3. Introducción
El trabajo matemático muchas veces nos presenta expresiones
compuestas por polinomios, que pueden ser extensos. Al convertir un
polinomio en una expresión con factores (factorizar) podremos
simplificarlo cuando se encuentre en una expresión racional , reduciendo
ésta última a una mínima expresión.
Objetivo de la factorización
Al final de este capítulo, el estudiante estará en capacidad de convertir en
factores la mayor parte de los polinomios, usando los diferentes casos
que existen para ello.
4. FACTORIZACIÓN
Competencia
Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus
propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones
problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas
utilizando las propiedades y operaciones algebraicas.
6. Conocimientos previos
Para afrontar el tema de factorización es preciso tener conocimientos
fuertes de los productos notables y haberse ejercitado suficientemente
mediante la realización de ejercicios.
Adicionalmente se requiere tener conocimientos, habilidades y destrezas
en:
- Operaciones con los Conjuntos Numéricos
- Propiedades de las operaciones de los Conjuntos Numéricos
- Expresiones algebraicas y polinomios
7. Justificación
En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al
planteamiento de ecuaciones, como movimiento parabólico en física,
problemas de utilidad en economía, diseño y construcción de
estructuras ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario
encontrar raíces o soluciones y una manera de encontrar esas raíces
es aplicar procesos de factorización a los polinomios asociados a
estas ecuaciones.
Igualmente la factorización permite realizar simplificaciones y
reducción a mínimas expresiones, lo que hace menos engorrosas las
derivadas y las integrales en cálculo.
8. 1. Factor común monomio
Resulta cuando el factor común de todos los términos del polinomio es
un monomio.
Ejemplo:
Factorizar: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1)
Vemos como 2 y x2 están multiplicando en ambos términos, por lo
tanto 2x2 sale como factor común:
4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1)
Recordar y repasar: El término 2x2 es el Máximo Común Divisor
(MCD) de los dos términos
9. 2. Factor común polinomio
Resulta cuando el factor común que aparece es un polinomio.
Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo.
Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3)
Vemos como (x + 3) está multiplicando en ambos términos [tanto a a
como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor común:
a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)
10. Ejemplo:
Factorizar:
ax + bx + aw + bw
Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)
Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)
Nos quedó factor común polinomio: (a + b)
x(a + b) + w(a + b)
Luego se divide :
x a+b + w a+b
= x+w
a+b
Por lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
11. Ejemplo:
Factorizar: 2a2 + 4a – 8b – 4ab
Por observación agrupamos: ( 2a2 – 4ab ) + ( 4a – 8b )
En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a – 2b)
Resulta un factor común polinomio: (a – 2b)
2a(a – 2b) + 4(a – 2b)
Luego se divide:
2a a - 2b + 4 a - 2b
=2a + 4
a - 2b
Por lo tanto: 2a2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4)
12. 3. Factorizar un Binomio de la forma: xn
yn.
3.1 Factorizar la diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se
obtiene:
(a + b)(a - b) = a2 - b2.
Recíprocamente, se puede escribir:
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma
de sus raíces cuadradas por su diferencia.
Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes:
9x2 – 16y2 = (3x)2 - (4y)2 = (3x + 4y)(3x – 4y)
(7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 – 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7).
13. 3.2 Factorizar de la suma de dos cubos.
Del producto notable:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3,
se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).
La suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas
de esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia.
Ejemplo. Factorizar:
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2
14. 3.3 Factorizar de la diferencia de dos cubos.
Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable:
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
se obtiene inversamente:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las raíces
cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma.
Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3
125a3 - b3c3
= (5a)2 - (bc)2
= (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2)
= (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2)
15. 4. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus términos
son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble
producto de las raíces cuadradas de los términos positivos.
¡Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado
de otra cantidad.
Regla para factorizar un TCP:
1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal.
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio.
3. Se calcula el doble de la primera raíz por la segunda y se compara con el
término de la mitad del trinomio.
Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo del
segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado.
17. Ejemplo :
Factorizar:
c 2 -10c + 25
Solución:
Veamos que esta expresión es un TCP:
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos:
c2 = c
,
25 = 5
Ahora se multiplican estas dos raíces por dos: , dado que este resultado coincide
con el segundo término, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado
perfecto, por lo tanto podemos factorizarlo tal y como lo propone la regla, así:
c 2 -10c + 25 = c - 5
2
18. Ejemplo:
Factorizar:
x2
- 4x +16
4
Solución :
Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene:
1. El trinomio está ordenado
2. Sacamos raíz cuadrada del primer y tercer término:
x2
x
=
4
2 ,
16 = 4
3. Calculamos el doble del primero por el segundo:
4. Por lo tanto hay trinomio cuadrado perfecto:
x2
x
- 4x +16 = - 4
4
2
2
x
2× × 4 = 4x
2
19. 5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
Un trinomio ordenado por potencias descendentes con relación a una letra,
corresponde a un TCP por adición y sustracción, si al sumarle un cuadrado
perfecto al segundo término del trinomio, éste se convierte en un TCP, por lo
cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es
cuadrado perfecto.
Ilustremos lo anterior con un ejemplo:
Ejercicio Identificar si
sustracción.
x4
x2y2
y4
corresponde a un TCP por adición y
Solución Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto:
x4
x2 ,
y4
y2
Luego
lo que indica que al trinomio original le
2 x2 y2
2x2 y2
falta x 2 y 2 para completar el doble del primero por el segundo.
Veamos cómo trabajar este tipo de trinomios:
20. Para factorizar x 4 x 2 y 2
seguir los siguientes pasos:
x 2 y 2 y lo restamos (para que no varie la expresión original)
Paso 1: Sumamos
x4
y 4 como TCP por adición y sustracción debemos
x2y2
y4
- x2 y2
x2 y2
----------------------------------Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
x4
2x 2 y 2
x2
y2
2
y4
x2 y2
x2y2
Sumamos término a término
El primer trinomio se factoriza como TCP
La diferencia de
cuadrados se
factoriza y luego ordenamos
21. Otro ejemplo:
Factorizar x 4 -16x 2 y 2 + 36y 4
Ya ordenado el trinomio, veamos primero si el trinomio es cuadrado perfecto:
x4 = x2,
36y 4 = 6y 2
Ahora bien, el doble del primero por el segundo sería:
Que no es igual al término de la mitad del trinomio inicial. 2 x 2
6y2 =12x2 y2
2 2
Pero tenemos -16x 2 y 2 lo que implica que sumándole y restándole 4x y podemos
factorizar el trinomio, así:
x 4 -16x 2 y 2 + 36y 4
……Sumamos y restamos la misma cantidad
- 4x 2 y 2
4x 2 y 2
------------------------------------x 4 -12x 2 y 2 + 36y 4 - 4x 2 y 2
Nos queda:
x 2 - 6y 2
2
-
2xy
x2 - 6y2 2xy x2 - 6y 2 2xy
x2 2xy - 6y2
x2 2xy - 6y2
……Factorizamos el TCP
2
…..Diferencia de cuadrados
….Que ordenando nos queda:
22. 6. Trinomios de la forma
x 2 +bx +c
2
Regla para factorizarlo: Ej.: x - 9x +18
1.
Ordene el trinomio con los exponentes descendentes con relación a una letra.
Para el ejemplo, ya está ordenado para x.
2. El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades
del primer factor corresponde al signo del coeficiente del segundo término y el signo que
separa las cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los
coeficientes del segundo y del tercer término en el trinomio.
x 2 - 9x +18
-
-
3. La primera cantidad de cada factor corresponde a la raíz cuadrada del primer término (x) y
las segundas cantidades son dos números reales tales que su producto sea igual al tercer
término (18) y su suma (9), si los signos que separan las cantidades en cada factor son iguales,
o su resta, si los signos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al
coeficiente del segundo término.
x-
x-
……dos números que multiplicados den 18 y que sumados den 9
x - 6 x -3
Este caso se ha llamado factorización por inspección o evaluación.
23. ax 2 +bx + c
7. Trinomios de la forma:
x 2 +bx +c ,es
Observemos que la diferencia con respecto al trinomio de la forma
que el primer término es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable,
multiplicado por un número real diferente de uno.
Veamos el método analítico de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el
siguiente ejercicio:
Ejercicio Factorizar:
2
6a -11a +10 =
6a2 -11a +10
6 6a2 -11a +10
6
36a2 -11a 6 + 60
=
6
=
6a +15 6a - 4
6
=
3 2a + 5 2 3a - 2
6
= 2a+5 3a - 2
Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por
2
el coeficiente de x
Observemos que el trinomio tomó la forma x2 +bx +c
por lo que procedemos a factorizarlo por simple
inspección o evaluación (dos números que
multiplicados entre si den 60 y restados 11: 15 y 4).
Finalmente lo que se pretende es eliminar
nuevamente el denominador con el producto de
los factores comunes del numerador.
24. 8. Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales.
Cuando tenemos un binomio con potencias impares iguales se procede a factorizar así: se
le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor separadas del
signo del segundo término del polinomio a factorizar.
En el segundo factor se escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del
binomio a factorizar seguida de la segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se
obtiene sumando uno y restando uno a los exponentes del primer término
respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los términos del segundo
factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término.
a) a7 – b7
Ejemplos:
Solución:
a7 – b7 = (a – b )( a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a b5 +a0b6)
= (a – b )( a6 + a5 b + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + ab5 + b6 )
b)
Solución:
32 x5 + y10
32x5 + y10 = ( 2x)5 + ( y2)5 =
= ( 2x + y2 ) ( 16x4 – 8x3 y2 + 4x2 y4 – 2x y6 + y8 )
25. 9. Factorización de un polinomio por el método de evaluación.
Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más
términos. El método utilizado es por la regla de Ruffini (división sintética) con el objetivo
de encontrar un cociente (factor ) que al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo
producto, el dividendo (polinomio a factorizar). Para cumplir con lo anterior es necesario
observar que el residuo debe ser cero, (o sea división exacta).
Teorema del factor.
Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a , P(a) = 0 (es
decir, el valor del polinomio es cero)
Condición necesaria de divisibilidad:
Para que un polinomio P(x) sea divisible por (x-a) es condición necesaria pero no
suficiente que el término independiente del dividendo sea divisible entre a.
Método de evaluación:
Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x,
para él utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini.
26. Ejemplo: Factorizar por el método de evaluación el polinomio
Primero determinemos los factores del término independiente 4:
P(x) : x 3
5x
±1, ± 2, ± 4
Ahora veamos con cuál se vuelve cero el polinomio:
P(x) : x 3
5x
4
P( 1) : ( 1)3
5( 1) 4 8
0 por lo tan to (x 1) no es divisor del polinomio
P( 1) : ( 1)3
5( 1) 4 0
por lo tan to (x 1) si es divisor del polinomio
Aplicando la regla de Ruffini, tenemos:
Por lo tanto:
P(x) : x3 5x 4
x 1 x2
x 4
4
27. En ocasiones la evaluación hay que realizarla en cadena hasta lograr factores
irreducibles. Esto se logra mediante divisiones sintéticas sucesivas.
Veamos un ejemplo:
Factorizar:
x3
4x 2
x 6
Solución:
P( 1) : ( 1)3
4(1)2
1
6 0
por lo tanto (x 1) es divisor del polinomio
Finalmente la respuesta es:
x3
4x2
x 6
x 1 x 2 x 3
