Integral formula 5 Fórmula de Integración 5 v to n v a la ene

1. Integral Calculus
G. Edgar Mata Ortiz
5Formula

2. Integral Calculus
Formula
G. Edgar Mata Ortiz
5

3. Fórmulas de
Integración
En la primera parte de este conjunto de presentaciones se explica, paso a paso,
la forma en que se emplean las primeras cuatro fórmulas de integración, que
son las más sencillas. En este documento se trabaja con la fórmula número
cinco, que requiere un importante paso adicional; completar el diferencial.
5

4. Fórmulas de
Integración
Al iniciar el aprendizaje de la
integración, es recomendable
recurrir a un formulario que nos
facilite la resolución de las
integrales sin necesidad de
memorizar las fórmulas básicas.
EL formulario que de la derecha
puede encontrarse en la dirección
que se muestra en la parte inferior
de esta diapositiva.
https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html

5. Fórmulas básicas de Integración
Fórmula número 1
න 𝒅𝒗 = 𝒗 + 𝑪
Fórmula número 2
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 , 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘 = න 𝒅𝒖 + න 𝒅𝒗 − න 𝒅𝒘
Fórmula número 3
න 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 න 𝒅𝒗
Fórmula número 4
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
Fórmula número 5 Fórmula número 6
න
𝒅𝒗
𝒗
= 𝒍𝒏 𝒗 + 𝑪
Es conveniente
observar que estas
fórmulas son
exactamente las
inversas de las
fórmulas de
derivación 1 a la 5.
La fórmula de
derivación número
uno está implícita en
todas las fórmulas
de integración; se
agrega la constante
de integración: + C.

6. Fórmula número 5
La fórmula de integración número 5, a diferencia de las cuatro
anteriores, requiere verificar que el diferencial esté completo, por lo
que resulta muy útil para evidenciar la relación entre derivación e
integración establecida en el teorema fundamental del cálculo.
A continuación se
resolverán ejercicios de
integración mediante la
fórmula 5, paso a paso,
resaltando la importancia
de completar el
diferencial.
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 |𝒏 ≠ −𝟏
Fórmula número 5

7. Fórmula número 5
La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de 𝒗 es igual a:
𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏, más la
constante de integración C.
Esta fórmula sólo se aplica cuando el exponente es
diferente de menos uno.
La variable 𝒗 suele ser una expresión algebraica o trascendente entre paréntesis, y
dicho signo de agrupación se encuentra elevado a un exponente constante 𝒏.
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪 |𝒏 ≠ −𝟏

8. Fórmula número 5
En esta fórmula se hace notar en
forma particular el hecho de que la
integración es el proceso inverso a la
derivación.
Encontrar la integral de una expresión consiste en determinar la función que se
derivó para obtener el integrando, es decir, la expresión que aparece entre el
integral y el diferencial en la fórmula, debe ser la derivada de una función.
EL proceso de integración nos permite determinar la función original.

9. Fórmula número 5
Esta fórmula se relaciona específicamente con la fórmula de
derivación número 6.

10. Fórmula número 5
Esta fórmula se relaciona específicamente con la fórmula de
derivación número 6.

11. Fórmula número 5 – Ejemplo 1
Resolvamos algunos ejemplos sencillos,
recordando que no importa si el exponente de
la variable es entero, fraccionario, positivo o
negativo, la fórmula se aplica igual.
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 =
Lleva a cabo la siguiente integración.

12. Fórmula número 5 – Ejemplo 1
Para aplicar la fórmula es necesario
“Completar el diferencial”, es decir,
asegurarnos que el diferencial que aparece en
la integral se el diferencial de la variable 𝒅𝒗
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝟑𝒅𝒙
𝒗 = 𝟑𝒙 + 𝟓
𝒅𝒗 = 𝟑𝒅𝒙
Para completar el
diferencial d𝒗 se agrega
el tres que falta y se
“compensa” con un tercio
fuera de la integral.
Las fórmulas de integración deben ser entendidas como
reglas que se aplican solamente si se cumple con todas
sus características, en este caso: Una función 𝒗 debe
estar elevada a un exponente constante 𝒏, y
acompañado del diferencial 𝒅𝒗 de la variable 𝒗

13. Fórmula número 5 – Ejemplo 1
Para aplicar la fórmula es necesario
“Completar el diferencial”, es decir,
asegurarnos que el diferencial que aparece en
la integral se el diferencial de la variable d𝒗
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝟑𝒅𝒙
𝒗 = 𝟑𝒙 + 𝟓
𝒅𝒗 = 𝟑𝒅𝒙
Después de completar el
diferencial 𝒅𝒗 se aplica la
fórmula de integración.
=
𝟏
𝟑
𝟑𝒙 + 𝟓 𝟑
𝟑
+ 𝑪
=
𝟏
𝟗
𝟑𝒙 + 𝟓 𝟑
+ 𝑪
Se aplica la fórmula; al
exponente de la variable se le
suma una unidad y el resultado
se escribe también en el
denominador.
Observa que después de integrar
ya no se escribe el signo de
integral ni diferencial y se agrega
la constante de integración 𝑪.

14. Fórmula número 5 – Ejemplo 1
En seguida se muestra la forma en que deben
resolverse y presentarse los ejercicios de
integración, la claridad y el orden son
importantes.
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
න 𝟑𝒙 + 𝟓 𝟐
𝟑𝒅𝒙
𝒗 = 𝟑𝒙 + 𝟓
𝒅𝒗 = 𝟑𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝟑𝒙 + 𝟓 𝟑
𝟑
+ 𝑪
=
𝟏
𝟗
𝟑𝒙 + 𝟓 𝟑
+ 𝑪
Los ejercicios que el profesor
explica son un modelo que
muestra al alumno la forma en
que se resuelven y anotan los
pasos y procedimientos de
solución de un problema.

15. Fórmula número 5 – Ejemplo 2
En ocasiones la expresión que se va a integrar
requiere ser tratada algebraicamente para que
se ajuste a la fórmula que se va a aplicar.
En el ejemplo, exponentes fraccionarios.
න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
Lleva a cabo la siguiente integración.

16. Fórmula número 5 – Ejemplo 2
La raíz cuadrada puede expresarse como una
potencia fraccionaria igual a un medio.
න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = න 𝟏 − 𝟒𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
Ya se ha “ajustado” la expresión algebraica que se va a integrar a la estructura que la
fórmula número 5 indica.

17. Fórmula número 5 – Ejemplo 2
Ahora se va a verificar y, en caso necesario,
completar el diferencial 𝒅𝒗
න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟒
න 𝟏 − 𝟒𝒙
𝟏
𝟐 (−𝟒)𝒅𝒙
𝒗 = 𝟏 − 𝟒𝒙
𝒅𝒗 = −𝟒 𝒅𝒙
Para completar el
diferencial 𝒅𝒗 se agrega
el menos cuatro que falta
y se “compensa” con
menos un cuarto fuera de
la integral.
Se ha acomodado la integral conforme a la fórmula: Una
función 𝒗 elevada a un exponente constante 𝒏 (en este
caso es fraccionario), y acompañado del diferencial 𝒅𝒗
de la variable 𝒗

18. Fórmula número 5 – Ejemplo 2
Se aplica la fórmula y se simplifica tanto como
sea posible.
න 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟒
න 𝟏 − 𝟒𝒙
𝟏
𝟐 (−𝟒)𝒅𝒙
𝒗 = 𝟏 − 𝟒𝒙
𝒅𝒗 = −𝟒 𝒅𝒙
Después de completar el
diferencial 𝒅𝒗 se aplica la
fórmula de integración y
se simplifica.
= −
𝟏
𝟒
𝟏 − 𝟒𝒙
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
+ 𝑪
= −
𝟏
𝟔
𝟐
𝟏 − 𝟒𝒙 𝟑 + 𝑪

19. Fórmula número 5 – Ejemplo 3
En ocasiones la expresión que se está
integrando “no parece” cumplir con las
características de la fórmula.
න
𝒙 𝒅𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 𝟑
=
Lleva a cabo la siguiente integración.
Podemos ajustar a la fórmula recordando que: Cuando una expresión está en el
denominador puede pasarse al numerador pero con el signo del exponente cambiado.

20. Fórmula número 5 – Ejemplo 3
La expresión dentro del paréntesis no cambia,
solamente se hace negativo el exponente del
paréntesis
න
𝒙 𝒅𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 𝟑
= න 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 −𝟑
𝒙 𝒅𝒙
Ya se ha “ajustado” la expresión algebraica que se va a integrar a la estructura que la
fórmula número 5 indica.
Lleva a cabo la siguiente integración.

21. Fórmula número 5 – Ejemplo 3
Se completa el diferencial, se aplica la fórmula
como en los ejemplos anteriores y se
simplifica algebraicamente.
න
𝒙 𝒅𝒙
𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 𝟑
= −
𝟏
𝟒
න 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 −𝟑
−𝟒 𝒙𝒅𝒙
𝒗 = 𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐
𝒅𝒗 = −𝟒𝒙 𝒅𝒙
Después de integrar, la
expresión con exponente
negativo se regresa al
denominador con
exponente positivo.
= −
𝟏
𝟒
𝟏 − 𝟐𝒙 𝟐 −𝟐
−𝟐
+ 𝑪
=
𝟏
𝟖 𝟏 − 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝑪

22. Otras situaciones en las
que se aplica la fórmula 5
Como habrás observado, la aplicación de la fórmula es muy sencilla, lo que en
ocasiones dificulta el proceso de solución es el procesamiento algebraico para
preparar la integral y completar el diferencial. A continuación veremos otros
casos en los que se emplean artificios algebraicos para ajustar a la fórmula 5.

23. Fórmula número 5 – Ejemplo 4
En estos ejemplos solamente se anotará el
procedimiento y resultado sin explicaciones
detalladas.
න
𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝟏 − 𝒙 𝟑
= −
𝟏
𝟑
න 𝟏 − 𝒙 𝟑 −
𝟏
𝟐 −𝟑 𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝒗 = 𝟏 − 𝒙 𝟑
𝒅𝒗 = −𝟑𝒙 𝟐
𝒅𝒙
Se completa el
diferencial, se
aplican las
fórmulas de
integración y se
simplifica.
= −
𝟏
𝟑
𝟏 − 𝒙 𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
+ 𝑪
= −
𝟐
𝟑
𝟏 − 𝒙 𝟑 + 𝑪

24. Fórmula número 5 – Ejemplo 5
La fórmula de integración es la misma que
en los ejemplos anteriores, pero el
procesamiento algebraico es diferente.
න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙
𝟑
𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟔
න 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙
𝟑
−𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙
𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟔 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝟔 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = −𝟔 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
Para completar el diferencial se
utilizó el factor común (6) y se
cambió el signo (-6).
= −
𝟏
𝟔
𝟐𝒙 𝟑
− 𝟔𝒙
𝟒
𝟒
+ 𝑪
= −
𝟏
𝟐𝟒
𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙
𝟒
+ 𝑪

25. Otras aplicaciones de la
fórmula 5
Existen muchos otros ejemplos en los que se emplea la fórmula 5,
consideramos que los ejemplos explicados constituyen una muestra que resalta
la importancia que el álgebra tiene en el proceso de integración.

26. GraciasPor su atención
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