Aplicaciones de la función de segundom grado Quadratic function applications

1. G. Edgar Mata Ortiz

3. Contenido
Problemas de
razonamiento01 La función
cuadrática02
Ecuación de la
cuadrática
03 Ejemplo04
Math Model

4. Problemas de razonamiento
Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones
de la matemática a diferentes situaciones de la vida
real y/o profesional.

5. Problemas de razonamiento
En el presente documento se plantea un tema relacionado con
la vida profesional; el uso de la matemática para determinar
un punto óptimo de un proceso.

6. Problemas de razonamiento
La solución de un problema de
razonamiento requiere de un
proceso de “modelado” o
representación de la situación
real en términos de variables y
relaciones matemáticas

7. Problemas de razonamiento

8. La función cuadrática.Linear
equations
La función cuadrática es un objeto
matemático y no tienen un significado
específico en el mundo real.
Para que los objetos matemáticos sean
aplicados a la realidad es necesario
expresar la información en términos de
esta ciencia. 𝑦 = 𝑓(𝑥)

9. Función cuadrática
Linear
equations
Con la finalidad de que el problema planteado pueda
resolverse mediante una función cuadrática es
necesario establecer algunos postulados:
1. Sólo una de las dos variables que describen el
problema estará elevada el cuadrado
2. Se asume que las relaciones entre la variable
independiente (x) y la dependiente (y) es de
segundo grado

10. Punto máximo
Al resolver un problema de razonamiento es necesario
emplear conocimientos de la disciplina o ciencia a la
que pertenece el problema que se resolverá: Física,
economía, finanzas, química, termodinámica, entre
muchas otras.

11. Punto máximo
El conocimiento necesario para resolver este problema es el
punto máximo de una parábola. Se le llama vértice a este punto
máximo y puede determinarse mediante una fórmula o un
procedimiento algebraico.
Vértice

12. Punto máximo
Debemos saber que la
parábola es simétrica y
que el vértice se
encuentra en el eje de
simetría de la parábola

13. Ejemplo
Una buena forma de aprender es mediante ejemplos.
En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de
razonamiento mostrando detalladamente cada paso del
proceso.

14. Ejemplo Se sabe que la temperatura afecta a
cierta reacción química. Se lleva a cabo
un experimento y se encuentran los
resultados de la tabla adjunta. Determina
la temperatura a la que debe llevarse a
cabo la reacción para que la eficiencia
sea la máxima posible.
Temperatura 79.5 85.2 88.6
Eficiencia 92.9 95.3 93.2
Primera Parte

15. Ejemplo
Segunda Parte
Debido a problemas con el equipo,
la eficiencia ha disminuido en cierta
medida. Los nuevos datos se
muestran en la tabla adjunta,
determina la nueva temperatura que
optimiza la eficiencia de la reacción.
Temperatura
𝟕𝟗. 𝟓 +
𝑵𝑳
𝟏𝟎
𝟖𝟒. 𝟐 +
𝑵𝑬
𝟏𝟎
𝟖𝟔. 𝟒 +
𝑵𝑳
𝟏𝟎
Eficiencia
85.6 +
𝑁𝐸
5
88.7 +
𝑁𝐿
10
84.3 +
𝑁𝐸
10

16. Ejemplo Se afirma que mediante una modificación
menor al reactor químico la eficiencia
aumenta significativamente, se lleva a cabo
la modificación propuesta obteniéndose los
resultados de la tabla adjunta. ¿Podemos
afirmar que la eficiencia realmente
aumentó?
Tercera Parte
Temperatura
𝟕𝟖. 𝟓 +
𝑵𝑳
𝟏𝟎
𝟖𝟓. 𝟒 +
𝑵𝑬
𝟏𝟎
𝟖𝟖. 𝟔 +
𝑵𝑳
𝟏𝟎
Eficiencia
87.7 +
𝑁𝐸
5
91.6 +
𝑁𝐿
10
86.5 +
𝑁𝐸
10

17. Problemas de razonamiento

18. Problemas de razonamiento
En realidad, se deben resolver cuatro problemas
independientes.

19. Cuatro problemas independientes
01 02 03 04
Determinar
punto
máximo
inicial
Determinar
un segundo
punto
máximo
Determinar
tercer punto
máximo
Concluir si
mejoró la
eficiencia

20. Resolver la primera parte del problema
01
Determinar
punto máximo
inicial
Se sabe que la temperatura afecta a
cierta reacción química. Se lleva a cabo
un experimento y se encuentran los
resultados de la tabla adjunta. Determina
la temperatura a la que debe llevarse a
cabo la reacción para que la eficiencia
sea la máxima posible.
Temperatura 79.5 85.2 88.6
Eficiencia 92.9 95.3 93.2

21. Resolver la primera parte del problema
El primer paso consiste en
comprender el problema
Comprender
el problema
Identificar
cantidades
desconocidas
Datos
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas
Preguntas

22. Resolver la primera parte del problema
Las cantidades desconocidas son solamente dos:
1. Temperatura a la que se alcanza la máxima
eficiencia
2. Valor de la eficiencia máxima según datos iniciales
Identificar
cantidades
desconocidas

23. Resolver la primera parte del problema
Los datos disponibles son:
Tabla que relaciona la temperatura con la eficiencia
Datos
Temperatura 79.5 85.2 88.6
Eficiencia 92.9 95.3 93.2

24. Resolver la primera parte del problema
Para establecer la relación
entre las dos cantidades
desconocidas vamos a trazar
la gráfica con los tres puntos
que se proporcionan como
datos.
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas

25. Resolver la primera parte del problema
Con base en la gráfica
podemos postular que la
relación entre las cantidades
desconocidas es cuadrática.
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas

26. Resolver la primera parte del problema
Solamente nos preguntan una cosa:
¿Cuál es la temperatura a la que se alcanza la máxima
eficiencia?
Preguntas

27. Resumen del primer paso
Identificar las cantidades desconocidas
Datos disponibles
Relaciones entre cantidades desconocidas y datos
¿Qué es lo que nos preguntan?
Temperatura y eficiencia
Tabla que relaciona la temperatura con la eficiencia
Hemos postulado que la relación entre las cantidades
desconocidas es cuadrática
Temperatura a la que se alcanza la máxima eficiencia

28. Resumen del primer paso
Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner
por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema.
Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier
persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del
problema.

29. Resolver la primera parte del problema
El segundo paso consiste en
expresar algebraicamente las
cantidades desconocidas,
datos, y sus relaciones.
Expresar en
el lenguaje
del álgebra
Incógnita “x”
Relaciones
x,y
Incógnita “y”
Otras
relacionesx,y

30. Resolver la primera parte del problema
Naturalmente este segundo paso toma como base la
información generada en el primer paso: cantidades
desconocidas, datos y relaciones que serán expresadas
como una ecuación de segundo grado

31. Resolver la primera parte del problema
Vamos a anotar esta segunda parte en una tabla con la
finalidad de que podamos comunicar mejor el proceso de
solución a otras personas.

32. Resolver la primera parte del problema
La tabla contendrá las
cantidades
desconocidas, sus
interrelaciones, y su
expresión algebraica.
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica

33. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica
Temperatura Incógnita x
Cualquiera de las cantidades desconocidas puede tomarse como
incógnita, en este caso se ha decidido tomar la temperatura como
incógnita e identificarla como la variable independiente equis.

34. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica
Temperatura Incógnita x
Eficiencia Segunda incógnita y
Solamente se encontraron estas dos cantidades desconocidas

35. Resumen del segundo paso
Este segundo
paso fue,
sencillamente,
una traducción
del lenguaje
natural al
algebraico.
TRADUCCIÓN
Lenguaje natural Lenguaje
algebraico

36. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso consiste en obtener
las ecuaciones que relacionan las
incógnitas y los datos.
𝒚 = 𝒇(𝒙)

37. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso
consiste en obtener
las ecuaciones que
relacionan las
incógnitas y los
datos.
Para efectuar el tercer paso debemos recurrir a
información o conocimientos adicionales a los que el
problema presenta, en este caso, la forma de determinar la
ecuación de una parábola dados tres puntos.

38. El tercer paso consiste en encontrar la ecuación de la
parábola:
Sabemos que la forma general de la ecuación de
la parábola es:
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Aplicando la propiedad reflexiva de la igualdad:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
Resolver la primera parte del problema

39. Resumen del tercer paso
La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún
dato del problema o una combinación de las dos cosas.
En este caso vamos a utilizar conocimientos de geometría analítica:
“Si un punto pertenece a una curva, entonces debe cumplir con su
ecuación”
𝒚 = 𝒇(𝒙)

40. Obtener la ecuación de la parábola
Vamos a sustituir las coordenadas de los tres puntos en la forma general
de la ecuación de la parábola en la forma:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
𝒚 = 𝒇(𝒙)

41. Obtener la ecuación de la parábola
Sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general:
Utilizando el primero de los tres puntos: (79.5, 92.9)
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
𝑎(79.5)2+𝑏(79.5) + 𝑐 = 𝟗𝟐. 𝟗
6320.25𝑎 + 79.5𝑏 + 𝑐 = 𝟗𝟐. 𝟗

42. Obtener la ecuación de la parábola
Sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general:
Utilizando el segundo de los tres puntos: (85.2, 94.4)
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
𝑎(85.2)2+𝑏(85.2) + 𝑐 = 𝟗𝟒. 𝟒
7259.04𝑎 + 85.2𝑏 + 𝑐 = 𝟗𝟒. 𝟒

43. Obtener la ecuación de la parábola
Sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general:
Utilizando el tercero de los tres puntos: (88.6, 91.1)
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
𝑎(88.6)2+𝑏(88.6) + 𝑐 = 𝟗𝟏. 𝟏
7849.96𝑎 + 88.6𝑏 + 𝑐 = 𝟗𝟏. 𝟏

44. Obtener la ecuación de la parábola
Después de sustituir las coordenadas de los tres puntos obtenemos un:
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
6320.25𝑎 + 79.5𝑏 + 𝑐 = 92.9
7259.04𝑎 + 85.2𝑏 + 𝑐 = 94.4
7849.96𝑎 + 88.6𝑏 + 𝑐 = 91.1

45. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan

46. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan
En este ejemplo
emplearemos el
método de Cramer.

47. Resolver la primera parte del problema
El método de Cramer no es el más eficiente, requiere efectuar
demasiadas operaciones aritméticas por lo que, generalmente
se prefiere el método de Gauss.
Sin embargo, empleando las tecnologías de la información y
comunicación, es muy sencillo generar una hoja de Excel que
resuelva un sistema de 3x3, incluso es posible incluir los pasos.
En caso de que requerir mayor información acerca del método
de Cramer se encuentra una presentación en el siguiente
enlace:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/cramer-method-2020.html

48. Determinantes
+ 6320.250 + 79.500 + 1.000 + 6320.250 + 79.500
D P = + 7259.040 + 85.200 + 1.000 + 7259.040 + 85.200 = - 176.358
+ 7849.960 + 88.600 + 1.000 + 7849.960 + 88.600
+ 92.900 + 79.500 + 1.000 + 92.900 + 79.500
D a = + 94.400 + 85.200 + 1.000 + 94.400 + 85.200 = + 23.910
+ 91.100 + 88.600 + 1.000 + 91.100 + 88.600
+ 6320.250 + 92.900 + 1.000 + 6320.250 + 92.900
D b = + 7259.040 + 94.400 + 1.000 + 7259.040 + 94.400 = - 3984.387
+ 7849.960 + 91.100 + 1.000 + 7849.960 + 91.100
+ 6320.250 + 79.500 + 92.900 + 6320.250 + 79.500
D c = + 7259.040 + 85.200 + 94.400 + 7259.040 + 85.200 = + 149257.931
+ 7849.960 + 88.600 + 91.100 + 7849.960 + 88.600

49. Valores de las incógnitas
+ 6320.25 a + 79.5 b + 1 c = + 92.9
+ 7259.04 a + 85.2 b + 1 c = + 94.4
+ 7849.96 a + 88.6 b + 1 c = + 91.1
a = - 0.135576
b = + 22.5926
c = - 846.3349

50. Ecuación de la parábola
+ 6320.25 a + 79.5 b + 1 c = + 92.9
+ 7259.04 a + 85.2 b + 1 c = + 94.4
+ 7849.96 a + 88.6 b + 1 c = + 91.1
a = - 0.135576
b = + 22.5926
c = - 846.3349
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = −0.135576𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.3349

51. Hemos obtenido la ecuación de la parábola
𝑦 = −0.1355𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.7349
Esta ecuación representa, para nosotros, la relación que existe
entre la temperatura (x) y la eficiencia (y).
Es el modelo matemático que elegimos arbitrariamente.
Se escriben solamente cuatro decimales, pero al efectuar
operaciones se utilizarán todos los que se obtuvieron para
mejorar la precisión.

52. Hemos obtenido la ecuación de la parábola
𝑦 = −0.1355𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.7349
Esta ecuación representa, para nosotros, la relación que existe
entre la temperatura y la eficiencia.
Para encontrar el punto más alto, se debe determinar las
coordenadas del vértice.

53. Hemos obtenido la ecuación de la parábola
𝑦 = −0.1355𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.7349
La fórmula para determinar el valor de equis de las
coordenadas del vértice es:
𝑥 = −
𝑏
2𝑎

54. Coordenadas del vértice
𝑦 = −0.1355𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.7349
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
𝑥 = −
22.5926
2(−0.1355)
𝑥 = 83.3205
𝑦 = 94.8789

55. Respuesta
Temperatura 79.5 85.2 88.6
Eficiencia 92.9 94.4 91.1
𝑥 = 83.3205
𝑦 = 94.8789
La temperatura óptima de operación es de 83.32° C,
lográndose una eficiencia del 94.87%
𝑦 = −0.1355𝑥2
+ 22.5926𝑥 − 846.7349

56. Gracias
Por su atención
licmata@hotmail.com
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Twitter: @licemata