El documento define campos vectoriales en el plano y el espacio como funciones que asignan puntos a vectores bidimensionales o tridimensionales. Explica que las líneas de flujo de un campo vectorial son trayectorias tangentes a la dirección del campo en cada punto. También introduce el rotacional y la divergencia como medidas de cantidades físicas como la rotación y flujo asociados con un campo vectorial en un punto.
1. LOS CAMPOS VECTORIALESLOS CAMPOS VECTORIALES
DEFINICIONES
Un campo vectorial en el Plano es una función
F (x,y) que aplica puntos de R2
en el conjunto de
vectores bidimensionales, se escribe:
F(x,y) = ( f 1(x,y) , f 2(x,y)) = f 1(x,y) i + f 2(x,y) j
En el espacio, un campo vectorial es una función
F ( x,y,z) que aplica puntos en R 3
en el conjunto
de puntos tridimensionales, se escribe:
F(x,y,z) = ( f 1(x,y,z) , f 2(x,y,z) , f 3(x,y,z)) =
= f 1(x,y,z) i + f 2(x,y,z) j + f 3(x,y,z) k
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICAREPRESENTACIÓN GRÁFICA
En general la representación gráfica deEn general la representación gráfica de
campos vectoriales se realiza en ordenadores,campos vectoriales se realiza en ordenadores,
pero podemos obtener una idea de la mismapero podemos obtener una idea de la misma
obteniendo las líneas de flujo.obteniendo las líneas de flujo.
DefiniciónDefinición:: Una línea de flujo de un campo
vectorial es una trayectoria, cuya derivada está
en la dirección del campo vectorial, esto es son
líneas tangentes en todo punto a la dirección
del campo.
5. ROTACIONAL Y DIVERGENCIAROTACIONAL Y DIVERGENCIA
El rotacional y la divergencia sonEl rotacional y la divergencia son
generalizaciones de la noción degeneralizaciones de la noción de
derivada aplicadas a los camposderivada aplicadas a los campos
vectoriales. Ambas midenvectoriales. Ambas miden
directamente cantidades físicasdirectamente cantidades físicas
importantes relacionadas con elimportantes relacionadas con el
campo vectorialcampo vectorial FF (x,y,z).(x,y,z).
6. • El rotacional de un campo vectorial en un punto siempre
produce un vector paralelo al eje de rotación de las líneas de flujo
cercanas al punto, y su dirección está determinada por la regla de
la mano derecha.
Si el x F = 0 , se dice que el campo vectorial es irrotacional en
ese punto.
• La divergencia de un campo vectorial en un punto ( x, y, z )
corresponde al flujo neto del fluido afuera de una caja
pequeña centrada en ( x, y , z ).
Si la divergencia es positiva, la cantidad de fluido que sale es
mayor que la que entra ( como en el ejemplo) y el punto ( x, y , z )
puede llamarse fuente. Si la divergencia es negativa, la cantidad
de fluido que entra es mayor que la que sale y el punto ( x, y , z )
puede llamarse sumidero. Si la divergencia es cero entonces se
dice que el campo vectorial F es una fuente libre o
incompresible.
7. • El rotacional de un campo vectorial en un punto siempre
produce un vector paralelo al eje de rotación de las líneas de flujo
cercanas al punto, y su dirección está determinada por la regla de
la mano derecha.
Si el x F = 0 , se dice que el campo vectorial es irrotacional en
ese punto.
• La divergencia de un campo vectorial en un punto ( x, y, z )
corresponde al flujo neto del fluido afuera de una caja
pequeña centrada en ( x, y , z ).
Si la divergencia es positiva, la cantidad de fluido que sale es
mayor que la que entra ( como en el ejemplo) y el punto ( x, y , z )
puede llamarse fuente. Si la divergencia es negativa, la cantidad
de fluido que entra es mayor que la que sale y el punto ( x, y , z )
puede llamarse sumidero. Si la divergencia es cero entonces se
dice que el campo vectorial F es una fuente libre o
incompresible.
