Representación y expresiones analíticas de magnitudes

1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y EXPRESIONES ANALÍTICAS DE MAGNITUDES

2. MAGNITUD VECTORIAL: es la que se define mediante su valor numérico, dirección y sentido, en un sistema de unidades seleccionado. Ejemplos:
Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente con segmentos orientados, llamados vectores:

3. ELEMENTOS DE UN VECTOR
•Está representado por la longitud del vector, tomado o medido a cierta escala.
Módulo o Intensidad
•Está representado por la recta que contiene al vector .Se define como el ángulo que hace dicho vector con una o más rectas de referencia , según sea el caso en el plano o en el espacio.
Dirección
•Indica la orientación de un vector, gráficamente está dado por la saeta del vector.
Sentido
•Es el punto sobre el cual se supone actúa el vector.
Punto de aplicación

4. Para nombrar un vector se utilizan letras mayúsculas o minúsculas, según el autor que se consulte. Cuando se escribe en forma manuscrita se suele anotar sobre la letra una flecha o una raya para representar al vector

5. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
x
y
V :
Se lee vector «V»
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
Origen de coordenadas
Origen del vector
Extremo del vector
Y :
X :
o :
A :
B :
o
v
A
B
β

6. EJEMPLOS

7. CLASES DE VECTORES
VECTOR DESLIZANTE: Es aquel en que el punto de aplicación se traslada a lo largo de su línea de acción. Ejemplo: la fuerza aplicada a un sólido rígido

8. CLASES DE VECTORES
VECTOR FIJO: Cuando el punto de aplicación no tiene movimiento. Ejemplos: el desplazamiento de un móvil.
VECTOR IGUALES: Se llaman así si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

9. CLASES DE VECTORES
VECTOR NEGATIVO (opuesto de otro lado): Si tiene la misma magnitud, la misma dirección, pero sentido opuesto
VECTORES EQUIVALENTES: Son aquellos que sin ser iguales, producen el mismo efecto. Ejemplos: una fuerza pequeña ubicada a gran distancia del centro en una balanza de brazos, equilibra a una fuerza grande ubicada a corta distancia

10. VECTOR UNITARIO: Es aquel cuyo módulo es igual a la unidad, y se obtiene dividiendo el vector por su módulo.
VECTOR NULO: Es aquel cuyo origen y extremo coinciden en un mismo punto. En este caso, su módulo es igual a cero y carece de dirección y sentido.
El vector unitario tiene la misma dirección y sentido del vector A y no tiene unidades

11. DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
Ax

12. Las componentes de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes de coordenadas.
Todo vector se expresa como la suma vectorial de sus componentes:

13. La magnitud de un vector en función de sus componentes es:
La dirección de un vector en función de sus componentes, con respecto al eje x positivo es:

14. ÁNGULOS DIRECTORES
Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y del sistema de coordenadas rectangulares, y varían entre 0° y 180°. No existe convención para el giro de los ángulos directores.
Los ángulos directores en el plano son:
Es el que forma el vector con el eje positivo de las x. β es el que forma el vector con el eje positivo de las y.

15. La relación entre componentes y el módulo del vector, se llama coseno director
Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores se deduce que:

17. La expresión de un vector en función de sus vectores unitarios rectangulares
Todo vector unitario indica la dirección y el sentido de un vector

18. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA
En el plano cartesiano, un vector queda bien definido conociendo su origen (A) y extremo (B).
y
A
B
o
x
V
Ax
Bx
Ay
By
El vector V será:
V= B – A
Reemplazando:
V = (Bx – Ax ; By - Ay )

19. En el plano cartesiano se ha representado un vector V determine el vector V.
A
B
o
x
V
1
5
2
5
y
RESOLUCIÓN:
El extremo del vector es:
B= (5;5)
El origen será:
A= (1;2)
El vector se halla restando el extremo y el origen.
V = B – A
V = (5;5) – (1;2)
V = (4,3)
EJEMPLO

20. Usando las componentes de este vector V = (4;3), puede ser graficado desde el origen de coordenadas.
o
x
V
4
3
Ry

Rx
Para hallar el módulo del vector V se emplea la fórmula de Pitágoras, sea: V = (Rx; Ry) Luego:
V = 푹풙ퟐ+ 푹풚ퟐ
Tendremos:
V = ퟒퟐ+ ퟑퟐ
V = ퟏퟔ+ퟗ
V = ퟐퟓ
V = 5

21. Para hallar la dirección del vector se emplea la función trigonométrica tangente:
y
o
x
V
4
3
Ry

Rx
V = (Rx; Ry)
tan훼= 푅푦 푅푥
tan훼−1= 34
=37°

22. ACTIVIDAD
1. En el plano cartesiano se muestra un vector S, halle:
a) El vector S
b) El módulo del vector S
c) La dirección del vector S
- 1

2
7
- 4
A
B
x
S
y

26. ACTIVIDADES
Sin necesidad de graficar indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los siguientes puntos:
Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:

27. Representar las siguientes coordenadas geográficas en el plano:
R. (12 m, SE) U. (7m, S55°O)
S. (8m, N12°O) V. (9m, N80°O)
T. (10m, N35°E) W. (10cm, N)
Sin necesidad de graficar indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los siguientes puntos:
R. (70 Km, SE) V. (80 m, S35°E)
S. (45 Km, N23°O) W. (75 m, N73°O)
T. (60 Km, S80°O) X. (75m, N73°O)
U. (55 Km, N20°E) Y. (40cm, N80°E)