La empresa Conteiner, C.A. debe transportar contenedores desde sus cuatro sedes a dos destinos, minimizando los costos de transporte. Aplicando el Método de Transporte, la solución óptima es enviar 2000 contenedores desde Puerto Cabello a Puerto Ayacucho, 2600 desde Guanta a Puerto Ayacucho, 400 desde Guanta a San Antonio del Táchira, y 2400 desde Las Piedras a San Antonio del Táchira, obteniendo unos costos mínimos de $2,505,600.

1. Casos Prácticos de Investigación de Operaciones
Ejemplo de la aplicación del Método de Transporte
Planteamiento del Problema: La empresa Conteiner, C.A., tiene sus sedes en
las Aduanas de Puerto Cabello, Guanta en Puerto La Cruz, Las Piedras en Paraguana
y Paraguachon en Maracaibo, y realizan fletes de Contenedores a las Ciudades de
Puerto Ayacucho y San Antonio del Táchira. Las capacidades de las sedes son de
2000, 3000, 2500 y 1500 Contenedores. Las demandas mensuales en los dos centros
de destino son de 4600 y 2800 contenedores. El costo de un contenedor por kilómetro
es de 0,16$. El diagrama de las distancias recorridas entre las sedes y los destinos es:
Puerto Ayacucho
Puerto Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachon
2000 Km
2500 Km
2550 Km
2600 Km
San Antonio del Táchira
5375 Km
2700 Km
1700 Km
1600 Km
Se Requiere
(Resolver mediante el Método de la Esquina Noroeste)
Modelo Matemático del problema
Si, el objetivo del la empresa Conteiner, C.A., es minimizar el costo,
consiguiendo una solución optima factible. ¿Cuál sería ese costo?

2. Solución
Se procede a efectuar la transformación de Kilómetros (Km) a Dólares ($)
2000 x 0,16 = 320
2500 x 0,16 = 400
2550 x 0,16 = 408
2600 x 0,16 = 416
5375 x 0,16 = 860
2700 x 0,16 = 432
1700 x 0,16 = 272
1600 x 0,16 = 256
Puerto Ayacucho
San Antonio del Táchira
320
400
408
416
860
432
272
256
Puerto Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachon
Se determinan los Costos del transporte:
Puerto
Ayacucho
Puerto Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachon
La Demanda
San Antonio del
Táchira
Oferta
320
400
408
416
4600
860
432
272
256
2800
2000
3000
2500
1500
7400/9000
Se observa que hay una diferencia de la demanda con respecto a la
oferta o disponibilidad del producto, por lo cual se crea un Destino
Ficticio para la distribución.

3. Puerto
Ayacucho
San Antonio
del Táchira
Destino
Ficticio
Oferta
320
400
408
416
4600
860
432
272
256
2800
0
0
0
0
1600
2000
3000
2500
1500
9000/9000
Puerto Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachon
Demanda
Se evalúa la cantidad que se requiere a partir de la
demanda para que la oferta pueda hacerle frente.
Puerto
Ayacucho
Puerto
Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachon
Demanda
San Antonio del
Táchira
Destino
Ficticio
Oferta
320 X11
860 X12
0 X13
2000
400 X21
408 X31
416 X41
4600
432 X22
272 X32
256 X42
2800
0 X23
0 X33
0 X43
1600
3000
2500
1500
9000
Xij= Unidades a Transportar desde una i=1, 2, 3, 4 hasta una j=1,2
Queda la siguiente Función Objetivo:
Modelo Matemático
Formula de Minimización
Zmin= 320 X11 + 860X12 + 0X13 + 400X21 + 432X22 + 0X23 + 408X31 + 272X32
+ 0X33 + 416X41 + 256X42 + 0X43

4. Sujeto a:
Oferta
320X11 +
400X21 +
408X31 +
416X41 +
Xij≥0
860X12
432X22
272X32
256X42
+
+
+
+
0X13
0X23
0X33
0X43
≤
≤
≤
≤
2000
3000
2500
1500
Oferta
320X11 + 860X12 + 0X13 ≤ 4600
400X21 + 432X22 + 0X23 ≤ 2800
408X31 + 272X32 + 0X33 ≤ 1600
Xij≥0
Puerto
Cabello
X11
Puerto
Ayacucho
X12
X21
Guanta
X31
X22
X23
X32
Las Piedras
X41
X13
San
Antonio del
Táchira
X33
X42
Paraguachón
X43
Destino
Ficticio

5. Zmin=320(2000)+860(0)+0(0)+400(2600)+432(400)+0(0)+408(0)+272(2400)+0(
100)+416(0)+256(0)+0(1500)
Zmin=640.000+0+0+1.040.000+172.800+0+0+652.800+0+0+0+0= 2.505.600$
Distribución a partir del Método de Esquina Noroeste
Puerto
Ayacucho
Puerto Cabello
San
Antonio del
Táchira
2000
2600
860
3000
432
2400
Las Piedras
408
272
2500
0
1500
416
2.000 x 320 = 640.000
2.600 x 400 = 1.040.000
400 x 432 = 172.800
2.400 x 272 = 652.800
2.505.600$
0
100
Paraguachon
Calculo de los Costos
0
400
400
Demanda
4600
Oferta
2000
320
Guanta
Destino
Ficticio
256
2800
1500
0
1600
9000/9000

6. Al enviar desde puerto cabello a puerto Ayacucho 2000 contenedores, desde
Guanta a puerto Ayacucho 2600 contenedores, desde Guanta a San Antonio del
Táchira 400 contenedores y desde Las Piedras hasta san Antonio del Táchira 2400
contenedores, la empresa Conteiner CA obtendrá un costo mínimo de 2.505.600
dólares llevando a caso la distribución recomendada a través del Método de la
Esquina Noroeste, considerándola así como la solución factible.
Ejemplo de la aplicación del Método Simplex
Problema: La Empresa Manos al Obra, C.A., produce mesas y sillas para la venta
en el país. Y requiere dos tipos básicos de mano de obra especializada: para
ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas de ensamblado, dos
horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una silla
requiere de una hora de cada una de ellas, y se vende a $18. Actualmente, la
compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado
Se Pide:
1. Resolver mediante el Método Simplex.
2. Elabore el Modelo Matemático correspondiente
3. Calcular el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la
Obra, C.A. para maximizar las ganancias.

7. 4. Y cuál es el máximo beneficio que obtiene la empresa con las ventas de sus
productos.
Solución:
Lo primero que se debe realizar, es la definición de las variables, por ello se
tiene que:
X = Número de Mesas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la
venta.
Y = Número de Sillas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la
venta.
Ahora, se prosigue a tabular las horas que se necesitan tanto de ensamblado
como de acabado para la producción de una mesa y de una silla, y también de las
horas que dispone la empresa para hacerlo.
Ensamblado
Acabado
X
3 horas
2 horas
Y
1hora
1 hora
Total
200 horas
160 horas

8. Para poder obtener la solución factible al planteamiento, es necesario
establecer la función objetivo, la cual viene dada por la maximización del beneficio,
como establece el planteamiento, siendo la siguiente:
F (X , Y) = 30X + 18Y (Maximizar)
Zmax = 30X + 18Y
Al momento de buscar una solución factible a un problema, éste suele estar
sometido u obstaculizado por ciertas limitantes, en investigación de operaciones se le
llaman restricciones, en este caso son:
X
Y
3X
2X
+
+
0
0
Y
Y
200
160
Así pues, podemos establecer el modelo matemático y por ende, obtener la
solución factible, el mismo es:
Zmax = 30X + 18Y (Maximizar)

9. Sujeto a (Restricciones)
X
0
Y
0
3X
+
Y
200
2X
+
Y
160
Se prosigue a realizar los cálculos que corresponden, y queda:
1era. Condición
Función Objetivo = 0
Z = 30X + 18Y
Z - 30X
Se iguala a 0
- 18Y = 0
2 da. Condición
Se eliminan las restricciones utilizando las variables de holgura.
3X
+
Y +
S1
200
2X
+
Y
S2
160
+
3 era. Condición

10. Se elabora la tabla Simplex inicial:
Tabla Inicial
Base
Variable de Decisión
Variable de Holgura
Variable de Solución
X
Y
S1
S2
S1
3
1
1
0
200
S2
2
1
0
1
160
Z
-30
-18
0
0
0
Se Determina la Fila Pivote:
200/3 = 66,66
160/2 = 80
La Tabla Inicial quedaría de la siguiente forma:
Base
Tabla Inicial
Variable de Decisión
Variable de Holgura
X
S1
Variable de
Solución
S1
S2
1
3
Y
1
0
200
S2
2
1
0
1
160
Z
-30
-18
0
0
0
Columna
Pivote
4 ta. Condición
Fila Pivote

11. Se desarrolla la segunda tabla:
Base
Tabla II
Variable de Holgura
Variable de
Decisión
X
Y
S1
Variable de Solución
S2
X
1
1/3
1/3
0
200/3
S2
0
1/3
-2/3
1
80/3
Z
0
-8
10
0
2000
Premisa 1:
I._ (1/3) x 1era Fila
(1/3) x 3
(1/3) x 1
(1/3) x 1
(1/3) x 0
(1/3) x 200
=
=
=
=
=
1
1/3
1/3
0
200/3
Premisa 2:
II._ (-2). (1era Fila de la Segunda Tabla) + 2da Fila de la Primera
Tabla:
(-2) x (1)
(-2) x (1/3)
Cálculo Matemático
(-2) x(-2) x (1/3) 1 + 0
(1/3) +
i.
= -2/3
-2
x(-2) x (0) - 2/3 + 1
1/3 =
ii.
= 1
- 2/3 + 1x (200/3) + 3 / 3 == 1/3
= - 2 + 160
iii.
(-2)
80/3
Cálculo Matemático
(-2) x (200/3) + 160
(-2) x (200/3) = - 400/3
- 400/3 + 160/1 = - 400 + 480 / 3 = 80 / 3
+
+
2
1
= 0
= 1/3

12. Premisa 3:
III._ (30). 1era Fila de la Segunda Tabla + 3era Fila de la Primera Tabla:
(30) x (1)
+ (-30) = 0
(30) x (1/3) + (-18) = -8
(30) x (1/3) +
0 = 10
(30) x (0)
+
0 = 0
(30) x (200/3) +
0 = 2000
Determinación de la Fila Pivote
/ 1/3 = 200
80/3 / 1/3 = 80
200/3
Se presenta la segunda tabla de la siguiente forma:
Variable de
Decisión
X
Y
Tabla II
Variable de
Holgura
S1
S2
X
1
1/3
0
200/3
S2
0
-2/3
1
80/3
Base
1/3
1/3
Variable de Solución

13. Z
0
-8
10
0
2000
Columna
Pivote
Fila Pivote
5 ta. Condición
Se elabora la tercera Tabla:
Tabla III
Base
Variable de Decisión
Variable de Holgura
Variable de Solución
X
Y
S1
S2
X
1
0
1
-1
40
Y
0
1
-2
3
80
Z
0
0
-6
24
2640
Premisa 4:
IV._ (3) x 2da Fila de la Tabla II:
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
x
x
x
x
x
0
(1/3)
(-2/3)
1
(80/3)
= 0
= 1
= -2
=3
= 80
Premisa 5:
V._ (-1/3). 2da Fila de la Tabla III + 1era Fila de la Tabla II:

14. (-1/3) x (0) + 1
(-1/3) x (1) + 1/3
(-1/3) x (-2) + 1/3
Cálculo Matemático
(-1/3) x (-2) + 1/3
=1
=0
=1
= (-1/3) x 2 = 2/3 + 1/3= 2 + 1/3 = 3/3 = 1
(-1/3) x (3) + 0
= -1
(-1/3) x (80) + 200/3 = 40
Cálculo Matemático
(-1/3) x (80) + 200/3 = (-1/3) x
80 = -80/3 + 200/3 = (-80) +200/3=120/3 = 40
Premisa 6:
VI._ (8). 2da Fila de la Tabla III + 3era Fila de la Tabla II:
(8) x (0) + (0) = 0
(8) x (1) + (-8) = 0
(8) x (-2) + 10 = -6
(8) x (3) + 0
= 24
(8) x (80)+ 2000 = 2640
Respuestas:
Una vez que ya se han hecho los cálculos pertinentes aplicando el
Método Simplex, se puede dar respuesta a las preguntas del enunciado, sobre
cual es el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la
Obra, C.A. para maximizar las ganancias; y cuál es el máximo beneficio que

15. obtiene la empresa con las ventas de sus productos. En este sentido, se puede
decir que esta empresa debe producir 40 mesas y 80 sillas para obtener el
máximo beneficio de 2640$ por concepto de las ventas que realice de esos
productos.
Ejemplo de la aplicación del Método Gráfico
Problema: La fábrica ON LINE, C.A., produce para el mercado interno, chaquetas y
pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir), se emplean en la producción.
Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar 1 hora, la de coser 3
horas y la teñir 1 hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar
1 hora, la de coser 1 hora y la de teñir ninguna hora. La máquina de teñir se puede
usar hasta 3 horas, la de coser hasta 11 y la de cortar hasta 7.
Todo lo que se fabrica se vende y se obtiene un beneficio de 8 Bs. F por cada
chaqueta y 5 Bs. F por cada pantalón.
¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el máximo beneficio?
Se pide:
1. Definición de las Variables
2. Función Objetivo
3. Restricciones del signo de las variables
4. Puntos de las rectas
5. Grafica
6. Modelo matemático completo

16. 7. Análisis de sensibilidad
Solución:
1. Definición de las Variables:
X = N° de chaquetas que produce la fabrica
Y = N° de pantalones que produce la fábrica
2. Función Objetivo:
Partiendo del hecho de que lo que se quiere es lograr maximizar el
beneficio monetario que se obtiene mediante la producción de chaquetas y
pantalones y sabiendo que las chaquetas están representadas con la X y los
pantalones con Y; la función objetico quedaría de la siguiente manera:
Z = 8 (x) + 5(y)
3. Restricciones del signo de las variables:
Las restricciones son básicamente un conjunto de variables sometidas
a un límite, en este problema son las siguientes:
a) X + Y ≤ 7 (Máquina de Cortar)
b) 3X + Y ≤ 11 (Máquina de Coser)
c) X ≤ 3 (Máquina de Teñir)
d) X ≥ 0 (De no Negatividad)
e) Y ≥ 0 (De no Negatividad)

17. 4. Puntos de las rectas:
Para poder saber en qué punto del eje de las rectas se graficaran las
restricciones es necesario saber el valor numérico de X como de Y, para ello
sustituimos alguna de ellas con 0 y procedemos a despejar la otra.
a) X + Y ≤ 7
X+Y≤7
X+Y≤7
0+Y ≤7
X+0 ≤7
Y≤7
X≤7
b) 3X + Y ≤ 11
3 X + Y ≤ 11
3 X + Y ≤ 11
3 (0) + Y ≤ 11
3 X + 0 ≤ 11
Y≤ 11
3X ≤ 11
X ≤ 11 / 3
X ≤ 3,66
c) X ≤ 3
X≤3

18. 5. Grafica:
Una vez que se tienen los valores de las variables en cada punto, se
procede a graficarlas en el eje de las X y en el eje de las Y, para luego ubicar
la zona optima, que es aquella en la que convergen todas las restricciones.
Debo destacar PROFESOR que el grafico lo hice en Excel y luego lo copie
como imagen en Paint para después insertarlo en este documento Word.

19. 6. Modelo matemático completo:
Producto
Variables
Tiempo de la
Máquina de
cortar
Tiempo de la
Máquina de
coser
Tiempo de la
Máquina de
teñir
Beneficio
Monetario
Chaquetas
Pantalones
Totales
X
Y
1 Hora
1 Hora
7 Horas
3 Horas
1 Hora
11 Horas
1 Hora
0 Hora
3 Horas
8 Bs. F
5 Bs. F
Puntos para Maximizar Z:
Para poder saber cuáles son los puntos en los que la función objetivo
se cumple, se debe obtener el valor de cada uno de los puntos de la zona
optima demarcada en el gráfico anterior.
Punto A: en éste converge solamente la restricción a, quedando de la
siguiente manera:
X+Y≤7
X=0
Y=7
A = (0; 7)
Punto B: en éste converge la restricción a y la restricción b, quedando de la
siguiente manera:
a) X + Y ≤ 7
b) 3 X + Y ≤ 11
-X–Y=-7
3 X + Y ≤ 11
(-1)

20. 2X=4
X=4/2
X=2
Si se sustituye X = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:
3 (2) + Y = 11
6 + Y = 11
Y = 11 – 6
Y=5
B = (2; 5)
Punto C: en éste converge la restricción b y la restricción c, quedando de la
siguiente manera:
b) 3 X + Y ≤ 11
c) X
≤3
(-3)
3 X + Y ≤ 11
-3X
=-9
Y= 2
Si se sustituye Y = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:
3 X + 2 = 11
3X =9
X=9/3=3
C = (3; 2)

21. Punto D: en éste converge la restricción c, quedando de la siguiente manera:
X≤3
X=3
D = (3; 0)
Maximización de Z:
Punto A: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(0) + 5(7) = 35
PUNTO B: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(2) + 5(5) = 41
Punto C: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(2) = 34
Punto D: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(0) = 24
7. Análisis:
La forma en la que la fábrica ON LINE, C.A., debe emplear las
máquinas para conseguir el máximo beneficio es produciendo la cantidad de 2
chaquetas y 5 pantalones, esto le haría obtener un máximo beneficio de 41 Bs.
F.