Formula de regla de tres compuesta abreviada

1. ARITMÉTICA
ING. EDGAR NORABUENA 1
REGLA DE TRES
Es un método empleado para resolver problemas, en donde los datos y la incógnita pertenecen
a magnitudes que se relacionan entre sí de manera proporcional.
Clases:
Directa
Simple
Inversa
Regla de tres
Compuesta
Directa
Simple
Inversa
Regla de tres
Compuesta
REGLA DE TRES SIMPLE:
Son problemas donde las cantidades datos y/o incógnitas pertenecen a dos y solamente dos
magnitudes proporcionales entre sí.
La regla de Tres Simple puede ser Directa ó Inversa.
a) REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA:
Intervienen dos magnitudes: directamente proporcionales A y B
Enunciado del Problema: Cuando A vale a1 ; B vale b1.
Hallar el valor x de A cuando B vale b2
Disposición:
A D.P. B
a . . . b1 1
x . . . b2
Determinación de x:
Como A DP B, entonces por definición:
A
= constante.
B
O sea: 1
1 2
a x
= = cociente constante.
b b
De donde: 1 2
1
a b
=
b
x
b) REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales: P y Q.
Enunciado del Problema: Cuando P vale p1 ; Q vale q1.
Hallar el valor x de P cuando Q vale q2

2. ARITMÉTICA
ING. EDGAR NORABUENA 2
Disposición:
P I.P. Q
p . . . q1 1
x . . . q2
Determinación de x:
Como P y Q son inversamente proporcionales, por definición: P • Q = constante,
O sea: 1 1p q = q2x
De donde: 1 1
2
p q
=
q
x
c) REGLA DE TRES COMPUESTA:
Son problemas donde las cantidades datos y/o incógnitas pertenecen a más de 2
magnitudes proporcionales entre sí.
INTERVIENEN LAS MAGNITUDES: A; B, C; D ….
Enunciado del Problema:
Cuando A vale a1, B vale b1, C vale c1; D vale d1 ……
Hallar el valor x de A, si B vale b2; C vale c2; D vale d2…..
Disposición:
A B C D
Supuesto a1 b1 c1 d1
Pregunta x b2 c2 d2
Ahora, aplicando los métodos aprendidos para reconocer la relación directa o inversa
determinaremos la relación proporcional que existe entre la magnitud donde esta la
incógnita y cada una de las otras magnitudes que intervienen en el problema.
Debemos recordar que al comparar dos magnitudes para determinar su relación, las
demás magnitudes del problema deben permanecer constantes.
Supongamos que resultó que:
A D.P. B (cuando C y D son constantes)
A I.P. C (cuando B y D son constantes)
A D.P. D (cuando B y C son constantes)
Determinación de x:
Aplicando el Teorema de la Proporcionalidad Compuesta a las relaciones anteriores,
se obtiene que:
D.P.
B × D
A (cuando todas las magnitudes varían)
C
y como por definición, dos magnitudes directamente proporcionales mantienen
constante el cociente de sus valores correspondientes:

3. ARITMÉTICA
ING. EDGAR NORABUENA 3
A
= K
B × D
C
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
de donde:
A × C
= K
B × D
Reemplazando los valores datos de las magnitudes dados en el cuadro para el supuesto
y la pregunta se tendría que:
1 1 2
1 1 2 2
a c x c
= = K
b d b d
× ×
× ×
Y despejando x
y ordenando:
2 1
1
1 2
2
1
b c d
x = a × × ×
b c d
Problema de aplicación:
Si 9 obreros pueden hacer 120 m de una zanja en 20 días.
¿Cuántos obreros se necesitarán para que en 15 días hagan: 200 m de la misma zanja?
1. Método de reducción a la unidad:
Consiste en “reducir” a la unidad las cantidades de las magnitudes donde están los datos, una
por una, obteniendo el nuevo valor de la cantidad que correspondería a la magnitud incógnita,
multiplicando o dividiendo su valor original según sea la relación, como se muestra a
continuación:
Para hacer 120 m de zanja en 20 días se necesitan: 9 obreros
Para hacer 1 m de zanja en 20 días se necesitarán:
9
120
⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ obreros
Para hacer 1 m de zanja en 1 día se necesitarán:
9
20
120
⎛ ⎞
×⎜ ⎟
⎝ ⎠
obreros
Luego: realizando el procedimiento inverso se determina el valor de la incógnita para los
nuevos valores de la pregunta, así:
Para hacer 200 m de zanja en 1 día se necesitarán:
9
20 200
120
⎛ ⎞
× ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
obreros
Para hacer 200 m de zanja en 15 días se necesitará:
9 20 200
120 15
×⎛ ⎞
×⎜ ⎟
⎝ ⎠
obreros
Respuesta:
9 20 200
20
120 15
×
× = obreros
2. Método por proporciones: Equivale a formar tantas regla de tres simple como sean
necesarias para que la magnitud incógnita se compare con cada una de las otras
magnitudes que intervienen en el problema. Luego se reúnen en una sola operación
OBREROS TIEMPO OBRA
9 obreros 20 días 120 m
x obreros 15 días 200 m
Como el (N° obreros) y el (tiempo que demoraron en hacer la obra), son magnitudes
inversamente proporcionales, el producto de los valores correspondientes es constante.

4. ARITMÉTICA
ING. EDGAR NORABUENA 4
Obrero Tiempo
9
x 15
20
Ahora como el (N° de obreros) y el (volumen de obra realizado) son directamente
proporcionales, el cociente entre los valores correspondientes es constante, o lo que es lo
mismo el producto en cruz es constante.
9 120
x 200
Obrero Obra
Luego Uniendo:
9 20 120 m
x 15 200 m
Obrero Tiempo Obra
De donde siguiendo las flechas que indican el producto obtenemos que:
∴ x =
9 20 200
20
15 20
× ×
=
×
obreros
3. Método práctico:
Como la mayoría de problemas de regla de tres compuesta se refieren a obreros que
tienen cierto rendimiento cada uno y que en cierta cantidad de días de cierto número
de horas por día realizan un cierto volumen de obra de cierta dificultad, se puede
obtener la siguiente relación aplicando el Teorema de la proporcionalidad compuesta:
Reemplazando en esta última relación los valores del supuesto y de la pregunta
obtenemos:
9 × 20 x . 15
= K =
120 200
Y despejando:
9 × 20 × 200
x = = 20 obreros
120 × 15
(
(
N° de obreros)(Rendimiento de cada obrero)(N° de días)(N° de horas por día)
= K (constante
Volumen de obra)(Dificultad de la obra por unidad de volumen)