Oblique Triangles - Law of Sines Triángulos Oblicuángulos - Ley de los Senos

1. Oblique Triangles
G. Edgar Mata Ortiz
1

3. El triángulo rectángulo
La resolución de problemas en los
que se presentan triángulos
rectángulos es sencilla; se aplica el
teorema de Pitágoras o cualquiera
de las funciones trigonométricas
básicas para determinar los lados
y ángulos que sea necesario.

4. El triángulo rectángulo
Las funciones trigonométricas que se aplican
directamente en un triángulo rectángulo
son:

5. Problemas diferentes
¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos
que se presentan, no tienen ningún ángulo recto?

6. Problemas diferentes
Los triángulos que no tienen ninguno de sus ángulos
de 90° se llaman:
Triángulos
Oblicuángulos

7. Triángulos Oblicuángulos
En estos triángulos, solamente uno de sus ángulos
puede medir más de 90°
¿Cómo determinamos las
medidas faltantes de un
triángulo oblicuángulo?

8. Este problema aparece resuelto
en el libro II de Los Elementos
de Euclides; las proposiciones
12 y 13 tratan por separado los
casos de un triángulo
obtusángulo y un triángulo
acutángulo.
Problemas diferentes

9. Problemas diferentes
Hubo que esperar hasta la
edad media, cuando el
matemático árabe Ghiyath al-
Kashi escribió el Teorema de
los senos en una forma que
pudiera ser utilizable,
durante el siglo XV.

10. La generalización del Teorema
de Pitágoras a triángulos
oblicuángulos recibe el nombre
de Teorema de los Cosenos y es
también atribuido al
matemático árabe Ghiyath al-
Kashi.
Problemas diferentes

11. Estos Teoremas reciben el
nombre de:
Teoremas de senos y cosenos
Ley de los cosenos
Ley de los senos

12. Ley de los senos y ley de los
cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis
magnitudes básicas: tres lados y tres
ángulos.

13. Ley de los senos y ley de los cosenos.
Si se conocen tres de las magnitudes de un
triángulo, es posible determinar las otras tres.
Es importante determinar
cuáles son los datos
disponibles para elegir la
herramienta adecuada.

14. Ley de los senos y ley de los cosenos.
Son en total seis magnitudes las que caracterizan a
un triángulo: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas seis
magnitudes, se pueden determinar las tres
restantes.
Dependiendo de las magnitudes que se conozcan,
se aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.

16. 𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

17. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer,
al menos, tres datos para poder aplicar
la fórmula de la ley de los senos.
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

18. Resolución de problemas
Se emplea la parte de la fórmula que
contiene los tres datos conocidos. Si
se conocen a, c, y el ángulo C,
entonces se omite la sección que
contiene al ángulo B y se toman las
otras dos secciones:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

19. Resolución de problemas
Se toma esta parte de la fórmula
porque contiene los lados a, c, y el
ángulo C, de donde se podrá
despejar la magnitud cuyo valor es
desconocido:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

20. Resolución de problemas
En este caso será necesario despejar el
seno del ángulo A:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

21. Resolución de problemas
En resumen: Se toma la parte de la fórmula que
contiene los tres datos conocidos; a, c, y el ángulo
C:
Y se despeja la cantidad desconocida, en
este caso: seno de A

22. Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer,
al menos, tres datos para poder aplicar
la fórmula de la ley de los senos.
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Pero no pueden ser 3 datos cualesquiera.

23. Resolución de problemas
Por ejemplo, si se conocen a, b, y el
ángulo C, no es posible tomar una
parte de la fórmula para despejar
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

24. Resolución de problemas
Si se conocen a, b, y el ángulo C, no es
posible tomar una parte de la fórmula para
despejar
Cuando esto sucede, simplemente no es
posible aplicar la ley de los senos, deberá
buscarse otra estrategia de solución.

25. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado
b, 6 cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1

26. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado
b, 6 cm, y el ángulo C, 56°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1

27. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.

28. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las
magnitudes
desconocidas.
Este problema no puede
ser resuelto mediante la
ley de los senos, debemos
buscar una estrategia
diferente.

29. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las
magnitudes
desconocidas.
En la segunda parte de
este material se explica
cómo resolver este
problema.

30. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el
ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°.
Ejemplo 2

31. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el
ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2

32. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Ahora sí disponemos de
los datos necesarios para
resolver el problema.

33. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Se omite la tercera
fracción porque no se
conoce el lado c, ni el
ángulo C.
Tomamos solamente la
parte de la fórmula que
contiene los datos.

34. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Una vez que sustituimos
los datos conocidos,
despejamos la magnitud
desconocida, en este
caso, el lado b.

35. Al sustituir en la fórmula y despejar obtenemos:
Ejemplo 2

36. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Ahora sólo es
necesario efectuar
operaciones

37. Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2

38. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del
triángulo
Ejemplo 2

39. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2

40. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2

41. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2
Sin embargo, existe una
forma sencilla de resolverlo,
¿puedes ver cuál es?

42. Con referencia a la figura adjunta, resuelve
los siguientes problemas:
1. Terminar el ejemplo 2
2. B = 56°, C = 75°, a = 21 + NL
3. A = 36°, b = 15 + NL, c = 32 – NL
4. C = 45°, a = 21 + NL, c = 16 + NE
5. A = (NL + 18)°, a = NE ×13, b = NE ×13
6. B = 36°, a = NE ×15, b = NE ×18

43. Gracias
Fuentes de información en línea
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