Aplicaciones de la Circunferencia Circumference Applications

1. G. Edgar Mata Ortiz

2. Contenido
Problemas de
razonamiento01 Las cónicas
02
Ecuación de la
circunferencia
03 Ejemplo04
Math Model

3. Problemas de razonamiento
Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones
de la matemática a diferentes situaciones de la vida
real y/o profesional.

4. Problemas de razonamiento
En el presente documento se plantea un tema relacionado con
la vida profesional; el uso de la matemática para determinar la
distribución física de un sistema mecánico.

5. Problemas de razonamiento
La solución de un problema de
razonamiento requiere de un
proceso de “modelado” o
representación de la situación
real en términos de variables y
relaciones matemáticas

6. Problemas de razonamiento
Modelado

7. Las cónicas.
The Conics
Reciben este nombre el conjunto
de curvas que se forman cuando
un cono de dos hojas es cortado
por un plano en diferentes
ángulos, como se muestra en la
figura.

8. Las cónicas.
The Conics
En esta presentación se va a
utilizar una de estas curvas:
La circunferencia

9. Circunferencia
Con la finalidad de que el problema planteado pueda
resolverse mediante la ecuación de la circunferencia
es necesario establecer algunos postulados:
1. Ambas variables son de segundo grado
2. Se asume que las relaciones entre la variable
independiente (x) y la dependiente (y) es de
segundo grado
The Conics

10. Centro y radio de una circunferencia
Al resolver un problema de razonamiento es necesario
emplear conocimientos de la disciplina o ciencia a la
que pertenece el problema que se resolverá: Física,
economía, finanzas, química, termodinámica, entre
muchas otras.

11. Propiedades de la Circunferencia
El conocimiento necesario para resolver este problema es el
centro y radio de una circunferencia. Para obtener estos valores
es necesario expresar la ecuación de la circunferencia en forma
canónica.
C(h, k)
r
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2

12. Ejemplo
Una buena forma de aprender es mediante ejemplos.
En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de
razonamiento mostrando detalladamente cada paso del
proceso.

13. Ejemplo
Es necesario realizar una
perforación para colocar la polea
que transmitirá el movimiento
mediante una banda como se
muestra en la figura. Para
simplificar los cálculos se han
expresado las dimensiones en
coordenadas rectangulares.
Todas las medidas están en pulgadas.
Primera Parte
B(4.NE, 10.NL)
C(7.NE, 12.NL)
A(3.NL, 5.NE)

14. Ejemplo
Utiliza los puntos A, B y C para
determinar la ecuación de la
circunferencia que nos indicará las
coordenadas del centro, donde se
realizará la perforación, y el radio
de la polea que se deberá utilizar.
NL = Número de Lista
NE = Número de Equipo
Primera Parte
B(4.NE, 10.NL)
C(7.NE, 12.NL)
A(3.NL, 5.NE)

15. Ejemplo
Después de haber realizado el
trabajo con las coordenadas
proporcionadas al principio, se
encontró que el equipo presentaba
problemas diversos, por lo que se
tuvo que modificar con base en
estas nuevas coordenadas.
Segunda Parte
B(5.NE, 10.NL)
C(8.NE, 13.NE)
A(4.NL, 6.NE)

16. Ejemplo
Utiliza los nuevos puntos A, B y C
para determinar la ecuación de la
circunferencia que nos indicará las
coordenadas del centro, donde se
realizará la perforación, y el radio
de la polea que se deberá utilizar.
Segunda Parte
B(5.NE, 10.NL)
C(8.NE, 13.NE)
A(4.NL, 6.NE)

17. Ejemplo
Después de cambiar las
dimensiones con base en las
nuevas coordenadas se decidió
reducir el radio de la polea en una
pulgada.
Determina la nueva ecuación de la
circunferencia en forma canónica
y en forma general.
Tercera Parte
B(5.NE, 10.NL)
C(8.NE, 13.NE)
A(4.NL, 6.NE)

18. Problemas de
razonamiento
Solución

19. Problemas de razonamiento
En realidad, se deben resolver tres problemas
independientes.

20. Tres problemas independientes
01
Determinar centro
y radio de una
circunferencia
dados tres puntos
02
Determinar centro
y radio de una
circunferencia
dados tres puntos
03
Determinar
ecuación de una
circunferencia
dados el centro y
radio
B(4.NE, 10.NL)
C(7.NE, 12.NL)
A(3.NL, 5.NE)
B(5.NE, 10.NL)
C(8.NE, 13.NE)
A(4.NL, 6.NE) 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐(𝒉, 𝒌)
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = 𝒓

21. Resolver la primera parte del problema
Utiliza los puntos A, B y C para
determinar la ecuación de la
circunferencia que nos indicará las
coordenadas del centro, donde se
realizará la perforación, y el radio de la
polea que se deberá utilizar.
NL = Número de Lista
NE = Número de Equipo
01
Determinar centro
y radio de una
circunferencia
dados tres puntos
B(4.NE, 10.NL)
C(7.NE, 12.NL)
A(3.NL, 5.NE)

22. Resolver la primera parte del problema
El primer paso consiste en
comprender el problema
Comprender
el problema
Identificar
cantidades
desconocidas
Datos
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas
Preguntas

23. Resolver la primera parte del problema
Las cantidades desconocidas son tres:
1. Coordenada equis del centro de la circunferencia
2. Coordenada ye del centro de la circunferencia
3. Radio de la circunferencia
Identificar
cantidades
desconocidas

24. Resolver la primera parte del problema
Los datos disponibles son las coordenadas de tres puntos por
los que pasa la circunferencia
Datos
B(4.NE, 10.NL) C(7.NE, 12.NL)A(3.NL, 5.NE)

25. Resolver la primera parte del problema
Para establecer la relación entre las
cantidades desconocidas vamos a
trazar la gráfica con los tres puntos que
se proporcionan como datos. Se toma
NL = 0 y NE = 0 como ejemplo
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas

26. Resolver la primera parte del problema
Con base en la gráfica podemos
postular que la relación entre las
cantidades desconocidas está dada
por la ecuación de una
circunferencia.
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas

27. Resolver la primera parte del problema
Solamente nos preguntan tres valores:
Centro y radio de la circunferencia
Preguntas

28. Resumen del primer paso
Identificar las cantidades desconocidas
Datos disponibles
Relaciones entre cantidades desconocidas y datos
¿Qué es lo que nos preguntan?
Centro y radio de la circunferencia
Las coordenadas de tres puntos
Hemos postulado que la relación entre las cantidades
desconocidas está dada por la ecuación de la circunferencia
Centro y radio de la circunferencia

29. Resumen del primer paso
Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner
por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema.
Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier
persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del
problema.

30. Resolver la primera parte del problema
El segundo paso consiste en
expresar algebraicamente las
cantidades desconocidas,
datos, y sus relaciones.
Expresar en
el lenguaje
del álgebra
Incógnita “x”
Relaciones
x,y
Incógnita “y”
Otras
relacionesx,y

31. Resolver la primera parte del problema
Naturalmente este segundo paso toma como base la
información generada en el primer paso: cantidades
desconocidas, datos y relaciones que serán expresadas
como una la ecuación de una circunferencia

32. Resolver la primera parte del problema
Vamos a anotar esta segunda parte en una tabla con la
finalidad de que podamos comunicar mejor el proceso de
solución a otras personas.

33. Resolver la primera parte del problema
La tabla contendrá las
cantidades
desconocidas, sus
interrelaciones, y su
expresión algebraica.
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica

34. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica
Coordenada equis
del centro de la
circunferencia
Incógnita h
Puede haber más de una incógnita

35. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica
Coordenada equis
del centro de la
circunferencia
Incógnita h
Coordenada ye del
centro de la
circunferencia
Segunda incógnita k

36. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información disponible
y/o interrelaciones
Expresión algebraica
Coordenada equis del
centro de la
circunferencia
Incógnita h
Coordenada ye del
centro de la
circunferencia
Segunda incógnita k
Radio de la
circunferencia
Tercera incógnita r

37. Resumen del segundo paso
Este segundo
paso fue,
sencillamente,
una traducción
del lenguaje
natural al
algebraico.
TRADUCCIÓN
Lenguaje natural Lenguaje
algebraico

38. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso consiste en obtener
las ecuaciones que relacionan las
incógnitas y los datos.
𝒚 = 𝒇(𝒙)

39. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso
consiste en obtener
las ecuaciones que
relacionan las
incógnitas y los
datos.
Para efectuar el tercer paso debemos recurrir a
información o conocimientos adicionales a los que el
problema presenta, en este caso, la forma de determinar la
ecuación de una circunferencia dados tres puntos.

40. El tercer paso consiste en encontrar la ecuación de la
circunferencia:
Sabemos que la forma general de la ecuación de la
circunferencia es:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Encontramos tres cantidades desconocidas diferentes:
𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶
Resolver la primera parte del problema

41. Resumen del tercer paso
La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún
dato del problema o una combinación de las dos cosas.
En este caso vamos a utilizar conocimientos de geometría analítica:
“Si un punto pertenece a una curva, entonces debe cumplir con su
ecuación”
𝒚 = 𝒇(𝒙)

42. Obtener la ecuación de la circunferencia
Vamos a sustituir las coordenadas de los tres puntos en la forma general
de la ecuación de la circunferencia:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝒚 = 𝒇(𝒙)
A(3, 5) B(4, 10) C(7, 12)

43. Obtener la ecuación de la circunferencia
Comenzamos con el primer punto:
(3)2
+(5)2
+𝐴(3) + 𝐵(5) + 𝐶 = 0
A(3, 5)
3𝐴 + 5𝐵 + 𝐶 + 34 = 0
3𝐴 + 5𝐵 + 𝐶 = −34

44. Obtener la ecuación de la circunferencia
Comenzamos con el primer punto:
(4)2
+(10)2
+𝐴(4) + 𝐵(10) + 𝐶 = 0
B(4, 10)
4𝐴 + 10𝐵 + 𝐶 + 116 = 0
4𝐴 + 10𝐵 + 𝐶 = −116

45. Obtener la ecuación de la circunferencia
Comenzamos con el primer punto:
(7)2
+(12)2
+𝐴(7) + 𝐵(12) + 𝐶 = 0
C(7, 12)
7𝐴 + 12𝐵 + 𝐶 + 193 = 0
7𝐴 + 12𝐵 + 𝐶 = −193

46. Obtener la ecuación de la circunferencia
Después de sustituir las coordenadas de los tres puntos obtenemos un:
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
3𝐴 + 5𝐵 + 𝐶 = −34
4𝐴 + 10𝐵 + 𝐶 = −116
7𝐴 + 12𝐵 + 𝐶 = −193

47. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan

48. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan
En este ejemplo
emplearemos el
método de Cramer.

49. Resolver la primera parte del problema
El método de Cramer no es el más eficiente, requiere efectuar
demasiadas operaciones aritméticas por lo que, generalmente
se prefiere el método de Gauss.
Sin embargo, empleando las tecnologías de la información y
comunicación, es muy sencillo generar una hoja de Excel que
resuelva un sistema de 3x3, incluso es posible incluir los pasos.
En caso de que requerir mayor información acerca del método
de Cramer se encuentra una presentación en el siguiente
enlace:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/cramer-method-2020.html

50. Determinantes
+ 3 + 5 + 1 + 3 + 5
DP = + 4 + 10 + 1 + 4 + 10 = + 30 + 35 + 48 - 70 - 36 - 20 = - 13
+ 7 + 12 + 1 + 7 + 12
- 34 + 5 + 1 - 34 + 5
DA = - 116 + 10 + 1 - 116 + 10 = - 340 - 965 - 1392 + 1930 + 408 + 580 = + 221
- 193 + 12 + 1 - 193 + 12
+ 3 - 34 + 1 + 3 - 34
DB = + 4 - 116 + 1 + 4 - 116 = - 348 - 238 - 772 + 812 + 579 + 136 = + 169
+ 7 - 193 + 1 + 7 - 193
+ 3 + 5 - 34 + 3 + 5
DC = + 4 + 10 - 116 + 4 + 10 = - 5790 - 4060 - 1632 + 2380 + 4176 + 3860 = - 1066
+ 7 + 12 - 193 + 7 + 12

51. Valores de las incógnitas
+ 3 A + 5 B + 1 C = - 34
+ 4 A + 10 B + 1 C = - 116
+ 7 A + 12 B + 1 C = - 193
A = - 17.00
B = - 13.00
C = + 82.00

52. Ecuación de la circunferencia
+ 3 A + 5 B + 1 C = - 34
+ 4 A + 10 B + 1 C = - 116
+ 7 A + 12 B + 1 C = - 193
A = - 17.00
B = - 13.00
C = + 82.00
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 17𝑥 − 13𝑦 + 82 = 0
Sustituimos los valores de las
incógnitas en la ecuación.
EL resultado es la forma
general de la ecuación de la
circunferencia.

53. Convertir de la forma general a la forma canónica

54. Convertir a la forma canónica

55. Convertir a la forma canónica

56. Convertir a la forma canónica

57. Convertir a la forma canónica

58. Trazar la gráfica

59. Gracias
Por su atención
licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata