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Principios de probabilidad

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La probabilidad mide la frecuencia con que se obtiene un resultado bajo condiciones suficientemente estables. Se incluyen conceptos y modelos.

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Principios de probabilidad

  1. 1. Ing. Pedro López Eiroásoportedelconocimiento.blogspot.mxorigensobrehumano.blogspot.mxciudadanosdelreinodeloscielos.blogspot.mx 1
  2. 2. Origen del estudio de la Probabilidad Girolamo Cardano 1501-1576 1565 - Libro de los Juegos de Azar Pierre de Fermat 1601-1665 Blaise Pascal 1623-1662 1665 – Tratado sobre el triángulo aritmético Christian Huygens 1629-1695 1657 – Sobre el razonamiento relativo a los juegos de dados Abraham de Moivre 1667 – 1754 1711 – Doctrina de las Probabilidades Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 1820 – Teoría Analítica de la Probabilidad 2
  3. 3. ¿Qué es la probabilidad? Es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. Surge con el estudio de los juegos de azar, pero se extiende a todos los fenómenos aleatorios. Cuando tenemos dos o más alternativas, la probabilidad nos permite de la forma más “racional o científica” posible comprender y evaluar las opciones, determinando criterios y alternativas posibles para tomar las mejores decisiones. Mide la frecuencia con que se obtiene un resultado bajo condiciones suficientemente estables. 3
  4. 4. ¿Qué indica la probabilidad? El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1 : la probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre. 4
  5. 5. Modelos de probabilidad De Frecuencia Relativa , a posteriori o empírico Utiliza la observación de datos, registrando su frecuencia de ocurrencia y usando esta información para pronosticar la posibilidad de una nueva ocurrencia. Subjetivo o intuitivo Se basa en la mejor conjetura con base a la evidencia disponible. Se aplica para eventos nuevos. Clásico , a priori o de Laplace Sirve para determinar la probabilidad de un hecho antes de que ocurra , mediante su cálculo teórico , con base a resultados igualmente probables. 5
  6. 6. Modelo de frecuencia relativa Si un experimento bien definido se repite n veces (n grande); sea nA < n el número de veces que el evento A ocurre en los n ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A “nA /n”, es la estimación de la probabilidad que ocurra el evento A : P(A)= nA /nOBSERVACIONES:1. La frecuencia relativa de un evento, esta comprendido entre 0 y 1. Por lo tanto 0 ≤ P(A) ≤ 1.En efecto: Desde que 0 ≤ nA ≤ 1, 0/n ≤ nA /n ≤ 1, se tiene que 0 ≤nA /n ≤ 1. Luego, 0 ≤ P(A) ≤ 1.2. nA /n = 0, si solo si, en las n repeticiones del experimento el evento A.6
  7. 7. Modelo SubjetivoDice que la probabilidad de ocurrencia de un evento esel grado de creencia por parte de un individuo de que unevento ocurra, basado en toda la evidencia a sudisposición.Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque esadecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrenciadel evento y cuando no se cuenta con ninguna evidencia.Puede ser muy acertado o muy desligado de la realidad ,pues es un juicio personal. 7
  8. 8. Modelo ClásicoLa probabilidad de un evento es la razón entre elnúmero de casos (sucesos) favorables y el numero totalde casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue acreer que algunos de estos sucesos debe tenerpreferencia a los demás, lo que hace que seanigualmente posibles.La probabilidad de un evento A: P (A), es un NÚMERO,que mide el grado de certeza en el que un evento Aocurre, y se obtiene con la formula conocida comoREGLA DE LAPLACE: 8
  9. 9. Espacio Muestral y EventoCada experimento aleatorio tiene varios resultadosposibles y podemos describir con precisión elconjunto de estos resultados posibles. LlamaremosEspacio Muestral asociado a un experimentoaleatorio, al conjunto de todos los resultadosposibles de dicho experimento aleatorio, y lodenotamos con Ω.A uno o más de los resultados posibles del espaciomuestral, se les denomina Evento o Suceso, y sesimboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, … Es un subconjunto del espacio muestral. 9
  10. 10. Tipos de EventosElemental :A cada elemento o resultado posible delespacio muestral, se le conoce con el nombre de eventoelemental.Imposible :Algunos eventos nunca pueden ocurrir en elexperimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Sesimboliza con Ø.Seguro :Los eventos que siempre suceden en elexperimento aleatorio, son llamados eventos seguros.Complementario : Cuando se considera un evento A, elevento que contiene todos los eventos elementales delespacio muestral que no estén en A se denominara EventoComplementario. Se simbolizara con Ā. Siempre quesumemos el evento A y su complemento Ā, tendremos elespacio muestral Ω (A + Ā = Ω). 10
  11. 11. Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar y que nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Permiten determinar el número de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto. Incluyen : las combinaciones, permutaciones y los diagramas de árbol. 11
  12. 12. Principio de conteo Multiplicativo Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde:a) El primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas,b) el segundo paso de N2 maneras o formasc) y el n-ésimo paso de Nn maneras o formas,entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: N1 x N2 x ..........x Nn maneras o formas Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo 12
  13. 13. Principio de conteo Aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde:a) La primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas,b) la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas .....c) y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de: M + N + .........+ W maneras o formas Si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. 13
  14. 14. Combinación Fórmula : COMBINACIÓN: Es todo arreglo de n!elementos en donde NO nCr =nos interesa el lugar o r!(n − r )!posición que ocupa cadauno de los elementos En donde, nCr = es el número de combinacionesque constituyen dicho de n objetos tomados r a la vez.arreglo, simplemente n! = factorial de nnos interesa formar (n-r)! = factorial de la diferencia entre n y rgrupos y su contenido. 14
  15. 15. Permutación Fórmula :PERMUTACIÓN: nEs todo arreglo de nPrelementos en donde SI n rnos interesa el lugar oposición que ocupa cada En donde,uno de los elementos que nPr = es el número deconstituyen dicho arreglo. permutaciones de n objetos tomados r a la vez. n! = factorial de n (n-r)! = factorial de la diferencia entre nyr 15
  16. 16. Probabilidad de eventosDos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral sonexcluyentes si NO PUEDEN OCURRIR JUNTOS. Es decir, la ocurrencia de uno EXCLUYE de la ocurrencia del otro. En símbolos si P (A ∩ B)= Ø P(A + B)= P(A) + P(B) Dos eventos A y B no son excluyentes si pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno no excluye la ocurrencia del otro. En símbolos (A ∩ B) ≠ Ø P(A + B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 16
  17. 17. Probabilidad de eventosDos eventos A y B son dependientes, si un evento influyeen el otro evento. Observamos que el hecho de quesuceda el evento A influye en la probabilidad del suceso B,es decir la probabilidad del suceso B depende de que A sehaya realizado o no, esto se expresa como P (B/A). P(AB) = P (A) * P (B/A) Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). 17
  18. 18. Probabilidad de eventosSean A y B dos eventos asociados con un experimentoaleatorio. Consideremos que ya ocurrió el evento B yque p (B) > 0.Bajo estas condiciones se llama probabilidadcondicional de A dado B, y se escribe P (A/B), alcociente que se obtiene dividiendo la probabilidad dela intersección de A y B entre la probabilidad de B: P(A ∩ B) P (A / B) = P(B) 18
  19. 19. Bibliografía1) Patiño Arellano , Omar Alejandro .Teoría elemental de probabilidad (2009). [En línea]. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos69/teoria- elemental-probabilidad/teoria-elemental- probabilidad.shtml [2010,4 de Enero].2) Domínguez, Jorge. (2009). Estadística y probabilidad. El Mundo de los datos y el azar. México: Oxford University Press. Unidad 5: Probabilidad, pp. 181 a 231. 19

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