que
contiene la variable t.
T=½.t+1
T = -1. T +5
T = 0.t +3
T = 3.t – 4
8.2) La temperatura inicial se ve en el término independiente (el que no contiene a t)
T = ½ .t + 1
T = -1. T +5
T = 0.t +3
T = 3.t – 4
9) T = 1/3. t +2
9.1) El 2 indica que al comenzar el registro la temperatura es de 2°c
9.2) 1/3 indica que por cada hora que transcurre, la sustancia aumenta 1/3°C (0.333…)
3. 9.3)
10) Sustancia 12
10.1) T= - 3.t +9
10.2)
10.3) No, no hay dos instantes de tiempo en que la sustancia tenga la misma temperatura. Por lo tanto, la
función es inyectiva.
10.4) La imagen de la función es el intervalo
(Hallé las temperaturas inicial y final) pero el conjunto de
llegada que yo elegí es . Como la imagen no es igual al conjunto de llegada, la función que definí no es
sobreyectiva.
11)
Sustancia
Función
7
8
9
Inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
Si
Si
Si
1
4
5
No
No
No
No
No
No
Si
No
No
No
No
No
Si
No
No
NOTA: Si como conjunto de llegada ustedes eligieron la imagen de cada función, en ese caso SÍ son
sobreyectivas. Por lo tanto todas, excepto la 8, serán biyectivas.
12)
Si
Como C y B son números reales (
quedaría y= constante. Por ejemplo, y= 3. En este caso, el gráfico sería
una recta horizontal (Como el de la sustancia 8)
4. En este caso, la ecuación es x= constante. En este caso, el gráfico sería una recta vertical.
Las rectas horizontales son funciones lineales, pero las rectas verticales no son funciones (ya que un mismo valor
de x tiene infinitas imágenes)
13)
Sustancia
5
7
8
9
Fórmula general o explícita
T=½.t+1
T = - t+5
T=3
T = 3.t – 4
(“Pasé” T restando al otro miembro de la igualdad)
Fórmula implícita
½ t+1-T = 0
-t+5 – T = 0
3-T = 0
3t-4 –T = 0
14) Sustancia 13: Para ver la temperatura inicial y la velocidad con la que varía la temperatura la fórmula debe estar
en su forma explícita o general. Para ello, despejo “y” de la ecuación implícita que nos dieron:
14.1) La temperatura inicial es ½ .
14.2) Modificó su temperatura a -3/2 (o -1,5) grados por hora.
15) Sustancia 14: Si aumentó 1/5 por hora, en 5 horas aumentó 5. 1/5= 1°c. Si al finalizar tenía -4c, al comenzar
tenía 1 grado menos, es decir -5°c. Por lo tanto, su fórmula es: T= 1/5. t – 5
Sustancia 15: en la hora 2
4°C
en la hora 4
5°C
Podemos ver que en dos horas aumentó 1°C, entonces en una hora aumentó ½ °C (esa es la velocidad). Si
aumenta ½ °C por cada hora, en el inicio tenía 1°C menos de la temperatura que tenía en la hora 2. Así que la
temperatura inicial es 3°C. Por lo tanto, su fórmula es T= 1/2. t +3
16) Si
no se puede calcular la pendiente con la fórmula dada en Notas y observaciones N°27. Esto ocurre
porque la recta que resultaría es una recta vertical con ecuación x = k, que ya dijimos antes que NO es función
lineal. Esta recta no tiene pendiente.
5. 17) Es conveniente escribir cada fórmula en su forma general o explícita y= mx+b
17.1)
La función es
17.2)
. En este caso no nos dan b como dato, pero nos dan un punto que, por pertenecer al gráfico,
satisface la ecuación. Podemos reemplazarlo en la fórmula y despejar b ( El par ordenado (- 1; -17) significa que
cuando x = -1, y = -17)
Por lo tanto, la fórmula es
Y la función es
17.3) En este caso nos dan dos pares ordenados (es decir dos puntos). Cuando x=0 , y= 1 (El par es (0;1)) y
cuando x= 2, y = 5 (El par (2;5))
Podemos usar la pendiente usando la fórmula
(Es lo mismo:
)
Entonces,
. Podemos usar cualquiera de los dos puntos dados para hallar b como hicimos en el caso
anterior. Elijo el punto (0;1) porque me facilita las cuentas:
La fórmula es
y la función es
17.4) Se hace igual que el anterior, ya que me vuelven a dar dos puntos.
La fórmula es
y la función es
17.5) Se hace igual que el anterior, ya que me vuelven a dar dos puntos. En este caso, la pendiente es 0.
La fórmula es
y la función es
6. 18)
(es lo mismo que escribir
)
Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva
(Se calcula resolviendo
)
Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva
Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva.
7. )
Es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, es biyectiva.
NO es inyectiva ni sobreyectiva (Sería sobreyectiva si hubiese elegido
definí la función). Por lo tanto, NO es biyectiva.
como conjunto de llegada cuando
NOTA: El conjunto de ceros, para cualquier función, se calcula igualando a cero la función, y despejando x
18.4) Calculo las funciones inversas sólo para aquellas funciones que sean biyectivas (de lo contrario, la inversa
no sería función):
Función
Función inversa
19) Sustancia 16: modificó su temperatura a 0,5°C por hora (igual que la 15) y la temperatura inicial es 0°c.
19.1)
Tiempo (h)
0
Temperatura 0
(°C)
1
0,5
2
1
3
1,5
4
2
5
2,5
19.2)
Se observa que, en cada caso, el cociente T/t da 0,5 (es decir, el cociente es constante, porque siempre da lo
mismo)
8. 19.3) Fórmula:
(es lo mismo que
)
19.4) Función:
19.5) Para la sustancia 15, cuya fórmula es
Tiempo (h)
0
Temperatura 3
(°C)
1
3,5
;
2
4
3
4,5
;
4
5
;
5
5,5
;
En este caso, el cociente T:t no es constante, sino que siempre es distinto.
20) Verdadero, Falso, Falso
21) Sí, en la sustancia 1. En ese caso, la constante de proporcionalidad es 2=m.
La función correspondiente es
22) Lo que dicen Jimena y Roberta es FALSO (sólo es verdadero si
y
simultáneamente, que es lo que
nos enseñan en la escuela cuando vemos magnitudes directamente proporcionales)
23) Sustancia 17:
23.1)
Tiempo (h)
0
Temperatura 0
(°C)
1
-0,5
2
-1
23.2)
constante)
23.3) Fórmula:
3
-1,5
4
-2
5
-2,5
. Se puede observar que el cociente
es siempre el mismo (es
. Esta fórmula tiene el formato
23.4) Sí, son directamente proporcionales.
23.5) Si hubiésemos dicho que lo que Jimena y Roberta es verdadero, con este ejemplo vemos que no lo es.
23.6) Le diría que:
Para saber si dos magnitudes son directamente proporcionales (MDP), el cociente y/x debe ser constante (es
decir: y/x=k)
Todas las funciones lineales que tengan la forma
directa.
(con b=0 y
) son funciones de proporcionalidad
En un gráfico, nos damos cuenta de que lo son porque la recta pasa por el origen (es decir, por el punto (0;0))
9. 24)
Si, por ejemplo, se cobrara $2 el minuto, más $20 fijos, la fórmula para calcular el monto a pagar por las
llamadas sería: y=2x+20. Por lo tanto, no corresponde a MDP, pues no tiene la forma
.
. No es función lineal (es cuadrática), por lo tanto, el área y la medida del lado de un cuadrado no
son MDP.
. Sí, el perímetro y la medida del lado de un cuadrado son MDP.
Sí, son MDP, pues
25) 25.1) Estas rectas son paralelas entre sí. Sus pendientes son iguales.
25.2)
25.3) Esta recta es perpendicular a las otras dos. Su pendiente está invertida y con el signo contrario a la de
aquellas.
NOTA: Posiciones entre dos rectas:
Paralelas propiamente dichas: son aquellas que nunca se cortan (en el sistema de referencia de la geometría
euclideana, que es con la que trabajamos nosotros)
Paralelas coincidentes: Son aquellas que se cortan en infintos puntos (se superponen)
Secantes: Son aquellas que se cortan (o se cruzan) en un solo punto. Las rectas secantes pueden ser
perpendiculares, si al cortarse forman un ángulo de 90° entre sí, u oblicuas en los demás casos (es decir,
cuando al cortarse no forman un ángulo de 90°)
26) Si dos rectas tuvieran pendientes iguales a cero, serían dos rectas horizontales, y paralelas entre ellas (Todas las
rectas de pendiente cero son horizontales)
10. 27) Si la recta
tuviera pendiente
debería ser vertical.
, sería una recta horizontal. Una recta que fuera perpendicular a ella
28) Vamos a escribir la fórmula general para ver cuál es la pendiente de la recta que nos dan:
Su pendiente es
28.1) Para que las rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de una recta
paralela a L debe ser
.
28.2) Una recta paralela a L tendrá una ecuación de forma
puedo escribir, por ejemplo,
. Como nos pide una cualquiera,
.
28.3) Sabemos que la pendiente debe ser
y que debe pasar por el punto (3; -7). Hallo la ecuación igual que
hicimos en el ejercicio 17.2 y queda:
28.4) Para que sean perpendiculares, el producto entre las pendientes debe dar -1:
(Para no hacer este cálculo, basta con invertir la pendiente y cambiar el signo)
28.5) Como nos pide una recta perpendicular cualquiera, el valor de b lo puedo elegir yo. Elijo b=0 y queda:
.
28.6) La recta que piden debe tener pendiente
ejercicio 17.2, queda:
y pasar por el punto (5;4). Resolviendo nuevamente como en el
.
29) Los problemas los tengo manuscritos. Quien los quiera puede fotocopiarlos.
30) 30.1) Sí, en el instante t=1 tuvieron la misma temperatura. Esa temperatura fue T= 4°c
30.2) Utilizando sólo las fórmulas:
Sé que hay un instante en que la temperatura de la sustancia 4 fue igual a la de la sustancia 7. Lo escribo así:
Pero
y
. Entonces:
11. Como habíamos dicho, alcanzan la misma temperatura cuando t=1. Si reemplazamos en cualquiera de las dos fórmulas dadas,
hallaremos T=4:
30.3) En este caso no hubo instantes en los que las temperaturas fueran iguales.
30.4) Trato de ver si hubo algún momento en el que las temperaturas fueran iguales, usando las fórmulas:
¡Llegamos a un absurdo! Esto ocurre porque nunca las temperaturas de estas dos sustancias van a ser iguales.
31)
Si
el sistema tiene sólo una solución (Es un sistema con dos rectas secantes)
Si
el sistema no tiene solución (Es un sistema con dos rectas paralelas propiamente dichas)
Si
el sistema tiene infinitas soluciones (Es un sistema con dos rectas paralelas coincidentes)
32) No nos compliquemos mucho, usemos un solo método de resolución (o, a lo sumo, dos). Los más comunes son
el de igualación y el de sustitución.
32.1) Lo hago por el método de igualación:
Despejo una misma variable en ambas ecuaciones:
Igualo:
Ahora reemplazo en alguna de las ecuaciones y obtengo el valor de y correspondiente:
Este sistema tiene sólo una solución, el punto (4;-1) (es decir que son dos rectas secantes que se cortan sólo en un
punto)
12. Clasificación: Sistema compatible determinado
32.2) En este caso, al resolver el sistema (lo dejo para ustedes) llegamos a que 8=8. Como esto es cierto, este
sistema tiene infinitas soluciones. Es decir que se trata de dos rectas paralelas coincidentes.
Clasificación: Sistema compatible indeterminado
32.3) Lo hago por el método de sustitución:
Reemplazo y=x-1 en la primera ecuación, para que quede todo en función de una sola variable:
¡Absurdo! Significa que se trata de rectas paralelas que nunca se cortan. Este sistema no tiene solución.
Clasificación: Sistema incompatible
33) En este ejercicio no se pueden utilizar los métodos de resolución, por eso nos da la Pista (hay que tener en
cuenta el ejercicio 31). Primero despejemos “y” de cada ecuación, de modo que podamos ver la forma explícita
o general de la recta, que es donde podemos identificar la pendiente y ordenada al origen.
33.1)
Para que el sistema tenga sólo una solución, las pendientes deben ser distintas.
(En este caso,
y
)
Entonces:
Para que tenga sólo una solución,
puede ser cualquier valor real, excepto 4.
Para que el sistema no tenga solución, las pendientes deben ser iguales, pero las ordenadas al origen no.
cuando
cuando
.
2 (Hallé este valor haciendo
)
Para que el sistema tenga infinitas soluciones, tanto las pendientes como las ordenadas al origen deben ser
iguales.
cuando
cuando
.
2
13. 33.2) Despejamos “y” de cada ecuación:
Para que el sistema tenga sólo una solución, las pendientes deben ser distintas.
Entonces:
Para que tenga sólo una solución,
puede tomar cualquier valor real, excepto 4 y -4.
Para que el sistema no tenga solución, las pendientes deben ser iguales, pero las ordenadas al origen no.
cuando
o cuando
Vamos a ver cuándo
:
Pero hay dos posibles valores de
*Si
.
: Uno es 4 y el otro -4:
:
Entonces:
* Si
:
Entonces:
Por lo tanto, para que no tenga solución
debe ser igual a 4 o a -4.
Si
es igual a 4,
debe ser distinto de -2.
Si
es igual a -4,
debe ser distinto de 2.
Para que el sistema tenga infinitas soluciones, tanto las pendientes como las ordenadas al origen deben ser
iguales.
cuando
cuando
.
2
14. 34) 34.1) Llamo
a la edad del padre e
a la edad del hijo.
Lo traduzco a un sistema de dos ecuaciones:
Lo resuelvo (voy a usar sustitución):
Respondo la pregunta: El padre tiene 40 años y el hijo tiene 20.
34.2)
= cantidad de billetes de un dólar
= cantidad de billetes de 5 dólares
Al resolver obtengo que
, lo que significa que:
Rta: Darío contó mal, ya que
34.3)
= cantidad de billetes de 5 , debe ser un número entero.
cantidad de empleados de la primera oficina
cantidad de empleados de la segunda oficina
Al resolver obtengo:
y
.
Rta: Originalmente, había 21 empleados en la primera oficina y 7 en la segunda.
34.4)
Al resolver obtengo que
Rta: Cada una de las partes del capital es de $50000.
35) 35.1) La temperatura de la sustancia 4 fue menor que la de la 7 entre la primera y última hora, es decir en el
intervalo
. En la representación podemos verlo porque el gráfico de la 4 está por debajo del de la 7.
La temperatura de la sustancia 4 fue mayor que la de la 7 entre la hora 0 y 1, es decir en el intervalo
la representación podemos verlo porque el gráfico de la 4 está por encima del de la 7.
. En
15. 35.2) Utilizando las fórmulas:
Lo que es lo mismo que escribir:
(Ustedes planteen y resuelvan
)
35.3) En todo el período de registro
la temperatura de la sustancia 15 es superior a la de la 16 (su gráfica
siempre está por encima del de la 16). Nunca fue inferior.
36) 36.1)
Esto es cierto: cero es mayor que -3. Por lo tanto, para cualquier valor de x, siempre x+8 será mayor que x+5 (Si
graficáramos estas dos rectas veríamos que son paralelas y que la primera está siempre por encima de la
segunda)
Sol.= R
36.2)
(ya sabemos que no tiene solución: nunca x+8 estará debajo de x+5)
Esto es falso, entonces esta inecuación no tiene ninguna solución.
Sol.=
36.3)
Sol:
36.4)
16. Sol:
36.5)
Sol:
36.6)
(escribir esto es lo mismo que lo anterior)
Sol:
37) 37.1)
cantidad total de monedas
cantidad de monedas que recibe Eduardo =
=
cantidad de monedas que recibe Esteban
cantidad de Raúl =
Pero
Entonces, la inecuación queda:
Rta: Esteban recibe entre 38 y 4º monedas, es decir que recibe 39 monedas.
37.2) Llamo x al número de dos cifras.
17. Rta: Los números pueden ser 10 u 11.
37.3)
edad de Pablo = 11
edad de Juan =
edad de Pedro
La suma de las edades de Juan y Pedro no alcanza la de Pablo:
Rta: Pedro tiene 1 año
38) 38.1) Al comenzar el mes de marzo tenía $1500 (f(0)= -50.0+1500)
38.2) La cantidad de dinero disminuyó a una velocidad de 50 pesos por día a lo largo del mes.
38.3) Sí, en el día 30 se quedó sin dinero. (Planteo la ecuación -50.x+1500= 0, y despejo x)
38.4) En lenguaje matemático, calculé la raíz (o cero) de la función. También podría decir que calculé la
preimagen de 0.
38.5) f(30)= -50. 30 + 1500 = 0
En términos de la situación, este valor indica que en el día 30 Ignacio se quedó sin dinero.
38.6) El conjunto imagen estará formado por las cantidades de dinero final e inicial. Imagen =
38.7) Debemos ver cuándo f(x)>500
-50x+1500 > 500
x < (500-1500)/-50
(Recordá que en una inecuación, al pasar un número negativo multiplicando o dividiendo se invierte la
desigualdad)
x < 20
Entre el día 0 y el día 20 Ignacio tuvo más de $500. Sol:
38.8)
18. 39) 39.1) El que fue tratado con Acelerator inicialmente medía 51mm. El que no fue tratado, 50mm.
39.2) La altura del tulipán tratado con Exatión varió a una velocidad de 5 mm por día. La velocidad de
crecimiento del que no fue tratado es de 4mm por día.
39.3) En el punto 39.1 calculé las ordenadas al origen y en el punto 39.2 las pendientes.
39.4) Funciones:
Con Acelerator:
Con Exatión:
Sin fertilizante:
39.5)
Transcurrieron tres semanas hasta que el tulipán tratado con Exatión alcanzó
una altura de 78mm. En términos matemáticos, calculé la preimagen de 78.
39.6) ¿
?
En la semana 12 tendrían la misma altura, pero el período de observaciones sólo llegaba hasta la semana 8. Por
lo tanto la respuesta es NO, no alcanzaron la misma altura durante el período observado.
39.7)
19. 39.8) Elegiría el fertilizante Acelerator, ya que hace crecer los tulipanes a mayor velocidad.
40) 40.1) Función:
40.2) El conjunto imagen estará formado por los importes a cobrar entre el viaje mínimo y el máximo. Por el
mínimo viaje se pagará
. Por el viaje máximo:
.
Imagen=
40.3)
. Un cliente que hace un viaje de 32 km debe pagar $24,36.
. Un cliente que hace un viaje de 58 km debe pagar $34,80.
En lenguaje de las funciones calculé las imágenes de 32 y de 58.
40.4) Ya vimos en 40.3 que por un viaje de 58 km se paga $34,80
Vamos a ver si hay otro viaje (en el otro tramo) por el que se pague lo mismo:
Como este valor de x pertenece al tramo analizado, entonces sí hay otro viaje por el que se pagan $34,80 (No es única la
respuesta). Ese otro viaje es de 50Km.
En términos de la función, calculé la preimagen de 34,8.
40.5) No, la función no es inyectiva, ya que hay dos valores de x que tienen la misma imagen:
(Otra forma de decirlo es: no es inyectiva porque una misma imagen tiene dos preimágenes distintas)
.
20. Situación 10
1) En los cuatro primeros casos la distancia considerada es 45. En los dos últimos, 24.
2) 0-(-45)=45 o 45-0=45
-15-(-60)=45 o 30-(-15)=45
125-101=24 o 149-125=24
3) Este ejercicio está explicado en Notas y observaciones N°34. Sólo falta el 3.2) Si a=b, entonces a-b=b-a=0.
Por lo tanto, d(a;b)=0 si a=b
4)
5)
6) 4, 5 y 6 Están explicados en Notas y observaciones N°35
7) Imagen:
8) 8.1)
;
8.2)
;
;
8.3) Tiene un mínimo absoluto en el punto (0;0)
8.4) es una función par, pues su gráfico es simétrico respecto al eje “y”
8.5) Esta función no es inyectiva ni sobreyectiva. Por lo tanto, no es biyectiva.
9) 9.1) La función expresa la distancia desde cualquier número al 3.
9.2)
x
0 1 2 3 4 5 6
g(x) 3 2 1 0 1 2 3
9.3)
21. 9.4.1) Imagen:
9.4.2)
;
;
;
;
.
Tiene un mínimo absoluto en el punto (3;0).
9.4.3) Esta función no es par ni impar. Tampoco es inyectiva, ni sobreyectiva. Por lo tanto, no es biyectiva.
10) Para graficar una función con módulo, al armar la tabla de valores dar valores a derecha y a izquierda del punto
de simetría (es el valor que hace que “lo de adentro del módulo” sea cero).
