1. SÓLIDOS RÍGIDOS O CUERPOS RÍGIDOS A diferencia de una partícula, un cuerpo está constituido por muchas partículas y las fuerzas pueden actuar sobre diferentes partículas o sea pueden tener diferentes puntos de aplicación. En el estudio de esta mecánica elemental se supone que los cuerpos no se deforman, aunque esto no es cierto. Pero las pequeñas deformaciones no influyen en el equilibrio o movimiento de los cuerpos. Las fuerzas que actúan en un sólido se dividen en externas e internas. Fuerzas externas son aquellas con las cuales se actúa por medio de algún otro cuerpo y son responsables del comportamiento del cuerpo. Fuerzas internas son aquellas que se transmiten entre las partículas del cuerpo y serán responsables de la rotura del cuerpo. Se deben principalmente a las fuerzas externas.

2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD: la fuerza se puede correr a lo largo de su línea de acción, el efecto sobre el cuerpo será el mismo. Por esto se dice que las fuerzas son vectores deslizantes. Este principio es valido solamente en Mecánica de cuerpos no deformables. Es importante recordarse de este principio en el momento de resolver algún problema relacionado con el equilibrio de los cuerpos. A VECES PUEDE SER MÁS FÁCIL RESOLVER EL PROBLEMA SI LA FUERZA SE CORRE Y SE APLICA EN EL OTRO PUNTO DEL CUERPO A LO LARGO DE SU LÍNEA DE ACCIÓN. ALGEBRA VECTORIAL

3. Producto vectorial de dos vectores V = P x Q El producto vectorial de P y Q forma un vector que es perpendicular al plano formado por P y Q y de magnitud: V = PQ sen  La dirección de V está dada por la regla de la mano derecha , haciendo rotar con los dedos a P para que quede alineado con Q . Así, el pulgar indicará la dirección de V.

4. Producto vectorial es distributivo: P x( Q + S )= P x Q + P x S Producto vectorial no es conmutativo: P x Q =- Q x P

5. Productos vectoriales en componentes rectangulares De acuerdo a la definición de producto vectorial, los productos de los vectores unitarios i , j , y k son: i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i Aprovechando la propiedad distributiva se puede comprobar que:

6. P = P x i + P y j + P z k Q = Q x i + Q y j + Q z k V = P x Q = i P x Q x j P y Q y k P z Q z = V x i + V y j + V z k donde V x = P y Q z - P z Q y V y = P z Q x - P x Q z V z = P x Q y - P y Q x Dadas las componentes rectangulares de dos vectores P y Q:

7. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden provocar su traslación. Debido a que las fuerzas pueden actuar sobre diferentes partículas de un cuerpo que no están en una misma línea, además de traslación pueden provocar su rotación. La rotación se especifica por medio del MOMENTO. Momento de una fuerza con respecto a un punto se calcula como producto vectorial del vector de posición ( r ) y el vector fuerza ( F ).

8. O d A F M o r Momento de una fuerza F alrededor del punto O se define como producto vectorial: M O = r x F Donde r es vector posición trazado desde punto O hasta el punto de aplicación de la fuerza F . El ángulo entre las lineas de F y r es  .  La magnitud del momento de F alrededor del punto O será: M O = rF sin  = Fd Donde d es la distancia perpendicular desde o hasta la línea de acción de F.

9. x y z F x i F z k F y j x i y j z k O A ( x , y , z )‏ r Componentes rectangulares del momento M o de una fuerza F M o = r x F = i x F x j y F y k z F z = M x i + M y j + M z k donde M x = y F z - z F y M y = zF x - x F z M z = x F y - y F x

10. x y F x i F z k F y j O r En el caso más general del momento alrededor de un punto arbitrario B de una fuerza F aplicada en A , se tiene, M B = r BA x F = i x BA F x j y BA F y k z BA F z donde z B ( x B , y B , z B )‏ A ( x A , y A , z A )‏ r BA = x BA i + y BA j + z BA k y x BA = x A - x B y BA = y A - y B z BA = z A - z B

11. x y F x i F F y j O M B = ( x A - x B ) F y - ( y A - y B ) F x z B A ( x A - x B ) i r BA ( y A - y B ) j Problemas en dos dimensiones : La fuerza F está contenida en el plano xy . Su momento alrededor de B es perpendicular a dicho plano. Se puede definir completamente por el escalar M B = M B k La regla de la mano derecha es útil para definir la dirección del momento, para adentro o para afuera del plano (dirección k positiva o negativa)‏

13.  P Q Producto escalar de los vectores P y Q se define como: Producto escalar se puede expresar en terminos de las componentes rectangulares de los dos vectores. donde  es el ángulo entre los dos vectores De estas expresiones se deduce como se puede determinar el ángulo entre dos vectores: P Q = PQ cos  P Q = P x Q x + P y Q y + P z Q z

14. Producto triple mixto de tres vectores S ( P x Q ) = S x P x Q x S y P y Q y S z P z Q z Los elementos del determinante son los componentes rectangulares de los tres vectores. Si tenemos tres vectores P , Q y S : El resultado del producto triple mixto nos dará el volumen del paralelepipedo formado por los tres vectores. Este resultado puede ser positivo o negativo. Será positivo cuando los tres vectores forman una triáda dextrogira.

15. x y z O L A  x P   z  y La projección de un vector P sobre un eje OL se puede obtener por medio del producto escalar de P y el vector unitario  que define la dirección del eje OL . P OL = P  Usando componentes rectangulares, P OL = P x cos  x + P y cos  y + P z cos  z Es un escalar que puede ser positivo o negativo. Será positivo cuando la flecha de P coincide con la flecha de  PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE

16. x F O  Es el momento de esta fuerza respecto a cualquier punto en este eje y después proyectado al eje. Por esto se puede calcular con el producto triple mixto. z A ( x, y, z ) y M O L C r  x x F x  y y F y  z z F z M OL =  M O =    ( r x F ) =  x ,  y ,  z = cosenos directores del eje OL x , y , z = componentes de r F x , F y , F z = componentes de F MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE

17. El signo de este producto triple mixto (momento) nos da la dirección del giro según la regla de la mano derecha. Si el signo resulta positivo, entonces se dirige el pulgar de la mano derecha según la flecha del vector unitario que define al eje y los dedos de la misma mano nos dicen como será el giro. Ejemplo Si F=250N, determine el momento de F respecto al eje que es perpendicular al plano ABC y pasa por el punto O.

22. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par Cualquier sistema de fuerzas se puede reducir a un sistema fuerza-par en un punto dado O . Primero, cada una de las fuerzas del sistema se reemplaza por un sistema equivalente de fuerza-par en O . Luego todas las fuerzas se suman para obtener una fuerza resultante R , y todos los pares se suman para obtener un vector del par resultante M O R . En general, la fuerza resultante R y el vector del par M O no van a ser perpendiculares.

24. Cuando R y M son perpendiculares, el momento M se puede eliminar sacando R fuera de su línea de acción. Entonces se concluye que un sistema de fuerzas concurrentes, coplanares o paralelas se puede reducir siempre a una sola fuerza que será la resultante y será definida en su posición en el espacio. La posición se determina a través del momento M que hay que eliminar. Para que los dos sistemas sean equivalentes entonces R corrido a otro punto debe provocar el mismo M . Este requisito nos dará la ecuación de la recta de la resultante como fuerza única. O sea se tiene: M =M x i +M y j +M z k R =R x i +R y j +R z k Ahora corremos R a un punto cualquiera que estará en la nueva línea de acción de R de tal manera que se cumpla : M = r x R donde r= x i+ y j+ z k Igualando y arreglando se obtienen las tres ecuaciones que definen una recta en el espacio: M x =yR z -zR y M y =zR x -xR z M z =xR y -yR x

25. En el caso general, cuando el sistema de fuerzas no es ni concurrente, ni coplanar, ni paralelo, entonces reduciendo el sistema a una resultante y momento respecto a un punto cualquiera, el ángulo entre R y M será diferente a 90° y en tal caso la máxima reducción que se puede obtener es una llave de torsión. Una llave de torsión es un sistema de fuerzas que consta de una fuerza y un momento que tienen la misma línea de acción.

27. La razón M 1 /R se llama paso de la llave de torsión y se designa con p. Línea de acción de la R y M 1 se llama eje de la llave de torsión.

28. SISTEMAS DE FUERZAS EQUIVALENTES Cuando dos sistemas de fuerzas producen el mismo efecto sobre un cuerpo se dice que son equivalentes y se pueden sustituir uno por el otro. Para que dos sistemas sean equivalentes deben ser equipolentes y esto se dará cuando:  F =  F’ y  M o =  M o ’  F x =  F x ’  F y =  F y ’  F z =  F z ’ En total tenemos 6 ecuaciones de equipolencia o equivalencia   M x =  M x ’   M y =  M y ’   M z =  M z ’