Calculo

1. Limites, derivadas e integrais - Formulário e exemplos

2. Caro leitor,
Este breve trabalho tem a finalidade de uxiliá-lo com a teoria en-
volvendo limites, derivadas e integrais, e para isso apresenta diversas ta-
belas que facilitarão os cálculos e a memorização de fórmulas. Obras mais
extensas há publicadas (v. ref. [7]), porém estão dirigidas mais ao professor
ou ao matemático especializado e por isso se tornam às vezes pouco práti-
cas para consultas rápidas.
A fim de enriquecer o material apresentado, introduzi um capítulo
contendo exemplos de exercícios resolvidos, uma vez que apenas a formu-
lação teórica não seria suficientemente clara (v. p. ex. a formulação do método de
integração por partes no capítulo Técnicas de Integração e a maneira como o método é aplicado
nos exemplos). Alguns dos exemplos foram extraídos das obras consultadas,
mas a maioria foi elaborada por mim, logo, qualquer erro peço ao leitor
que m indique para que uma versão corrigida possa ser apresentada. As-
sim, todos os comentários e sugestões visando aperfeiçoá-lo e enriquecê-lo
serão bem-vindos.
Finalizando, acrescento que não sou matemático nem professor de
matemática, mas apenas um curioso que gosta dos números.
Gil Cleber
gilccarvalho@ig.com.br
www.gilcleber.com.br

3. - 1 -
Limites
 Propriedades
Sendolim ( )
x a
f x L

= e lim ( )
x
g x M
¥
= , então:
 Infinito
 Limites infinitos
1) lim
x a
c c

= 5) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f g x f x g x L M
 

⋅ = ⋅ = ⋅
2) lim[ ( )] lim ( )
x a
x a
c f x c f x c L


⋅ = ⋅ = ⋅
6) lim[( ) ( )] lim ( )
n
n n
x a
x a
f x f x L


é ù= =ê úë û
3) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f g x f x g x L M
 

+ = + = + lim ( )
7) lim ( ) ( 0)
lim ( )
x a
x a x a
f xf L
x M
g g x M

 
é ùæ ö÷çê ú÷ = = ¹ç ÷ê úç ÷çè øê úë û
4) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
x a x a
x a
f g x f x g x L M
 

- = - = - 8) lim ( ) lim ( )
( * e 0, ou n é ímpar e 0)
nn n
x a
x a
f x f x L
n L L


= =
Î ³ £
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim
x a x a x a
f x g x f g x
  
= ¥ = ¥  + = ¥
( ) ( ) ( )( )
0
0
0
lim , lim lim
x a x a x a
b
f x g x b f g x
b  
ìï+¥  >ï= +¥ = ¹  ⋅ = í
ï-¥  <ïî
( ) ( ) ( )( )
0
0
0
lim , lim lim
x a x a x a
b
f x g x b f g x
b  
ìï-¥  >ï= -¥ = ¹  ⋅ = í
ï+¥  <ïî
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .
x a x a x a
f x g x f g x
  
= ¥ = ¥  = +¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .
x a x a x a
f x g x f g x
  
= +¥ = -¥  = -¥
( )
( )
1
0lim lim
x a x a
f x
f x 
= ¥  =
( )
( )
1
0lim lim
x a x a
f x
f x 
=  = +¥

4. - 2 -
Não se estabelece lei para os seguintes casos:
 Limites no infinito
Todas as propriedades valem tanto para lim
x+¥
quanto para lim
x-¥
.
Não se estabelece uma lei para os seguintes casos:
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?
x a x a x a
f x g x f g x
  
= ¥ = ¥  - =
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?
x a x a x a
f x g x f g x
  
= +¥ = -¥  + =
( ) ( ) ( )( )0lim , lim lim . ?
x a x a x a
f x g x f g x
  
= ¥ =  =
( ) ( ) ( )lim , lim lim ?
x a x a x a
f
f x g x x
g

  
æ ö÷ç ÷= ¥ = ¥  =ç ÷ç ÷çè ø
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim
x x x
f x g x f g x
¥ ¥ ¥
= ¥ = ¥  + = ¥
( ) ( ) ( )( )
0
0
0
lim , lim lim
x x x
b
f x g x b f g x
b¥ ¥ ¥
ìï+¥  >ï= +¥ = ¹  ⋅ = í
ï-¥  <ïî
( ) ( ) ( )( )
0
0
0
lim , lim lim
x x x
b
f x g x b f g x
b¥ ¥ ¥
ìï-¥  >ï= -¥ = ¹  ⋅ = í
ï+¥  <ïî
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .
x x x
f x x f g x
¥ ¥ ¥
= ¥ = ¥  = ¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim
x x x
f x x f g x
¥ ¥ ¥
= +¥ = -¥  + = -¥
( )
( )
1
0lim lim
x x
f x
f x¥ ¥
= ¥  =
( )
( )
1
0lim lim
x x
f x
f x¥ ¥
=  = +¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?
x x x
f x g x f g x
¥ ¥ ¥
= ¥ = ¥  - =
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?
x x x
f x g x f g x
¥ ¥ ¥
= +¥ = -¥  + =
( ) ( ) ( )( )0lim , lim lim . ?
x x x
f x g x f g x
¥ ¥ ¥
= ¥ =  =
( ) ( ) ( )lim , lim lim ?
x x x
f
f x g x x
g¥ ¥ ¥
= ¥ = ¥  =

5. - 3 -
 Limites trigonométricos
 Limite trigonométrico fundamental
0
sen
lim 1
x
x
x
=
 Limite de uma função polinomial
Seja ( )
2
0 1 2
n
nf x a a x a x a x= + + + +
( ) ( )lim
x a
f x f a

=
 Função racional: ( )
1
*1 1 0
+1
1 1 0
lim , ,
m m
m m
n nx
n n
a x a x a x a
f x m n
b x b x b x b
-
-
-¥
-
+ + + +
= Î
+ + + +



( )
( )
( )
, lim
, lim
, lim 0
a
m
bx n
x
x
m n f x
m n f x
m n f x
¥
¥
¥
ìï = =ïïïï > = ¥í
ïïï < =ïïî
Esses limites são fundamentados no fato de que lim 0
x
a
x¥
= (v. ex. 1, 2 e 3).
 Limites exponenciais e logarítmicos
 Limites exponenciais
 Limite exponencial fundamental
lim sen sen
x a
x a

= lim cos cos
x a
x a

=
lim tg tg
x a
x a

= lim sec sec
x a
x a

=
0
lim 1x
x
a

 lim x b
x b
a a


lim , 1x
x
a a

   lim 0, 1x
x
a a

 
lim 0, 0 1x
x
a a

   lim , 0 1x
x
a a

   
 
 com elim , 0 1 lim
f x
x b x b
a c a f x c
 
   
lim 1 , 1 0
2,7182818284...
x
n
x
n
e x e x
x
e

 
     
 

 
1
0
lim 1 , 1 0x
x
x e x

    

6. - 4 -
 Limites logarítmicos
 Regra de L’Hôpital
Cálculo de limites nos casos indeterminados: , , , , , ¥¥
⋅¥ ¥-¥ ¥
¥
0 00
0 0 1
0
e .
 Casos ,0
0
¥
¥
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-
das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥. (v. ex. 4)
 Caso 0⋅¥
( ) ( )lim
x a
f x g x

⋅ caso em que ( )lim
x a
f x

= ¥ e ( )lim
x a
g x

= 0
Faz-se
( )
( )
1
f x
g x
ou
( )
( )
1
g x
f x
, o que tornar os cálculos mais simples reduzindo-se ao caso
0
0
ou
¥
¥
. (v. ex. 5)
 Caso ¥-¥
( ) ( )lim
x a
f x g x

- caso em que ( )lim
x a
f x

= ¥ e ( )lim
x a
g x

= ¥
Escreve-se ( ) ( )f x g x- como
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
g x f x
f x g x
-
⋅
, quociente que assume a forma do caso
0
0
, e se procede como nesse caso. (v. ex. 6)
 Casos ,0 0
0 1¥
¥ e
Tem-se ( )
( )g x
f x , sendo que
( )
( )
( )
lim
lim
lim
0
0x a
x a
x a
f x
g x
f x



ì =ïïï  =í
ï = ¥ïïî
; ou ( )lim 1
x a
f x

= com o ( )lim
x a
g x

= ¥ :
Nos três casos, deve-se calcular ( )
( )
( ) ( )lim lim log
g x
x a x a
f x g x f x
 
= ⋅ , aplicar a técnica utilizada na forma 0⋅¥ e fazer
( )
( ) ( ) ( )lim log
lim x a
g x f xg x
x a
f x e 
⋅

= (v. ex. 7 a 9)
0
1
lim ln , 0
x
x
a
a a
x

  0
lim ln , 0 1
x
x x

   
 1
lim log 0ax
x

  lim log log , 0 1, 0a ax b
x b a b

   
lim log , 1ax
x a

  
0
lim log , 1a
x
x a

  
lim log , 0 1ax
x a

   
0
lim log , 0 1a
x
x a

   
   lim log 0, com 0 1 e lim 1ax b x b
f x a f x
 
    0
lim ln , 0 1
x
x x

   
   lim log , com 0 1 e limax b x b
f x c a f x c
 
   

7. - 5 -
Derivadas
 Derivadas de operações entre funções — propriedades
Dadas duas funções ( ) ( )ef x g x , temos:
Seja  2
,y u u u x  :
Seja  3
,y u u u x  :
 Conseqüências das propriedades
Seja a função  f x :
        ’ ’ ’f x g x f x g x               ’ ’ g’f x g x f x g x f x x  
    ’ ’c f x c f x           ’ = f’ ’f g x g x g x
 
 
       
 2
f’ g’
’
f x x g x f x x
g x g x
  
  
 
 
2
dy du
u
dx dx
  
22 2
2 2
2 2 2 2
d y d du d du du d u
u u u
dx dx dx dx dx dx dx
    
        
     
2 2 2
. 2 3
dy du du du
u u u u u u
dx dx dx dx
     
22 2
2
2 2
6 3
d y du d u
u u
dx dx dx
  
    
   
       
1
’ ’
k k
f x k f x f x

 
   
    
 1
log ’ ’
ln
a
f x f x
f x a
   
  
   
 ’ ln ’
f x f x
a a a f x    
  
       sen ’ cos ’f x f x f x   
 
       cos ’ sen ’f x f x f x    
         2
tg ’ sec ’f x f x f x   
 
  
  
 2
1
1
arccos ’ ’f x f x
f x
   
 

  
  
 2
1
1
arc en ’ ’s f x f x
f x
   
 

  
  
 2
1
1
arc tg ’ ’f x f x
f x
   
 

 
 
 
 
   ’ .ln ’
g x g x
f x f x g x f x
       

8. - 6 -
Sobre essa última derivada, tendo-se em vista que  ’ lnx x
a a a , então
 Derivadas de algumas funções elementares
 
 
 
 
     
 
     
 
 1
’ .ln ’ = ln
g x g x g x
f x f x g x f x f x g x f x g x f x
f x
 
            
 
' '
 
 
       
 
 
1
ln
g x g x
f x g x f x g x f x f x

 ' '
0’c 
  1
’k k
x kx 

  1
ln ’x
x

   ’ ln ’x x x x
a a a e e  
  1 log
log ’
ln
a
a
e
x
x a x
 
( )
1
’
n
k
k n nx
x
k
-
=
*
, park k+
Î  f é derivável em ( )0,+¥
*
, ímpark k+
Î  f é derivável em { }0-
( )
( )
2
2
2
’
2
ax b
ax bx c
ax bx c
+
+ + =
+ +
Ver exemplo 10.
De um modo geral, temos:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )’ ’ ’
m m n
m
n nn
m
f x f x f x f x
n
-é ùé ù
ê úê ú = = ⋅ê úê ú
ê úë û ë û
 sen ’ cosx x
 2
2sen ’ sen cosx x x
 cos ’ senx x 
 2
2cos ’ sen cosx x x 
  2
tg ’ secx x
 2
2
2 tg
tg ’
cos
x
x
x

  2
cot ’ cos secx x 
 2
2
2cotg
cotg ’
sen
x
x
x


 sec ’ sec tgx x x
 2 2
3
2
2
sin
sec ’ tg sec
cos
x
x x x
x
 
 cossec ’ cossec cotx x x 
 2 2
3
2
2
cos
cossec ’ cotg cossec
sen
x
x x x
x
   
1
cos ’ senx x 

 
  
 
  2
cos ’ senx x    
 cos ’ senx x    
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
senh senh ’ cosh
2
cosh cosh ’ senh
2
tgh tgh ’ sech
cotgh cotgh ’ cosech
2
sech sech ’ sech tgh
2
cosech cosech ’ cosech cotgh
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
e e
x x x
e e
x x x
e e
x x x
e e
e e
x x x
e e
x x x x
e e
x x x x
e e
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=  =
+
=  =
-
=  =
+
+
=  = -
-
=  = -
+
=  = -
-

9. - 7 -
  2
1
1
arc sen ’x
x


  2
1
1
arccos ’x
x



  2
1
1
arc tg ’x
x


  2
1
1
arcctg ’x
x



  2
1
1
arcsec ’x
x x


  2
1
1
arccossec ’x
x x



( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
arg senh ’
1
1
arg cosh ’
1
1
arg tgh ’
1
1
arg cotgh ’
1
1
arg sech ’
1
1
arg cosech ’
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x
=
+
=
-
=
-
=
+
=
-
=
+

10. - 8 -
Técnicas de Integração
 A Integral Indefinida
 Identidades importantes para a resolução de alguns tipos de integrais
I) 2 2
1 sen cosx x 
II) 2 2 2 2
1 tg sec tg sec 1x x x x    
III) sen 2
sen 2 2(sen cos ) sen cos
2
x
x x x x x  
IV)
 
 
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
1 1
cos cos
cos2 cos sen
cos 1 cos cos2
2cos 1 cos2
2
2 2
1 1
sen cos2
cos sen cos2
1 sen sen cos2
2sen 1 s2
2
o
2
c
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
e:
 
   

  




    

  
 
 


 



Donde decorrem as identidades V, VI, VII e VIII
V)
2 1 cos2
sen
2
x
x
-
=
VI)
2 1 cos2
cos 2
2
x
x
+
=
VII)
2
2
1 1
cos cos2
2 2
1 cos
cos
2 2 2
x x
x x
 
  
VIII)
2
2
1 1
sen cos2
2 2
1 cos
sen
2 2 2
x x
x x
 
  
IX) 2 2
cos cos sen
2 2
x x
x  
X)
   2sen cos sen senax bx a b x a b x      
XI)
   2cos cos cos cosax bx a b x a b x      

11. - 9 -
XII)
   2sen sen cos cosax bx a b x a b x       
XIII)
2
2tg
2sen
1 tg
2
x
x
x


XIV) 2
2
1 tg
2cos
1 tg
2
x
x
x



XV) 2
2
2
tg
sen
1 tg
x
x
x


XVI) 2
2
1
cos
1 tg
x
x


XVII)
2
2tg
tg 2
1 tg
x
x
x


XVIII)
cosh senh x
x x e+ =
XIX)
cosh senh x
x x e-
- =
XX) senh2 2senh coshx x x=
XXI) 2 2
cosh2 cosh senhx x x= +
XXII) 2
cosh2 2senh 1x x= +
XXIII) 2
cosh2 2cosh 1x x= -
XXIV)
senh cosh 1
2 2
x x -
= 
XXV)
cosh cosh 1
2 2
x x +
=
Neste caso não há o sinal ±, pois a imagem da função está contida no intervalo [1, )+ ¥ .
 Integrais diversas
1
, 1
1
ln , 1
x
x dx
x

 


+ìïï ¹ -ïï= í +
ïï = -ïïî
ò
ln lnx dx x x x k = - +ò
1x x
e dx e k 

= +ò
ln
log
ln10 ln10
x x x
x dx

 = -ò
ln
x
x a
a dx
a
=ò 2 2
1
arcsen ,
x
dx k x a
aa x
= + <
-
ò

12. - 10 -
2 2
2 2
1
lndx x x a k
x a
= +  +

ò 2 2
1 1
arc tg
x
dx k
a aa x
= +
+
ò
2 2
1 1
ln
2
x a
dx k
a x aa x
+
= +
--
ò 2 2
1 1
arc sec ,
x
dx k x a
a ax x a
= + >
-
ò
 Integrais da forma ( )( ) ( )ò f g x g x dx (substituição simples)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função composta   f g x e a derivada  g x . Deve-se identificá-las e efetu-
ar-se a substituição.
Sendo              F g x F g x g x f g x g x    
faz-se  u g x ,  du g x dx
donde:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= = + = +ò òf g x g x dx f u du F u k F g x k .
(v. ex. 11 e 12)
 Integrais da forma ( ) ( )ò f x g x dx (integração por partes)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função ( )=u f x e a derivada  dv g x .
Sendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )é ù é ù= +  =ë û ë û      f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= -ò ò f x g x dx f x g x f x g x dx .
Fazendo        , , ,u f x v g x du f x dx dv g x dx     ,
chega-se à forma usual de representar a regra:
= -ò òu dv uv v du .
(v. ex. 13 a 15)
 Integração de funções trigonométricas, e de suas potências e produtos
cos
sen
sen
cos
ax
ax dx k
a
ax
ax dx k
a
-
= +
= +
ò
ò
2
2
sen2 sen cos
sen
2 4 2 2
sen2 sen cos
cos
2 4 2 2
x x x x x
x k
x x x x x
x k
⋅
= - = - +
⋅
= + = + +
ò
ò
(ver identidades IV, VI e VII)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
sen cos sen sen
2
1
cos cos cos cos
2
1
sen sen cos cos
2
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
é ù= + + -ê úë û
é ù= + + -ê úë û
é ù= - + + -ê úë û
ò ò
ò ò
ò ò
(ver identidades VIII, IX e X)
(v. ex. 16 e 17)

13. - 11 -
( )
2
1
1 1
sec ln sec tg ln tg
2 4
1
sec tg
sec
sec tg sec sec tg 1
sec
sec tg
n
n n
ax
ax dx ax ax k k
a a
ax dx x k
a
ax
ax ax dx ax ax ax dx k n
n a
ax
ax ax dx k
a
-
æ ö÷ç ÷= + + = + +ç ÷ç ÷çè ø
= +
= = + ¹
⋅
= +
ò
ò
ò ò
ò

sec cosec ln tg ln sen ln cosx x dx x k x x k= + = - +ò
( )
2
1
1
cosec ln cosec cotg
cosec cotg
cosec
cosec cotg cosec cosec cotg 1
cosec
cosec cotg
n
n n
ax dx ax ax k
a
ax dx ax k
ax
ax ax dx ax ax ax dx k n
n a
x
ax ax dx k
a
-
= - +
= - +
-
= = + ¹
⋅
-
= +
ò
ò
ò ò
ò
( )
( )
( )
2 2
1
2
1 1
tg ln cos ln sec
tg
tg sec 1
tg
tg sec 1
1
n
n
ax dx ax k ax k
a a
ax
ax dx ax dx x k
a
ax
ax ax dx dx k n
a n
+
= - + = +
= - = - +
= + ¹
+
ò
ò ò
ò
( )
( )
( )
2 2
1
2
1 1
cotg ln sen ln cosec
cotg
cotg cosec 1
tg
cotg cosec 1
1
n
n
ax dx ax k ax k
a a
ax
ax dx ax dx x k
a
ax
ax ax dx dx k n
a n
+
= + = +
-
= - = - +
= + ¹
+
ò
ò ò
ò
 Integração de funções trigonométricas inversas
2 2
arc sen arc sen
x x
dx x a x k
a a
= + - +ò
1 1
2 2
1
arc sen arc sen
1 1
m m
m x x x x
x dx dx
a m a m a x
+ +
= -
+ + -
ò ò
2 2
arc cos arccos
x x
dx x a x k
a a
= - - +ò
1 1
2 2
1
arc cos arc cos
1 1
m m
m x x x x
x dx dx
a m a m a x
+ +
= +
+ + -
ò ò
( )2 2
arc tg arc tg ln
2
x x a
dx x x a k
a a
= - + +ò

14. - 12 -
1 1
2 2
arc tg arc tg
1 1
m m
m x x x a x
x dx dx
a m a m a x
+ +
= -
+ + +
ò ò
( )2 2
arc cot arc cot ln
2
x x a
dx x x a k
a a
= + + +ò
1 1
2 2
arc cot arc cot
1 1
m m
m x x x a x
x dx dx
a m a m a x
+ +
= +
+ + +
ò ò
( )
( )
2 2
2 2
arcsec ln , 0 arc sec
2arc sec
arcsec ln , arc sec
2
x x
x a x x a kx a adx
x xa
x a x x a k
a a
p
p
p
ìïï - + - + < <ïïï= í
ïï + + - + < <ïïïî
ò
1
2 2
1
2 2
arcsec
, 0 arc sec
1 1 2
arc sec
arcsec
, arc sec
1 1 2
m
m
m
m
m
x
x
a x xa dx
m m ax x ax dx
xa
x
a x xa dx
m m ax a
p
p
p
+
+
ìïïïïï - < <ïï + +ï -= í
ïïïïï + < <ïï + + -ïî
ò
ò
ò
( )
( )
2 2
2 2
arc cosec ln , 0 arc cosec
2arc cosec
arc cosec ln , arc cosec 0
2
x x
x a x x a kx a adx
x xa
x a x x a k
a a
p
p
ìïï + + - + < <ïïï= í
ïï - + - + - < <ïïïî
ò
1
2 2
1
2 2
arc cosec
, 0 arc cosec
1 1 2
arc cosec
arc cosec
, arc cosec 0
1 1 2
m
m
m
m
m
x
x
a x xa dx
m m ax x ax dx
xa
x
a x xa dx
m m ax a
p
p
+
+
ìïïïïï + < <ïï + +ï -= í
ïïïïï - - < <ïï + + -ïî
ò
ò
ò
Observa-se que o cálculo das integrais com xm
implica em utilizar o método das substituições trigonométricas, visto adiante.
 Integrais de funções hiperbólicas
senh coshx dx x k= +ò cosh senhx dx x k= +ò
2
sech tghx dx x k= +ò
2
cosech cotghx dx x k= - +ò
sech tgh sechx x dx x k= - +ò cosech cotgh cosechx x dx x k= - +ò
 Os casos n
x xcos sen2ò e n
x xcos cos2ò
Substitui-se, conforme o caso, sen2x ou cos2x por seus valores conforme as identidades IV e V, efetuando-se a integração das
funções trigonométricas resultantes. Vejam-se os exemplos 18 e 19.

15. - 13 -
 Fórmulas de redução para n
x dxsenò , n
x dxcosò , secn
x dxò , cos secn
x dxò ,
tgn
x dxò e cotgn
x dxò
1 21 1
cosn n nn
sen x dx sen x x sen x dx
n n
- --
= - +ò ò
1 21 1
cos cos cosn n nn
x dx xsenx x dx
n n
- --
= +ò ò
1 21
tg tg tg
1
n n n
x dx x x dx
n
- -
= -
-ò ò
1 21
cot cot cot
1
n n n
x dx x x dx
n
- -
= - -
-ò ò
2 21 2
sec sec tg sec
1 1
n n nn
x dx x x x dx
n n
- --
= +
- -ò ò
2 21 2
cosec cosec cot cosec
1 1
n n nn
x dx x x x dx
n n
- --
= - +
- -ò ò
 O caso sen cosn m
x x dx
Sugestão
n ímpar Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição cos , senu x du x   .
n par Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição sen , cosu x du x  .
m e n pares Usam-se as identidades V e VI, o que resulta numa integral bastante trabalhosa, ou pode-se usar a identidade I
para transformar potências de seno a co-seno (ou vice-versa), aplicando-se em seguida as fórmulas de redução.
(v. ex. 20 e 21)
 O caso n
x dx nsec , parò
Além da fórmula de redução, podem utilizar-se a identidade II e a derivada ( ) 2
tg ’ = secx x , seguindo-se substituição simples.
(v. ex. 22)
 O caso n m
x x dxsec tgò
Sugestão Fórmula
m ímpar Faça
1 1
sec tg sec tgn m
x x x x dx- -
ò
Use a fórmula
x x2 2
tg sec 1= -
para substituir em 1
tgm
x
m par Expressar o integrando em potências de secx , e utili-
zar a fórmula de redução para secn
x .
Mesma fórmula e mesmo procedimento.
(v. ex. 23 e 24)

16. - 14 -
 Substituição trigonométrica
 1º caso: a x2 2
2 2
sen ,
2 2
cos ,
arc sen
cos
x a
dx a d x a a
x
a
a x a
 
 
 


  
    
 
      
 

  
Observe-se que
0 se 0
2
0 se 0
2
x
x
p
q
p
q
£ £ ³
- £ < <
Como 2 2 2
, cos 0 cos cos cos
2 2
a x a
p p
q q q q q- £ £ ³ =  - = .
 2º caso: a x2 2
 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
tg ,
2 2
sec tg 1 tg sese c
arctg
sec
c 1 tg
x a
dx a d x a x a a a a
x
a
a x a
  
 
 
    


  
    
 

           




 
Observe-se que
0 se 0
2
0 se 0
2
x
x
p
q
p
q
£ £ ³
- £ < <
Como 2 2 2
, sec 1 sec sec sec
2 2
a x a
p p
q q q q q- < < ³ =  + = .
 3º caso: x a x a 2 2
,
Usa-se a identidade III.
x a
dx a d x a a a a tg a
x
a
x a a

     


 

      




 
2 2 2 2 2 2 2
2 2
sec
sec tg sec tg
arcsec
tg

a x
2 2
a x

a
x
2 2
a x

17. - 15 -
Observe-se que
0 se
2
3
se
2
x a
x a
p
q
p
p q
£ < ³
£ < < -
Como 2 2 23
0 ou , tg 0 tg tg tg
2 2
x a a
p p
q p q q q q q< < £ < ³ =  - = .
Se , sec 1 e 0 arcsec
2
x x
x a
a a
p
q q q³ = ³ £ < = .
Se
3
, sec 1 e
2
x
x a
a
p
q p q< - = ³ - £ < ;
como arcsec , quando 2 arcsec
2
x x
x a
a a
p
p q p< £ £ -  = - .
(v. ex. 25 a 27)
 Mudança de variável tg e tg
2
x
u u x 
Essa mudança de variável é feita quando o integrando é da forma ( )sen , cosQ x x , sendo ( ),Q u v um quociente entre dois
polinômios nas variáveis u e v.
Utilizam-se as identidades XIII e XIV, fazendo-se a mudança de variável tg
2
x
u  :
2
2
sen
1
u
x
u


,
2
2
1
cos
1
u
x
u



e 2
2
1
dx du
u


Se as potências de sen x e cos x são pares, faz-se a substituição tgx u= , usando-se as identidades XV, XVI e XVII.

a
x 2 2
x a
/2
-/2
3/2
2
 0

18. - 16 -
2
2
1
cos
1
x
u
=
+
,
2
2
2
sen
1
u
x
u
=
+
e 2
1
du
dx
u
=
+
(v. ex. 28 a 30)
 Integrais de funções racionais (integração por frações parciais)
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )
( )( )
P x
dx
x x- -
ò  
Se P(x) é um polinômio de grau igual ou maior que o numerador, divide-se P(x) pelo denominador, de forma que a nova integral tenha
como numerador o resto da divisão. Integra-se normalmente o quociente, e, em seguida, a nova fração. (v. ex. 31 a 35)
Seja o resto da divisão  ax  :
 
      
     
ax A B
ax A x B x
x x x x
ax Ax A Bx B
A B a
A B

  
   
  


       
   
    
  

  
determinam-se os valores de A e B. O resultado da integração será:
( )
( )( )
ln ln
P x
dx A x B x k
x x
= - + - +
- -
ò  
 
Para integrandos do tipo
( )
( )
2
P x
dx
x a-
ò
faz-se a mudança de variável  x u  .
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )
( )( )( )
P x
dx
x x x- - -
ò   
O procedimento é similar (v. ex. 34):
 
         
 
        
2 2
P x A B C
x x x x x x
P x A B C
x xx x x
     
   
  
     
  
   

19. - 17 -
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )
2
P x
dx
x bx c+ +ò ,
sendo o denominador um trinômio não fatorável do segundo grau.
Converte-se o denominador numa soma de um número real com um binômio quadrado (v. ex. 35):
 
2
2 2 2 2 2
x bx c x bx d d c x bx c x d e            
em que
2
2
b
d
e c d



  

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
,
P x P x P x
dx dx dx
x bx c x d e x d e
P x
u x d du dx du
u e
= =
+ + + + + +
= + = 
+
ò ò ò
ò
integra-se fazendo a substituição do valor de x em P(x), e entendendo o denominador como uma função arco seno ou arco tangente.
Em particular, para integrais do tipo 2
Ax B
dx
ax bx c
+
+ +
ò e
2
Ax B
dx
ax bx c
+
+ +
ò utilizam-se as fórmulas:
2 2
2
2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
Ax B
dx
ax bx c
Ax B
dx
ax bx c
A ax b Ab
dx B dx
a aax bx c ax bx c
A ax b Ab
dx B dx
a aax bx c ax bx c
æ ö+ ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷ç+ + + +è ø
æ ö+ ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷çè ø
+
=
+ +
+
=
++ + ++ +
ò
ò
ò ò
ò ò
Estas fórmulas são uma conseqüência do desenvolvimento observado no exemplo 31.
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )
( )( )2
P x
dx
x e x bx c+ + +
ò
sendo o trinômio do denominador não fatorável.
A fórmula dada é:
( )
( )( ) 22
P x A Bx C
dx dx
x e x bx cx e x bx c
+
= +
+ + ++ + +
ò ò
sendo que a segunda parcela da integral recai no caso anterior.
Similarmente, integrais do tipo
( )
( )( )2 2
P x
dx
x e x bx c+ + +
ò , com P(x) de grau até 2:
( )
( )( )2 2
P x
dx
x e x bx c+ + +
ò = 2 2
Ax B Cx D
dx
x e x bx c
+ +
+
+ + +
ò

20. - 18 -
 Integral da função racional do tipo
( )
1
2 2
1
n
dx
x
+
+
ò

,
( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
22
n n n
x n
dx dx
nx n x x
+
-
= +
+ + +
ò ò   
 Funções irracionais
 Integrais do tipo
a bx
dx
c dx
+
+
ò
( )2
ax b ax b ax b ax b
dx dx dx
cx d cx d ax b acx ad cb x db
+ + + +
= =
+ + + + + +
ò ò ò
e prossegue-se com substituição trigonométrica, completando-se o quadrado na expressão sob o radical, se necessário. (v. ex. 36)
 Integrais com raízes de uma variável
Dado o integrando que contém de uma variável ,
j ml n
x x , a substituição é feita por x tm
= , em que  é o denominador
comum dos expoentes dados em forma fracionária:
é o denominador comum entre , ,
l
j l j
n
m n m
x x
n l
x x
m j
m
=
=  

A integral obtida recai em casos já estudados. (v. ex. 37)
 Outras integrais
 Integrais do tipo 2,x ax bx c dx
æ ö÷ç ÷+ +çò ÷ç ÷çè ø
 com substituição de Euler
1ª Substituição de Euler – se a > 0
2
2 2 2
2 2
2
2 2
ax bx c ax t
ax bx c ax ax t
t c t c
x dx
b t a b t a
+ + =  +
+ + = + +
æ ö- - ÷ç ÷=  = ç ÷ç ÷çè ø- -
'
2
2
2
t c
ax bx c ax t a t
b t a
-
+ + =  + = +
-
2ª Substituição de Euler – se c > 0

21. - 19 -
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
ax bx c xt c
ax bx c x t t cx c
t c b t
t c b
ax bx c xt c t c
a t
c b
x dx
a t a t
+ + = 
+ + = + +
æ ö- - ÷ç ÷ç=  = ÷ç ÷ç ÷- -ç
-
+ + =  = +
-
è ø
'
3ª Substituição de Euler – se a > 0 ou a < 0, com  e  como raízes reais do trinômio
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
ax bx c x t
ax bx c a x x
a x x x t
a x x x t
a x
a t
ax bx
x t
a t a t
x t dx
a t a t
c x t t
a t
a
a b
a b a
a b a
b a
b a
b
b a
a
a
a a
+ + = -
+ + = - -
 - - = -
- - = -
- = -
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷= -  =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø
æ ö- ÷ç ÷ + + = - = -ç ÷ç ÷ç -è ø
è ø
'
(v. ex. 38 a 40)
 Integração do binômio diferencial ( )
p
m n
x a bx dx+ò
A integral do binômio diferencial ( )
p
m n
x a bx dx+ò pode ser reduzido à integral de uma função racional, se m, n e p são
racionais, e se:
– p é inteiro (positivo, negativo ou zero);
–
1m
n
+
é inteiro (positivo, negativo ou zero);
–
1m
p
n
+
+ é inteiro (positivo, negativo ou zero).
Procedimento:
Faz-se
1 1
11
,n n
x z dx z dz
n
-
= =
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1 1p p p
m n qn
n
x a bx dx z a bz dz z a bz dz
n n
q z
-
-
+ = + = +
=
ò ò ò
1º CASO: p é inteiro, q racional,
r
q
s
= .
,
r
s
R z z dz
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
ò

22. - 20 -
Substitui-se
r
s
z por ts
.
2º CASO:
1m
n
+
é inteiro, então q também é inteiro e p é racional, p =


.
( ),q
R z a bz dz
é ù
ê ú +ê ú
ê úë û
ò


Substitui-se a bz+ por t
.
3º CASO:
1m
p
n
+
+ é inteiro, logo q + p é inteiro.
( ) ,
,
p
p
q q p
k
l
q
a bz k
z a bz dz z dz p
z l
a bz
R z dz
z
+
æ ö+ ÷ç ÷ + = =ç ÷ç ÷çè ø
é ù
ê úæ ö+ ÷çê ú÷ ç ÷çê ú÷çè øê ú
ë û
ò ò
ò
Substitui-se
a bz
z
+
por tl
.
(v. ex. 41 a 43)
 Metodos numéricos
Usam-se para calcular a aproximação de uma integral definida quando a integração da função é difícil de obter-se.
Seja uma função : ,f a b     . Divide-se o intervalo ,a b   em n subintervalos de comprimento
b a
h
n

 .
Temos então:
 
0 1 0 2 1
, , , , n
i i
x a x x h x x h x b
y f x
     


 1) Regra retangular
   0 1 2 1
b
na
f x dx h y y y y 
     
ou
   1 2 3
b
na
f x dx h y y y y     
 2) Regra dos trapézios
  0
1 2 1
2
b
n
na
y y
f x dx h h y y 
 
      
 
 
 3) Fórmula de Simpson (ou Método das parábolas)

23. - 21 -
O número de subintervalos n deve ser par.
     0 2 4 2 1 3 1
2 4
3
b
n n na
h
f x dx y y y y y y y y 
          
   
Os métodos são trabalhosos, sendo a Fórmula de Simpson a que oferece melhor aproximação.
Nos exemplos de nº 44 a 46 observa-se sua aplicação em uma integral simples, a título de comparação.
 Integrais impróprias
1) Se f é contínua para todo x a , então
   lim
b
a ab
f x dx f x dx


 
se o limite existir.
2) Se f é contínua para todo x b , então
   lim
b b
aa
f x dx f x dx
 
 
se o limite existir.
3) Se f é contínua para todo x, então
     
0
0
lim lim
b
ab a
f x dx f x dx f x dx

  
   
se os limites existirem.
4) Se f é contínua para todo  ,x a b , então
   0
lim
b b
a a
f x dx f x dx
  
 
se o limite existir.
5) Se f é contínua para todo  ,x a b , então
   0
lim
b b
a a
f x dx f x dx

 


 
se o limite existir.
6) Se f é contínua para todo  ,x a b , exceto num ponto “c”, então
     0 0
lim lim
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

  

 
   
se os limites existirem.
Quando os limites existem, diz-se que a integral converge (para o ponto de limite). Caso contrário, diz-se que a integral diverge.
(v. ex. 47 a 51)

24. - 22 -
Exemplos:
o Limite da função racional
1. Exemplo a
4
2 3 4 2 3 4
4
4
4
4
4 2
3
3 1 1 3 1 12 2
2 0 2
lim lim
2 2 5 0 52 2
55
2 3 1
lim
5 2 2x x x
x
x x x x x x
x
x
x
x x
xx
x x
x
 ¥ ¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç +
+ + +
+
+ +÷ç ÷ç +è ø
= = = =
æ ö +÷ç + -÷+ -çç ÷è
-
÷ç ø
2. Exemplo b
5 2
4
5
3 4 5 3 4 5
4
44
3
3 1 1 3 1 12 2
2
lim lim lim
2 2 52 2
55
2 3 1
lim
5 2 2x x x x
x
x x x x x xx x
x
x xx x
x x x
x x ¥ ¥ ¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç + + +÷ç ÷çè ø
= = ⋅ = ⋅ = ¥
æ ö÷ç + -÷+ -ç ÷ç ÷çè
+ +
-
ø
+
+
3. Exemplo c
4 2
4
2 3 4 2 3 4
3 3
7
4 74 7
7 3
3 1 1 3 1 12
2 3 1
lim
5
2
1 1 2
lim lim lim 0
2 2 52 2
55
2 2 x x xx
x
x x x x x x
x x
x
x xx
x
x
x x
x x ¥ ¥¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç + + +÷ç ÷çè ø
= = ⋅ = ⋅ =
æ ö÷ç + -÷+ -ç ÷ç ÷ç
+ +
+ -
ø
+
è
o Limites - formas indeterminadas
4. As formas 0/0 e ¥/¥
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-
das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥.
O primeiro exemplo é o caso 0/0. O segundo, a forma ¥/¥.
( )
( )
( )
( )31
1 1
3 21 1 1
1 ’1 ln ’ 1
lim lim lim
6 63
1 ln
l
2 ’
i
3 3
m
2 3 ’
x x
x x xx
x x
xx x
x x
x x x
-
  
- +
=
+ +
- +- +
= = = -
+ + +
( )
( )
( )
( )
2
2 ’ 2 ’ 2
lim ll iim m lim 0
’ ’
xx xx xx x x
x x
ee e
x
e ¥ ¥¥ ¥
== = =
5. A forma 0.¥
Neste exemplo o método utilizado foi reduzir à forma 0/0 e proceder como nesse caso.
( )
( )
( ) 232 232
3 6 ’ 3 1
li
1
lim 3 6
3 2
m lim
1293 244 ’x xx
x
x xx
x
 
- ⋅ =
-
-
= =
-
6. A forma ¥ — ¥
( )
( )
( )
( )

0
0
0 0 0
2
sin ’ 1 cos ’ sin 0
lim lim lim 0
2cos sin 2sin ’ si
1 1
lim
sin n cos ’x x xx
x
x
x x x
x x xxx x x x x  
æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷
- -
= =
ç
=
+è ø
=
-

25. - 23 -
7. A forma 00
( )
( )
( )
0
sen lim sen ln sen
sen
0 0
0
0
0 0
2
cos
ln sen ’ senlim sen ln sen lim lim sen 0 1 lim se
lim
n 1
cos1
’
sense
s n
n
e x
x
x x
x x x
x
x x
x
x xx x x e x
x
xx
x e 
⋅


  
⋅ = = = - =  = =
æ ö -÷ç ÷ççç ø
=
÷÷è
8. A forma ¥0
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
4 1
l
2
2
1 4 2
3
22
2 21
im 4 ln
2 2 2
2
2 2
4
0
2
’
2
2
4 ’ln ’ 8 16 ’1 4 16
lim 4 ln lim lim lim lim
2 4 42 4 ’ 2 4 ’
0 1
0
1
lim
1 lim
4
2
2
x
x
x x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x
x
x xx x x x
x
x
e
e

-
æ ö÷ç  
-
-
 ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ø
-

è -

é ù
-ê ú - + -ê úë û- = = = =
- -- -
æ ö÷ç ÷= =  = ç ÷ç ÷ç -è
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç
ø
-è ø
( )4
1
-
=
9. A forma 1¥
( ) ( )
( )
( )
( )
3
0
1 1
lim
3 12
3 0 3
0 0
ln 1
3
0
0 0
ln 1 ’1 3 0
lim ln
lim 1
1 lim lim 0 1 lim 1 1
’ 3 1 1
x
x
x x x x
x
x x
x
x x
x e x
x x x
x e 
   
⋅ +

+
⋅ + = = = =  = +
+ =
=
+
o Derivação de radicandos
10. Exemplo
( )
( )
( )
2
2
0
2
2 1 2 1
’ l m
2 1
i
x
f
x
x
x
f
x
x x
xD 
+ D + - +
=
+
D
=
Neste ponto, racionaliza-se o numerador:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
0 2
2
2
2
0 2
2
2
2 2
0 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
’ lim
2 1 2 1
2 1 2 1
lim
2 1 2 1
2 4 1 2 1
lim
2 4 1 2 1
x
x
x
x x x x x x
f x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
D 
D 
D 
æ öæ ö÷ ÷ç ç+ D + - + ÷ + D + + + ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø
=
æ ö÷çD + D + + + ÷ç ÷ç ÷çè ø
+ D + - -
=
æ ö÷çD + D + + + ÷ç ÷ç ÷çè ø
+ D + D + - -
=
æ ö÷çD + D + D + + +çççè ø
÷÷÷

26. - 24 -
Cancelam-se os opostos, igualam-se a zero as parcelas com xD :
( )
( ) 20 2 2
4 2
’ lim
2 1 2 2 11
x
x x
f x
x x
x
x xD 
D
=
D + + + +
=
o Integração por substituição simples
11. Exemplo a
( )
( ) ( )
( )
4
4
3 3
3
3
2 1, 2
2 11 1
2 1 2 1 2
2 2 8 8
2 1
u x du dx
xu
x dx x dx u du k k
x dx
= + =
+
+ = + = + +
+
= =
ò
ò ò ò
12. Exemplo b
( ) ( )
2
2
4 2 2
2
4
, 2
1 2 1 1 1 1
arctan arctan
2 2 2 21
1
11
u x du x dx
x x
dx d
x
x du u k x k
x ux
dx
x
= =
= = = +
+
= +
+ ++
ò ò ò
ò
o Integração por partes
13. Exemplo a
,
sen
u
x x
x d d
dx
u x= =
ò
sen , cos
sen cos cos cos sen
dv x dx v x
x x dx x x x dx x x x k
= = -
= - + = - + +ò ò
14. Exemplo b
Neste exemplo aplica-se duas vezes o método da integração por partes.
( )
2
2 2
2 2
2
2
2
, 2
,
2
2 , 2
,
2 2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x
x
u x du x dx
dv e dx v e
x e dx x e xe
u x du dx
dv e dx v e
x e dx x e xe e dx
x e xe e k
x e
x x e
x
k
d
= =
= =
= -
= =
= =
= - +
= - + +
= - + +
ò ò
ò ò
ò
15. Exemplo c
Neste exemplo aplica-se, em seguida, o método de substituição trigonométrica, que será visto adiante.

27. - 25 -
2
2
2
2
2
1
arcsen ,
1
,
arcsen arcsen
1
sen , cos
se
a
n cos
sen
cos1
c
rcse
os 1
arcsen arcsen 1
n
u x du dx
x
dv dx v x
x
x dx x x dx
x
x dx d
x
dx d d
x
k x
x dx
x d
x x x
x
q q q
q q
q q q
q
q
= =
-
= =
= -
-
= =
⋅
= =
-
= - + = - +
= + +
ò ò
ò
ò
ò ò
ò
o Integração de funções trigonométricas
 Os casos esen cos , cos cos sen senax bx dx ax bx dx ax bx dxò ò ò
16. Exemplo a
( )
( )
cos 31 1 cos7
sen( 3 ) sen 7sen
2 2 3 7
cos 3 cos7
6 1
2 cos( )
4
5
x x
x x dx k
x x
k
x x dx
é ù- -ê ú- + = - +ê ú
ê ú
ë û
- -
= - +
⋅ - = òò
Essas fórmulas servem para calcular integrais aparentemente mais complexas, mas que se reduzem às formas dadas, como neste:
17. Exemplo b
( )23 2
2
I II
2
sen 4 sen 2 sen2 sen 4 sen2 1 cos 2
sen 4 sen2 sen4 sen2 cos 2
1
I) sen
sen
4 sen2 cos6 cos2
2
1
II) sen 4 sen2 cos 2 sen 4 sen2 1 c
2
4 sen 2 x x x dx x x x dx
x x dx x x x dx
x x dx x x dx
x x x dx
x x dx
x x
= ⋅ ⋅ = ⋅ -
= ⋅ - ⋅ ⋅
⋅ = - +
- ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅
⋅
+
ò ò
ò ò
ò ò
ò
ò
 
( )
Ident. VI
Ident. III
3
os4
1 1 1
sen 4 sen2 sen 4 cos4 .sen2
2 2 2
1 1 1 1 sen 8
cos6 cos2 sen2
2 2 2 2 2
1 1 1
sen4 sen 2 cos6 cos2 cos6 cos2 cos10 cos6
2 4 8
1
co
4
x dx
x x dx x x x dx
x
x x dx x dx
x x dx x x dx x x dx x x dx
= - ⋅ - ⋅
= - ⋅ - + -
⋅ = - + - - + + -
= -
ò
ò ò
ò ò
ò ò ò ò


1
s6 cos2 cos10 cos6
8
sen6 sen2 sen10 cos6
24 8 80 48
sen6 sen2 sen10
16 8 80
x x dx x x dx
x x x x
k
x x x
k
+ + -
-
= + + - +
-
= + + +
ò ò

28. - 26 -
 Caso ecos sen2 cos cos2n n
x x x xò ò
18. Exemplo a
( )
( )
2 3
4 4
2 3 3
2
cos 2sen cos 2 cos sen
cos , sen
cos
cos sen2 2 cos sen 2
co
2
se
2
s n2 x x x dx x x dx
u x du x dx
u x
x x dx x x dx u du
x x d
k k
x = =
= = -
= - - = - = - + = - +
ò ò
ò
ò
ò ò
Observamos neste caso que foi utilizado também o método de substituição simples.
19. Exemplo b
( )3 2 2 53 3 2
I II
cos cos cos sen cos coco s sens2 x x x dx x dx x dx x x x dx= - = -ò ò òò  
Utiliza-se agora a fórmula de redução dada para cosn
x.
( )
5 4 3
4 2
4 2
3 2 3 2 3 5
1 4
I) cos cos sen cos
5 5
1 4 1 2
cos sen cos sen cos
5 5 3 3
1 4 8
cos sen cos sen sen
5 15 15
II) cos sen cos 1 cos cos cos
x dx x x x dx
x x x x x dx
x x x x x k
x x dx x x dx x dx x dx
= +
æ ö÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷çè ø
= + + +
= - - = - +
ò ò
ò
ò ò ò ò
Não apresento o desenvolvimento da solução por se tratar apenas da fórmula de redução dada. Vamos direto à resposta:
3 4 22 1 2
cos cos2 cos sen cos sen sen
5 5 5
x x dx x x x x x k= + + +ò
 Caso sen cosn m
x x dx
20. Exemplo a
Primeiro um UexUemplo com potências ímpares:
( )5 2 5 2
5 7
6 8 6 8
3
5 7
5
7 5
sen cos cos sen 1 sen cos
sen cos sen cos
sen , cos
sen sen
sen c
sen c
os sen cos
6
o
6
s
8 8
x x x dx x x x dx
x x x x dx
u x du x
u u x
x
x
x x x x dx u u du k k
x dx = -
= -
= =
- = - = - - +
=
+ =
ò ò
ò
ò
ò ò
Poder-se-ia ter feito também:
( ) ( )3
2
25 4 3 3
sen cos sen cos 1 cos sen
cos , s
sen co
en , etc.
s x x x dx x x x dx
u x du x
x x dx == - - -
= = -
ò òò
21. Exemplo b
Um UexUemplo com ambas as potências pares (ident. VI e VII):
( ) ( )6
3
24
2
2 3
2 1 cos2 1 cos2
sen cos
2
se
2
n cosx x
x x
x x d dx xd x
æ ö æ ö- +÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è
=
ø
ò òò

29. - 27 -
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 2 2 3
1
1 cos2 1 cos2
8
1
1 2cos2 cos 2 1 3cos2 cos 2 2cos 2 cos 2 , etc
8
x x dx
x x x x x x dx
= - +
= - + + + + +
ò
ò
O integrando se transforma numa expressão polinomial bastante trabalhosa de integrar.
O mesmo UexUemplo, utilizando-se porém a identidade I:
( )2 6 82 66
1 cos cosen co s cos coss x xx x d dx x x dxx - = -=òò ò
Neste caso aplica-se a fórmula de redução para potências de co-seno.
 O caso sec , parn
x dx nò
22. Exemplo
( )2 2 2 2 2
2 2
4
2
3 3
2 2 2
3
4
sec 1 tg sec sec tg
tg sec tg
tg , sec
tg
sec tg
sec
3 3
tg
sec tg
3
x x dx x dx x x dx
x x x dx
u x du x dx
u x
x x dx u du k k
x dx x k
x dx + = +
= +
= =
= = + = +
= + +
= ò ò ò
ò
ò
ò
ò ò
 O caso sec tgn m
x x dxò
23. Exemplo a, m ímpar
( )
( ) ( )
2
2 4 2 2
2 2
2 2 2 2 6 4 2
7 5 3 7 5
3 5
3
sec tg sec tg sec sec 1 sec tg
sec , sec tg
sec sec 1 sec tg 1 2
2 sec 2sec sec
7 5 3
sec tg
7 5 3
x x x x dx x x x x dx
u x du x x dx
x x x x dx u u du u
x x dx
u u du
u u u x x x
k k
= -
= =
- = - = - +
= - + + =
=
- + +
ò ò ò
ò ò ò
24. Exemplo b, m par
( )
2
3 23 7 5 34
secsec sec 1 sec 2sec sectg x dx x dx x x x x dx- = - +=ò ò ò
E aplica-se a fórmula de redução correspondente.
o Integração - Substituição trigonométrica
25. 1º caso: 2 2
a x
227 74 1
14
2
2
44 1
24
4
7 x x
x x
i dx
x
x
dx dxæ ö÷ç æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷- ÷ çç ÷÷ ç- ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ çè ø ÷ç ÷÷çè ø
+
= =
+ +
=
-
ò ò ò

30. - 28 -
2 2
sen 4 cos
7 7
21 sen
7 2
sen , sen , cos
2 7
1 1 4 8 2 4
sen cos
2 2 7 77 7
d
x
x dx d
i d k
q q q
q
q q q q
q q q q
æ ö÷ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷è ø
-
= = =
= = + = - + +ò ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
2
4 7 4 7
arcsen
2 77
x
i x k
-
= + -
26. 2º caso: 2 2
a x
2
22
2
2 2
2
2 1 2 2 1
43 68 1 18 4
6 4 tg
tg , , se
3
c
4
8
6
2 1 x x
dx
x
i d dx
x x
x
x dx d
x
x
q
q q q
- -
= =
æ ö æ ö÷ç ÷÷ ç
-
+ç ÷÷ çç +÷÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
= =
+
=
= ò òò
( )
2
2
2
1
2 2 3
16 tg 4
2 1 sec
62 2 64 tg sec 46
sec
4 sec 4 3 6 6
2 4 3
) sec ln sec tg
4 36
2 64 6 16 3 16 3
) tg sec sec 1 sec sec sec
4 18 9 9
II I
d
i d
I d k
II d d d
q
q q
q
q q
q
q q q q
q q q q q q q q q
æ ö÷ç ÷´ -ç ÷ç ÷çè ø
= = -
- = - + +
= - = -
ò ò
ò
ò ò ò
 
3
2
16 3 16 3
ln sec tg sec
9 9
16 3 16 3 sec tg 1
ln sec tg sec
9 9 2 2
16 3 8 3 8 3
ln sec tg sec tg ln sec tg
9 9 9
16 3 8 3 8 3 3
ln sec tg sec tg ln sec tg ln sec tg
9 9 9 3
d
d
k
i k
q q q q
q q
q q q q
q q q q q q
q q q q q q q q
= - + +
é ù
ê ú= - + + +
ê ú
ë û
= - + + + + +
= - + + + + - + +
ò
ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:

2
7 x
2
4 7x

31. - 29 -
2 2
2 2
8 3 3 8 3 11 3 3 8 3
ln
9 2 9
1 11 3
3 8 ln 3 8 3
3 9
2 2 2 2
x x x x
i k
x x x x k
+ + +
= -
+
+
= + - + +
27. 3º caso: 2 2
,x a x a 
2 2
22
2
3
2
2
2
3 1 3
54 225 1 1
25 5
2 5sec 5sec tg
sec , ,
5 2 2
5sec 5sec tg
3
2 21 25 3
sec sec
5 8 2sec 1
3
4 25
II I
x x
dx dx
x x
x
x d
x
i dx
x d
d
i d
x
d
q q q
q q
q q q
q
q q q q
q
+ +
= =
æ ö æ ö÷ç ÷÷ ç-ç ÷ -÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø
= = =
é ùæ öê ú÷ç ÷ +çê ú÷ç ÷çè øê ú
ë û= = +
+
-
-
= ò ò
ò ò
ò
ò 
1
3
2
3 3
) sec ln sec tg
2 2
25 25 sec tg 1 25 sec tg 1
) sec sec ln sec tg
8 8 2 2 8 2 2
25 49
sec tg ln sec tg
16 16
I d k
II d d k
i k
q q q q
q q q q
q q q q q q
q q q q
= + +
é ù é ù
ê ú ê ú= + = + + +
ê ú ê ú
ë û ë û
= + + +
ò
ò ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
2
24 25 49
ln 2 4 25
8 16
x x
i x x k
-
= + -
+
o Mudança de variável tg e tg
2
x
u u x 
28. Exemplo a
Algumas integrais de quociente de funções seno e co-seno podem ser resolvidas por substituição simples, como neste exemplo:

5
2x 2
4 25x -

2 2
3 x
2
3 8x +

32. - 30 -
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
2
2
1
cos , sen
sen sen 1 1
2cos cos 2cos cos 2 2
1
2
22
2 1 1 1
,
0 2 2
1 1 1 1 2 cos
ln cos ln 2 cos ln
2 2 2 22
sen
2cos cos
u x du x dx
x x
dx dx du du
x x x x u u u u
A B
A B u A
u uu u
A
A B
A B
x
du du x
x
x k
u uu
x
u
dx
x
= = -
-
= - = - = -
+ + + +
= + = + +
++
ìï =ï = = -í
ï + =ïî
+
- = - - = - + + + =
+
++
ò ò ò ò
ò
ò
ò cos
k
x
+
29. Exemplo b
Neste exemplo são feitas as substituições indicadas neste tópico:
21 tg
2
22 2 2 2 tgtg tg 2 tg
22 2 2
2 2 21 tg 1 tg 1 tg
2 2 2
11
1
1 1
1 1
cos
x
dx
xx x x
x x x
dx dx dx xd
x
+
+ + +
=
-
= = =
- -
ò ò ò ò ò
2
v. ident. II
2
2
221 tg
2
2 2 222 tg tg
2 2
1
tg , 1 tg
2 2 2
2
2 1 tg
2 1
1 2 1 1 1
2 1
x
dx
x x
x x
t dt dx
x
dt dx dt dx
t
t
dt dt k k
tt t u
é ù
ê úë û
+
æ ö÷ç ÷= = +ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷= +  =ç ÷ç ÷ç +è ø
+
= ⋅ = = - + = - +
+
ò ò ò
1 cos2 2cos coscos
2 2 22
1 cos2 2sen sen sen 1 cos 12 2 2 2 2
cos
v. ident. V2
2
1
1 cos 1 cos sen
1 cos 1 cos 1 cos
x x xx
x x x x x
x
k k k k k
x x x
k k k
x x x
+
+
- -
é ù
ê úë û
= - + = - + = - + = - + = - +
+ - -
= - + = - + = +
- - -

30. Exemplo c
Este método leva às vezes a operações trabalhosas, como neste exemplo:
2
2
2 2
2tg
2
1 tg
2
2 tg 1 tg 22 2
1 tg 1 tg
2 2
2
2
2 tg
2
2 tg 1 tg
2 2
1 2
tg , 1 tg
sen
sen co
2 2 2 1
s
x
x
x x
x x
x
x
d dx dx
x x
x x
t dt dx t
t
x
d dx
x
x
+
-
+ +
= =
+ -+
æ ö÷ç
=
+
÷= = +  =ç ÷ç ÷ç +è ø
ò ò ò

33. - 31 -
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 tg
2 2 42
2 1 1 2 1 12 tg 1 tg
2 2
4
2 1 1 1 2 1
4 ( ) 2 1 1
x
t t
dx dt dt
x x t t t t t t
t At B Ct D
t t t t t t
t At B t t Ct D t
= ⋅ =
+ - + - + + ++ -
+ +
= +
- + + + + - + +
= + - + + + + +
ò ò ò
Desenvolvendo, ordenando e igualando os coeficientes, obtemos o sistema:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 2
2 22 2
III
4 2 2
0
2 0
1, 1
2 4
0
4 1 1
1 2 12 1 1
t A C t A B D t A B C t B D
A C
A B D
A B C D
A B C
B D
t t t
dt dt dt
t t tt t t
= - + + - + + + + + +
ìï- + =ïïï - + =ïï = = = = -í
ï + + =ïïï + =ïïî
+ - +
= +
+ - -- + + +
ò ò ò

( )2
12 2 2
2
12
2
22 2
2
2
1 1 2 1 1
I) ln 1 arc tg
2 21 1 1
1 1
ln 1 tg arc tg tg
2 2 21
1 1 2 2 1
II) ln 2 1
2 22 1 2 1
1 1
ln tg 2 tg 1
2 2 22 1
t t
dt dt dt t t k
t t t
t x x
dt k
t
t t
dt dt t t k
t t t t
t x x
dt
t t
+
= + = + + +
+ + +
æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷ = + + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ è ø è ø
- + - - -
= = - - +
- - - -
æ- + - ç = - -
- - è
ò ò ò
ò
ò ò
ò 2
k
ö÷÷ +ç ÷ç ÷ç ø
Então:
2
tg
2
2
tg 2 tg
2 2
2 2sen 1 1
ln 1 tg arc tg tg ln tg 2 tg 1
sen cos 2 2 2 2 2
11
ln arc tg tg
2 21
2
x
x x
x x x x x
dx k
x
k
x
x
-
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + + - - - +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç
æ ö+ ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç- è
ç+ è ø
ø
è ø è ø
ò
É necessário agora obter a solução em termos de sen x e cos x:
2
2
2
2
sen
2
cos
2
sen sen
2 2
2
cos cos
2 2
1 sen
sen 1 2ln arc tg
sen cos 2
cos1
2
x
x
x x
x x
x
x
dx k
x x x
-
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷+ ç ÷÷ç- ÷çè ø
ò

34. - 32 -
2 2
2
2 2
2 2
cos sen
2 2
cos
2
sen sen cos cos
2 2 2 2
2
cos cos cos
2 2 2
2 2
2 2
2
sen
1 2ln arc tg
2
cos
2
cos sen sen cos
1 2 2 2 2ln arc tg
2
sen sen cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
x x
x
x x x x
x x x
x
k
x
x x x x
x x x x x x
+
⋅
-
-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç ÷÷ç- ÷çè ø
æ ö÷ç ÷+ ç ÷ç ÷ç ÷= + ⋅ç ÷ç ÷ç ÷⋅ - ççè ø
(V. ident. III)
2
2 2
(V. ident. VI)
(V. ident. IV) (V. ident. III)
sen cos
1 1 2 2ln arc tg
2
cos
2cos sen 2sen cos
2 2 2 2
k
x x
x
x x x x
+
÷÷
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + ÷ç ÷çæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç- - + ⋅ ÷ ç ÷ç ÷ çç ÷ è øç ÷÷ç ÷çè ø


 
sen
1 1 2ln arc tg
2 cos sen 1 cos
2
1 1 sen
ln arc tg
2 cos sen 1 cos
x
k
k
x
k
x x
x
x
x x
+
÷
æ ö÷ç ÷ç ÷ç- ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷+ +ç ÷÷ç ÷çè
æ ö- ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç +è ø
ø
+
o Frações parciais
31. Exemplo a
( )
( )
16 168 8 5 5
3 3
2 2 2
2
2
2
2 2
38 3 21 1 3
8 8 84 5 1 4 5 1 4 5 1
3 8 5 1 1 3 1 1
ln 4 5 1
8 8 8 84 5 1 4 5 1 4
4
1
3
5 1
5
2 x xx
dx dx dx
x x x x x x
x
dx dx x x dx
x x x
x
dx
x x
x x x
æ ö÷ç ÷ç + ÷ + + -ç ÷çè ø
+
= =
+ + + + + +
+
= + = + + +
+
+
=
+ +
+ + + + +
ò ò ò
ò ò
ò
ò
A integral no fim da expressão acima terá seu denominador fatorado da seguinte maneira: ( )( )1 4 1x x+ + , e será resolvida com
no exemplo b.
32. Exemplo b
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2 42 4
3 4 2 3 4 2
3
4 2 0
2 4
x A B
x xx x
x A x B x x x A B A B
A
x
dx
B
x x
B
A
= +
- +- +
= + + - 
- +
= + + -
ìï + =ï
í
ï - =ïî
ò
Resolvendo-se o sistema, obtém-se 1 e 2,A B= =
( )( )
3 1 2
ln 2 2ln 4
2 42 4
x
dx x x k
x xx x
= + = - + + +
- +- +
ò ò

35. - 33 -
33. Exemplo c
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
1
2
5, 5,
2 5 12 1 2 11 1 1
2 11
5
11
2ln 11 2ln
2 1
5
11 2ln 5
1 5
u x x u du dx
ux u
dx du du du du
uu u ux
x
dx
u
u u du u k x k
x
x
-
-
= - = + =
+ ++ +
= = = +
-
= + = + + = - - +
- -
+
-
ò ò ò
ò
ò ò
ò
34. Exemplo d
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
3 2
1 8 ( 8)1 8
3 2 8 1 8 1
16 7
3 2
1 8
64 8
x A B C
x x
x
dx
x x
xx x
x A x B x x C x
A B x A B C x A B C
+
= + +
- + +- +
+ = + + - + + -
= + + + + +
+
-
- +
-
ò
Obtém-se o sistema:
0
16 7 3
64 8 2
A B
A B C
A B C
ìï + =ïïï + + =í
ïï - - =ïïî
cuja solução é
( )( ) ( )
( )
5 5 22
81 81 9
2 2
2
5 5 22
, ,
81 81 9
3 2
1 81 8 8
5 5 22 1
ln 1 ln 8
81 81 9 8
A B C
x
dx dx
x xx x x
x x dx
x
-
-
= = =
+
= + +
- +- + +
= - - + +
+
ò ò ò ò
ò
Na última integral faz-se
( ) ( )
( )( ) ( )
1 12 2
2
8,
22 1 22 1 22 22
9 9 9 9 88
3 2 5 5 22
ln 1 ln 8
81 81 9 81 8
u x du dx
dx du k k
uu xx
x
dx x x k
xx x
= + =
- -
= = + = +
++
+
= - - + - +
+- +
ò ò
ò
35. Exemplo e
( )
2
2 2
2
2 4
3
2 1 1 4
4
1
2
3x x x
x
dx
x
x x
x- + = - + - + = -
+
- +
+
ò

36. - 34 -
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
I II
2 2
1 12 2
3 3
2 4 1 3
1, 1 ,
3 4 4
3 3 31 3
1 2 1 1
I) ln 3 ln 4
2 2 23 3
x x
dx dx
x x x
u x u x du dx
x u u
dx du du du
u u ux
u u
du du u k x x k
u u
+ +
=
- + - +
= - + = =
+ +
= = +
+ + +- +
= = + + = - + +
+ +
ò ò
ò ò ò ò
ò ò
 
( )
( )
2 22 2
1
3
2
2
4 4 1 4 3 4 3 1
II) arc tg arc tg
3 3 1 33 3 31
3 1 4 3 1
ln 4 arc tg
2 32 4 3
u x
du du k k
u u
x x
dx x x k
x x
-
= = ⋅ + = +
+ +
+ -
= - + + +
- +
ò ò
ò
o Funções irracionais
 Integrais do tipo
ax b
dx
cx d
+
+
ò
36. Exemplo
2
2
2
2
1 9
4 16
92
16
3 3 3
2 4 3 2 1
1 9
2 1 2
4 16
3 1 3
2
3
2
4 2
1 1
, ,
4 4
3 1 11
2 4 2
4
x
u
x
dx
x
x x x
dx dx
x x x x
x x x
x x
dx dx
x
x u x u dx du
x u
dx du
x
æ ö÷ç ÷ç - -÷ç ÷÷çè ø
-
- ⋅ - -
= =
+ ⋅ - - -
é ùæ öê ú÷ç ÷- - = - -çê ú÷ç ÷çè øê ú
ë û
- -
=
+
- = = + =
- -
=
+
-
+
ò ò
ò ò
ò
ò
ò
A integral na variável u se resolve pelo método de substituição trigonométrica.
 Integrais com raízes de uma variável
37. Exemplo
1
2
4 3
3
4
4 3
3 4
o den.comum é 4 , 4
1
x x
x t dx t dt
x x
x
dx
x
ìïï =ïï   = =í
ïï =ïïî
=
+
ò

37. - 35 -
2 5 2
3 2
3 3 34 3
3 3 3
3
3
4 43 3
4 4 4
1 1 11
4 1 3 4 4
4 ln 1
3 3 3 31
4 4
ln 1
3 3
x t t t
dx t dt dt t dt
t t tx
t t t
dt t k
t
x x k
= = = -
+ + ++
= - ⋅ = - + +
+
= - + +
ò ò ò ò
ò
 Substituições de Euler
38. 1ª substituição de Euler - exemplo
2 2
2
2 2 2
4 2
1
4 2 4
4
x t x x x tx t x x tx t x
dx
x x
+ = + +  + + = + +  +
+
=
+
+
ò
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2 2
2
2 2
2 2 24 2
2 1
2
1
2
4 2 2 8
,
2 1 2 1
2 4 2 1 41 2
2
2 12 1 4 2 1
1 1 1
ln ln 4
2 2
t
t
t
t
t t t
x dx
t t
t t t t t
I dt dt dt
tt t t t
dt t k x x x k
-
+
-
-
- - + -
= =
- -
æ ö÷ç- - + - - +÷ç ÷ç= = - = -÷ç ÷ç -÷ç - - + -÷çè ø
= - = - - + = - + + - - +
ò ò ò
ò
39. 2ª substituição de Euler - exemplo
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 2
2 1
1 1
1
2
1
1
,
1
x x xt
x x
dx
x x x
x x x t xt
t tt
x dx
t t
+ + = +  + = +
- +-
= =
-
-
+ +
-
+ +
ò
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 22 2
2 2 2
2 1
1 1
2 1 2 1 1 2 11
2 1 2 1 2 1 1 2 11
1 1 1
t
t
t t t t t t t tt
dt
t t t t t tt
t t t
I
é ùì üé ùï ïæ ö- ê úï ï÷çï ïê ú÷ç- +í ý ê ú÷çê ú÷ - + - + - - - +÷ï ïç ê úè ø-ê úï ïë ûï ïî þ ê ú
ê úé ùæ ö æ ö æ öê ú- - -÷ ÷ ÷ - -ç ç çê ú÷ ÷ ÷ç ç ç+ ê ú÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çê úè ø è ø è ø- - -ê úë û ë û
= =ò ( )( )
2
2
2
2
1 1
2 2
2
2
1
1 1 1 1 1
2 ln 2 ln
1 1 1
dt
t t
t
dt
t
t x x x x x
t k k
t x x x x x
=
- + - -
+ + + - + + + -
= - + + = - + +
- - - + + +
ò ò

38. - 36 -
40. 3ª substituição de Euler - exemplo
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
10
2
1
2 21 4 24
2
1
3 4 4 1 4 1 4
4 1 4 1 4
1 4 10
,
1 1
10 1 2
11 5
1 4 1
ln l
3 4
n
1 4 1
1
t
t
dt
t
t
x x x x x x x t
x x x t x x t
t t
x dx dt
t t
t t
I dt dt
tt t
dx
x
t x x
x x
x
k k
t
-
æ ö÷+ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
+ - = + -  + - = +
 + - = +  - = +
+
= =
- -
-
= = =
--
+ + + -
+ -
= + = +
- + - -
ò
ò
ò ò
o Integração do binômio diferencial ( )
p
m n
x a bx dx+ò
41. Exemplo a
( )
( ) ( )
2
12
2 2 2
1
22
2 2
2 5 5 6 7
6 7 8 3 3
4
1 2 1 2 ,
,
1 2 2 1 2 2 4 4
4 4 8
2
6 7 8 7 3
x x dx x x dx
x z x z
x x dx z z dz z z z dz
z z z x x x
k x k
æ ö÷ç ÷ç+ = + ÷ç ÷÷çè ø
= =
+ = + = + +
æ ö÷ç ÷= + + + = + + +ç ÷ç ÷çè ø
ò ò
ò ò ò
42. Exemplo b
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
3 2
2
1
3 7
1
3
2
22
1
, 2
1
1
2 1
1 , 1
x x dx
x z dx z dz
x x dx z z dz
z t z
x x dx
t
æ ö÷ç ÷ç= + ÷ç ÷÷çè ø
= =
+
+
+
= +
= + =
ò
ò
ò
ò
( ) ( ) ( )
1
7 7
7 22
2 1 2 1 2 4 1 , etcz z dz t t t dt t t dt + = - = -ò ò ò
43. Exemplo c
( )
1
1 1 2
3 2 3
1 1x x xx x xd d
æ ö÷ç ÷ç + ÷ç ÷÷çè ø
+ =ò ò

39. - 37 -
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
1 1
1 1 3 71 12 2
2 42 3 2 22 2
2
2 2
2
1
4
22
4
2 2 6
2 2
, 3
1
1 1 3 3 1 3
1 1 2
,
1 1
1 2 1 2
3 , etc
3 31 1 1
x z dx z dz
z
x x dx z z z dz z z dz z dz
z
z dt
t z dz
z t t
z t t
z dz t dt dt
z t t t
= =
æ ö æ ö+÷ç ÷ç÷ ÷ç + = + = + = ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç è øè ø
+ -
=  = =
- -
æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷ = - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -è ø è ø - -
ò ò ò ò
ò ò ò
o Integração numérica
Veremos uma integral que pode ser resolvida também por substituição trigonométrica.
Os cálculos, muito trabalhosos, só são viáveis com uma calculadora ou com um software de matemática. Foi utilizado o Derive 6:
( )
3
2
1
2
x
f x
x
-
=
+
( )33 ln 15 11 20 6 6 66 505 11
3 222
1
5,177312395
2
x
dx
x
- - +-
= - =
+
ò
Neste caso temos a = 2, 3b = , e faremos 10 0,1n h= = .
Para intervalos maiores, n deverá ser maior. Quanto maior n, melhor a aproximação.
44. Aplicando o método retangular:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
33
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
22
7 6 8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041
6 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 104100
1
0,1
2
0,1
4,9299482
f f f f f f f f f f
x
dx
x
+ + + + + + + + +
æ ö÷ç ÷ç ÷+ + + + + + + + +ç ÷÷çè ø
-
» ´
+
» ´
»
ò
13
45. Aplicando o método dos trapézios:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
33
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
222
7 6 26 11
8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 10416 11
2 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 10410
1
0,1
2
0,1
n
y y
f f f f f f f f f
x
dx
x
æ ö+ ÷ç ÷ç + + + + + + + + + ÷ç ÷çè ø
+
+ + + + + + + + +
-
» ´
+
» ´
ò
0
5,179026059
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
»
Observa-se com esse método uma aproximação bem melhor, em que duas casas decimais correspondem.
46. Aplicando a fórmula de Simpson:
     0 2 4 2 1 3 1
2 4
3
b
n n na
h
f x dx y y y y y y y y 
          
   

40. - 38 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
33
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
22
7 6 26 11 402 19 1603 194 2072 219 873 246 8261 641 11167 39 33 18683 929 23389 1041
2 4
6 11 475 4850 5475 2050 64100 2700 44 92900 104
1 1
302
1
30
f f f f f f f f f f
x
dx
x
+ + + + + + + + +
æ ö÷ç ÷ç ÷+ + ´ + + + + ´ + + + +ç ÷ç ÷÷çè ø
-
» ´
+
» ´
ò
100
5,177312462
æ ö÷æ öç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷÷ç ç ÷ç è øè ø
»
Obtivemos uma aproximação ainda melhor com este método, com seis casas decimais correspondentes.
o Integrais impróprias
47. Exemplo a
( ) ( )
2
2
2
22
1 1 1 1 1 1
lim lim 0
4 4 2 4 2 24
1
4
a aa
a
dx
x ax
dx
x
-¥ -- ¥¥
é ù
ê ú= = - = - =
ê ú- -
=
-û-- ë
ò ò
A integral converge.
48. Exemplo b
2 2 2 20
0
0
lim lim lim lim lim lim
2 2 2 2
o b
b
a b a b a ba
a
x
x x a b
x dx x dxdx
-¥ +¥ -¥ +¥
¥
- -¥ +¥¥ 
é ù é ù -ê ú ê ú+ = + = +ê ú ê ú
ë û û
=
ë
ò òò
Os limites não existem, logo a integral diverge.
49. Exemplo c
( ) ( ) ( )
1 2
2 20 10 0
1 2
0 0 0
0
2
20
0
1
1
1
1 1
lim lim
1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 lim 1
1 1
d dx dx
x x
x
x
x x
e
de d
e
e d e d
d
e d
+ +
+ + + +
-
+ 
-
   
+
+ =
- -
é ù é ù-ê ú ê ú= + = - + -
ê ú ê ú-
=
-ë û ë û
-
òò ò
Os limites não existem, logo a integral diverge.
50. Exemplo d
1
2 2 21
0 0
1
1 0
1 ln 1
lim ln lim ln limln
2 4 4 2 4 4
x x
x x dx xx x dx
ee e e
e
e e e
+ + +
  
é ù - -ê ú= - = - + =ê ú
ë û
=ò ò
A integral converge.
51. Exemplo e
0
2 22 0
0
0
1 1
lim lim
6 12 6 12
1 3 1 3
lim arc tg lim arc tg
3 3 3 3
1 3 3
arc tg 3
1
arc tg arc tg arc tg 3
3 3 3
1 3 3 1
arc t
6 12
g arc tg
23 3 3 3
b
a ba
b
a b
a
dx dx
x x x x
x x
a b
x
b
dx
x
a p
+¥
- -¥ +¥
-¥ +
¥
¥
+
+ + + +
é ù é ù+ +ê ú ê ú= +
ê ú ê ú
ë û ë û
é ù+ +ê ú= - + -
ê ú
ë û
é ù+ + -ê ú= - + = -
ê ú
ë û
=
+ +
ò ò ò
2 3
p pé ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç çè ø è øê úë û
A integral converge.

41. - 39 -
o Cálculo de uma área curva
52. Exemplo
Achar a área sob a curva 2
y x= no intervalo [-1, 2].
Solução:
Temos
( )2 1 3
k
x
n n

- -
= = , e x será substituído por
3
1
k
n
- + .
Logo:
( )
2
1 1
2
2
1
2
2 3
1 1 1
3 3
lim lim 1
6 9 3
lim 1
1
3 lim 18 lim 27 lim
1 1
3 1 18 27 3
2 3
n n
k kn n
k k
n
n
k
n n n
n n n
k k k
k
A f x x
n n
k k
n nn
k k
n n n

¥ ¥
= =
¥
=
¥ ¥ ¥
= = =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= = - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷çç è øè ø
= - +
= ´ - ´ ´ =
å å
å
å å å

42. - 40 -
Apêndice
o A integral definida
( )
b
a
f x dxò é o valor da integral de f no intervalo [a,b]
Se ( ) ( )
b b
a a
a b f x dx f x dx>  =-ò ò
 Propriedades
Sejam [ ], : , f g a b  duas funções integráveis em [a,b]. Então:
i) Se ( ) [ ], ,f x x a b0³ Î , então ( )
b
a
f x dx 0³ò
ii) fa é integrável em [a,b], e ( )( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx= =ò ò òa a a
iii) f+g é integrável em [a,b], e ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
f g x dx f x g x dx f x dx g x dx+ = + = +ò ò ò ò
o Cálculo de uma área curva
Dada uma curva ( )y f x= , calcule-se a área sob essa curva, limitada pelas retas 1
x a= e 2
x b= e pelo eixo dos x .
Seja n o número de partições (ou divisões) do intervalo [a, b], no qual ( )f x é contínua. A área é dada por:
( )
1
lim
n
k kn
k
A f x x
¥
=
= å
em que: k
b a
x
n

-
=
k é o número índice de cada partição,
e na função ( )k
f x substitui-se x por k
a k x+
e
( )
1
2
1
2
3
1
1
1
1
lim 1
1
lim
2
1
lim
3
1
lim
n
n
k
n
n
k
n
n
k
in
in
k
n
k
n
k
n
k
in
¥
=
¥
=
¥
=
-
¥
=
=
=
=
=
å
å
å
å

(v. ex. 52)
o Teorema fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então F é derivável e F’(x)=f(x).

43. - 41 -
O que o teorema nos diz é que se a derivada de F é igual a f(x), então F é a integral — ou anti-derivada — de f(x), isto é, que a
integração e a derivação são operações inversas uma da outra.
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b]. Se a função G é derivável em [a,b], e ( )G’ f x= , então
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx G b G a= -ò
Observações:
i) , , ,a b a b n" Î <  " ³ Î1  , então
n nb
n
a
b a
x dx
n n
+ +
= -
+ +ò
1 1
1 1
ii) , ,a b a b" Î < , então
cos sen sen
b
a
x dx b a= -ò (Obs.: não se trata aqui do cálculo da área)
iii) , , ,a b a b n" Î <  " ³ Î1  , e seja p um polinônio qualquer. Então
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
1 1
1 1
n n
b bn
a a
p b p a
p’ x p x dx f x dx G b G a
n n
+ +
= = -- = -
+ +ò ò
o Teorema de Weierstrass
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então existem dois pontos x1 e x2 em [a, b] tais que, para todo x em
[a,b],
( ) ( ) ( )1 2
f x f x f x£ £ .
O teorema afirma que x1 é o valor mínimo e x2 o valor máximo no intervalo fechado [a, b].


44. - 42 -
o Teorema do anulamento (ou de Bolzano)
o Teorema do valor intermediário
Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b], sendo que f(a) e f(b) possuem sinais contrários. Então existe pelo
menos um c em [a, b] tal que ( ) 0f c = .
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e  um real contido entre f(a) e f(b). Então existe pelo menos um c em
[a, b] tal que f(c) = .

45. - 43 -
o Teorema do valor médio (TVM)
o Teorema de Rolle
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então existe pelo menos um c em
[a, b] tal que
( ) ( )
( )’
f b f a
f c
b a
-
=
-
.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo
menos um c em ]a, b[ tal que f’(c) = 0.

46. - 44 -
o Teorema do valor médio de Cauchy
Note que se ( ) ( )então, ) 1g x x g x= ¢ = , e temos a versão comum do TVM, que é um caso particular do Teorema do valor
médio de Cauchy.
Seja f e g funções contínuas no intevalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo
menos um c em ]a, b[ tal que
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
’
’
f b f a f c
g b g a g c
-
=
-
.

47. - 45 -
Bibliografia:
[1] Guidorizzi, Hamilton Luiz — Um curso de Cálculo (LTC Editora, 2007)
[2] Leithold, Louis — O Cálculo com Geometria Analítica (Ed. Harbra, 1986)
[3] Olivero da Silva, Mário; Cardim, Nacy — Cálculo II (Consórcio CEDERJ, 2007)
[4] Ortiz, Fausto Cervantes — Métodos operativos del Cálculo Integral (Universidad Autónoma de la Ciudad de México, 2008)
[5] Piskunov, N — Cálculo diferencial e integral (Editora Mir, Moscou, 1969)
[6] Pombo Jr., Dinamérico Pereira; C. Gusmão, Paulo Henrique — Cálculo I (Consórcio CEDERJ, 2004)
[7] Spiegel, Murray R. — Manual de fórmulas e tabelas matemáticas (Ed. MC Graw-Hill do Brasil LTDA, 1977)
Este trabalho foi digitado e formatado no MS Word 2003.
Os gráficos de funções foram criados com o Advanced Grapher, da Alentun.
As fórmulas e funções foram criadas no MathType 6.0.
A capa foi desenvolvida no MS Word 2003 e ilustrada com gráficos criados pelo Advanced Grapher.