17.regresión y correlación simple

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Métodos estadísticos

17.regresión y correlación simple

  1. 1. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN SIMPLE
  2. 2. OBJETIVOS Al finalizar el Tema , el participante será capaz de: 1. Utilizar diagramas de dispersión para visualizar la relación entre dos variables. 2. Identificar relaciones simples entre variables 3. Utilizar la ecuación de regresión para predecir valores futuros. 4. Aplicar el análisis de correlación para describir el grado hasta el cuál dos variables están relacionadas linealmente entre si.
  3. 3. 6. 7. 8. 9. Realizar el diagnostico de la regresión Medición de la autocorrelación Realizar la estimación por intervalos Realizar el análisis de varianza de la regresión simple
  4. 4. CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. El diagrama de dispersión Las ecuaciones lineales simples La regresión lineal simple El error estándar de la estimación El análisis de correlación El diagnóstico de la regresión: al análisis residual La estadística de Durbin-Watson La estimación por intervalos Análisis de varianza de la regresión simple.
  5. 5. 17.1 El diagrama de dispersión Es un gráfico que permite detectar la existencia de una relación entre dos variables. Visualmente se puede buscar patrones que indiquen el tipo de relación que se da entre las variables.
  6. 6. (b) Lineal inversa (a) Lineal directa Y Y • X • • •• •• • • •• • •• •• X (d) Curvilinea inversa X Y Y • • •• • •• X (e) Lineal inversa con más dispersión • • •• • • •• •• • ••• • •• • • • •• • •• • • •• • •• Y • • • •• • • • •• • • • •• • • • Relaciones posibles entre X y Y vistos en diagramas de dispersión Y (c) Curvilínea directa X • •• •• • • • • • • • •• •• • • • •• •• • • X (d) Ninguna relación
  7. 7. Aplicación Los datos siguientes muestran las cantidades consumidas de complemento nutricional (en Kg.) y el aumento de peso de niños con signos de desnutrición. PACIENTE COMPLEMENTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 8 10 9 12 14 13 15 17 14 14 EN Kg: X AUMENTO DE PESO : Y Presente la información en un diagrama de dispersión
  8. 8. Procedimiento 1er Paso: Reúna pares de datos (X,Y), cuya relación desea estudiar y organice la información en una tabla. PACIENTE COMPLEMENTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 8 10 9 12 14 13 15 17 14 14 EN Kg: X AUMENTO DE PESO : Y
  9. 9. 2do Paso: Encuentre los valores mínimos y máximos para X e Y. Elija las escalas que se usarán en los ejes horizontal y vertical, de manera que ambas longitudes sean aproximadamente iguales, facilitando la lectura del diagrama. 20 15 10 5 0 0.0 2.0 4.0 6.0
  10. 10. 3er Paso: Registre los datos en el gráfico. Cuando se obtengan los mismos valores en diferentes observaciones, muestre estos puntos haciendo círculos concéntricos (o), o registre el segundo punto muy cerca del primero. 20 15 10 5 0 0.0 2.0 4.0 6.0
  11. 11. 4to Paso: Agregue toda la información que puede ser de utilidad para entender el diagrama, tal como: título del diagrama, período de tiempo, número de pares de datos, nombre de la variable y unidades de cada eje, entre otros. Aumento de peso (Kg) Relación complemento nutricional y aumento de peso 20 15 10 5 0 0.0 2.0 4.0 Complemento nutricional (Kg) 6.0
  12. 12. 17.2 Las ecuaciones lineales simples Si dos variables, como X e Y, están relacionadas, se puede expresar como una relación, por ejemplo: Y = 3 + 1,5X Al conocer la ecuación se puede: a) Calcular el valor de Y para cualquier valor dado de X b) Conocer el cambio en Y, cuando X varía en 1
  13. 13. Por ejemplo: Y = 3 + 1,5X Valor Valor Cambio dado de X calculado de Y de Y 1 4,5 2 6,0 1,5 3 7,5 1,5 4 9,0 1,5 5 10,5 1,5
  14. 14. El aumento en Y, cuando X varía en una unidad, está dado por el coeficiente de X. Ejemplo: En Y = 10 + 2X cuando X aumenta en 1, Y aumenta en 2 En Y = 5 - 0,8X cuando X aumenta en 1, Y disminuye en 0,8
  15. 15. A) Tipos de Variables En una ecuación como Y = 30 + 3X, el valor de Y depende del valor que toma X, por eso a Y se le llama variable dependiente, y a X se le llama variable independiente. Y = b0 + b1 X Variable Dependiente Variable Independiente
  16. 16. B) Tipo de Relaciones Cuando cambios en X provoca cambios en Y en igual sentido (aumentos o disminuciones), las variables están directamente relacionadas. Se observa el signo + Ejemplo: Y = 30 + 5X Y o o o o o o o o o X
  17. 17. Cuando cambios en X, provoca variaciones en Y en sentido inverso (X aumenta, Y disminuye o viceversa), las variables están inversamente relacionadas. Se observa en la ecuación el signo -. Y Ejemplo: o Y = 20 - 3X o o o o o o o X
  18. 18. C) Grado de la ecuación: La ecuación es de primer grado si la variable independiente está elevada al exponente 1. Su gráfica genera una línea recta (por lo que también se le llama ecuación lineal) Ejemplo: Y = 30 + 4 X
  19. 19. Si la variable independiente está elevada a un exponente diferente a 1, la ecuación toma el valor del exponente. Su gráfica no es una línea recta. Ejemplo: Y = 10 + 3 X + 4 X2 : ecuación de segundo grado Y = 3 + 7X + 5 X3 : ecuación de tercer grado
  20. 20. D) Ecuaciones simples y múltiples:  Simples: Muestra la relación entre dos variables Y = 30 + 2X Y = 10 - 3X2  Múltiple: Muestra la relación entre tres o más variables Y = 3X + 8 Z Y = 5 + 2X2 + 4W
  21. 21. D) Gráfica de una ecuación de primer grado: Ejemplo: Y = 3 + 1,5X X Y 1 4 ,5 2 6 ,0 3 7 ,5 4 9 ,0 5 1 0 ,5 Los cinco pares de valores se diagraman de la forma siguiente. Y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 . . . . . (5,10.5) (4,9) (3,7.5) (2,6) (1,4.5) 1 2 3 4 5 X
  22. 22. E) Forma general: La ecuación simple de primer grado tiene la siguiente forma general Y = b0 + b 1 X Donde: b1: pendiente, o sea, el cambio en Y cuando ∆X = 1. b0: el valor autónomo, es decir, Y = b0 cuando X = 0. En la gráfica es la intersección con el eje Y Ejemplo: Y Y = 3 + 1.5X . b0 = 3 X
  23. 23. 17.3 Regresión lineal simple Es una técnica estadística que permite determinar la mejor ecuación que represente la relación entre dos variables relacionadas. Para poder establecer la relación cuantitativa entre X e Y es necesario disponer de pares de observaciones. Cada par ha sido registrado a la misma unidad elemental.
  24. 24. A) Suposiciones de regresión y correlación a) Normalidad: los valores de Y estarán distribuidos normalmente a cada valor de X. b) Homoscedasticidad: la variación alrededor de la línea de regresión sea constante para todos los valores de X. c) Independencia de error: el error (diferencia residual entre un valor observado y uno estimado de Y) sea independientemente de cada valor de X. d) Linealidad: la relación entre las variables es lineal.
  25. 25. B) El método de Mínimos Cuadrados Es el procedimiento matemático utilizado para determinar los valores numéricos de los coeficientes de regresión: b0 y b1  La ecuación general Y = b0 + b1X se llama ecuación de regresión y permite estimar o predecir los valores de Y.
  26. 26. El método consiste en determinar una ecuación que la suma de los errores al cuadrado sea mínima. Y  Yi - Y = error . 10 8 Línea de estimación ˆ Y 6  Min ∑ ( Y - Y) i 2 • 4 2 Error= -6 • . • Error= 2 X 2 4 6 8 10 12 14
  27. 27. El método utiliza un sistema de ecuación llamado ecuaciones normales, que tienen la siguiente forma: X Para aplicar las fórmulas, tenemos que confeccionar un cuadro como el siguiente: X2 XY 1.0 8.0 1.0 8.0 1.5 10.0 2.3 15.0 2.0 9.0 4.0 18.0 2.5 12.0 6.3 30.0 3.0 ∑ Y = nb0 + b1 ∑ X XY = b0 ∑ X + b1 ∑ X 2 ∑ Y 14.0 9.0 42.0 3.5 13.0 12.3 45.5 16.0 60.0 4.0 15.0 4.5 17.0 20.3 76.5 5.0 14.0 25.0 70.0 5.5 14.0 30.3 77.0 126.0 126.3 442.0 ∑X ∑ XY 32.5 X ∑ Y ∑ 2
  28. 28. Sustituyendo los valores ∑ Y = 126,0 , n = 5, ∑ X = 32,5 2 XY = 442 X = 126,3 ∑ ∑ y ,en las ecuaciones normales, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. 126 = 10b0 + 32,5b1 442 = 32,5b0 + 126,3b1 Resolviendo el sistema tenemos: b0 = 7,479 b1= 1,576 ,por lo tanto, ˆ Y = 7,479 + 1,576X
  29. 29. c) Interpretación b0 = 7,478 : Es probable que un paciente desnutrido que no sea considerado dentro del Programa de Alimentación Complementaria tenga un peso de 7,478 Kg. b1 = 1,576:Por cada Kg. del alimento complementario, se espera que probablemente el niño aumento su peso en 1,576 Kg.
  30. 30. D) Valor observado y valor estimado de Y El valor observado (Yi) se refiere al nivel efectivo u observado de la variable Y (peso del niño), mientras ˆ que el valor estimado ( Yi ), es el nivel estimado de la variable (peso esperado), obtenido utilizando la ˆ X Y Y ecuación de regresión. 1.0 8.0 9.055 Y . . Valor observado xo 9.0 10.630 2.5 12.0 11.418 14.0 12.206 13.0 12.994 4.0 15.0 13.782 4.5 X 2.0 3.5 Valor estimado 9.843 3.0  Y 10.0 17.0 14.570 5.0 Yi 1.5 14.0 15.358 5.5 14.0 16.146
  31. 31. 17.4 Error estándar de estimación (S yx) Mide la disparidad ¨promedio¨ entre los valores observados y estimados de la variable Y. Se calcula por la siguiente relación ˆ ∑ (Y - Y) Syx = n−2 14 2
  32. 32. ˆ Y ˆ ( Y − Y) ˆ )2 (Y − Y X Y 1.0 8.0 9.055 -1.1 1.112181 1.5 10.0 9.843 0.2 0.024806 2.0 9.0 10.630 -1.6 2.658204 2.5 12.0 11.418 0.6 0.338375 3.0 14.0 12.206 1.8 3.217718 3.5 13.0 12.994 0.0 3.48E-05 4.0 15.0 13.782 1.2 1.483524 4.5 17.0 14.570 2.4 5.905386 5.0 14.0 15.358 -1.4 1.843621 5.5 14.0 46 -2.1 4.604028 32.5 126.0 126.0 0.0 21.2
  33. 33. Reemplazando en la formula S yx 2120 , 2120 , = = = 2,65 10 − 2 8 Syx =1 ,628 El Syx es un indicador del grado de precisión con que la ecuación de regresión describe la relación entre las dos variables: cuanto más pequeño, los valores observado y estimado de Y son razonablemente cercanos y, la ecuación de regresión es una buena descripción esa la relación.
  34. 34. 17.5 El análisis de correlación El análisis de correlación es la técnica estadística que permite describir el grado hasta el cual una variable está linealmente relacionada con otra. Hay dos medidas que se usan para describir la correlación  El coeficiente de determinación  El coeficiente de correlación
  35. 35. A) El coeficiente de determinación Al construir un modelo de regresión, se define que “el valor Y depende de X”. Y = f (X) Si la relación es lineal: Y = b0 + b1X Pero en la práctica Y depende también de “otros factores” diferentes a X: Y = b0 + b1X + ε Parte de los cambios en Y pueden explicarse por X, a esto se llama variación explicada. Pero hay cambios en Y que no pueden explicarse por X, a lo que se llama variación no explicada.
  36. 36. Yi Y Variación Total ( Yi - Y ) Variación no explicada  ( Yi - Y) Variación  Explicada Y - Y ( ) y X VARIACION TOTAL = VARIACION EXPLICADA + VARIACION NO EXPLICADA
  37. 37. El coeficiente de determinación se puede calcular del modo siguiente: variacion explicada r = variacion total 2 r2 = ( ˆ ∑Y-Y ( ) ∑Y -Y i 2 )2 Se elevan al cuadrado, para evitar que ∑ ( Y - Y ) = 0 obteniéndose un número positivo.
  38. 38. 1er Paso: Cálculo de la venta media por vendedor son ( Y ) n Y= ∑Y i=1 i n Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 Y= 5 9 + 5 + 7 + 14 + 10 45 Y= = 5 5 Y = 9 unidades
  39. 39. 2do Paso: Se calcula la variación total, es decir, la sumatoria de las desviaciones de las ventas 2 observadas (Yi) con respecto a la media: ∑ Yi - Y ( Y Y ( Y − Y) ( Y − Y) 2 8.0 12.6 -4.6 21.16 10.0 12.6 -2.6 6.76 9.0 12.6 -3.6 12.96 12.0 12.6 -0.6 0.36 14.0 12.6 1.4 1.96 13.0 12.6 0.4 0.16 15.0 12.6 2.4 5.76 17.0 12.6 4.4 19.36 14.0 12.6 1.4 1.96 14.0 12.6 1.4 1.96 126.0 126.0 ∑Y 0.0 ∑ ( Y − Y) 72.4 2 ∑ ( Y − Y) ∑Y )
  40. 40. 3er Paso: Se calcula la variación explicada, es decir, la sumatoria de las desviaciones cuadráticas entre las ventas esperadas y la venta media de la  muestra: ∑ ( Y - Y ) ˆ ( Y − Y) ( Y − Y) ˆ ˆ Y Y 2 2 9.055 12.6 -3.545 12.5699 9.843 12.6 -2.758 7.6038 10.630 12.6 -1.970 3.8793 11.418 12.6 -1.182 1.3964 12.206 12.6 -0.394 0.1551 12.994 12.6 0.394 0.1553 13.782 12.6 1.182 1.3971 14.570 12.6 1.970 3.8805 15.358 12.6 2.758 7.6055 16.146 12.6 3.546 12.5720 126.0 126.0 0.0 ˆ ∑Y ∑Y 51.2 ˆ ˆ ∑ ( Y − Y) ∑ ( Y − Y)2
  41. 41. 4to Paso: Se compara la variación explicada y la variación total. variacion explicada r = variacion total 2 r2 = r 2 = ( ) ˆ -Y 2 ∑ Y ∑ (Yi - Y ) 2 51,2 = 0,707 72,4 5to Paso: Interpretación: 70,7% de las variaciones en el incremento de peso, pueden explicarse por el consumo del complemento nutricional.
  42. 42. Valores posibles de r2 Si r2 = 1 : Correlación perfecta, es decir, toda variación de Y puede explicarse por X Si r2 = 0 : no existe correlación entre X e Y. La variación explicada es 0. La variable X no explica nada de los cambios en Y Resumen 2 0 ≤ r ≤1 Cuanto más cerca a uno, las variables tendrán mayor correlación.
  43. 43. B) El coeficiente de correlación Es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación. r = r2 Sus valores oscilan entre -1 y 1 Cuando r es positivo, indica que X e Y están directamente relacionados.
  44. 44. Cuando r es negativo, indica que X e Y están inversamente relacionados. El coeficiente r tiene el mismo signo que el coeficiente b1 en la ecuación de regresión
  45. 45. Interpretación del coeficiente de correlación de Pearson Fuerte Moderada Negativa Negativa -1 -0,9 Perfecta Negativa -0,5 Débil Negativa Débil Positiva 0 No existe correlación Moderada Positiva 0,5 Fuerte Positiva 0,9 1 Perfecta Positiva
  46. 46. Ejemplo: r2= 0,707 r = 0,707 r = 0,84 el signo es positivo ya que X e Y están relacionados directamente como lo indica el signo del coeficiente b1 en la ecuación de ˆ regresión Y = 7,479 + 1,576X
  47. 47. Interpretación: El incremento de peso (Y) y el consumo del complemento nutricional (X) se encuentran directamente asociados.
  48. 48. 17.6 Diagnóstico de la regresión: análisis residual El análisis residual permite evaluar lo adecuado del modelo de regresión que ha sido ajustado a los datos. También sirve para detectar si los supuestos se cumplen. A. Evaluación de lo adecuado de modelo ajustado Los valores del error residual o estimado ( εi) se define como la diferencia entre los valores ˆ observados (Yi) y los estimados ( Yi de la variable ) dependiente para los valores dados de X i ˆ ε = Yi - Yi i
  49. 49. Podemos evaluar lo adecuado del modelo de regresión ajustado mediante el gráfico de los residuos (eje vertical) con respecto a los correspondientes valores de Xi de la variable independiente (eje horizontal). Variable X 1 Gráfico de los residuales 3 2 Residuos Ejemplo: El gráfico muestra un adecuado ajuste entre el incremento de peso y el consumo del complemento nutricional. No se observa una tendencia. 1 0 -1 0 1 2 3 -2 -3 Variable X 1 4 5 6
  50. 50. El análisis del gráfico nos brinda el criterio para adoptar el modelo lineal o dejarlo de lado. Si fuese así, podríamos probar con modelos no lineales como el cuadrático, logaritmo o exponencial. El análisis de residuos se complementa con el cálculo de los residuos estandarizados (SRi), que resultan de la división del residuo dividido por su error estándar. εi SR i = S YX 1 − hi En donde 1 hi = + n ( Xi − X ) 2 n Xi2 − n X ∑ i=1 2
  51. 51. Los valores estandarizados nos permiten tomar en cuenta la magnitud de los residuos en unidades que reflejen la variación estandarizada alrededor de la línea de regresión. Análisis de los residuales Observación Pronóstico para Y Residuos Residuos estándares 1 9.138461538 -0.138461538 -0.101107641 2 3.276923077 1.723076923 1.258228423 3 6.207692308 0.792307692 0.578560391 4 15 -1 -0.730221853 5 12.06923077 -2.069230769 -1.510997526 6 44.30769231 0.692307692 0.505538206
  52. 52. En el gráfico siguiente, los residuos estandarizados fueron graficados en función de la variable independiente (cantidad del complemento nutricional). Se puede observar de que existe una dispersión amplia en la gráfica de residuos, no existe un patrón evidente o una relación entre los residuos estandarizados y Xi . Los residuos parecen estar equitativamente distribuidos por arriba y por debajo de 0, para diferentes valores de X. Podemos concluir que el modelo ajustado parece ser adecuado.
  53. 53. Residuos estándares 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 -1 -1.5 -2 5 10 15 20
  54. 54. B. Evaluación de las suposiciones a. Homoscedasticidad b. Normalidad c. Independencia:
  55. 55. 17.7 Medición de la autocorrelación: Durbin-Watson Una de las suposiciones del modelo de regresión básico es la independencia de los residuos. Esta suposición es violada con frecuencia cuando los datos son recopilados en periodos secuenciales, debido a que un residuo en cualquier punto del tiempo puede tender a ser parecido a los residuos que se encuentran en puntos de tiempo adyacentes. El estadístico D de Durbin-Watson mide la correlación de cada residuo y el residuo del periodo inmediato anterior al periodo de interés.
  56. 56. El estadístico D (Durbin-Watson) n D= ( εi − εi−1 ) 2 ∑ i =2 n ε i2 ∑ i=1 En la que ε i representa el residuo en el periodo i.
  57. 57. Interpretación de D: Cuando residuos sucesivos están correlacionados positivamente, el valor de D se aproximará a cero. Si los resultados no están correlacionados, el valor D estará cercano a 2. Si se presentase una autocorrelación negativa, lo cual rara vez sucede, de valor D tomará un valor mayor a 2 e, incluso podría aproximarse a su valor máximo que es 4.
  58. 58. Los resultados de SPSS nos proporciona el valor de D de Durbin-Watson b Model Summary Change Statistics Model 1 R Square Change F Change .707a 19.336 df1 df2 1 8 Sig. F Change .002 Durbin-Watson 1.517 a. Predictors: (Constant), Complemento b. Dependent Variable: AUMENTO Según este resultado permite afirmar que los residuos no están correlacionados.
  59. 59. 17.8 Estimación por intervalos A.Intervalo de confianza para β1  σ ε2  β1,  SC x b1∼ N      b1 − β1 b1 − β1 = ≈t S yx Sb1 SC x 2 σε SC x σ desconocido conocido 2 ε Lo que se va hacer es∑ )2   n ( estimar Y 2  Y − ∑  i=1 = n  −b 2SC 1 x   se S estima mediante la siguiente formula: 2 yx n −2
  60. 60. -t0 t0 Pr( − t 0 ≤ t ≤ t 0 )     b1 − β 1   Pr − t 0 ≤ ≤ t0  = 1− α S yx     SC x    S yx S yx    Pr b1 − t 0 ≤ β 1 ≤ b1 + t 0  = 1− α SC x SC x    
  61. 61. B. Intervalo de confianza para β0 2  1 x 2 b0 ≈ Ν β0 ,σ ε  +  n SC  x   b0 − β0 = Sb0 b0 − β0 2 S yx donde:  S 2 yx 1 x + n SC x  Y ∑ = 2     ≈ t n −2 (∑Y ) − 2 n n −2   − b 2 SC x 0  
  62. 62. -t0 t0 Pr( −t 0 ≤ t ≤ t 0 )   b0 − β 0 Pr  − t 0 ≤ ≤ t0  = 1− α   Sb 0   ( ) Pr b 0 − t 0Sb0 ≤ β0 ≤ b 0 + t 0Sb0 = 1 − α t0 con (n-2) grados de libertad y α
  63. 63. C. Intervalo de confianza para µ Y/X (   1 X0 − X2 2 ˆ Y ≈ N µy / X0 ,σε  + n  SC x   0 )     Para un nivel dado de confianza, una variación aumentada alrededor de la línea de regresión, medida a través del error estándar de la estimación, tiene como resultado un intervalo más amplio.
  64. 64. Sin embargo, como se esperaría, un tamaño de muestra aumentado reduce el ancho del intervalo. ( ) Pr y − t 0S y ≤ µy / X0 ≤ y + t 0S y = 1 −α ˆ ˆ ˆ ˆ donde: (  1 X0 − x 2 S y = S2  + yx  ˆ SC x n )   
  65. 65. D. Intervalo de confianza para un valor individual Además de obtener una estimación de intervalo de confianza para el valor promedio, a menudo es importante tener la capacidad de predecir la respuesta que se obtendría para un valor individual. ( 2   1 X0 − X 2 ˆ Y ≈ N µy / X0 ,σ ε 1 + +   n SC x   )    
  66. 66. El intervalo de predicción está estimando un valor individual, no un parámetro. ( ) Pr y − t 0S y ≤ µY / X0 ≤ y + t 0S y = 1 −α ˆ ˆ ˆ ˆ donde: ( 2  1 X0 − x S y = S 2 1 + + yx  ˆ n SC x  )   
  67. 67. 17.9 Análisis de varianza de la regresión simple El análisis de varianza es una técnica que permite localizar las fuentes de variabilidad que ayuden a explicar el comportamiento de la variable dependiente. SCtotal = SCerror + SCregresión (SCresidual)
  68. 68. El cuadro de Análisis de Varianza Fuentes de variabilidad Suma de Cuadrados Debido a la Regresión Error Experimental Total 2 b SC X ∑ Y2 ( Y) − ∑ n GL 1 2 2 • b1 SC x n − 2 SC total n −1 Cuadrado Medio 2 1 b SC x S2 yx F calculado 2 b1 SC x S2 yx E(CMe) σ ε2 + β 12SC x 2 σε
  69. 69. Asumiendo que existe una regresión lineal, determine: A.La ecuación de regresión e interprete los coeficientes de regresión. intervalo de confianza para β1y para un valor individual si X = 3,8. C.El cuadro de ANOVA para la regresión lineal ˆ D.El valor de y cuando X = 5,1 E.La prueba de hipótesis respectiva a partir del ANOVA e interprete el resultado. F.Estime el aumento de peso que puede darse se consumen 6 Kg. del complemento nutricional mediante un intervalo e interprete el resultado. B.El
  70. 70. Solución Primero se realizan los cálculos necesarios: n = 10 ∑ Xi = 32,5 ∑ Yi = 126 ∑ Xi2 = 126,25 ∑ Yi2 = 1660 ∑ Xi Yi = 442 A. Cálculo de los coeficientes de regresión: ˆ Y = b0 + b1X b0 = Y − b1 X b1 = ∑ Xi Yi − ∑ Xi ∑ Yi ( 32,5)(126 ) 442 − 32,5 10 n = = 2 ( 32,5) 20,62 = 1,57 ( ∑ Xi ) 2 126,25 − ∑ Xi − n 10 b0 = 12,6 − (157)(3,25) = 7,49 ,
  71. 71. La ecuación de regresión será: ˆ Y = 7,49 + 157 X , Interpretación: b0= Se espera que el peso que un niño que no consume este complemento nutricional sea 7,49 Kg. b1= Por cada Kg. de complemento nutricional, el peso del niño se incrementará en 1,57 Kg.
  72. 72. B. Intervalo de confianza para β1   Pr 157 − t ( 0,10 )( 8 ) ,   S yx SC x ≤ β1 ≤ 157 + t ( 0,10 )( 8 ) , S yx    = 1 − 0,10 SC x   S yx S yx   Pr 157 − 186 , , ≤ β1 ≤ 157 + 186 , ,  = 0,90 4,54 4,54   S 2 yx = (126 ) 2 − (1,57 ) 2 ( 20,62) 1660 − S yx = 1 642 , 10 8 72,7 − 50,82 = = 2,69 8
  73. 73.  , ,  1 642   1 642  Pr 157 − 186 , , , ,  ≤ β1 ≤ 157 + 186  = 0,90  4,54   4,54   Pr {0,8973 ≤ β1 ≤ 2,2427} = 0,90 Interpretación: Hay 0,90 de confianza que el intervalo que se ha construido, pertenezca al grupo de intervalos que contienen al verdadero parámetro β1.
  74. 74. Intervalo de confianza para un valor individual ˆ Si X = 3,8 entonces Y = 13,45 ˆ ˆ Pr { Y − t 0S Y ≤ Yind ≤ Y − t 0S Y } = 1 − α ˆ ˆ Pr {13,45 − (1,86)S Y ≤ Yind ≤ 13,45 − (1,86)S Y } = 1 − α ˆ ˆ 1 ( 3,80 − 3,25 ) S Y = 1,642 1 + + = ˆ 10 20,62 2 Interpretación
  75. 75. C. Análisis de Varianza Fuentes de variabilidad Suma de Cuadrados Debido a la Regresión Error Experimental Total GL Cuadrado Medio F calculado 50,82 1 50,82 18,84 21,58 8 2,697 72,40 9 E(CMe) Interpretación: Se rechaza la hipótesis planteada. El complemento nutricional si explica significativamente los cambios en el peso de los niños.
  76. 76. D. Si X = 5,1 ˆ Y = 7,49 + 1,57(5,51) ˆ Y = 16,14 E. Prueba de Hipótesis acerca de β1 1. Hp: β1= 0 Ha: β1≠ 0 2. α = 0,10 3. Fc = CMeregresión CMeerror
  77. 77. Supuestos - La muestra seleccionada al azar - La población se distribuye al azar - Los valores de X fijas y de Y variables (o aleatorias) - Asunciones de la regresión lineal simple 4. Criterios de decisión F1-α/2 Fα/2 0,0041 5,32 Si {5,32 ≤ Fc ≤ 0,0041}se rechaza la hipótesis planteada
  78. 78. 5. Cálculos 50,82 Fc = = 18,84 2,697 6. Conclusiones La variable “complemento nutricional” es apropiada para explicar el comportamiento del “aumento de peso” en niños desnutridos. Además, la ecuación de regresión puede ser usada con fines de predicción hasta cierto límite.
  79. 79. F. ¿ Para X = 6, que promedio de Y vamos a obtener? { } Pr 16,91 − (1,86 ) S Y ≤ µ Y X0 ≤ 16,91 + (186 ) S Y = 1 − α , ˆ ˆ
  80. 80. 17.10 Resultados con Excel Estadísticas de la regresión 0.99582747 Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 0.99167236 R^2 ajustado 0.98959045 Error típico 1.5310881 Observaciones 6 ANÁLISIS DE VARIANZA GL SC CMe F cal P-valor 476.328138 2.60786E-05 Superior 95% Inferior 95.0% Superior 95.0% Regresión 1 1116.62308 1116.62308 Residuos 4 9.37692308 2.34423077 Total 5 1126   Coefic ientes Error típico Estadíst ico t P-valor Inferior 95% Intercepción 0.346154 0.9173433 0.37734384 0.72508508 -2.200804756 2.893112448 -2.200804756 2.893112448 Variable X 1 2.930769 0.13428531 21.824943 2.6079E-05 2.557932668 3.303605794 2.557932668 3.303605794
  81. 81. Ejemplo: En la Farmacia Santa Rita, se desea determinar la relación lineal simple entre la experiencia  del  vendedor y las ventas  durante un mes. Se seleccionan 5 vendedores, los datos registrados se presentan a continuación: VENDEDOR CARLOS PEDRO JOSE JUAN MANUEL EXPERIENCIA (años):X 3 1 2 5 4 VENTAS (unidades) : Y 9 5 7 14 10
  82. 82. Caso 1 Un equipo de profesionales en salud mental de un hospital psiquiátrico donde el tiempo de permanencia es largo, quiere medir el nivel de respuesta de pacientes retraídos mediante un programa de terapia de remotivación. Para este propósito se contaba con una prueba estandarizada, que era costosa y su aplicación tomaba mucho tiempo. Para salvar este obstáculo, el equipo creó una prueba más fácil de aplicar.
  83. 83. Para probar la utilidad de este nuevo instrumento para medir el nivel de respuesta del paciente, el equipo decidió examinar la relación entre las calificaciones obtenidas con la nueva prueba y las calificaciones obtenidas con la prueba estandarizada. Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Prueba nueva 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Prueba estandar 61 61 59 71 80 76 90 106 98 100 114
  84. 84. Caso 2 Se llevo a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardiaca en adultos. Se reunieron los siguientes datos: dosis en miligramos del medicamento y la diferencia entre la frecuencia cardiaca mas baja después de la administración del medicamento y un control antes de administrarlo.
  85. 85. Dosis (mg) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 Reduccion ritmo cardiaco 10 8 12 12 14 12 16 18 17 20 18 20 Determine la ecuación de regresión lineal y explique el valor de los coeficientes de regresión. Calcule e interprete el coeficiente de correlación y el coeficiente de determinación.
  86. 86. Hoja de Comprobación 1. El análisis de regresión se usa para describir que tan bien una ecuación de estimación describe la relación que está estudiando 2. Dado que la ecuación para una línea es Y  = 26 - 24X, podemos decir que la relación Y con X es directa y lineal 3. Un valor r2 cercano a cero indica una fuerte correlación entre X y Y
  87. 87. 4. Los análisis de regresión y correlación se usan para determinar relaciones de causa y efecto 5. El coeficiente de correlación de muestra, r, no es nada más que r y no podemos interpretar su significado directamente como un porcentaje del mismo tipo 2 6. El error estándar de la estimación mide la variabilidad de los valores observados alrededor de la ecuación de regresión. 7. La línea de regresión se deriva de una muestra y no de toda la población
  88. 88. 8. Podemos interpretar el coeficiente de determinación de muestra como la cantidad de la variación en Y que es explicada por la línea de regresión 9. Las líneas trazadas a cada lado de la línea de regresión a ±1, ±2 y ±3 veces el valor del error estándar de la estimación se denominan líneas de confianza 10.La ecuación de estimación es válida sólo sobre el mismo intervalo que el dado por los datos originales de muestra sobre los cuales se desarrolló 11.En al ecuación Y = a + bX para la variable dependiente Y y la variable independiente X, la intersección Y es b.
  89. 89. 12.Si una línea se ajusta a un conjunto de puntos mediante el método de mínimos cuadrados, los errores individuales positivos y negativos desde la línea suman cero. 13. Si Se = 0 para una ecuación de estimación, debe estimar perfectamente la variable dependiente en los puntos observados 14.Supongamos que la pendiente de una ecuación de estimación es positiva. Entonces el valor de r debe ser la raiz cuadrada positiva de r2
  90. 90. 15.Si r = 0.8, entonces la ecuación de regresión explica 80% de la variación total en la variable dependiente 16.El coeficiente de correlación es el porcentaje de la variación total de la variable dependiente que es explicada por la regresión 17.El error estándar de la estimación es medido perpendicularmente desde la línea de regresión más que sobre el eje X 18.Al cuadrar los errores individuales, el método de mínimos cuadrados magnidica todas las desviaciones desde la línea de regresión estimada
  91. 91. 19. Una ecuación de regresión no puede ser válida al ampliarse fuera del intervalo de muestra de la variable independiente 20. Un valor r2 implica que no existe una relación de causa-efecto significativa entre X y Y 21. Una valor pequeño de r2 implica que no existe una relación de causaefecto significativa entre X y Y

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