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MOMENTOS DE INERCIA DE UN AREA
CON RESPECTO A EJES INCLINADOS
El diseño de un elemento
estructural y mecánico, como
una vi...
Para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes inclinados 𝑰 𝒖 ,
𝑰 𝒗 , es necesario conocer o calcular los mom...
Usando la definición de momento de inercia y reemplazando las ecuaciones
anteriores , los momentos y el producto de inerci...
Integrando ,
𝐼 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴
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𝜃 𝑦2
𝑑𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 𝑥2
𝑑𝐴 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴
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Las ecuaciones pueden reducirse usando identidades trigonométricas,
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 , 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 =
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y 𝒔𝒆𝒏 𝟐
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ii)
𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃
𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥
1 − cos 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑦
1 + cos 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
1
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𝐼 𝑥 1 ...
iii)
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𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
− 𝐼 𝑦
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝐼 𝑢𝑣 =...
Si se suman las dos primeras ecuaciones, se observa que el
momento polar con respecto al eje z que pasa a través del
punto...
Momentos de inercia principales
Las ecuaciones (1) muestran que 𝑰 𝒖, 𝑰 𝒗 𝑒 𝑰 𝒖𝒗 dependen del
ángulo de inclinación 𝜽 de lo...
𝑑𝐼 𝑢
𝑑𝜃
= −2
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
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Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de
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Ejemplo 1 .- Determine los momentos de inercia y el producto de
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Suma.- Entonces los momentos de inercia para toda la sección transversal son:
𝐼 𝑥 = 10.42 + 0.33
𝐼 𝑥 = 10.75 in4
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Ahora que ya se han determinado los momentos y el producto de inercia
de la sección transversal respecto a los ejes x e y ...
𝐼 𝑢𝑣 =
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2
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Ejemplo 2 .- Determinar la dirección de los ejes principales con origen en
el punto O. y los momentos de inercia principal...
𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 𝑑𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝑑𝐴 𝑥 𝑦
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Reemplazando el valor del radio 𝑟 = 3 in obtenemos los valores de
los momentos y el producto de inercia con respecto al ej...
Con la ecuación (2), se hallan los ángulos de inclinación de los ejes principales :
tan 2𝜃 𝑝 =
−𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
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Pero como...
Los momentos de inercia principales con respecto a estos ejes se
determinan por la siguiente ecuación :
𝐼 𝑚𝑎𝑥
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𝐼 𝑥 + ...
Pero reemplazando las raíces de los ángulos en las formulas (1).
Obtenemos que los momentos de inercia principales máximo ...
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Momento de inercia con respecto a ejes paralelos

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Momento de inercia con respecto a ejes paralelos

  1. 1. MOMENTOS DE INERCIA DE UN AREA CON RESPECTO A EJES INCLINADOS El diseño de un elemento estructural y mecánico, como una viga o una columna, requiere el cálculo del momento de inercia de su sección transversal , a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados FUTURO ING. MARTIN FRANCISCO ANDRADE PAHECO
  2. 2. Para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes inclinados 𝑰 𝒖 , 𝑰 𝒗 , es necesario conocer o calcular los momentos de inercia con respecto a los ejes x e y (𝑰 𝒙 , 𝑰 𝒚) y conocer el ángulo del eje inclinado 𝜃. Para comenzar debemos usar ecuaciones que relacionen las coordenadas 𝒙 , 𝒚 y 𝒖, 𝒗 . A partir de la figura de la izquierda ,estas ecuaciones son: 𝑢 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 = 𝑦 cos 𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃
  3. 3. Usando la definición de momento de inercia y reemplazando las ecuaciones anteriores , los momentos y el producto de inercia de 𝑑𝐴 con respecto a los ejes 𝒖 𝑦 𝒗 se convierten: 𝑑𝐼 𝑢 = 𝑣 2 𝑑𝐴 = (𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃)2 𝑑𝐴 𝑑𝐼𝑣 = 𝑢2 𝑑𝐴 = (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃)2 𝑑𝐴 𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑢𝑣𝑑𝐴 = (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝐴 Al desarrollar cada expresión tenemos: 𝑑𝐼 𝑢 = 𝑦2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝐴 − 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝐼𝑣 = 𝑦2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝐴 + 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝐴 𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥𝑦𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
  4. 4. Integrando , 𝐼 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝐼𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑥𝑦𝑑𝐴 Reemplazando 𝑰 𝒙 = 𝒚 𝟐 𝒅𝑨, 𝑰 𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒅𝑨 e 𝑰 𝒙𝒚 = 𝒙𝒚𝒅𝑨, obtenemos: 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
  5. 5. Las ecuaciones pueden reducirse usando identidades trigonométricas, 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 , 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 = 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐 y 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 = 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐 . i) 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 1 + cos 2𝜃 2 + 𝐼 𝑦 1 − cos 2𝜃 2 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢 = 1 2 𝐼 𝑥 1 + cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 1 − cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢 = 1 2 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + 𝐼 𝑥 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑦 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢 = 1 2 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + (𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦) cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
  6. 6. ii) 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 1 − cos 2𝜃 2 + 𝐼 𝑦 1 + cos 2𝜃 2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 1 2 𝐼 𝑥 1 − cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 1 + cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 1 2 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 − 𝐼 𝑥 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 1 2 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 − (𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦) cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
  7. 7. iii) 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 Por lo tanto las ecuaciones de los momentos y el producto de inercia quedan: 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 ….(1)
  8. 8. Si se suman las dos primeras ecuaciones, se observa que el momento polar con respecto al eje z que pasa a través del punto O es independiente de la orientación de los ejes 𝒖 y 𝒗; es decir: 𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑢 + 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 También sabemos que el momento polar se define como : 𝐽 𝑂 = 𝑟2 𝑑𝐴 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑢2 + 𝑣2 𝐽 𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴 = (𝑢2 + 𝑣2)𝑑𝐴 𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑢 + 𝐼𝑣
  9. 9. Momentos de inercia principales Las ecuaciones (1) muestran que 𝑰 𝒖, 𝑰 𝒗 𝑒 𝑰 𝒖𝒗 dependen del ángulo de inclinación 𝜽 de los ejes 𝒖 , 𝒗 . Ahora determinaremos la orientación de esos ejes con respecto a los cuales son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes se llama ejes principales del área , y los momentos de inercia correspondientes con respecto a esos ejes se llaman momentos de inercia principales . En general, hay un conjunto de ejes principales para cada origen O elegido. Sin embargo, para el diseño estructural y mecánico, el origen O se ubica en el centroide del área .
  10. 10. 𝑑𝐼 𝑢 𝑑𝜃 = −2 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 sen 2𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 0 = −2 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 sen 2𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 sen 2𝜃 = −𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 sen 2𝜃 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = −𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 Por lo tanto, si θ = θp El ángulo 𝜃 para el que 𝐼 𝑢 o 𝐼𝑣 es máximo o mínimo puede de terminarse anulando la primera derivada de 𝐼 𝑢 o 𝐼𝑣 , respecto a 𝜃 , es decir: tan 2𝜃 𝑝 = −𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 …..(2)
  11. 11. 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 𝑝1 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝1 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 − 𝐼 𝑥𝑦 −𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 1 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 + 𝐼2 𝑥𝑦 1 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 Las dos raíces, 𝜃 𝑝1 y 𝜃 𝑝2 de esta ecuación están separadas 90° y especifican la inclinación de los ejes principal . Esto puede hacerse mediante los triángulos de la figura inferior, que se basan en la ecuación (2). Si sustituimos cada una de las relaciones de seno y coseno en la primera o segunda de las ecuaciones (1), y simplificamos obtenemos:
  12. 12. 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 1 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 Si sustituimos los valores de la otra raíz 𝜃 𝑝2, obtenemos: 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 𝑝2 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝2 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 …..(3) …..(4)
  13. 13. Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de inercia máximo o mínimo para el área. Además, si las relaciones trigonométricas anteriores para 𝜃 𝑝1 y 𝜃 𝑝2 se sustituyen en la tercera de las ecuaciones (1), se puede ver que 𝐼 𝑢𝑣 = 0; es decir, el producto de inercia con respecto a los ejes principales es cero. Como se indico en la sección de productos de inercia , es cero con respecto a cualquier eje simétrico , se infiere que cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área . 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 ± 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦
  14. 14. Ejemplo 1 .- Determine los momentos de inercia y el producto de inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes u y v.
  15. 15. Desarrollo.- La figura mostrada es un área compuesta , por lo que la sección transversal puede subdividirse en 2 áreas rectangulares A y B se muestran en la figura. Teorema de los ejes paralelos.- Sabemos que el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su eje centroidal es 𝐼 = 1 12 𝑏ℎ3 , por lo tanto: Rectángulo A: 𝐼 𝑥 = 1 12 1 5 3 = 10.42 in4 𝐼 𝑦 = 1 12 5 1 3 = 0.42 in4 Rectángulo B: 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑥´ + 𝐴𝑑2 𝑦 = 1 12 (4) 1 3 +(4)(1)(0) = 0.33 in4 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦´ + 𝐴𝑑2 𝑥 = 1 12 (1) 4 3+(4)(1) 2.5 2 = 30.33 in4
  16. 16. Suma.- Entonces los momentos de inercia para toda la sección transversal son: 𝐼 𝑥 = 10.42 + 0.33 𝐼 𝑥 = 10.75 in4 𝐼 𝑦 = 0.42 + 30.33 𝐼 𝑦 = 30.75 in4 Producto de inercia .– Debido a la simetría, el producto de cada rectángulo es cero respecto a cada conjunto de ejes x´ , y ´ que pasan a través del centroide de cada rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos, tenemos. Rectángulo A : 𝐼 𝑥𝑦 = 𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝐴𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 = 0 + 0 = 0 Rectángulo B : 𝐼 𝑥𝑦 = 𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝐴𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 = 0 + 0 = 0 Por lo tanto , el producto de inercia de toda la sección transversal es cero: 𝐼 𝑥𝑦 = 0
  17. 17. Ahora que ya se han determinado los momentos y el producto de inercia de la sección transversal respecto a los ejes x e y : 𝐼 𝑥 = 10.75 in4 , 𝐼 𝑦 = 30.75 in4 , 𝐼 𝑥𝑦 = 0 Procederemos a calcular los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes inclinados u , v: 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼 𝑢 = 10.75 + 30.75 2 + 10.75 − 30.75 2 cos 2(30) − (0)𝑠𝑒𝑛 2(30) 𝐼 𝑢 = 41.5 2 − 20 2 cos 60 𝐼 𝑢 = 15.75 in4 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝐼𝑣 = 10.75 + 30.75 2 − 10.75 − 30.75 2 cos 2 30 − (0)𝑠𝑒𝑛 2 30 𝐼𝑣 = 41.5 2 + 20 2 cos 60 𝐼𝑣 = 25.75 in4
  18. 18. 𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝐼 𝑢𝑣 = 10.75 − 30.75 2 𝑠𝑒𝑛 2(30) + (0)𝑐𝑜𝑠 2(30) 𝐼 𝑢𝑣 = − 20 2 𝑠𝑒𝑛 60 𝐼 𝑢𝑣 = −8.66 in4 Como se puede observar el producto de inercia puede ser negativo o positivo.
  19. 19. Ejemplo 2 .- Determinar la dirección de los ejes principales con origen en el punto O. y los momentos de inercia principales. Resolución .- Hallamos el momento polar con respecto al punto o : 𝐼𝑧 = 𝐽 𝑂 = 𝑟′2 𝑑𝐴 ; 𝑑𝐴 = 𝜋 2 𝑟′ 𝑑𝑟′ 𝐽 𝑂 = 0 𝑟 𝑟′2 𝜋 2 𝑟′ 𝑑𝑟′ 𝐽 𝑂 = 𝜋 2 0 𝑟 𝑟′3 𝑑𝑟′ 𝐽 𝑂 = 𝜋 2 𝑟4 4 𝐽 𝑂 = 𝜋𝑟4 8 Por simetría 𝐼 𝑥 y 𝐼 𝑦 son iguales, si : 𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 ; 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 = 𝐽 𝑂 2 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 = 𝜋𝑟4 16
  20. 20. 𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 𝑑𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝑑𝐴 𝑥 𝑦 𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 0 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑦 𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 𝑥2 2 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 𝑟2 − 𝑦2 2 𝑦𝑑𝑦 Integrando; 𝐼 𝑥𝑦 = 1 2 0 𝑟 𝑦𝑟2 − 𝑦3 𝑑𝑦 𝐼 𝑥𝑦 = 1 2 𝑦2 𝑟2 2 − 𝑦4 4 𝐼 𝑥𝑦 = 1 2 𝑟4 2 − 𝑟4 4 𝐼 𝑥𝑦 = 𝑟4 8 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 ( 𝑥, 𝑦) Hallamos el producto de inercia, para ello usaremos un elemento diferencial que tiene un espesor 𝑑𝑦 , como se muestra, y tiene un 𝑑𝐴 = 𝑥 𝑑𝑦 . El centroide se localiza en el punto 𝑥 = 𝑥/2 y 𝑦 = 𝑦 .
  21. 21. Reemplazando el valor del radio 𝑟 = 3 in obtenemos los valores de los momentos y el producto de inercia con respecto al eje x , y : 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 = 𝜋𝑟4 16 = 81 16 𝜋 = 15.9 in4 𝐼 𝑥𝑦 = 𝑟4 8 = 81 8 = 10.125 in4
  22. 22. Con la ecuación (2), se hallan los ángulos de inclinación de los ejes principales : tan 2𝜃 𝑝 = −𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 Pero como 𝑰 𝒙 = 𝑰 𝒚 : tan 2𝜃 𝑝 = −𝐼 𝑥𝑦 0 tan 2𝜃 𝑝 = ∞ Entonces: 2𝜃 𝑝1 = 90° o 2𝜃 𝑝2 = −90 Por lo tanto las raíces , son: 𝜃 𝑝1 = 45° 𝜃 𝑝2 = −45°
  23. 23. Los momentos de inercia principales con respecto a estos ejes se determinan por la siguiente ecuación : 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 ± 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 2 + 𝐼2 𝑥𝑦 Pero como 𝑰 𝒙 = 𝑰 𝒚: 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 26.03 in4 𝐼 𝑚𝑖𝑛= 5.78 in4 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 ± 𝐼2 𝑥𝑦 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 ± 𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 81 16 𝜋 + 81 16 𝜋 2 ± 10.125 𝐼 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 81 16 𝜋 ± 10.125 Por lo tanto : 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 81 16 𝜋 + 10.125 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 81 16 𝜋 − 10.125
  24. 24. Pero reemplazando las raíces de los ángulos en las formulas (1). Obtenemos que los momentos de inercia principales máximo y mínimo son iguales : 𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 𝑝1 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝1 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 90° − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 90° 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥𝑦 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 − 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos 2𝜃 𝑝2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝2 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦 2 cos(−90°) − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 (−90°) 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 5.78 in4 𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 26.03 in4

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