Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método involucra calcular determinantes para cada incógnita y usarlos para determinar los valores de las incógnitas que satisfacen el sistema. Se presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando el método de Cramer.

1. Método de Cramer
G. Edgar Mata Ortiz

2. Método de Cramer
G. Edgar Mata Ortiz

4. Las ecuaciones lineales
Una ecuación lineal se caracteriza porque sus incógnitas
están elevadas a una potencia unitaria.
No contiene funciones trascendentes como logaritmo,
seno o coseno, entre otras.
Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más
ecuaciones, generalmente con el mismo número de
incógnitas.
𝟐𝒙 𝟏 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 𝟑 = 𝟓
𝟑𝒙 𝟏 − 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟑 = −𝟏
−𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 𝟑 = 𝟐

5. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
La solución de un sistema de ecuaciones
lineales está formada por los valores de
las incógnitas que, al mismo tiempo,
hacen verdaderas a todas las ecuaciones
que forman el sistema.
Se puede comprobar si la solución
obtenida es correcta sustituyendo los
valores obtenidos en todas las ecuaciones:
Si se obtienen identidades, la solución es
correcta.
𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟗𝒛 = 𝟏𝟖
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟕
𝒙 = −𝟏
𝒚 = −𝟐
𝒛 = 𝟏
Soluciones
𝟑(−𝟏) − 𝟔(−𝟐) + 𝟗(𝟏) = 𝟏𝟖
𝟐(−𝟏) − 𝟒(−𝟐) + 𝟓(𝟏) = 𝟏𝟏
−𝟑(−𝟏) − 𝟒(−𝟐) + 𝟔(𝟏) = 𝟏𝟕

6. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
No todos los sistemas de
ecuaciones tiene solución, y
cuando la tienen, no siempre es
solución única.
Existen diferentes métodos de
solución de sistemas de ecuaciones
lineales:
Método gráfico
Métodos algebraicos
Métodos lineales
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟎
−𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟕
EL sistema no tiene solución
porque las ecuaciones uno y dos
son múltiplo una de la otra
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
por dos es igual a:
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟎

7. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Sin importar cuál método se
elija para resolver un sistema de
ecuaciones, la solución será la
misma.
Método gráfico
Métodos algebraicos
Métodos lineales
A veces es preferible un método
de solución, en otras ocasiones
no es posible emplear algún
método en particular, por ello,
es necesario conocer diferentes
métodos y elegir el que mejor
responde a las necesidades
específicas de cada problema.
En este material estudiaremos
el método de Cramer o método
por determinantes.

8. El método de Cramer
Este método tiene la ventaja de ser puramente mecánico, por lo que
resulta muy sencillo de recordar y, lo que es más importante, puede
ser programado con gran facilidad para que una computadora lo
resuelva, incluso puede elaborarse una hoja de cálculo en Excel que
resuelva un sistema y vaya mostrando el procedimiento.

9. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones por el método de Cramer
+3𝑥1 − 6𝑥2 + 9𝑥3 = +18
+2𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 = +11
−3𝑥1 − 4𝑥2 + 6𝑥3 = +17

10. Observarás que el proceso de resolución del
ejemplo se llevó a cabo en Excel

11. Inicio del proceso: El Determinante Principal
Al igual que en el método de Gauss, vamos a omitir las incógnitas y
tomaremos solamente sus coeficientes, a diferencia del método de
Gauss, por ahora no se emplean los términos independientes

12. Calcular el valor del Determinante Principal
Existen varias formas de calcular el determinante principal, una de ellas
consiste en agregar, a la derecha, las dos primeras columnas del mismo
determinante.

13. Calcular el valor del Determinante Principal
Ahora se multiplica en diagonal, como se muestra en la figura, y se
anotan los resultados de dichas multiplicaciones.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
-72

14. Calcular el valor del Determinante Principal
Ahora se multiplica en diagonal, como se muestra en la figura, y se
anotan los resultados de dichas multiplicaciones.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
-72 +90

15. Calcular el valor del Determinante Principal
Ahora se multiplica en diagonal, como se muestra en la figura, y se
anotan los resultados de dichas multiplicaciones.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
-72 +90 -72

16. Calcular el valor del Determinante Principal
En esta ocasión se multiplica de derecha a izquierda y se cambia el
signo de los resultados.
-108

17. Calcular el valor del Determinante Principal
En esta ocasión se multiplica de derecha a izquierda y se cambia el
signo de los resultados.
-108
+60

18. Calcular el valor del Determinante Principal
En esta ocasión se multiplica de derecha a izquierda y se cambia el
signo de los resultados.
-108
+60 +72

19. Procedimiento y presentación del resultado
La forma en la que se ha mostrado el procedimiento hasta ahora, tiene
la finalidad de explicar, pero en realidad se presenta como se muestra:
Naturalmente las flechas de color que señalan las multiplicaciones que se va a realizar son
opcionales, pero se recomienda emplearlas para facilitar la identificación de los factores de cada
producto.

20. Obtención de los otros tres determinantes, uno por
cada incógnita.
El método de Cramer requiere que se construya y calcule un
determinante por cada incógnita, veamos el caso de x1.
Como se observa,
la columna que
contiene los
coeficientes de la
incógnita x1 es
sustituida por los
términos
independientes.

21. Al igual que con el determinante principal, se duplican las primeras dos
columnas para facilitar las multiplicaciones en diagonal.
Cálculo del determinante para equis uno.
+ 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
Determinante para x1 Una vez duplicadas las primeras
dos columnas se procede a
efectuar las multiplicaciones. Es
importante tener presente que los
resultados de las tres
multiplicaciones de “derecha a
izquierda” cambian de signo.

22. Cálculo del determinante para equis uno.
El procedimiento para calcular el valor de cualquier determinante es el
mismo, veamos el caso de x1.
Efectúa las multiplicaciones para practicar el procedimiento y aprender cuáles son los tres
resultados que cambian de signo.

23. Obtención del determinante para la segunda incógnita.
En este caso, la columna con los coeficientes de x2 será la que se
cambiará por los términos independientes.
Como se observa, el
determinante
principal es
modificado,
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes de x2.

24. Al igual que con el determinante principal y el de equis uno, se duplican
las primeras dos columnas para facilitar las multiplicaciones en
diagonal.
Cálculo del determinante para equis dos.
Efectúa las multiplicaciones y
compara tus resultados con la
siguiente diapositiva.+ 3 + 18 + 9 + 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11
- 3 + 17 + 6 - 3 + 17
Determinante para x2

25. Cálculo del determinante para equis dos.
Ahora vamos a calcular el determinante para x2.
Efectúa las multiplicaciones respetando las leyes de los signos, sólo en las últimas tres operaciones
cambia el signo del resultado.

26. Obtención del determinante para la tercera incógnita.
En este caso, la columna con los coeficientes de x3 será la que se
cambiará por los términos independientes.
En este caso, el
determinante
principal es
modificado
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes de x3

27. Al igual que con el determinante principal, el de equis uno y el de equis
dos, se duplican las primeras dos columnas para facilitar las
multiplicaciones en diagonal.
Cálculo del determinante para equis tres.
Al efectuar las multiplicaciones
recuerda cuáles resultados
cambian de signo.+ 3 - 6 + 18 + 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4
- 3 - 4 + 17 - 3 - 4
Determinante para x3

28. Cálculo del determinante para equis tres.
Ahora vamos a calcular el determinante para x3.
Ya se han calculado los valores de los cuatro determinantes: DP, Dx1, Dx2 y Dx3.

29. Valores de los determinantes
Hemos calculado los valores de los cuatro determinantes.
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4 = - 30
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
Determinante principal
+ 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4 = + 30
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
Determinante para x1
+ 3 + 18 + 9 + 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11 = + 60
- 3 + 17 + 6 - 3 + 17
Determinante para x2
+ 3 - 6 + 18 + 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4 = - 30
- 3 - 4 + 17 - 3 - 4
Determinante para x3

30. Valores de las incógnitas
Los valores de los cuatro determinantes se sustituyen en las siguientes
fórmulas para calcular los valores de las incógnitas.
1
1
2
2
3
3
x
P
x
P
x
P
D
x
D
D
x
D
D
x
D
=
=
=

31. Valores de las incógnitas
Sustituciones y resultados
1
1
2
2
3
3
x
P
x
P
x
P
D
x
D
D
x
D
D
x
D
=
=
=
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5 = - 30
- 3 - 4 + 6
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5 = + 30
+ 17 - 4 + 6
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5 = + 60
- 3 + 17 + 6
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11 = - 30
- 3 - 4 + 17
Determinante principal
Determinante para x1
Determinante para x2
Determinante para x3
1 1
2 2
3 3
30
1
30
60
2
30
30
1
30
x x
x x
x x
=  = −
−
=  = −
−
−
=  = +
−

32. Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tres identidades.
1 1
2 2
3 3
30
1
30
60
2
30
30
1
30
x x
x x
x x
=  = −
−
=  = −
−
−
=  = +
−
+ 3 (-1) - 6 (-2) + 9 (1) = + 18
= + 18
= + 18+ 18
+ 12- 3 + 9
+ 2 (-1) - 4 (-2) + 5 (1) = + 11
= + 11
= + 11
+ 5
+ 11
- 2 + 8
- 3 (-1) - 4 (-2) + 6 (1) = + 17
= + 17
= + 17
+ 6
+ 17
+ 3 + 8

33. Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tres identidades.
1 1
2 2
3 3
30
1
30
60
2
30
30
1
30
x x
x x
x x
=  = −
−
=  = −
−
−
=  = +
−
+ 3 (-1) - 6 (-2) + 9 (1) = + 18
= + 18
= + 18+ 18
+ 12- 3 + 9
+ 2 (-1) - 4 (-2) + 5 (1) = + 11
= + 11
= + 11
+ 5
+ 11
- 2 + 8
- 3 (-1) - 4 (-2) + 6 (1) = + 17
= + 17
= + 17
+ 6
+ 17
+ 3 + 8
Podemos observar
que, en las tres
ecuaciones se
obtuvieron
identidades, por lo
tanto, los
resultados con
correctos.

34. Por su atención
Gracias
Fuentes de información en línea:
http://licmata-math.blogspot.mx/
https://www.facebook.com/licemata
https://www.linkedin.com/in/licmata
http://www.slideshare.net/licmata
Twitter @licemata