Solucionario Complemento de razones y proporciones II

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Solucionario Complemento de razones y proporciones II

  1. 1. 21.En una serie de razones geométricas equivalentes de razón 3, los consecuentes son tres números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo que el producto de antecedente es 5 670.tc "21.En una serie de razones geométricas equivalentes de razón 3, los consecuentes son tres números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo que el producto de antecedente es 5 670."<br />Solución:<br />ax=bx+1=cx+2=3<br />Entonces:<br />a = 3x; b = 3(x + 1); c = 3(x + 2)<br />El producto de antecedentes es 5670 entonces:<br />a.b.c = 3x.3(x + 1).3(x + 2) = 5 670<br /> 27x(x + 1)(x + 2) = 5670<br /> x(x + 1)(x + 2) = 210<br />como x, (x + 1), (x + 2) son tres númerostc "" consecutivos, descomponiendo 210 se tiene:<br />21010535512375<br /> Entonces 210 = 5 x 6 x 7<br /> => x = 5<br />La suma de consecuentes será: x + x+ 1 + x + 2 = 5 + 6 + 7 = 18<br />18<br />a)b)80c)44tc "a)18b)80c)44"<br />d)46e)54tc "d)46e)54"<br />tc ""<br />22.Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto.tc "22.Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto."<br />Solución:<br />Sean los números “a” y “b”tc ""<br />La razón geométrica será: ab <br />y la diferencia de cuadrados será: a2 – b2 = 180<br />Si sumamos 6 al menor y restamos 6 al menor, resulta:<br />a- 6b+ 6= ba luego multiplicando en aspa:<br />a2 – 6a = b2 + 6b ; agrupando cuadrados y factorizando 6:<br />a2 – b2 = 6(a + b)<br />(a + b)(a – b) = 6 (a + b) ; cancelamos (a + b)<br /> a – b = 6 ----------- (1)<br />De; a2 – b2 = 180 se tiene:<br /> (a + b)(a – b) = 180<br /> (a + b), 6 = 180<br /> a + b = 30 ----------- (2)<br />Resolviendo (1) y (2)<br />a = 18 ; b = 12<br />El producto será: a.b = 18.12 = 216<br />216<br />a)180b)c)270<br />tc "a)180b)216c)270"<br />d)396e)Hay dos respuestastc "d)396e)Hay dos respuestas"<br />tc ""<br />23.Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4 y 5 y el producto del primer antecedente y los tres últimos consecuentes es 41 160. La suma de los consecuentes es:tc "23.Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4 y 5 y el producto del primer antecedente y los tres últimos consecuentes es 41 160. La suma de los consecuentes es:"<br />Solución:<br />Sean las razones geométricas iguales: 2a = 3b=4c=5d =1k<br />De donde: a = 2k; b = 3k; c = 4k; d = 5k <br />y el producto del primer antecedente y los tres últimos consecuentes: 2.b.c.d = 41160tc ""<br />=> 2.(3k)(4k)(5k) = 41160<br /> 120k3 = 41160<br /> k3 = 343<br /> k = 7<br />=> a + b + c + d = 2k + 3k + 4k + 5k = 14k = 14(7) = 98<br />98<br />a)94b)c)95tc "a)94b)98c)95"<br />d)96e)97tc "d)96e)97"<br />tc ""<br />24.En una tienda el número de lapiceros azules es al número de rojos como 24 es a 31; en un día se vendieron la quinta parte de los lapiceros de los cuales los rojos y azules están en la proporción de 9 a 13. ¿En qué relación quedaron los lapiceros sin vender?tc "24.En una tienda el número de lapiceros azules es al número de rojos como 24 es a 31; en un día se vendieron la quinta parte de los lapiceros de los cuales los rojos y azules están en la proporción de 9 a 13. ¿En qué relación quedaron los lapiceros sin vender?"<br />Solución:<br />AzulesRojos=24k31k total de lapiceros 24k + 31k = 55k<br />Se vendieron la quinta parte: 11k<br />No se vende entonces: 55k – 11k = 44k<br />Se venden los lapiceros e relación de: AzulesRojos=13m9m<br />13m + 9m = 11k<br /> 22m = 11k<br /> 2m = k<br />Los lapiceros sin vender estarán en relación de:<br />AzulesRojos=24k-13m31k- 9m=24(2m)-13m31(2m) – 9m =48m-13m62m- 9m=35m53m=3553 <br />tc ""<br />a) b) c) tc "a)b) c)"<br />3553d)e)tc "d)e)"<br />tc ""<br />25.La relación entre el número de preguntas de razonamiento matemático que contestó Carlos y el número de preguntas que contestó Juan es como 3 a 7 y lo que contestó Juan y lo que contestó Roberto es como 2 a 5. Si el total de preguntas contestadas por los tres suman 220, ¿cuántas preguntas contestó Juan?tc "25.La relación entre el número de preguntas de razonamiento matemático que contestó Carlos y el número de preguntas que contestó Juan es como 3 a 7 y lo que contestó Juan y lo que contestó Roberto es como 2 a 5. Si el total de preguntas contestadas por los tres suman 220, ¿cuántas preguntas contestó Juan?"<br />Solución:<br />La relación de respuestas de Carlos y Juan:<br />CarlosJuan=37tc ""<br />y entre Juan y Roberto:<br />JuanRoberto=25 , como las dos relaciones tienen en común a Juan, sacamos el m.c.m.(2, 7) =tc "" 14 y aplicamos fracciones equivalentes para poder relacionar a Juan, Carlos y Roberto:<br />CarlosJuan=6k14k y JuanRoberto=14k35k<br />Del total de preguntas contestadas se tiene:<br />Carlos + Juan + Roberto = 220<br /> 6k + 14k + 35k = 220tc ""<br /> 55k = 220<br /> k = 4<br />Entonces Juan contesto: 14k = 14(4) = 56<br />56<br />a)50b)c)64tc "a)50b)56c)64"<br />d)60e)58tc "d)60e)58"<br />tc ""<br />26.La suma de tres números es 1 425; la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es 600. Hallar el tercer número.tc "26.La suma de tres números es 1 425; la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es 600. Hallar el tercer número."<br />Solución:<br />a + b + tc ""c = 1 425 ----- (1)<br /> ab=11k3k ----- (2)<br />además a – b = 600 ----- (3)<br />De (2) en (3)<br />11k – 3k = 600<br /> 8k = 600<br /> k = 75<br />De (2) en (1)<br />a + b + c = 1 425<br /> 11k + 3k + c = 1 425<br /> 14k + c = 1 425<br /> 14(75) + c = 1 425<br /> 1 050 + c = 1 425<br /> c = 375<br />a)200b)400c)500tc "a)200b)400c)500"<br />d)600e)750tc "d)600e)750"<br />tc ""<br />27.En un cine con capacidad para 550 personas se observa que cierto día asistieron cada padre con 3 niños y por cada 2 niños hay un asiento vacío. ¿Cuántos niños asistieron?tc "27.En un cine con capacidad para 550 personas se observa que cierto día asistieron cada padre con 3 niños y por cada 2 niños hay un asiento vacío. ¿Cuántos niños asistieron?"<br />Solución;<br />PadreNiño=13<br /> m.cm. de los niños (2, 3) = 6<br />Niñoa. vacio=21<br />Por fracciones equivalentes:<br />PadreNiño=2k6k Niñoa. vacio=6k3k<br />Como la capacidad es 550, se tiene:<br />Padres + niños + a. vacios = 550<br /> 2k + 6k + 3k = 550<br /> 11k = 550<br /> k = 50<br />Entonces los niños asistentes fueron:<br />6k = 6(50) = 300<br />a)100b)200c)250tc "a)100b)200c)250"<br />300d)e)350<br />tc "d)300e)350"<br />28.En un corral se observa por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas, éstas serian igual a la cantidad de gansos. Calcular cuántos patos hay en el corral.<br />Solución<br />GallinasPatos=23 ; GansosPatos=52tc "28.En un corral se observa por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas, éstas serian igual a la cantidad de gansos. Calcular cuántos patos hay en el corral."<br />Encontramos el m.c.m. de los patos (2, 3) = 6 y utilizandotc ""fracciones equivalentes se tiene:<br />GallinasPatos=4k6k ; GansosPatos=15k6k<br />El número de Gallinas= 4k, de Patos= 6k y Gansos= 15k<br />Si se aumentan 33 gallinas se tiene: 4k + 33 = 15k<br /> 33 = 15k – 4k<br /> K = 3<br />El número de patos será: 6k = 6(3) = 18<br />18<br />a)9b)c)24tc "a)9b)18c)24" d)30e)33tc "d)30e)33"<br />tc ""<br />29.En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes.tc "29.En una proporción geométrica continua la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes."<br />Solución<br />Una proporción continua es de la forma = ab=bc=k<br />Donde: b = ck<br /> a = bk = (ck)k = ck2<br />La suma de consecuentes es 9:<br /> b + c = 9<br />ck + c = 9<br /> c (k + 1) = 9 ------ (1)<br />El producto de los términos diferentes es 216:<br /> a.b.c = 216<br /> ck2 .ck.k = 216<br /> c3k3 = 216<br /> ck = 6 ----- (2)<br />De (1)<br />c (k + 1) = 9 <br /> ck + c = 9<br /> 6 + c = 9 <br /> c = 3<br />Reemplazando en (2)<br /> ck = 6<br /> 3k = 6 ; => k = 2<br />Entonces la suma de antecedentes es: a + b = ck2 + ck<br />= ck(k + 1) = 3.2.(2 + 1) = 18<br />18<br />a)b)15c)12tc "a)18b)15c)12" d)9e)6tc "d)9e)6"<br />tc ""<br />30.En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9. Si la suma de los antecedentes es 68, calcular la cuarta diferencial.tc "30.En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son como 5 a 9. Si la suma de los antecedentes es 68, calcular la cuarta diferencial."<br />Solución<br />Una proporción aritmética discreta es de la forma:<br />a – b = c – d ----------(1)<br />Los extremos son entre sí como 4 a 3 = ad=4m3m ------- (2)<br />Los medios son como 5 a 9 = bc=5n9n ------------------ (3)<br />La suma de antecedentes es 68 <br />=> a + c = 68 ------------- (4)<br />De (1)<br />a – b = c – d<br />a – c = b – d<br />de (2) y (3)<br />4m - 9n = 5n – 3m<br />4m + 3m = 5n + 9n<br /> 7m = 14n<br /> m = 2n ------(5)<br />de (5) en (4)<br />a + c = 68<br />4m + 9n = 68<br />4(2n) + 9n = 68<br />8n + 9n = 68<br /> 17n = 68<br /> n = 4 ; m = 8<br />Entonces la cuarta diferencial (d) = 3m = 3.8 = 24<br />tc ""<br />24a)4b)8c)16tc "a)4b)8c)16"<br />d)e)30tc "d)24e)30"<br />

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