Este documento explica los diferentes sistemas de medición angular (sexagesimal, centesimal y radial), las relaciones entre ellos, conversiones entre unidades y conceptos básicos de trigonometría como ángulos complementarios y suplementarios.

1. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
 ) POSITIVO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN. B
SENTIDO DE GIRO HORARIO
O )
A
OA : LADO INICIAL
 ) NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o ' "
GRADO :
1 MINUTO :
1 SEGUNDO :
1
EQUIVALENCIAS
o ' ' " o "
1  60 1  60 1  3600
o
1vuelta= 3 6 0

5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar
en grados, minutos y segundos
o
B ' C ''  A  B '  C ''
o
A
Los números de y C deben ser menores de 60
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 3600
RELACIONESdede minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir DE CONVERSIÓN
Para convertir
grados a minutos se multiplica por 60
x 3600
x 60
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
x 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 60 : 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
: 3600
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

6. o
EJEMPLO :   20 36 ' 45 ''
EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES
o ' ''
  20  36  45
o o o o
o 36 45 o 3 1
  20    20  
60 3600 5 80
Al número 36 se le divide entre 60 y
o
1entre 3600
Al número 45 se le divide 649
CONCLUSIÓN:  
80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

7. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su
número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato : 6 0 S  2 S  1 5 5 62S  155
155 5(3 1) 5
S   S 
62 2(3 1) 2
5º 4º 60 '
El ángulo mide :   2º 30 '
2 2

8. ¿ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

9. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
m s
GRADO :
g
1 MINUTO : 1 SEGUNDO : 1
EQUIVALENCIAS
m s
1  100 1  10000
g m g s
1  100
g
1vuelta= 4 0 0

10. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en
grados, minutos y segundos
g m s
C  A B  C
g m s
A B
Los números de y C deben ser menores de 100
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 10000
RELACIONES DEminutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de de CONVERSIÓN
Para convertir grados a minutos se multiplica por 100
x 10 000
x 100
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
x 100
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 100 : 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
: 10 000
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

11. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE : SABES QUE :
SABEMOS QUE9 CENTESIMALES 200 g g = C
NÚMERO DE GRADOS º  1 0 g
180 º
9º  10
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES  (1 0(1= ) 100C
g
SIMPLIFICANDO ) OBTIENE 9(1º )
9(1º SE 1 0(1 ) n) g
g
NÚMERO DE SEGUNDOS 1 0(109(3 ) 0 0 )  ( q ) = 0 )
' 9 º CENTESIMALES 1 0(1 0 0 010 000C
 1 0 0 m 6 '' S
9(6 0 ) 
'' s
27  SISTEMAS  250
81 ' m
RELACIÓN ENTRE LOS50 SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL
O g ' m " s
9  10 27  50 81  250
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
S C m n p q
  
9 10 27 50 81 250

12. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
R
MEDIDA ES EL
RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA
.
.
)1ra d R
MEDIDA DEL R
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA 1v u e lta  2  ra d
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL o ' ''
1ra d  5 7 1 7 4 5
AL RADIO.

13. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g
180  200   rad
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
0
A )  5 4
EL  ra d DE 3 VUELTA
SABES QUEO ÁNGULO  UNA 
MIDE : 5 4  o  
ra d
g
360 º  400  2  rad
 180  10
g
B )   1SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
25
  ra d 
g 5
125  g   ra d
 200  8

14. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL
o
2 2(1 8 0 )
A) ra d ...........  120
o
3 3
o
g g  9
B )7 0 ................. 70  g   63 o
 10 
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL
3 3(2 0 0 )
g
A) ra d ...........  150
g
4 4
g
o o 1 0  g
B )2 7 ................ 27  o   30
 9 

15. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES  ra d
A RADIANES 180
o
g
DE GRADOS SEXAGESIMALES 10
A CENTESIMALES o
9
DE GRADOS CENTESIMALES  ra d
A RADIANES g
200
o
DE GRADOS CENTESIMALES 9
A SEXAGESIMALES g
10
DE RADIANES A GRADOS o
SEXAGESIMALES  ra d  1 8 0
DE RADIANES A GRADOS g
CENTESIMALES  rad  200

16. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

17. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S C R
 
180 200 
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S  2C   37

SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

18. S C R S  1 8 0k
   K R  k
180 200  C  2 0 0k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k )
3 (1 8 0 k )  2 ( 2 0 0 k )   3 7,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

1
1 4 8k  3 7 k 
4
 1 
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R    
4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA
DE LA SIGUIENTE MANERA
S  9k
S C 2 0R
  C  1 0k
9 10  k
R 
20

19. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 9 0 o  1 0 0 g  ra d
O g
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180  200   rad
SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S
CENTESIMAL C 100 - C 200 - C

RADIAL R  R   R
2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
 o  o  o
ra d  6 0 ra d  4 5 ra d  3 0
3 4 6

20. EJERCICIOS
1. CALCULAR : 
45º  ra d
E  12
g
50  33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los
valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA
SEXAGESIMAL
 180º g 9º
ra d   1 5 º ; 50 ( g
)  45º
12 12 10
Reemplazamos en E
45 º 15 º 60º
E    5
45 º 33º 12º

21. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
 =K S = 9K y C = 10K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2
El número de radianes es :
k 2 
R  R  
20 20 10

22. 3. Determinar si es verdadero o falso
A )  ra d  1 8 0
g g
B) El complemento de 30 es 7 0
24º 2º
C) 
g g
36 3
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman  ra d
E )   180º
F ) 1º  1g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al
90% de su número de grados centesimales

23. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA