1. Equações do 1º grau a 2 incógnitas
Sistemas de equações
Prof. Sandra Coelho
2007/08
2. Noção de solução…
Será que (1,2) é solução da equação 2x + y = 4 ?
Um par ordenado é dito solução se verificar a equação.
2 ×1 + 2 = 4
⇔ 2+2 = 4
⇔ 4 = 4 Verdadeiro
Logo o par (1,2) é solução da equação
3. Solução de um sistema…
O processo é igual ao anterior porém o par tem
.de verificar as duas equações
x + 2y = 5
Será que (1,2) é solução do sistema
2x − y = 0
1 + 2 × 2 = 5
⇔
2 × 1 − 2 = 0
5 = 5
0 = 0
Verdadeiro
Logo o par (1,2) é solução do sistema
4. Resolução de sistemas - Método da substituição
1º passo – Escrever o sistema na forma canónica.
Exemplo:
y + 2x
3( y − x ) −
=1
2
x − y = 1 − x
3 2 3
O que é que podemos fazer?
Desembaraçar de parêntesis e de seguida de denominadores. As
equações são independentes pelo que se pode ir trabalhando as duas
em simultâneo.
y + 2x
y + 2x
3( y − x ) −
=1
=1
6y − 6x − y − 2x = 2
3y − 3x −
2
⇔
⇔
⇔
2
2x − 3y + 6x = 2
x − y = 1 − x
2x − 3y = 2 − 6x
3 2 3
−8x + 5y = 2
8x − 3y = 2
5. E agora? Qual o processo que devo adoptar?
Não há regras estanques para resolver sistemas,
no entanto, há técnicas que ajudam a manter o
raciocínio alerta e orientam a resolução do
problema.
1º passo –
incógnita.
Escolher uma equação e uma incógnita e resolver essa equação em ordem a essa
2º passo –
Substituir o valor dessa incógnita na outra equação.
3º passo –
Resolver essa segunda equação até encontrar o valor dessa incógnita. (se possível)
4º passo –
Substituir o valor obtido no passo anterior na outra equação.
5º passo –
Encontrar o valor da outra incógnita e tirar as conclusões devidas.
6. Método da substituição em 6 passos (1+5)
Depois de escrever o sistema na forma canónica passemos à sua resolução.
Para isso aproveitemos o exemplo anteriormente abordado.
Passo 0 – Escrever o sistema na forma canónica:
y + 2x
y + 2x
3( y − x ) −
=1
=1
6y − 6x − y − 2x = 2
−8x + 5y = 2
3y − 3x −
2
⇔
⇔
⇔
2
x y 1
2x − 3y + 6x = 2
8x − 3y = 2
− = −x
2x − 3y = 2 − 6x
3 2 3
2 + 3y
−8
−8x + 5y = 2
_________
8
⇔
⇔
8x − 3y = 2
8x = 2 + 3y
x = 2 + 3y
8
−16 − 24y + 40y = 16
⇔
⇔
_______________
−16 − 24y
÷ + 5y = 2
+ 5y = 2
⇔
8
_______________
y = 2
16y = 16 + 16
y = 2
⇔
⇔
2 + 3× 2
___________
x =
x = 1
8
C .S . = { ( 1, 2 ) }
8. Resolução de sistemas – Método Gráfico
y = x − 4
Resolve graficamente o sistema:
x + 2y = 7
Resolve cada uma das equações em ordem a y:
y
x
y = x − 4
=x −4
y = x − 4
⇔
⇔
7−x
+ 2y = 7
2y = 7 − x
y = 2
9. Resolução de sistemas – Método Gráfico
Construa-se uma tabela referente a cada uma das equações:
x
y=x-4
1
2 – 4 = -2
y
1 – 4 = -3
2
y = x − 4
7−x
y =
2
x
7−x
y =
2
1
3
3
2
(5;1)
SOLUÇÃO
x
10. Resumindo…
O ponto de intersecção das rectas é a solução do sistema.
Exercício:
Propõe representações gráficas que ilustrem todas as hipóteses
das classificações de sistemas.
12. Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − 4 = y
⇔
x − 2y = 2
Exemplo:
x
y=x-4
1
2 – 4 = -2
y
1 – 4 = -3
2
y = x − 4
y = x − 4
y = x − 4
⇔
2−x ⇔
2−x
−2y = 2 − x
y = −2
y = − 2
x
y =−
2−x
2
2
0
4
1
(6;2)
SOLUÇÃO
x
13. Resolução de sistemas – Método Gráfico
x − y = 1
⇔
y = −2 x
Exemplo:
x
1–1=0
2
2–1=1
x
y = -2x
y
y=x–1
1
−y = − x + 1
y = x − 1
⇔
y = −2x
y = − 2x
1
-2
2
-.4
(?;?)
Para ter a certeza da
solução – Método da
Substituição
x
SOLUÇÃO
