Basics of static analysis lection 2

1. Классический алгоритм
статического анализа
потока данных

2. Граф потока управления
i=0;
if(i==1)
A:
i=2;
while(true)
{
if(i=3)
goto A;
}
i=4
i=0
i ==1
i=2
true
if(i=3)
i=4
true
false
true
false

3. Граф потока управления
i=0
i ==1
i=2
true
if(i=3)
i=4
true
false
true
false
d1
d2
d3
d4
d5
d6
true
false
true
false
d1
d2
d3
d4
d5
d6

4. Прямое уравнение статического анализа
потока данных
Outdi = fdi(Indi)
Indi = 푑푗 ∈ 푃푟푒푣(푑푖) 푂푢푡푑푗
d1
d2
d3
d4
d5
d6
true
false
true
false

5. Инициализированность переменных
int i;
if(something)
i=0;
else
i=1;
int j = i;
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;

6. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅

7. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅

8. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅

9. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅

10. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅

11. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 ={i}

12. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅

13. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }

14. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = { 푖 }

15. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 i=0
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = { 푖 }
푂푢푡 = { 푖 }

16. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 nothing
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }

17. Инициализированность переменных
Свойство программы: при любом исполнении программы
переменная инициализирована в данной точке программы.

18. Инициализированность переменных
Def i
if(something)
i=1 nothing
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅

19. Инициализированность переменных
Outdi = fdi(indi)
Indi = 푑푗 ∈ 푃푟푒푣(푑푖) 푂푢푡푑푗
fdi = 푖푛푑푖 ∪ 푏푒푐표푚푒 푖푛푖푡 ∩ 푢푛푖푛푖푡
퐼푛푑푖 =
푑푗 ∈푃푟푒푣 (푑푗)
푂푢푡푑푗

20. Инициализированность переменных
Def i
if(true)
true false
i=1 nothing
def j;
j = i;
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = { 푖 }
퐼푛 = ∅
푂푢푡 = ∅

21. Инициализированность переменных
Свойство программы: при любом исполнении программы
переменная инициализирована в данной точке программы.
Путём в программе от точки d1 до точки d2 назовём путь в графе
потока управления программы.
Свойство программы: на любом пути из входа в программу до
точки программы D переменная в точке D становится
инициализирована.

22. Инициализированность переменных
def i
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푁 = ∅

23. Инициализированность переменных
def i
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅
퐼푁 = ∅
푂푢푡 ={i}
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = ∅

24. Инициализированность переменных
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = { j }

25. Инициализированность переменных
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = { j }
f(푖푛) = in ∪ { i }

26. Инициализированность переменных
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = { j }
f(푖푛) = in ∪ { i }
f(푖푛) = in ∪ { i }

27. Инициализированность переменных
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = { j }
퐼푁 = {i,j}
푂푢푡 ={I,j}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {i,j}
f(푖푛) = in ∪ { i }
f(푖푛) = in ∪ { i }

28. Инициализированность переменных
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = { j }
퐼푁 = {j}
푂푢푡 = {j}
퐼푁 = {j}
푂푢푡 ={ i,j }
퐼푁 = {i,j}
푂푢푡 ={I,j}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {i,j}

29. Доминаторы
Узел d графа доминирует над узлом n, если все пути графа из
начального узла в узел n проходят через узел d.

30. Приводимые графы
Граф G является приводимым тогда и только тогда, когда мы можем
разделить дуги на две непересекающиеся группы, часто
именуемые прямыми и обратными дугами, такие, что
1. Прямые дуги образуют ациклический граф, в котором из
начального узла G может быть достигнут любой узел.
2. Обратные дуги состоят только из дуг, головы которых
доминируют над хвостами.

32. Общий алгоритм
• Конечная решётка L
• In, Out ∈ L
• − верхняя грань элементов на L
• f – произвольная функция на L
Outdi = fdi(indi)
Indi = 푑푗 ∈ 푃푟푒푣(푑푖) 푂푢푡푑푗

33. Достигающие определения
In compiler theory, a reaching definition for a given instruction is an earlier instruction whose
target variable can reach the given one without an intervening assignment.
For example, in the following code:
d1 : y := 3
d2 : x := y
d1 is a reaching definition for d2.
In the following, example, however:
d1 : y := 3
d2 : y := 4
d3 : x := y
d1 is no longer a reaching definition for d3, because d2 kills its reach.

34. Достигающие определения
Элемент L – множество присвоений значений переменным,
которые могут достигнуть данной точки программы
- Объединение множеств

35. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

36. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

37. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

38. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

39. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

40. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}

41. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={∅}

42. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푗}

43. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 = {푗}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푗}

44. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 = {푗, i}
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푗}

45. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 = {푗, i}
퐼푁 = {푗, i}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗}
푂푢푡 ={푗}

46. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 = {푗, i}
퐼푁 = {푗, i}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 ={푗}

47. Достигающие определения
def i
def j = 1
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
푂푢푡 = {푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 = {푗, i}
퐼푁 = {푗, i}
푂푢푡 ={푖, 푗 }
퐼푁 = {푗, 푖}
푂푢푡 ={푗, 푖}

48. Общий алгоритм статического анализа
Set nodes; //множество вершин в программе
nodes = все вершины в программе
L in[sizeof(nodes)], out[sizeof(nodes)]; //множество значений из
решётки до и после вершин
while (nodes != ∅)
node = Peek(nodes); nodes -= node; //Забираем из множества
элемент
L old_out = out[node];
in[node] = 푛 ∈푃푟푒푣(푛표푑푒) 푂푢푡 푛 ;
out[node] = f(node, in[node]);
if(old_out != out[node])
nodes.Insert(node.NextNodes());

49. def i
def j = 1
푂푢푡 = { j }
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = ∅
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={ i }
퐼푁 = {i,j}
푂푢푡 ={I,j}
Элемент L - множество
инициализированных
переменных
− ?
• Свойство программы: на любом пути из входа в программу до точки
программы D переменная в точке D становится инициализирована.

50. def i
def j = 1
푂푢푡 = { i }
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 = {∅}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}
Элемент L – множество
возможно
неинициализированных
переменных
- объединение множеств
• Свойство программы: на некотором пути из входа в программу до
точки программы D переменная в точке D становится не
инициализирована.

51. def i
def j = 1
푂푢푡 = { i }
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = {∅}
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 = {i}
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}
Элемент L – множество
возможно
неинициализированных
переменных
- объединение множеств
• Свойство программы: на некотором пути из входа в программу до
точки программы D переменная в точке D становится не
инициализирована.

52. def i
def j = 1
푂푢푡 = { i }
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = {∅}
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 = {i}
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {∅}
푂푢푡 ={∅}
Элемент L – множество
возможно
неинициализированных
переменных
- объединение множеств
• Свойство программы: на некотором пути из входа в программу до
точки программы D переменная в точке D становится не
инициализирована.

53. def i
def j = 1
푂푢푡 = { i }
while (something)
i=0
nothing
퐼푁 = {∅}
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 = {i}
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 ={∅ }
퐼푁 = {푖}
푂푢푡 ={푖}
Элемент L – множество
возможно
неинициализированных
переменных
- объединение множеств
• Свойство программы: на некотором пути из входа в программу до
точки программы D переменная в точке D становится не
инициализирована.