ingeniería mecánica estatica

1. MOMENTOS DE INERCIA DE UN AREA
CON RESPECTO A EJES INCLINADOS
El diseño de un elemento
estructural y mecánico, como
una viga o una columna,
requiere el cálculo del
momento de inercia de su
sección transversal , a veces es
necesario calcular los
momentos y el producto de
inercia para un área con
respecto a un conjunto de ejes
inclinados
FUTURO ING. MARTIN FRANCISCO ANDRADE PAHECO

2. Para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes inclinados 𝑰 𝒖 ,
𝑰 𝒗 , es necesario conocer o calcular los momentos de inercia con respecto a
los ejes x e y (𝑰 𝒙 , 𝑰 𝒚) y conocer el ángulo del eje inclinado 𝜃.
Para comenzar debemos
usar ecuaciones que
relacionen las coordenadas
𝒙 , 𝒚 y 𝒖, 𝒗 .
A partir de la figura de la
izquierda ,estas ecuaciones
son:
𝑢 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑣 = 𝑦 cos 𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃

3. Usando la definición de momento de inercia y reemplazando las ecuaciones
anteriores , los momentos y el producto de inercia de 𝑑𝐴 con respecto a los
ejes 𝒖 𝑦 𝒗 se convierten:
𝑑𝐼 𝑢 = 𝑣 2 𝑑𝐴 = (𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃)2 𝑑𝐴
𝑑𝐼𝑣 = 𝑢2 𝑑𝐴 = (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃)2 𝑑𝐴
𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑢𝑣𝑑𝐴 = (𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝐴
Al desarrollar cada expresión tenemos:
𝑑𝐼 𝑢 = 𝑦2
𝑐𝑜𝑠2
𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥2
𝑠𝑒𝑛2
𝜃 𝑑𝐴 − 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑑𝐼𝑣 = 𝑦2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝐴 + 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴
𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑦2
𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥2
𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 𝑑𝐴
𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 − 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑑𝐴 + 𝑥𝑦𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

4. Integrando ,
𝐼 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝐼𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 𝑦2
𝑑𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 𝑥2
𝑑𝐴 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝐼 𝑢𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑥2 𝑑𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑥𝑦𝑑𝐴
Reemplazando 𝑰 𝒙 = 𝒚 𝟐 𝒅𝑨, 𝑰 𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒅𝑨 e 𝑰 𝒙𝒚 = 𝒙𝒚𝒅𝑨, obtenemos:
𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃
𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃
𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

5. Las ecuaciones pueden reducirse usando identidades trigonométricas,
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 , 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 =
𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽
𝟐
y 𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝜽 =
𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽
𝟐
.
i)
𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃
𝐼 𝑢 = 𝐼 𝑥
1 + cos 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑦
1 − cos 2𝜃
2
− 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢 =
1
2
𝐼 𝑥 1 + cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 1 − cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢 =
1
2
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + 𝐼 𝑥 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑦 cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢 =
1
2
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 + (𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦) cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

6. ii)
𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝐼 𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 2𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃
𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥
1 − cos 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑦
1 + cos 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
1
2
𝐼 𝑥 1 − cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 1 + cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
1
2
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 − 𝐼 𝑥 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑦 cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
1
2
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 − (𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦) cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
−
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

7. iii)
𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝐼 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
− 𝐼 𝑦
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝐼 𝑢𝑣 = 𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
Por lo tanto las ecuaciones de los momentos y el producto de
inercia quedan:
𝐼 𝑢𝑣 =
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
−
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢𝑣 =
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
….(1)

8. Si se suman las dos primeras ecuaciones, se observa que el
momento polar con respecto al eje z que pasa a través del
punto O es independiente de la orientación de los ejes 𝒖 y 𝒗;
es decir:
𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑢 + 𝐼𝑣 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
También sabemos que el momento polar se define como :
𝐽 𝑂 = 𝑟2
𝑑𝐴
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑢2
+ 𝑣2
𝐽 𝑂 = (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴 = (𝑢2 + 𝑣2)𝑑𝐴
𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑢 + 𝐼𝑣

9. Momentos de inercia principales
Las ecuaciones (1) muestran que 𝑰 𝒖, 𝑰 𝒗 𝑒 𝑰 𝒖𝒗 dependen del
ángulo de inclinación 𝜽 de los ejes 𝒖 , 𝒗 . Ahora
determinaremos la orientación de esos ejes con respecto a los
cuales son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes
se llama ejes principales del área , y los momentos de inercia
correspondientes con respecto a esos ejes se llaman momentos
de inercia principales . En general, hay un conjunto de ejes
principales para cada origen O elegido. Sin embargo, para el
diseño estructural y mecánico, el origen O se ubica en el
centroide del área .

10. 𝑑𝐼 𝑢
𝑑𝜃
= −2
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
sen 2𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
0 = −2
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
sen 2𝜃 − 2𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
sen 2𝜃 = −𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
sen 2𝜃
𝑐𝑜𝑠 2𝜃
=
−𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
Por lo tanto, si θ = θp
El ángulo 𝜃 para el que 𝐼 𝑢 o 𝐼𝑣 es máximo o mínimo puede de
terminarse anulando la primera derivada de 𝐼 𝑢 o 𝐼𝑣 , respecto a 𝜃 ,
es decir:
tan 2𝜃 𝑝 =
−𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
…..(2)

11. 𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 𝑝1 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝1
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
− 𝐼 𝑥𝑦
−𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
1
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
+ 𝐼2
𝑥𝑦
1
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
Las dos raíces, 𝜃 𝑝1 y 𝜃 𝑝2 de esta ecuación
están separadas 90° y especifican la
inclinación de los ejes principal . Esto puede
hacerse mediante los triángulos de la figura
inferior, que se basan en la ecuación (2).
Si sustituimos cada una de las relaciones de
seno y coseno en la primera o segunda de las
ecuaciones (1), y simplificamos obtenemos:

12. 𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
1
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
Si sustituimos los valores de la otra raíz 𝜃 𝑝2, obtenemos:
𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 𝑝2 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝2
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
𝐼 𝑚𝑖𝑛 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
−
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
…..(3)
…..(4)

13. Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de
inercia máximo o mínimo para el área. Además, si las relaciones
trigonométricas anteriores para 𝜃 𝑝1 y 𝜃 𝑝2 se sustituyen en la tercera de
las ecuaciones (1), se puede ver que 𝐼 𝑢𝑣 = 0; es decir, el producto de
inercia con respecto a los ejes principales es cero. Como se indico en la
sección de productos de inercia , es cero con respecto a cualquier eje
simétrico , se infiere que cualquier eje simétrico representa un eje
principal de inercia para el área .
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
±
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦

14. Ejemplo 1 .- Determine los momentos de inercia y el producto de
inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes u y v.

15. Desarrollo.-
La figura mostrada es un área compuesta , por lo que la sección
transversal puede subdividirse en 2 áreas rectangulares A y B se
muestran en la figura.
Teorema de los ejes paralelos.- Sabemos
que el momento de inercia de un rectángulo
con respecto a su eje centroidal es 𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3
, por lo tanto:
Rectángulo A:
𝐼 𝑥 =
1
12
1 5 3
= 10.42 in4
𝐼 𝑦 =
1
12
5 1 3
= 0.42 in4
Rectángulo B:
𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑥´ + 𝐴𝑑2
𝑦 =
1
12
(4) 1 3
+(4)(1)(0)
= 0.33 in4
𝐼 𝑦 = 𝐼 𝑦´ + 𝐴𝑑2
𝑥 =
1
12
(1) 4 3+(4)(1) 2.5 2
= 30.33 in4

16. Suma.- Entonces los momentos de inercia para toda la sección transversal son:
𝐼 𝑥 = 10.42 + 0.33
𝐼 𝑥 = 10.75 in4
𝐼 𝑦 = 0.42 + 30.33
𝐼 𝑦 = 30.75 in4
Producto de inercia .– Debido a la simetría, el producto de cada rectángulo es cero
respecto a cada conjunto de ejes x´ , y ´ que pasan a través del centroide de cada
rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos, tenemos.
Rectángulo A :
𝐼 𝑥𝑦 = 𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝐴𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 = 0 + 0 = 0
Rectángulo B :
𝐼 𝑥𝑦 = 𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝐴𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 = 0 + 0 = 0
Por lo tanto , el producto de inercia de toda la sección transversal es cero:
𝐼 𝑥𝑦 = 0

17. Ahora que ya se han determinado los momentos y el producto de inercia
de la sección transversal respecto a los ejes x e y :
𝐼 𝑥 = 10.75 in4 , 𝐼 𝑦 = 30.75 in4 , 𝐼 𝑥𝑦 = 0
Procederemos a calcular los momentos y el producto de inercia con
respecto a los ejes inclinados u , v:
𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼 𝑢 =
10.75 + 30.75
2
+
10.75 − 30.75
2
cos 2(30) − (0)𝑠𝑒𝑛 2(30)
𝐼 𝑢 =
41.5
2
−
20
2
cos 60
𝐼 𝑢 = 15.75 in4
𝐼𝑣 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
−
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝐼𝑣 =
10.75 + 30.75
2
−
10.75 − 30.75
2
cos 2 30 − (0)𝑠𝑒𝑛 2 30
𝐼𝑣 =
41.5
2
+
20
2
cos 60
𝐼𝑣 = 25.75 in4

18. 𝐼 𝑢𝑣 =
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝐼 𝑢𝑣 =
10.75 − 30.75
2
𝑠𝑒𝑛 2(30) + (0)𝑐𝑜𝑠 2(30)
𝐼 𝑢𝑣 = −
20
2
𝑠𝑒𝑛 60
𝐼 𝑢𝑣 = −8.66 in4
Como se puede observar el producto de inercia puede ser negativo o
positivo.

19. Ejemplo 2 .- Determinar la dirección de los ejes principales con origen en
el punto O. y los momentos de inercia principales.
Resolución .- Hallamos el momento polar
con respecto al punto o :
𝐼𝑧 = 𝐽 𝑂 = 𝑟′2 𝑑𝐴 ; 𝑑𝐴 =
𝜋
2
𝑟′ 𝑑𝑟′
𝐽 𝑂 =
0
𝑟
𝑟′2
𝜋
2
𝑟′ 𝑑𝑟′
𝐽 𝑂 =
𝜋
2 0
𝑟
𝑟′3 𝑑𝑟′ 𝐽 𝑂 =
𝜋
2
𝑟4
4
𝐽 𝑂 =
𝜋𝑟4
8
Por simetría 𝐼 𝑥 y 𝐼 𝑦 son iguales, si :
𝐽 𝑂 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦 ; 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦
𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 =
𝐽 𝑂
2
𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 =
𝜋𝑟4
16

20. 𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 𝑑𝐼 𝑥´𝑦´ + 𝑑𝐴 𝑥 𝑦
𝑑𝐼 𝑥𝑦 = 0 + 𝑥 𝑑𝑦
𝑥
2
𝑦
𝑑𝐼 𝑥𝑦 =
𝑥2
2
𝑦𝑑𝑦
𝑑𝐼 𝑥𝑦 =
𝑟2
− 𝑦2
2
𝑦𝑑𝑦
Integrando;
𝐼 𝑥𝑦 =
1
2 0
𝑟
𝑦𝑟2 − 𝑦3 𝑑𝑦
𝐼 𝑥𝑦 =
1
2
𝑦2 𝑟2
2
−
𝑦4
4
𝐼 𝑥𝑦 =
1
2
𝑟4
2
−
𝑟4
4
𝐼 𝑥𝑦 =
𝑟4
8
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
( 𝑥, 𝑦)
Hallamos el producto de inercia, para ello usaremos un elemento diferencial
que tiene un espesor 𝑑𝑦 , como se muestra, y tiene un 𝑑𝐴 = 𝑥 𝑑𝑦 . El
centroide se localiza en el punto 𝑥 = 𝑥/2 y 𝑦 = 𝑦 .

21. Reemplazando el valor del radio 𝑟 = 3 in obtenemos los valores de
los momentos y el producto de inercia con respecto al eje x , y :
𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 =
𝜋𝑟4
16
=
81
16
𝜋 = 15.9 in4
𝐼 𝑥𝑦 =
𝑟4
8
=
81
8
= 10.125 in4

22. Con la ecuación (2), se hallan los ángulos de inclinación de los ejes principales :
tan 2𝜃 𝑝 =
−𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
Pero como 𝑰 𝒙 = 𝑰 𝒚 :
tan 2𝜃 𝑝 =
−𝐼 𝑥𝑦
0
tan 2𝜃 𝑝 = ∞
Entonces:
2𝜃 𝑝1 = 90° o 2𝜃 𝑝2 = −90
Por lo tanto las raíces , son:
𝜃 𝑝1 = 45° 𝜃 𝑝2 = −45°

23. Los momentos de inercia principales con respecto a estos ejes se
determinan por la siguiente ecuación :
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
±
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
2
+ 𝐼2
𝑥𝑦
Pero como 𝑰 𝒙 = 𝑰 𝒚:
𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 26.03 in4
𝐼 𝑚𝑖𝑛= 5.78 in4
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
± 𝐼2
𝑥𝑦
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
± 𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
81
16
𝜋 +
81
16
𝜋
2
± 10.125
𝐼 𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
=
81
16
𝜋 ± 10.125
Por lo tanto :
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
81
16
𝜋 + 10.125
𝐼 𝑚𝑖𝑛 =
81
16
𝜋 − 10.125

24. Pero reemplazando las raíces de los ángulos en las formulas (1).
Obtenemos que los momentos de inercia principales máximo y mínimo
son iguales :
𝐼 𝑢 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 𝑝1 − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝1
𝐼 𝑚𝑖𝑛 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 90° − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 90°
𝐼 𝑚𝑖𝑛 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
− 𝐼 𝑥𝑦
𝐼𝑣 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
−
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos 2𝜃 𝑝2 + 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑝2
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+
𝐼 𝑥 − 𝐼 𝑦
2
cos(−90°) − 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 (−90°)
𝐼 𝑚𝑎𝑥 =
𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
2
+ 𝐼 𝑥𝑦
𝐼 𝑚𝑖𝑛 = 5.78 in4
𝐼 𝑚𝑎𝑥 = 26.03 in4