Integration by Change of Variable Integración por Cambio de Variable

1. Integración por cambio de variable
G. Edgar Mata Ortiz
La mayor parte de los problemas de integración no
pueden resolverse mediante las fórmulas usuales,
casi siempre es necesario recurrir a alguno de los
muchos métodos y técnicas de integración.
Como parte del conocimiento de estos métodos
contamos con una presentación en la que se
explica, paso a paso, el procedimiento para
integrar por cambio de variable
En dicho material se incluye una detallada
explicación de la forma en que se identifican los
componentes de la fórmula y cómo se aplican.
Enlace a la presentación:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/methods-of-integration-2-integration-by.html
Es conveniente revisar la presentación para lograr una mejor comprensión del procedimiento. Se resuelve el
ejemplo:
∫ 𝑥√𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
Podemos observar que no es posible resolverlo mediante ninguna fórmula del
formulario de matemáticas básicas que se encuentra en el enlace:
https://licmata-formulae.blogspot.com/2020/01/formulario-de-matematicas-2020.html
En vez de dicha fórmula se emplea la integración por cambio de variable.
Integración por cambio de variable, ejemplo.
En muchas integrales es evidente que no contamos con ninguna fórmula para
resolverlas, entonces recurrimos a los métodos y técnicas de integración, como el cambio de variable.
∫
𝑥2
√1 + 2𝑥
3 𝑑𝑥 =
En primer lugar, observamos que no disponemos de ninguna fórmula para integrar raíces cúbicas, por ello, es
necesario efectuar un cambio de variable.
EL cambio de variable se elige de modo que simplifique la expresión, generalmente se trata de eliminar raíces.
𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝒕 𝟑
permite eliminar la raíz cúbica, falta determinar los demás componentes de la integral:
𝟐𝒙 = 𝒕 𝟑
− 𝟏 ∴ 𝒙 =
𝒕 𝟑
− 𝟏
𝟐
→ 𝒅𝒙 =
𝟑𝒕 𝟐
𝟐
𝒅𝒕

2. Estos resultados se sustituyen en el problema para obtener una integral en la que no aparece ninguna raíz
cúbica.
∫
𝑥2
√1 + 2𝑥
3 𝑑𝑥 = ∫
(
𝑡3
− 1
2
)
2
√𝑡33 ∙
3𝑡2
2
𝑑𝑡
A simple vista da la impresión de que, lejos de mejorar, la integral que obtuvimos es aún más difícil que la que
teníamos originalmente. Sin embargo, vamos a simplificar:
∫
(
𝑡3
− 1
2
)
2
√𝑡33 ∙
𝟑𝑡2
𝟐
𝑑𝑡 =
𝟑
𝟐
∫
(
𝑡3
− 1
2
)
2
𝒕
∙ 𝒕 𝟐
𝑑𝑡
=
3
2
∫ (
𝑡3
− 1
2
)
2
∙ 𝒕 𝑑𝑡
=
3
2
∫ (
𝑡6
− 2𝑡3
+ 1
4
) ∙ 𝑡 𝑑𝑡
=
3
2
∙
1
4
∫( 𝑡6
− 2𝑡3
+ 1) ∙ 𝑡 𝑑𝑡
=
3
8
∫( 𝑡7
− 2𝑡4
+ 𝑡) 𝑑𝑡
=
3
8
(
𝑡8
8
− 2
𝑡5
5
+
𝑡2
2
) + 𝐶
=
3
64
𝑡8
−
3
20
𝑡5
+
3
16
𝑡2
+ 𝐶
El tres medios es una constante y
se puede sacar de la integral.
La raíz cúbica se elimina con el
exponente tres.
Se simplifica t cuadrada entre t.
Se eleva al cuadrado todo lo que
está en el paréntesis:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuatro que está dividiendo se
saca de la integral como un
cuarto.
Se multiplican las fracciones, y la t por
cada uno de los términos del trinomio
cuadrado perfecto
Se aplica la fórmula número dos del
formulario de matemáticas básicas.
Se multiplica la fracción que está fuera
del paréntesis por los tres términos del
polinomio y se expresa cada fracción
como coeficientes de las variables.

3. Hemos resuelto la integral, pero mediante una variable que no es la que teníamos al principio, vamos a
sustituir la variable t, por su valor establecido al principio:
𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝒕 𝟑
∴ 𝒕 𝟑
= 𝟐𝒙 + 𝟏 → 𝒕 = √𝟐𝒙 + 𝟏
𝟑
∫
𝑥2
√1 + 2𝑥
3 𝑑𝑥 = =
3
64
(√1 + 2𝑥
3
)
8
−
3
20
(√1 + 2𝑥
3
)
5
+
3
16
(√1 + 2𝑥
3
)
2
+ 𝐶
Finalmente se aplican propiedades de los exponentes (que también se encuentran en el formulario).
∫
𝑥2
√1 + 2𝑥
3 𝑑𝑥 = =
3
64
(√1 + 2𝑥
3
)
6
(√1 + 2𝑥
3
)
2
−
3
20
(√1 + 2𝑥
3
)
3
(√1 + 2𝑥
3
)
2
+
3
16
(√1 + 2𝑥
3
)
2
+ 𝐶
∫
𝑥2
√1 + 2𝑥
3 𝑑𝑥 = =
3
64
(1 + 2𝑥)2
(√1 + 2𝑥
3
)
2
−
3
20
(1 + 2𝑥)(√1 + 2𝑥
3
)
2
+
3
16
(√1 + 2𝑥
3
)
2
+ 𝐶
Esta última expresión es el resultado del problema.