1. UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO
CABUDARE EDO-LARA
Diferenciación e
Integración Numérica
Integrante:
Luis Miguel Verde Bencomo
C.I:24.165.041
Marzo-2020
2. Introducción
En las aplicaciones prácticas, a menudo sucede que tenemos valores de la
variación de una función en algunos puntos sin tener su expresión analítica, y
queremos inferir de ellos la función derivada en algún otro punto. De la misma forma,
podemos necesitar la integral definida de esa función de la que sólo sabemos sus
valores en algunos puntos; en el caso de la integral, además, puede darse el caso
de que, incluso teniendo la expresión analítica de la función a integrar, y siendo la
función integrable, no exista la función primitiva. En estos casos la solución pasa
por aproximar la derivada y la integral usando los métodos del cálculo numérico.
3. Diferenciación e Integración Numérica
La diferenciación e integración numérica son operaciones matemáticas
importantes, el estudiante utiliza mucho de su tiempo aprendiendo técnicas para
realizar estas operaciones. En general, para derivar una función se manipula
simbólicamente su expresión analítica, aplicándole las reglas de la derivación. Sin
embargo, supóngase que no se conoce la expresión analítica para la función, sino
una colección de valores de esta. Aquí interesa estudiar las técnicas numéricas que
permiten el cálculo de la derivada de una función tabulada
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de
valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en
un punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en
los datos.
Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la
aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una
aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:
Diferencias hacia adelante
4. La aproximación de la derivada por este método entrega resultados
aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el
promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado
Diferencias centrales.
Primeras derivadas de los polinomios interpolantes
Si una función está bien aproximada por un polinomio interpolante, debe
esperarse que la pendiente de la función también sea aproximada por la pendiente
del polinomio, aunque luego se descubrirá que el error al estimar la pendiente, es
mayor que el error al estimar la función.
Se comienza con el polinomio de avance de Newton-Gregory:
Luego, se puede derivar la ecuación anterior
5. Luego la fórmula se simplifica bastante si, por ejemplo, 𝜇 = 0 (𝑥𝑠 = 𝑥0 )
El error de esta ecuación viene dado por (𝜇 = 0)
Extrapolación de Richardson
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry
Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente
otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente
para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa,
de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una
función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente
utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma
que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto, para hacer un análisis
del error, expandimos en forma de Serie de Taylor:
Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo,
por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma
se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson:
6. Sea 𝐴, la respuesta exacta a la integral. Y 𝐴(ℎ) la estimación de 𝐴 con orden
ℎ𝑘0. De tal forma:
Despejando a1
Es decir, a1 es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x0,f(x0)) y
(x1,f(x1)). Los coeficientes a0 y a1 son los mismos para P1(x) y P2(x). Para
continuar, ahora evaluamos la expresión en el nodo x2 y obtenemos:
Donde se Obtiene Como Resultado:
Donde:
𝑂(ℎ𝑘𝑛) es un estimador del error, usando la notación de Landau.
𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 ,… 𝑦 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , … son constantes desconocidas. Tal que 𝑎1 ≠ 0 y
𝑘1 < 𝑘2 < 𝑘3 < ⋯ < 𝑘𝑛
Ahora bien: Usando tamaños de crecimiento ℎ y
𝐻
𝑇
. Podemos aproximar a 𝐴 como:
Multiplicando la última ecuación por 𝑡 𝑘1
7. Sustrayendo (2) 𝑦 (1), como se vio al inicio:
Despejando 𝐴:
De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el
término más grande en el error, 𝑂(ℎ 𝑘2 ). De igual manera se pueden remover más
términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una
relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones
al hacer:
Con:
Regla del trapecio:
En análisis numérico la regla del trapecio es un método de integración, es
decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida.
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de 𝑓(𝑥) por el de la función
lineal, que pasa a través de los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑦 (𝑏, 𝑓(𝑏)). La integral de ésta es
igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.
Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio
de primer orden, y ésta es representada por:
8. Entonces al sustituir en la integral tenemos:
Por último, al resolver esa integral nos queda:
Cálculo de error
El término de error corresponde a:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8
La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un
método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La función f(x) aproximada por la función lineal ∫_a^bf(x)dx
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función
lineal que pasa a través de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual
a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-
a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]
La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de
aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este
9. método se supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se
divide el intervalo [a,b] en subintervalos, cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega ala siguiente
formula:
Reglas de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos,
otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral es la de usar
polinomios de orden superior para conectar los puntos a las fórmulas resultantes de
calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
Regla de Simpson de 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de
segundo orden en la ecuación.
Si a y b se denominan como x0 y x2 y f2(x) Se representa mediante un
polinomio de LaGrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
10. Regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el
intervalo de integración en segmentos de igual anchura.
la integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales
se obtiene:
Regla de Simpson de 3/8
De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de
Simpson de 1/3 , se ajustan polinomios de LaGrange de tercer orden a cuatro puntos
e integrar.
I=∫_a^b〖f(x)dx=∫_a^b〖f3.(x)dx〗〗
Para obtener I=(b-a). (f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))/8
En donde h=((b-a))/3
A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo
de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.
Regla de Simpson 3/8 múltiples
11. La regla de 1/3 es en general, el método de preferencia ya que alcanza
exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios
para la versión de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de
segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar.
Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la
regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de 3/8 tiene utilidad en
aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar.
De esta manera. Se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a
través del intervalo completo.
Polinomio de Interpolación Newton
Supongamos que queremos encontrar los coeficientes [ak] de todos los
polinomios P1(x),P2(x),...,PN(x) que nos sirven para interpolar una función dada f(x).
Entonces cada Pk(x) es el polinomio de Newton que tiene como nodos x0,x1,...,xk.
Para el polinomio P1(x), los coeficientes a0 y a1 tienen un significado familiar:
Fórmulas de integración de Newton-Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por
Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica
de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes,
para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuantos más intervalos se
divida la función más precisa será el resultado.
12. Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos
igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función
es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más
eficientes.
Para la integración numérica de∫ 𝑓(𝑋)
𝑏
𝑎
utilizando las formulas de Newton-
Cotes se subdivide el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 intervalos iguales. Así se obtienen 𝑛 + 1
puntos donde se evaluará la función:
𝑎 ≤ 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏
Si 𝑎 = 𝑥0 y 𝑏 = 𝑥 𝑛 se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya
que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario
no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas
de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:
Donde:
Es el polinomio de Lagrange, por lo tanto, se reduce que:
Esta función se expresa de la siguiente forma:
Donde los “pesos” 𝑤𝑖 están definidos por:
13. Integración de Romberg
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular
cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del
trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados
del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el
integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen
resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es
posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros
métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son
más adecuados.
El método se define de forma recursiva así:
O también:
Donde:
14. La cota superior asintótica del error de 𝑅(𝑛, 𝑚) es:
La extrapolación a orden cero 𝑅( 𝑛, 0) es equivalente a la Regla del trapecio
con 𝑛 + 2 puntos. A orden uno 𝑅( 𝑛, 1)es equivalente a la Regla de Simpson 𝑛 + 2
puntos.
Fórmulas de Cuadratura Gaussiana
En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una
integral definida de una función. Una cuadraturade Gauss 𝑛, es una cuadratura que
selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma
igualmente espaciada,construida para dar el resultado de un polinomio de grado
2𝑛 − 1 o
menos, elegibles para los puntos 𝑥 𝑖 y los coeficientes 𝑤 𝑖 para 𝑖 = 1, . . . ,
𝑛. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:
Tal cuadratura dará resultados precisos solo si 𝑓( 𝑥) es aproximado por un
polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como 𝑓( 𝑥) =
𝑊( 𝑥) 𝑔(𝑥), donde 𝑔( 𝑥) es un polinomio aproximado y 𝑊(𝑥) es conocido.
También conocido como método de Gauss-Legendre, los
coeficientes están dados por:
15. Donde 𝑃 𝑛 son los polinomios de Legendre en el intervalo [−1,1].
Lista de coeficientes de 𝒘 𝒊 y puntos 𝒙 𝒊 para 𝒏 = 𝟏, … , 𝟓
