mecánica de fluidos

1. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
AMH
ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012
AMH
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE TIRANTES NORMALES Y CRÍTICOS
Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D. F.
E-mail: ajc@pumas.ii.unam.mx; mbv@pumas.ii.unam.mx; alunar@iingen.unam.mx
Introducción
Cálculo del tirante normal
En estudios de hidráulica de canales es común que se requiera
hacer el cálculo del tirante normal; por ejemplo, en el diseño
hidráulico de un canal se dispone de los datos siguientes: la
forma de la sección transversal del canal, la pendiente de la
plantilla, el coeficiente de rugosidad de Manning y el caudal
de diseño; primero, con estos datos y alguno de los métodos
del diseño hidráulico del canal, se obtiene una de las
dimensiones del canal, por ejemplo el ancho de la plantilla;
después, se calcula el tirante normal requerido para el caudal
de diseño.
En casi todo el continente americano, y también a nivel
mundial, se emplea la fórmula de Manning para calcular la
velocidad media del flujo en un canal con régimen uniforme;
esta conocida expresión se escribe como:
Otro de los estudios clásicos donde se requiere hacer el
cálculo del tirante normal se tiene cuando se hace el estudio
del funcionamiento hidráulico de un canal, donde se requiere
conocer los tipos de perfiles hidráulicos que se presentan en
toda su longitud; para ello es necesario calcular tanto el tirante
normal como el tirante crítico. Además, en este tipo de
estudios es común que al menos una de las secciones de
control este asociada al régimen crítico. Por ello, las dos partes
fundamentales de este trabajo se dedican al cálculo del tirante
normal y del tirante crítico.
Tradicionalmente, se dispone de varios métodos que permiten
hacer el cálculo de los tirantes normal y crítico, los cuales se
basan en el empleo de tablas y gráficas que están incluidas en
casi todos los libros de hidráulica de canales; sin embargo, la
precisión que se obtiene con estos métodos no es adecuada.
También se dispone de métodos numéricos tradicionales que
se recomiendan para hacer el cálculo de los tirantes crítico y
normal, los cuales se dice que en la actualidad ya no se
emplean debido a que se dispone de modelos matemáticos que
permiten hacer el cálculo de manera sencilla, y cuyos
resultados tienen excelente aproximación. Dos herramientas
numéricas clásicas de este tipo son las hojas de cálculo y el
software matemático. Sin embargo, la experiencia adquirida
en la docencia y la práctica profesional de los autores del
presente trabajo, indica que es conveniente disponer de
métodos alternativos para este tipo de cálculos; por ello, en
este trabajo se incluyen varios métodos con los que se
obtienen excelentes resultados, y tan sencillos de emplear que
solo se necesita una calculadora de bolsillo para su aplicación.
Se aclara que la mayoría de las fórmulas y métodos de cálculo
que se incluyen en este trabajo son de los años 2010 y 2011;
estos métodos se escogieron al hacer una revisión del estado
del arte con respecto a métodos de cálculo de tirantes
normales y críticos.
donde , es la velocidad media del flujo, en m/s; , el radio
hidráulico, en m; , la pendiente de la plantilla del canal,
adimensional; y , el coeficiente de rugosidad de Manning.
Al multiplicar la ec. (1) por la correspondiente área hidráulica
se obtiene una ecuación, conocida como la ecuación de
continuidad para un flujo unidimensional en un canal con
régimen permanente y uniforme, la cual se expresa como:
donde , es el gasto, en m3/s y , el área hidráulica, en m2.
Es conveniente recordar que el tirante normal es aquel que se
presenta en un canal con flujo a superficie libre, en régimen
uniforme, y que satisface la ec.
, por lo que para su cálculo
se requiere resolver dicha ecuación; esto indica que se
requiere resolver una ecuación del tipo no lineal e implícita;
para ello se dispone de métodos numéricos del tipo recursivo y
también de ecuaciones ajustadas del tipo explícito, cuya
solución no es matemáticamente exacta, pero los resultados
obtenidos tienen excelente aproximación.
Sección rectangular
Para este caso se dispone de dos métodos que emplean
fórmulas explícitas y un método numérico bastante sencillo.
Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)
Terzidis (2005) publicó un método que emplea expresiones
del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de
sección rectangular, y Srivastava (2008) indica que hizo
algunas adecuaciones a esas expresiones, con las que propone
la metodología de cálculo siguiente:

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1.
donde
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Se calcula el parámetro
es el ancho de la plantilla del canal, en m.
2.
Se obtiene el parámetro
3.
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Un criterio de convergencia comúnmente empleado para
suspender el proceso iterativo es cuando se cumple la
condición siguiente:
Este mismo criterio es válido para las otras fórmulas
recursivas que se incluyen en el presente trabajo. Este método
se distingue porque con pocas iteraciones se obtiene una
solución tan precisa como sea requerida por el usuario. El
método permite que el valor inicial propuesto sea inclusive
Se calcula el parámetro
Sección trapecial
Para canales de sección trapecial se dispone de un método que
emplea expresiones del tipo explícito, y otro que es numérico
del tipo recursivo.
4.
Se obtiene el valor del tirante normal, en m
Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)
Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011)
1.
Se obtiene el parámetro
En Srivastava (2008) se presenta un método del tipo explícito
para calcular el tirante normal en canales de sección
transversal de forma trapecial. Este autor aclara que el método
se basa en el presentado por Terzidis (2005), con una
adecuación sencilla propuesta por Srivastava; la metodología
de cálculo es la siguiente:
1.
2.
2.
Se calcula
3.
Se obtiene
4.
Se calcula
5.
Se calcula el tirante normal
Se calcula
3.
Se calcula el parámetro
Se obtiene el valor del tirante normal
Con esta expresión se obtienen errores menores que el 0.08%,
por lo que se considera que es bastante precisa.
Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
En Knight et al (2010) se presenta una expresión del tipo
recursivo para calcular el tirante normal en una sección
transversal de forma trapecial. Esa misma expresión se
simplifica para el caso de una sección rectangular, puesto que
, donde
es el talud de la pared lateral del canal,
adimensional. Así, la expresión simplificada se expresa de la
manera siguiente:
donde el superíndice es un contador de las iteraciones.
Al aplicar este método se ha observado que el error máximo es
menor que 0.01%, por lo que es ampliamente recomendado en
aplicaciones prácticas.

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Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
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Ecuación propuesta por Swamee (1993)
La fórmula propuesta, que es del tipo explícito, es la siguiente:
Este método emplea la expresión recursiva siguiente:
Para comenzar el proceso iterativo es necesario proponer un
valor inicial del tirante, por ejemplo,
. El proceso
iterativo se suspende cuando se cumple con el criterio de
convergencia ya citado.
Los resultados obtenidos con esta expresión tienen errores
menores que el 2%.
Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa
(2011)
Sección circular
Método propuesto por Srivastava (2008)
Para una sección de forma circular, se recomienda la
expresión del tipo explícito siguiente:
El error relativo máximo en porcentaje que se obtiene con esta
expresión es menor que 0.27 %.
Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
donde
y
En el caso particular de que se requiera mayor precisión en el
cálculo del tirante crítico de una sección trapecial, se
recomienda emplear el método numérico recursivo de Punto
Fijo que se basa en la expresión siguiente:
es el diámetro del conducto, en m.
Esta expresión es válida para tirantes normales que tienen un
porcentaje de llenado menor que 0.94, y el error en el tirante
normal calculado es menor que el 0.85%.
Cálculo del tirante crítico
El tirante crítico, , se obtiene al resolver la ecuación general
del tirante crítico, la cual se expresa como:
donde , es el área hidráulica del tirante crítico, en m2; , el
ancho de la superficie libre del agua, en m; g, la aceleración de
la gravedad, en m/s2.
También esta ecuación es del tipo no lineal e implícita cuando
se requiere calcular el tirante para secciones transversales de
forma trapecial y circular.
Sección trapecial
Para este tipo de sección se dispone de dos expresiones del
tipo explícito y un sencillo método numérico, del tipo
recursivo.
Para utilizar la ec. (12) se requiere proponer un valor inicial
del tirante; en este caso se puede proponer un valor inicial de
cero, es decir,
, sin embargo, al proponer como valor
inicial del tirante calculado con la ec. (10), el número de
iteraciones para obtener un valor bastante preciso del tirante
crítico es del orden tres. El criterio tradicional de convergencia
para suspender el proceso iterativo es el mismo que ya se citó.
Sección circular
Ecuación propuesta por Swamee (1993)
Aunque esta expresión ya tiene casi veinte años de haber sido
publicada, se considera que es útil presentarla por su sencillez
y su amplio rango de aplicación, que es desde el 2 hasta el
100% del porcentaje de llenado.

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Los resultados obtenidos con esta expresión son bastante
precisos, ya que el error que se obtiene al emplearla es menor
que 1.27%, lo cual es comúnmente aceptado en la práctica
profesional.
Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011)
Se obtiene el parámetro
2.
Se calcula
3.
Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa
(2011)
1.
con la ec.
Se obtiene el valor del tirante normal con la ec.
con la ec.
Esta expresión, del tipo explícito, es de las más recientemente
publicadas. El rango de aplicación es desde el 1 hasta el 100%
del porcentaje de llenado.
Los resultados obtenidos con esta expresión tienen un error
menor que 0.27%, por lo que se considera que es bastante
precisa.
Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
Al sustituir los correspondientes valores en la ec
obtiene
Ejemplos de aplicación para el cálculo
del tirante normal
se
Calcular el tirante normal que se tiene con un gasto de
, en los canales cuyas características se indican a
continuación. Considerar
;y
.
Sección rectangular con ancho de plantilla
.
Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)
1.
Se calcula el parámetro
Los valores obtenidos al emplear la expresión anterior en
forma recursiva se reportan en la tabla siguiente:
Tabla 1. Cálculo del tirante normal con la ec.
con la ec.
0.0
con la ec.
3.
Se calcula
con la ec.
4.
Se obtiene el tirante normal con la ec.
0.0934
0.7304
0.0124
0.7304
0.7321
0.0017
0.7321
Se calcula
0.6246
0.7180
0.7180
2.
0.6246
0.6246
0.7323
0.0002
Se suspenden las iteraciones con
cumple la condición de convergencia siguiente:
ya que se
La comparación de los resultados obtenidos con los métodos
anteriores se incluye en la tabla siguiente, donde el caudal se
obtiene al emplear la ec.
, mientras que
es el error
relativo.

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Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
Tabla 2. Comparación de resultados
Mediante la expresión recursiva
Método o ecuación
Terzidis - Srivastava
0,7323
4,9999
0,002
Vatankhah y Easa
0,7326
5,0028
0,056
Knight
0,7323
4,9999
0,002
Sección trapecial con
y
Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)
1.
Se calcula el parámetro
con la ec
Tabla 3. Cálculo del tirante normal con la ec. (7)
0.0
3.
Con la ec
se obtiene
0.0508
0.5738
Se calcula la variable
0.6246
0.5738
0.5785
0.0047
0.5785
2.
0.6246
0.6246
0.5781
0.0004
Se suspenden las iteraciones, ya que para
se
cumple que
. En este caso particular,
los dos métodos dan resultados prácticamente iguales. En la
tabla siguiente se presenta la comparación de los resultados al
emplear los correspondientes métodos, donde se nota que la
aproximación es excelente.
Tabla 4. Comparación de resultados
4.
Se obtiene
con la ec
Método o ecuación
Terzidis-Srivastava
Se calcula
4.9997
0.006
Knight
5.
0.5781
0.5781
4.9997
0.006
con la ec
Sección circular con diámetro
Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011)
6.
Se calcula el tirante normal con la ec
Se calcula
con la ec. (8b)

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Al Sustituir el parámetro anterior en la ec.
se obtiene
Tabla 5. Cálculo del tirante normal con la ec.
0.0
y
Ecuación propuesta por Swamee (1993)
Mediante la ec.
0.0934
0.5754
0.0122
0.5754
Sección trapecial,
0.5632
0.5632
Calcular el tirante crítico que se tiene con un gasto de
, en los canales cuyas características se indican a
continuación. Considerar
.
0.6567
0.6567
Ejemplos de aplicación para el cálculo
del tirante crítico
0.6567
0.5738
0.0016
0.5738
0.5740
0.0002
Se suspenden las iteraciones ya que se cumple para
que
.
Una forma alternativa de revisar la aproximación de cada
método, se basa en emplear el valor del tirante crítico para
calcular el gasto con la ec.
.
Tabla 6. Comparación de resultados
Ecuación
Swamme
0.5647
4.8635
2.730
Vatankhah y Easa
0.5739
4.9986
0.028
Knight
0.5740
5.0003
0.006
Sección circular con diámetro
Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa
(2011)
Ecuación propuesta por Swamee (1993)
Con base en la ec.
Se calcula la variable
Al emplear la ec.
se obtiene
Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa
(2011)
Se calcula la variable
Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)
Con base en la ec. recursiva

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Referencias
Mediante la ec.
1.- Knight W.R., Gahey MC.C., Lamb R. and Samuels G.P.
(2010). Practical channel hydraulics. CRC Press. UK.
2.- Srivastava, R. (2008). Flow Through Open Channels.
Oxford University Press. India.
3.- Swamme, P.K. (1993). “Critical depth equations for
irrigation canals”. Journal of Irrigation and Drainage
Engineering, ASCE, Vol. 119 (2), pp. 400-409.
Tabla 7. Comparación de resultados
Ecuación
Swamme
0.9594
5.0917
1.834
Vatankhah y Easa
0.9495
4.9904
0.192
Conclusiones
En este trabajo se reportan varios métodos para el cálculo del
tirante crítico y el tirante normal de secciones transversales de
forma rectangular, trapecial y circular, las cuales son
ampliamente empleadas en estudios de hidráulica de canales.
La mayoría de estos métodos fueron publicados en los últimos
años. Unos métodos se basan en ecuaciones ajustadas del tipo
explícito, y otros emplean ecuaciones sencillas del tipo
recursivo. La aproximación que se obtiene en los resultados al
emplear cualquiera de estos métodos es excelente.
Se considera que estos métodos son de gran utilidad tanto en
la docencia como en la práctica profesional.
4.- Terzidis, G.A. (2005). “Explicit method to calculate the
normal depth of trapezoidal open channel”. Greece.
5.- Vatankhah, R.A. and Easa, M.S. (2011). “Explicit
solutions for critical and normal depths in channels with
different shapes”. Journal of Flow Measurement and
Instrumentation Vol. 22, 2011, pp. 43-49.
Reconocimientos
Se agradece al personal de la Unidad de Servicios de
Información, del Instituto de Ingeniería, UNAM, por su apoyo
para obtener la mayor parte de las publicaciones que se
incluyen en las referencias del presente trabajo.