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- 1. න 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒕𝒆𝒄𝒉𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 2 Integración por partes Métodos y Técnicas de integración G. Edgar Mata Ortiz
- 2. Contenido Introducción Las técnicas de integración permiten resolver problemas que no pueden ser resueltos mediante las fórmulas directas. Ejemplo 1 En el primer ejemplo encontramos una dificultad para completar el diferencial que no permite aplicar la fórmula propuesta inicialmente. Ejercicio 1 En ocasiones es necesario aplicar la integración por partes dos o más veces, según el problema de que se trate, se deja como ejercicio la resolución de este caso. 2
- 3. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
- 4. Las técnicas de integración En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de: Integración por partes
- 5. Como en el ejemplo anterior, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración. Ejemplo 1: න 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 =
- 6. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Tomaremos como variable u, la equis; y el resto como diferencial de v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
- 7. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = න 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
- 8. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral.
- 9. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 ∴ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = Derivando la variable u, obtendremos du; e integrando el dv, obtendremos v. 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Para efectuar la integración del du es necesario completar el diferencial agregando un 2 que se compensa con un medio fuera de la integral. La constante de integración se anotará hasta el final del proceso.
- 10. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 11. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 12. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 13. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 Sustitución de los valores calculados න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 14. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙
- 15. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙
- 16. Ejemplo: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶
- 17. Solución: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶
- 18. Solución: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 න 𝒙𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 ∙ 1 2 𝑒2𝑥 − න 1 2 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝑑𝑥 𝑣 = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 න 𝑒2𝑥 𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 2 ∙ 𝟏 𝟐 න 𝑒2𝑥 𝟐𝒅𝒙 = 1 2 𝒙𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝐶 = 1 2 𝑒2𝑥 𝑥 − 1 2 + 𝐶 න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
- 19. Solución del problema: El objetivo de la integración por partes es reducir la integral original que no se puede resolver mediante las fórmulas básicas; a una expresión que contenga una integral directa. න 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 𝑒2𝑥 𝑥 − 1 2 + 𝐶
- 20. Como en el ejemplo anterior, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración. Ejercicio 1: න 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = Integración por partes dos veces consecutivas. En este ejercicio podremos observar que, en forma similar al ejemplo uno, sobra una variable en el diferencial. Después de aplicar la integración por partes observaremos que en el resultado, se presenta nuevamente el mismo problema, por lo que será necesario aplicar, por segunda ocasión, la técnica que estamos revisando.