Matrices y determinantes

Matrices y Determinantes
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial S.M.)

Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
Dimensión de la matriz m´n
2ª columna
3ª fila
è ç ç ç ç ç æ
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.

Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç ç
è
n
n
n
a a a 
a
11 12 13 1
a a a 
a
21 22 23 2
a a a 
a
31 32 33 3
    
a a a 
a
n 1 n 2 n 3
nn
A = (ai,j)=
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.

Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz
æçççè
ö
¸¸¸ø
2 1 1
1 1 1
1 1 0

Expresión matricial: ejemplo
2x 5y 3z 1
+ - =
x - 4y z 2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A* = è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial: è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 5 –3
1 –4 1
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
x
y
z
= è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1
– 2
î í ì
+ =-
El sistema

ö
÷ ÷ ÷
ø
Clasificación de matrices: Forma
æ1 2 4
2 3 5
4 5 -1
ç ç ç
è
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ 0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
ç ç ç
è
· Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
· Matriz columna: A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2
4
6
aij = aji
Diagonal
secundaria Diagonal
principal
· Matriz cuadrada :A=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 5
2 4 6
1 1 1
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada
que verifica que:
• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:
aij = -a ji
Þ A = AT
Þ A = –
AT

Clasificación de matrices: Elementos
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ö
æ
=
0 0
0 0
0 0
ö
æ
=
ö
2 0 0
æ
= -
0 0 1
• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son iguales.
ö
1 0 0
æ
=
0 0 1
• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
ö
1 3 6
æ
= -
0 0 4
• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los
elementos son nulos.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes a
la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
3 3
O
´
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
3 2
O
´
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
0 2 3
T
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç è
0 3 0
D
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
0 1 0
I3
ö
÷ ÷ ÷
ø
2 0 0
æ
=
0 0 2
ç ç ç
è
0 2 0
A
ö
÷ ÷ ÷
ø
1 0 0
æ
= -
3 5 4
ç ç ç
è
3 2 0
T

Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Propiedades simplificativas
Matrices inversibles

Operaciones con matrices I
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (At)t = A.

Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
I. Para la matriz A, (At)t = A
II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At
IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, At = A
Ejemplo: Si A =
Propiedades:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 2 3
4 5 6 entonces At =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 4
2 5
3 6

Operaciones con matrices II
2.- Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Sin embargo, no se pueden sumar.
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma
de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

Suma de matrices: ej de orden 3
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij ) + (bij ) =
è ç ç æ ø ÷ ÷ ö
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )

Propiedades de la adición de matrices
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Operaciones con matrices III
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los
elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
k . A = k . (aij) = k·
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
3.- Producto de un número por una matriz

Propiedades con la suma y el producto por un número
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto
por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que
deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la
forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número
de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz
P será de orden m x p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
Pij = å aik · bkj con k=1,….n

¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n
. (bij)n,p =
Posible
filas
(cij)m,p
columnas
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas
de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Producto de matrices: Desarrollo
ö
æ
......
b b b b
11 12 13 1p
......
b b b b
21 22 23 2p
......
b b b b
31 32 33 3p
.. .. .. .. ..
......
b b b b
es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1
. b1j + ai2
. b2j + ... + ain
. bnj
El producto de la matriz
A = (aij) =
è ç ç ç ç æ ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
por la matriz
B = (bij) =
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç ç
è
n1 n2 n3 np

Ejemplo: producto de matrices
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
A · B =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö 2 1 –1
3 –2 0
.
è ç
ç æ
ø ÷
÷ ö
1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
3 3 –1
1 6 6

Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de
dimensión pxr.
A . (B . C) = (A . B) . C
II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y
ö
æ
1 0 0 ...... 0
0 1 0 ...... 0
0 0 1 ...... 0
.. .. .. .. ..
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn,
B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A . (B + C) = A . B + A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B
de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) . C = A . C + B . C
Im =
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç ç ç ç
è
0 0 0 ...... 1
e I n =
è ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ö
1 0 0 ...... 0
0 1 0 ...... 0
0 0 1 ...... 0
.. .. .. .. ..
0 0 0 ...... 1

Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de
las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en
un orden distinto al dado.
II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
Ejemplo: Aunque è ç ç æ
0 2
0 0 . è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
ø ÷ ÷ ö 0 –3
0 0 = è ç ç æ
0 0
0 0 ninguno de los factores que
ø ÷ ÷ ö
forman el producto es la matriz nula.
III. Si A . C = B . C y C ¹ 0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2 ¹ A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2 ¹ A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
VI. A2 – B2 ¹ (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en
el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica
la matriz por sí misma.
An = A . A . ..n.. v..e.c..e.s. . A
ö
= æ
1 1
0 1
Ejemplo: ÷ ÷ø
ç çè
ö
= æ ÷ ÷ø
ö
æ
= × = æ
1 2
1 1
1 1
A ÷ ÷ø
ç çè
ö
÷ ÷ø
ç çè
ç çè
0 1
0 1
0 1
A2 A A
ö
= æ ÷ ÷ø
×æ ÷ ÷ø
= × × × = × = æ
1 4
1 3
1 1
A A A 2 3 ÷ ÷ø
÷ ÷ø
= æ ÷ ÷ø
1 3
ç çè
ö
ö
æ
÷ ÷ø
1 2
ç çè
= × = æ
1 1
ç çè
0 1
0 1
0 1
ö
ç çè
ö
ç çè
ö
ç çè
0 1
0 1
0 1
A4 A A A A A A3
ö
÷ ÷ø
= æ ÷ ÷ø
1
ç çè
ö
æ -
ö
÷ ÷ø
1 1
ç çè
= = × = æ
1 1
ç çè
0 1
0 1
0 1
A A A A A -1
-veces
n n n
n
n


Operaciones con matrices V
Inversa de una matriz, Matrices inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en
caso contrario recibe el nombre de singular.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra
matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que
es la matriz inversa de A y se representa por A-1
Propiedades de la matriz inversa
I. Si las matrices A y B son inversibles (A . B)–1 = B–1 . A–1
II. Si A es una matriz inversible y k ¹ 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1
III. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A
IV. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I
V. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1

Métodos de cálculo de la matriz inversa
Observación:
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ¹ I, en tal
caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la
inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
Directamente
Por el método de Gauss-Jordan
Usando determinantes

Inversa de una matriz (directamente)
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo
la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.
Ejemplo: Dada A = è ç ç æ
2 –1
1 1 para obtener A-1 = è ç ç æ
Y de aquí se deduce que:
ø ÷ ÷ ö
x y
z t se ha de cumplir
ø ÷ ÷ ö
2 –1
1 1 . è ç ç æ
x y
z t = è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
ø ÷ ÷ ö
1 0
0 1
è ç ç æ
2x – z 2y – t
x + z y + t = è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
ø ÷ ÷ ö
1 0
0 1 Û
2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1
Û
x = 1/3
y = 1/3
z = –1/3
t = 2/3
Por tanto A-1 =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1
3
13
– 1
3
23

Combinación lineal entre filas y columnas
En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas
por C1, C2, ... , Cn.
A =
è ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
= (C1, C2, C3, ... , Cn) =
è ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
F1
F2
F3
......
Fm
Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la
forma:
k1
. F1 + k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.
Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión
de la forma:
k1
. C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ... + kn . Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales.

Dependencia lineal entre filas y columnas
• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación
lineal de ellas.
• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se
dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente
independientes.
F3 = F1 + 2F2
Ejemplo: En la matriz A =
è ç æ
ø ÷ ö
2 0 –1 1
1 3 1 0
4 6 1 1
la tercera fila es combinación lineal de la primera y la
segunda ya que:
En cambio: En la matriz B = è ç æ
1 2 4
3 –1 5 la s dos filas son linealmente independientes porque ninguna
ø ÷ ö
de ellas es igual a una constante por la otra .

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una
dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la
cual se le quiere calcular la inversa.
Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que
transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas
en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A.
Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo.
Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos
que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar
la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación
inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,

Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan I
Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente
a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
1 1 0
2 1 1
ö
æ
1 1 0
0 1 1
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
ö
æ
ö
æ
ö
1 0 0
æ
-
1 1 0
0 1 1
1 1 0
2 1 1
2 1 0
En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que
estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:
A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B
ç ç ç
è
-1 1 - 2
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
-
-
0 2 2
F2 – 2F1  F2
F1 + F3  F3
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
-
= -
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
- -
×
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
0 2 2
1 1 2
1 0 1

de Gauss – Jordan II: Ejemplo
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
•En primer lugar triangulamos inferiormente:
•Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:
Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:
De donde, la matriz inversa de A es

de Gauss – Jordan III : Ejemplo
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene:
Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en
este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular

de Gauss – Jordan IV: Ejemplo
Queremos calcular la inversa de
1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,
2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por
tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.

de Gauss – Jordan V: continuación
3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.

Rango de una matriz
• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente
independientes.
• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente
independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por
columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la
matriz y se representa rg A.
Operaciones que no modifican el rango de una matriz
• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o
columnas).

Dependencia e independencia lineal : filas
Vectores fila de una matriz:
Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible
que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan
linealmente de otros. Por ejemplo:
ö
Sus dos filas son linealmente independientes ÷ ÷ø
æ
=
1 3 4 2
ç çè
2 3 2 5
A
Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen
linealmente de las primeras
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
1 3
æ
=
3 4
ç ç ç ç ç
è
2 1
0 5
B
F3 = 2× F1- F2 F4 = F1+ F2
ö
Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de
las dos primeras ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
1 5 3
=
8 5 1
è
9 0 2
- -
C
F2 - F1 = F3
Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Dependencia e independencia lineal: columnas
Vectores columna de una matriz:
También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente
independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir
en algún caso la anterior.
¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes
sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente
teorema nos asegura que no.
Teorema
En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de
columnas L.I.
Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:
Rango de una matriz es el número de filas, o columnas,
linealmente independientes.

Ejemplos rango de una matriz escalonada
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
La matriz A = t iene rango 3.
ö
2 0 1 1
÷
La matriz A = ÷
tiene rango 2.
÷
ø
æ -
ç
ç
ç
è
0 1 1 0
0 0 0 0
ö
2 0 1 1
÷ ÷ ÷
La matriz A = tiene rango 3.
ø
æ -
ç ç ç
è
0 0 1 0
0 0 0 1
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
0 2 1 1
0 0 2 0
0 0 0 0
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0

Métodos de cálculo del rango de una matriz
El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos
diferentes:
 Por el método de Gauss
 Usando Determinantes

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Transformaciones elementales:
Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su
rango varíe.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.

Proceso para el cálculo del rango de una matriz:
Método de Gauss
A =
è ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
a) Si es necesario, reordenar filas para que a11 ¹ 0 (si esto no fuera posible,
aplicar todo el razonamiento a a12).
b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera
fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y
sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m-ésima.
c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.
d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.

Cálculo del rango de una matriz
Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que
indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la
matriz.
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
Rango 4
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
0 0 0 * *
Rango 3
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
Rango 2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
* * * * *
0 * * * *
Rango 1
è æ
ø ö
* * * * *

Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss I

Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss II

Condición para que una matriz sea inversible
ø ÷ ÷ ö
2 –1 1 0
4 –2 0 1
A no es inversible
Vamos a estudiar si A = è ç ç æ
2 –1
4 –2 es inv ersible:
ø ÷ ÷ ö
· Ampliamos la matriz A con la matriz identidad: è ç ç æ
· Restando a la segunda fila la primera por 4:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 –
12
12
0
0 0 –2 1
· Dividiendo la primera fila por 2:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 –
12
1
2 0
4 –2 0 1
• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión
de la matriz A.
• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n.
• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente
independientes.

Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de
los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la
paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.
Dada una matriz cuadrada
Determinantes
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)

Determinantes de orden 2 y 3
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
ç
11 12
a21 22
A = è a
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =
æ a a ö
ø ÷
a 11 a 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det Se llama determinante de A, (A) o |A|, al número real s iguiente:

Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.

Aplicaciones a la regla de Sarrus
El determinante de la matriz A =
è ç ç ç ç æ ø ÷ ÷ ÷ ÷ ö
3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
es

Cálculo de determinantes usando desarrollo por los
elementos
de una fila o columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.
El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
es igual a la suma de los elementos
de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)1+1
= a11
a22 a23
a32 a33
.(-1)2+1
+ a21
a12 a13
a32 a33
.(-1)3+1
+ a31
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a12 a13
a22 a23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.(-1)3+1
= a31
a12 a13
a22 a23
.(-1)3+2
+ a32
a11 a13
a21 a23
.(-1)3+3
+ a33
a11 a12
a21 a22

Determinante de cualquier orden
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
Por ejemplo:
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=

Cálculo inmediato de determinantes (I)
I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
Ejemplos:
· El determinante de una matriz A =
ø ÷ ÷ ö–1 4 –1
è ç ç æ
3 2 3
2 5 2
es igual a cero porque la tercera y
primera columnas son iguales.
· El determinante de una matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
es igual a cero porque la tercera fila
es igual a la segunda multiplicada por 3.
II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
Ejemplo:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
3 0 3
2 0 2
es igual a cero porque la segunda columna
es nula.

Cálculo inmediato de determinantes (II)
III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de
otras filas o columnas es cero.
Ejemplo:
2 4 0
1 3 –1
3 1 5
IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
es igual a cero porque la tercera columna es
igual al doble de la primera menos la segunda.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 –1
0 2 3
0 0 2
es igual –4.

Cálculo inmediato de determinantes (III)
V. El determinante de la matriz unidad es 1
Ejemplos:
· El determinante de la matriz I3 =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es igual a 1.
· El determinante de la matriz I5 =
è ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ö
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
es igual a 1.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)
I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el
determinante de la matriz se multiplica por ese número.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante
cambia de signo.
Ejemplo:
2 3
4 20 =
2 3
4 . 1 4 . 5 = 4
2 3
1 5
Ejemplo:
1 – 4
2 5 = –
– 4 1
5 2

Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)
III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas,
respectivamente, el valor del determinante no varía.
Ejemplo: Si en A =
2 3 – 1
1 5 2
4 13 4
sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más
la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:
B =
2 3 – 1
1 5 2
4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)
y se cumple que ambos determinantes son iguales: A = B

Determinantes de operaciones con matrices (I)
I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al
producto de los determinantes de cada una de ellas.
Ejemplo:
· Sean A = è ç æ
2 0
1 –1 y B = è ç æ
ø ÷ ö
4 1
3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.
ø ÷ ö
· Como A . B = è ç æ
8 2
1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A . B | = |A| . |B|
ø ÷ ö
II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.
Ejemplo:
· Sea A = è ç æ ø ÷ ö
3 0
1 1 ; entonces A–1 = è ç æ
ø ÷ ö
1/3 0
–1/3 1
· Como | A | = 3 y | A –1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1

Operaciones con matrices (II)
III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.
Ejemplo:
· Sea A =
è ç æ
ø ÷ ö
2 0 –2
1 1 3
3 0 2
. Entonces At =
2 1 3
0 1 0
–2 3 2
è ç æ ø ÷ ö
· Se cumple que | A | = | At |
VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo
determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
Ejemplo:
Se cumple que: 2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
4 0 – 4
2 2 6
6 0 4
= 23
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2

Operaciones con matrices (III)
V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos
determinantes como sumandos haya
Ejemplo:
· Sea A =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö 2 3 –1
1 5 2
4 13 4
. Entonces se cumple que | A | = 7
· Y se tiene que:
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 + 1 3 –1
3 – 2 5 2
1 + 3 13 4
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
3 5 2
1 13 4
+
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
1 3 –1
– 2 5 2
3 13 4
= (-70) + 77
Si A =
è ç æ
ø ÷ ö
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
se cumple que:
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
a11 b12 a13
a21 b22 a23
a31 b32 a33

Rango de una matriz por determinantes I
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p
dado.
Definición:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A) .
Consecuencias
El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su
determinante es cero.

Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
orden dos es distinto de cero rang(A) ³ 2.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ³ 3.
orden 4.
orden 4.
En ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 11
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 22
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ³ 4.
EEnn ccaassoo ccoonnttrraarriioo rraanngg((AA)) == 33
YY aassíí hhaassttaa qquuee nnoo sseeaa ppoossiibbllee ccoonnttiinnuuaarr
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ³ 1.

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado
por (-1)i+j
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Ejemplo: Dada la matriz (A) =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
, su adjunta sería:
adj (A)=
è ç ç ç ç ç æ
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ö
1 0
–2 2 – 2 0
3 2 2 1
3 –2
– –2 2
–2 2 2 2
3 2 – 2 –2
3 –2
–2 2
1 0 – 2 2
2 0 2 –2
2 1
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de
los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
Ejemplo: Dada la matriz A =
2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
, pretendemos encontrar su inversa :
La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 ¹ 0
Ya hemos visto que: adj (A) =
è ç æ
ø ÷ ö
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]t =
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A–1 = 1
| A | [adj (A)]t = 1
–2
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=
è ç ç æ
ø ÷ ÷ ö
–1 0 1
2 1 –2
7/2 1 –3

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II

Cálculo de determinantes por el método de Gaus
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
= –1 .
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1) . (–1)
3 3
9 3 =

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