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1. REGRESIÓN EXPONENCIAL O LOGARÍTMICA
Los modelos que no son lineales en los parámetros son intrínsecamente lineales si los
hace lineales una transformación. Ejemplos típicos de esta situación son las curvas
exponencial o logarítmica.
Las transformaciones tienen por objeto proporcionar un procedimiento más fácil de
ajuste y/o procedimientos válidos de estimación y prueba. Por ejemplo podemos
convenir en que la ecuación 𝑌̂ = 𝑏0 𝑋 𝑏1se basa en un sólido razonamiento biológico,
entonces 𝐿𝑛𝑌̂ = 𝐿𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝐿𝑛𝑋 es una ecuación lineal si el par de observaciones se
considera (𝐿𝑛𝑌, 𝐿𝑛𝑋). Los procedimientos de la regresión lineal simple son aplicables.
Ahora consideramos los tipos generales de curvas.
Modelo Ecuación Ecuación Linealizada
Logarítmico 𝑒 𝑌̂
= 𝑏0 𝑋 𝑏1 𝑌̂ = 𝐿𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝐿𝑛𝑋
Exponencial 𝑌̂ = 𝑏0 𝑏1
𝑋
𝐿𝑛𝑌̂ = 𝐿𝑛𝑏0 + 𝐿𝑛𝑏1 𝑋
Exponencial 𝑌̂ = 𝑏0 𝑒 𝑏1 𝑋
𝐿𝑛𝑌̂ = 𝐿𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝑋
Doble Logarítmico o Potencia 𝑌̂ = 𝑏0 𝑋 𝑏1 𝐿𝑛𝑌̂ = 𝐿𝑛𝑏0 + 𝑏1 𝐿𝑛𝑋
La medida de ajuste del modelo es el coeficiente de determinación r2. Se recomienda
hacer un plot (diagrama de dispersión) para observar un tipo de tendencia.

2. Ejemplo 1. Logarítmico: 𝒆 𝒀̂
= 𝒃 𝟎 𝑿 𝒃 𝟏
𝒀̂ = 𝑳𝒏𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏 𝑳𝒏𝑿
Humedad de semilla y humedad relativa de equilibrio
Humedad de
semilla
Humedad
relativa de
equilibrio
% %
X Y LnX (LnX)2
Y2
(LnX)(Y)
9.4 40.0 2.2407 5.0208 1600.00 89.6284
9.9 40.0 2.2925 5.2557 1600.00 91.7014
12.9 59.0 2.5572 6.5394 3481.00 150.8764
12.6 63.5 2.5337 6.4196 4032.25 160.8897
14.1 71.5 2.6462 7.0022 5112.25 189.2015
14.7 71.0 2.6878 7.2245 5041.00 190.8372
15.2 76.5 2.7213 7.4054 5852.25 208.1791
14.6 75.5 2.6810 7.1879 5700.25 202.4171
15.2 79.0 2.7213 7.4054 6241.00 214.9823
15.8 79.0 2.7600 7.6177 6241.00 218.0408
15.8 82.0 2.7600 7.6177 6724.00 226.3208
17.2 85.5 2.8449 8.0935 7310.25 243.2398
17.0 85.0 2.8332 8.0271 7225.00 240.8231
18.2 87.5 2.9014 8.4182 7656.25 253.8744
18.5 86.5 2.9178 8.5134 7482.25 252.3872
18.2 88.0 2.9014 8.4182 7744.00 255.3251
19.4 90.0 2.9653 8.7928 8100.00 266.8746
20.3 90.5 3.0106 9.0638 8190.25 272.4612
19.9 88.5 2.9907 8.9444 7832.25 264.6787
19.5 89.5 2.9704 8.8234 8010.25 265.8521
19.8 91.0 2.9857 8.9143 8281.00 271.6971
22.6 92.0 3.1179 9.7216 8464.00 286.8514
∑Y ∑LnX ∑(LnX)2
∑Y2
∑(LnX)(Y)
1711.0 61.0412 170.4272 137920.50 4817.1393
Y LnX
77.8 2.7746
𝑆𝑃[( 𝐿𝑛𝑋)(𝑌)] = 69.7972
𝑆𝐶( 𝐿𝑛𝑋) = 1.0622
𝑆𝐶( 𝑌) = 4851.3636
𝑏1 = 65.7102
𝐿𝑛𝑏0 = −104.5468
𝑏0 = 𝑒−104.5468
𝑟 = 0.9723

3. 𝑟2 = 0.9454
𝑒 𝑌̂
= 2.7183−104.5468
𝑋65.7102
𝑌̂ = −104.5468+ 65.7102𝐿𝑛𝑋
ANVA
F de V GL SC CM Fc F0.05 F0.01
Regresión 1 4586.3850 4586.3850 346.17 4.35 8.10 **
Error 20 264.9786 13.2489
Total 21 4851.3636
𝐶𝑉(%) = 4.6802
10
30
50
70
90
110
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Humedadrelativadeequilibrio
Humedadde semilla
Y = -104.55 + 65.71LnX

4. Ejemplo 2. Exponencial: 𝒀̂ = 𝒃 𝟎 𝒃 𝟏
𝑿
𝑳𝒏𝒀̂ = 𝑳𝒏𝒃 𝟎 + 𝑳𝒏𝒃 𝟏 𝑿
Tiempo y población
Año Tiempo Población
Decada nº habitantes
X Y LnY X2
(LnY)2
XLnY
1860 0 731 6.5944 0 43.4863 0.0000
1870 1 2300 7.7407 1 59.9179 7.7407
1880 2 2636 7.8770 4 62.0474 15.7540
1890 3 16159 9.6902 9 93.9006 29.0707
1900 4 17700 9.7813 16 95.6742 39.1253
1910 5 39579 10.5861 25 112.0645 52.9303
1920 6 74361 11.2167 36 125.8141 67.3001
1930 7 147995 11.9049 49 141.7274 83.3345
1940 8 203341 12.2226 64 149.3929 97.7811
1950 9 334387 12.7201 81 161.7998 114.4805
1960 10 573224 13.2590 100 175.8019 132.5903
∑X ∑LnY ∑X2
∑(LnY)2
∑XLnY
55 113.5930 385 1221.6271 640.1075
X LnY
5 10.3266
𝑆𝑃( 𝑋𝐿𝑛𝑌) = 72.1423
𝑆𝐶( 𝑋) = 110.0000
𝑆𝐶( 𝐿𝑛𝑌) = 48.5925
𝐿𝑛𝑏1 = 0.6558
𝐿𝑛𝑏0 = 7.0474
𝑏1 = 1.9268
𝑏0 = 1149.9180
𝑟 = 0.9868
𝑟2 = 0.9738
𝑌̂ = (1149.92)(1.93) 𝑋
𝐿𝑛𝑌̂ = 7.0474 + 0.6558𝑋

5. ANVA
F de V GL SC CM Fc F0.05 F0.01
Regresión 1 47.3137 47.3137 333.00 5.12 10.56 **
Error 9 1.2788 0.1421
Total 10 48.5925
𝐶𝑉(%) = 3.6502
0
180000
360000
540000
720000
900000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Población
Decada
Y = (1149.92)(1.93)X

6. Ejemplo 3. Exponencial: 𝒀̂ = 𝒃 𝟎 𝒆 𝒃 𝟏 𝑿
𝑳𝒏𝒀̂ = 𝑳𝒏𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏 𝑿
Conductividad Eléctrica de bloques de yeso y el porcentaje de humedad en el suelo.
Conductividad
Electrica
Humedad en
el Suelo
Ohmios %
X Y Ln Y X2
(Ln Y)2
X Ln Y
6.0 43.70 3.78 36.00 14.27 22.66
8.0 35.88 3.58 64.00 12.82 28.64
8.5 34.17 3.53 72.25 12.47 30.02
8.5 34.17 3.53 72.25 12.47 30.02
9.0 32.53 3.48 81.00 12.13 31.34
9.5 30.96 3.43 90.25 11.78 32.61
10.0 29.48 3.38 100.00 11.45 33.84
10.5 28.06 3.33 110.25 11.12 35.01
11.0 26.72 3.29 121.00 10.79 36.14
12.0 24.21 3.19 144.00 10.16 38.24
14.0 19.89 2.99 196.00 8.94 41.86
16.0 16.36 2.79 256.00 7.81 44.72
18.0 13.41 2.60 324.00 6.74 46.73
∑X ∑Ln Y ∑X2
∑(Ln Y)2
∑X Ln Y
141.0 42.91 1667.00 142.94 451.83
X Ln Y
10.8 3.30
𝑆𝑃( 𝑋𝐿𝑛𝑌) = −13.5437
𝑆𝐶( 𝑋) = 137.6923
𝑆𝐶( 𝐿𝑛𝑌) = 1.3322
𝑏1 = −0.0984
𝐿𝑛𝑏0 = 4.3673
𝑏0 = 78.8335
𝑟 = −1.0000
𝑟2 = 1.0000
𝑌̂ = 78.8335𝑒−0.0984𝑋
𝐿𝑛𝑌̂ = 4.3673 − 0.0984𝑋

7. ANVA
F de V GL SC CM Fc F0.05 F0.01
Regresión 1 1.3322 1.3322 5620771 4.84 9.65 **
Error 11 0.0000 0.0000
Total 12 1.3322
𝐶𝑉(%) = 0.0011
0
10
20
30
40
50
6 9 12 15 18
Humedadenelsuelo(%)
Conductividadeléctrica(Ohmios)
Y = 78.8335e-0.0984X

8. Ejemplo 4. Doble Logarítmico o Potencia: 𝒀̂ = 𝒃 𝟎 𝑿 𝒃 𝟏
𝑳𝒏𝒀̂ = 𝑳𝒏𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏 𝑳𝒏𝑿
Diámetro y peso de bulbos de cebolla
Diámetro Peso
mm g
X Y LnX LnY (LnX)2
(LnY)2
LnXLnY
35.1 24.3 3.5582 3.1905 12.6608 10.1791 11.3524
35.3 24.1 3.5639 3.1822 12.7013 10.1265 11.3410
35.5 24.4 3.5695 3.1946 12.7416 10.2054 11.4032
37.8 27.8 3.6323 3.3250 13.1937 11.0559 12.0776
37.8 28.7 3.6323 3.3569 13.1937 11.2688 12.1933
41.4 42.0 3.7233 3.7377 13.8628 13.9702 13.9164
41.7 34.5 3.7305 3.5410 13.9166 12.5384 13.2096
44.8 56.1 3.8022 4.0271 14.4568 16.2178 15.3120
44.9 49.0 3.8044 3.8918 14.4737 15.1463 14.8062
47.9 58.4 3.8691 4.0673 14.9701 16.5431 15.7369
51.0 63.4 3.9318 4.1495 15.4593 17.2181 16.3150
53.9 78.7 3.9871 4.3656 15.8972 19.0588 17.4064
56.9 80.7 4.0413 4.3907 16.3321 19.2786 17.7443
58.1 80.0 4.0622 4.3820 16.5012 19.2022 17.8005
60.0 96.2 4.0943 4.5664 16.7637 20.8523 18.6965
63.0 112.8 4.1431 4.7256 17.1656 22.3314 19.5789
66.2 115.3 4.1927 4.7475 17.5786 22.5391 19.9049
67.1 125.6 4.2062 4.8331 17.6920 23.3589 20.3289
69.2 146.6 4.2370 4.9877 17.9522 24.8772 21.1329
69.5 132.6 4.2413 4.8873 17.9889 23.8861 20.7288
70.7 142.8 4.2584 4.9614 18.1344 24.6159 21.1280
73.1 137.1 4.2918 4.9207 18.4198 24.2134 21.1188
73.1 163.2 4.2918 5.0950 18.4198 25.9588 21.8668
77.4 180.0 4.3490 5.1930 18.9137 26.9668 22.5841
81.7 198.0 4.4031 5.2883 19.3869 27.9658 23.2845
81.7 207.8 4.4031 5.3366 19.3869 28.4790 23.4972
82.3 190.8 4.4104 5.2512 19.4514 27.5754 23.1599
83.1 225.5 4.4200 5.4183 19.5368 29.3582 23.9492
84.6 237.0 4.4379 5.4681 19.6953 29.8997 24.2669
92.4 300.2 4.5261 5.7044 20.4858 32.5407 25.8191
∑LnX ∑LnY ∑(LnX)2
∑(LnY)2
∑LnXLnY
121.8145 134.1867 497.3322 617.4277 551.6601
LnX LnY
4.0605 4.4729
𝑆𝑃( 𝐿𝑛𝑋𝐿𝑛𝑌) = 6.7971
𝑆𝐶( 𝐿𝑛𝑋) = 2.7061
𝑆𝐶( 𝐿𝑛𝑌) = 17.2254

9. 𝑏1 = 2.5118
𝐿𝑛𝑏0 = −5.7260
𝑏0 = 0.00326
𝑟 = 0.9956
𝑟2 = 0.9912
𝑌̂ = 0.00326𝑋2.5118
𝐿𝑛𝑌̂ = −5.7260 + 2.5118𝐿𝑛𝑋
ANVA
F de V GL SC CM Fc F0.05 F0.01
Regresión 1 17.0725 17.0725 3128 4.18 7.60 **
Error 28 0.1528 0.0055
Total 29 17.2254
𝐶𝑉(%) = 1.6516
0
50
100
150
200
250
300
30 40 50 60 70 80 90 100
Pesodebulbo(g)
Diámetrode bulbo(mm)
Y = 0.00326X2.5118

10. Ejemplo 5. Cuadrático: 𝒀̂ = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏 𝑿 + 𝒃 𝟏 𝑿 𝟐
Humedad de semilla y humedad relativa de equilibrio
Humedad
de semilla
Humedad
relativade
equilibrio
% %
X X2
Y X4
Y2
X3
XY X2
Y
9.4 88.4 40.0 7807.5 1600.0 830.6 376.0 3534.4
9.9 98.0 40.0 9606.0 1600.0 970.3 396.0 3920.4
12.9 166.4 59.0 27692.3 3481.0 2146.7 761.1 9818.2
12.6 158.8 63.5 25204.7 4032.3 2000.4 800.1 10081.3
14.1 198.8 71.5 39525.4 5112.3 2803.2 1008.2 14214.9
14.7 216.1 71.0 46694.9 5041.0 3176.5 1043.7 15342.4
15.2 231.0 76.5 53379.5 5852.3 3511.8 1162.8 17674.6
14.6 213.2 75.5 45437.2 5700.3 3112.1 1102.3 16093.6
15.2 231.0 79.0 53379.5 6241.0 3511.8 1200.8 18252.2
15.8 249.6 79.0 62320.1 6241.0 3944.3 1248.2 19721.6
15.8 249.6 82.0 62320.1 6724.0 3944.3 1295.6 20470.5
17.2 295.8 85.5 87521.3 7310.3 5088.4 1470.6 25294.3
17.0 289.0 85.0 83521.0 7225.0 4913.0 1445.0 24565.0
18.2 331.2 87.5 109719.9 7656.3 6028.6 1592.5 28983.5
18.5 342.3 86.5 117135.1 7482.3 6331.6 1600.3 29604.6
18.2 331.2 88.0 109719.9 7744.0 6028.6 1601.6 29149.1
19.4 376.4 90.0 141646.8 8100.0 7301.4 1746.0 33872.4
20.3 412.1 90.5 169818.2 8190.3 8365.4 1837.2 37294.1
19.9 396.0 88.5 156823.9 7832.3 7880.6 1761.2 35046.9
19.5 380.3 89.5 144590.1 8010.3 7414.9 1745.3 34032.4
19.8 392.0 91.0 153695.4 8281.0 7762.4 1801.8 35675.6
22.6 510.8 92.0 260875.8 8464.0 11543.2 2079.2 46989.9
∑X ∑X2
∑Y ∑X4
∑Y2
∑X3
∑XY ∑X2
Y
360.8 6158.0 1711.0 1968434.6 137920.5 108610.1 29075.3 509631.8
X X2
Y
16.4 279.9 77.8
𝑆𝑃( 𝑋𝑌) = 1014.85
𝑆𝑃( 𝑋2 𝑌) = 30704.26
𝑆𝐶( 𝑋) = 240.92
𝑆𝐶( 𝑋2) = 244732.00
𝑆𝑃( 𝑋𝑋2) = 7618.27
𝑆𝐶( 𝑌) = 4851.36
𝑆𝑃( 𝑋𝑌) = 𝑏1 𝑆𝐶( 𝑋) + 𝑏2 𝑆𝑃( 𝑋𝑋2) 1014.85 = 240.92𝑏1 + 7618.27𝑏2

11. 𝑆𝑃( 𝑋2 𝑌) = 𝑏1 𝑆𝑃( 𝑋𝑋2) + 𝑏2 𝑆𝐶(𝑋2) 30704.26 = 7618.27𝑏1 + 244732.00𝑏2
𝑏2 = −0.3621
𝑏1 = 15.6630
𝑏0 = −77.7412
𝑅 = 0.9923
𝑅2 = 0.9847
𝑌̂ = −77.74+ 15.66𝑋− 0.36𝑋2
ANVA
F de V GL SC CM Fc F0.05 F0.01
Regresión 2 4777.3066 2388.6533 612.83 4.38 8.18 **
Error 19 74.0571 3.8977
Total 21 4851.3636
𝐶𝑉(%) = 2.5385
10
30
50
70
90
110
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Humedadrelativadeequilibrio
Humedadde semilla
Y = -77.74 + 15.66X - 0.36X2