De Möivre Theorem Teorema de De Möivre

1. Potencias y Raíces de Números
Complejos.
G. Edgar Mata Ortiz

2. Representación de un número complejo
Los números complejos generalmente se representan en forma binómica:

3. Representación de un número complejo
La forma binómica del número complejo es útil para efectuar las
operaciones aritméticas básicas; suma, resta multiplicación y división.

4. Representación de un número complejo
Para elevar un número complejo a una potencia, o
extraer raíces cuadradas, se emplea el Teorema de
Möivre, el cuál requiere que el número esté expresado
en forma trigonométrica.

5. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Para comprender mejor el
proceso que nos permite
convertir la expresión de un
número complejo de la
forma binómica a la forma
trigonométrica debemos
recordar el plano complejo.

6. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está
expresado en forma binómica.

7. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está expresado
en forma binómica.
Debe convertirse a la forma
trigonométrica

8. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Originalmente el número está expresado en forma
binómica.
Debe convertirse a la forma
trigonométrica
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽

9. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
Esta conversión se efectúa
mediante dos fórmulas

10. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂

11. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores
de r y q a partir de a y b.
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂

12. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Expresar el número:
En forma trigonométrica
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟒𝟓
𝟐𝟖
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2

13. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
Expresar el número:
En forma trigonométrica
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟒𝟓
𝟐𝟖
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓
𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗
𝒓 = 53
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕
𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒

14. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)

15. Conversión de la forma binómica a la forma
trigonométrica
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 53 𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
Forma binómica
Forma trigonométrica
𝒛 = 𝟓𝟑 𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟒𝟔𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟖𝟗𝟓𝟐𝒊

16. Potencia de Números Complejos.

17. Potencia de Números Complejos.
Para elevar un número
complejo a una
potencia entera se
aplica el Teorema de:
De Möivre

18. Teorema de: De Möivre
Una vez convertido el número a+bi a la forma
trigonométrica, podemos aplicar el Teorema:

19. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:

20. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Elevar el número z =28+45i al cuadrado:

21. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Elevar el número z =28+45i, al cuadrado:

22. Potencia de Números Complejos.
Puede parecer muy complicado convertir primero a la forma
trigonométrica y luego aplicar el teorema de De Möivre, sin embargo,
este método es muestra su utilidad cuando se eleva a potencias muy
grandes. Por ejemplo:
Eleva z =1–i, a la décima potencia.

23. Potencia de Números Complejos.
𝑎 = 1
𝑏 = −1
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂

24. Potencia de Números Complejos.
𝑎 = 1
𝑏 = −1
𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2
𝒓 = 𝟏 + 𝟏
𝒓 = 𝟐
𝒓 = 1.4142

25. Potencia de Números Complejos.
𝑎 = 1
𝑏 = −1
𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2
𝒓 = 𝟏 + 𝟏
𝒓 = 𝟐
𝒓 = 1.4142
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝟏
𝟏
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(−𝟏)
𝜽 = −𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟑

26. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Elevar el número z =1-i, a la décima potencia:
*Revisar las funciones trigonométricas de ángulos múltiplos para simplificar el argumento del seno
y coseno.
𝑧 = 1.4142 cos −0.7853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(−0.7853)
𝑧10
= (1.4142)10
cos10 −0.7853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛10(−0.7853)
𝑧10
= 32 cos −7.853 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (−7.853)

27. Raíces de Números Complejos.

28. Raíces de Números Complejos.
Para obtener la raíz
cuadrada, cúbica o
enésima, también
se aplica el
Teorema de:
De Möivre

29. Teorema de: De Möivre
Una vez convertido el número a+bi a la forma
trigonométrica, podemos aplicar el teorema,
escribiendo la raíz como una potencia
fraccionaria.

30. Teorema de: De Möivre
Una vez convertido el número a+bi a la forma
trigonométrica, podemos aplicar el teorema,
escribiendo la raíz como una potencia fraccionaria y,
tomando en cuenta que las funciones
trigonométricas son periódicas, realizar un ajuste en
a fórmula.

31. Teorema de: De Möivre
El ajuste en la fórmula consiste en agregar la
periodicidad como se muestra:

32. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

33. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

34. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

35. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 1. Convertir a la forma trigonométrica.

36. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

37. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

38. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

39. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La primera de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟎

40. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

41. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La segunda de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟏

42. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.

43. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Paso 2. Sustituir en la fórmula de De Möivre.
La tercera de las tres soluciones es:
𝐤 = 𝟐

44. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Las tres soluciones en forma trigonométrica son:

45. Teorema de: De Möivre
Ejemplo: Obtener la raíz cúbica de: 2 + i
Las tres soluciones en forma binómica son:

46. Gracias por su atención.
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