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Electromagnetismo 2004                                            6-33 6 - Líneas de Transmisión (cont.)Adaptación de impe...
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6 lineas de transmision
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6.2 Propagacion de oonda en linea de transmision
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  1. 1. Electromagnetismo 2004 6-33 6 - Líneas de Transmisión (cont.)Adaptación de impedanciasEs común que se deba conectar una carga a una línea de impedancia característica diferente. Ental caso existirá una onda reflejada que disminuye la potencia entregada a la carga y puede tenerefectos adversos en el generador, crear sobretensiones y sobrecorrientes sobre la línea capaces decausar daños, etc. Para evitar estas situaciones problemáticas existen distintos mecanismos deadaptación entre la línea y la carga. Veremos los más sencillos a continuación.Como es lo habitual en las aplicaciones, supondremos que las líneas son ideales o de bajas pérdi-das, por lo que tomamos reales a la impedancia característica y la constante de propagación. Porsimplicidad en la introducción también supondremos que la carga es real• Transformador (línea) de cuarto de onda Se trata de un trozo de línea de longitud La y de impedancia característica Za. Para la Z0 Za ZL adaptación, se requiere que la impedancia z de entrada del conjunto carga + adaptador -La 0 sea igual a la impedancia característica de Zin la línea original Z0: Z L cos( k La ) + i Z a sen( k La ) Z in = Z ( − La ) = Z a = Z0 Z a cos( k La ) + i Z L sen( k La ) 2Luego: Z a Z L cos( k La ) + i Z a sen( k La ) = Z a Z 0 cos( k La ) + i Z L Z 0 sen( k La )Para que se cunpla esta igualdad deben igualarse por separado las partes reales e imaginarias deambos miembros: Z a Z L cos( k La ) = Z a Z 0 cos( k La ) 2 Z a sen( k La ) = Z L Z 0 sen( k La )La primera ecuación, si el coseno es no nulo, requiere que ZL = Z0, pero esto no ocurre por hipó-tesis, ya que en tal caso no sería necesaria la adaptación. Entonces la igualdad sólo es válida si se La π λanula el coseno: cos(k a La ) = 0 ⇒ k a La = 2π =n ⇒ La = n a λa 2 4Si n = 1 ⇒ L a = λ a / 4 y esta es la longitud más corta de la línea adaptadora, que por tal mo-tivo se llama línea de cuarto de onda. Con esta condición el seno en la segunda ecuación vale 1y se satisface la igualdad si: 2 Za = Z LZ0 ⇒ Z a = Z0 Z Lque es la media geométrica de las impedancias que se quieren adaptar. Consideremos ahora la adaptación cuando la carga es compleja. En este caso se coloca el Z0 Za Z0 ZL adaptador a una distancia L0 de la carga para la ′ cual la impedancia de entrada Z L es real y en- -La-L0 -L0 0 z tonces: ′ Za = ZLZ0 ZL′ La adaptación por este método se realiza en for-ma sencilla usando la carta de Smith que veremos más adelante. La adaptación de impedancias por línea de cuarto de onda se da una única frecuencia, aquélla en que La = λ /4 para Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultadade Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  2. 2. Electromagnetismo 2004 6-34• Adaptador (stub) Muchas veces no es posible tener una línea con la impedancia característica necesaria para un Z0 ZL adaptador de cuarto de onda. Suele usarse un stub, que habitualmente es un trozo de la misma Z0 z línea que se conecta en paralelo con el conjunto -ds 0 linea+carga para lograr la adaptación de impe- cortocircuito dancias. Normalmente el extremo de carga (ex- Ls tremo lejano) del stub se cortocircuita para mi- nimizar la emisión de radiación electromagnéti-ca que podría causar interferencias.El diseño del stub consiste en definir la longitud del stub Ls y la posición - ds en la que debe ubi-carse. En el punto de conexión la admitancia del conjunto es la suma de las admitancias del stuby la admitancia de entrada del conjunto línea+carga. Esa admitancia debe ser igual a 1/ Z0 parala adaptación.Si la carga es resistiva quedan las ecuaciones para las admitancias de entrada: YL Y0 + (Y02 − YL2 )sen(2k d ) i Y cos(k d ) + i Y0 sen(k d ) 2línea+carga: Y (−d s ) = Y0 L = Y0 2 Y0 cos(k d ) + i YL sen(k d ) Y0 cos (k d ) + YL2 sen 2 (k d ) 2stub: Y (−Ls ) = −iY0 cotan(k Ls )de modo que para adaptación: Y0 = Y ( − d s ) + Y ( − L s ) Y L Y 0 + (Y 02 − Y L2 )sen( 2 k d ) iOperando: Y 0 = Y 0 2 2 − iY 0 cotan ( k L s ) de donde: Y 0 cos 2 ( k d ) + Y L2 sen 2 ( k d ) 2 2 Y LY0 2 2 =1 ⇒ ds = λ tan −1 ( Z L / Z0 ) Y cos ( k d s ) + Y sen ( k d s ) 0 L 2π (Y02 − Y L2 )sen( 2 k d ) = 2 cotan ( k L s ) ⇒ Ls = λ  2 Z LZ0 tan −1    Y 0 cos 2 ( k d ) + Y L sen 2 ( k d ) 2 2 2π  Z L − Z0   Estas ecuaciones permiten diseñar la adaptación. Son válidas únicamente para cargas resistivas.En el caso general de cargas no resistivas es más fácil utilizar la carta de Smith para diseñar losadaptadores, cosa que veremos más adelante.Ejemplo 6.12: Una línea de transmisión coaxil de tipo RG58 está terminada en una carga de valor ZL = 175 Ω. Se desea acoplarla por medio de un coaxil adaptador de λ/4 a 10MHz. Calcule la impedancia característica y la longitud del adaptador. De la tabla de la p.6.10 tenemos que Z0 = 50Ω. La impedancia característica del adaptador debe ser: Z a = Z 0 Z L ≈ 93.5 Ω De la tabla de la p.6.10 se ve que el cable tipo RG62 A/U tiene la impedancia adecuada. La velocidad de propagación es vf = 0.85c. La longitud del adaptador entonces es: λa v La = = a ≈ 6.38 m 4 4fEjemplo 6.13: Realice la adaptación del Ejemplo previo usando un stub cortocircuitado de la misma línea.  2 Z LZ0  Las ecuaciones de diseño son: ds = v 2π f tan −1 ( Z L / Z0 ) Ls = v 2π f tan −1   Z −Z    L 0  Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  3. 3. Electromagnetismo 2004 6-35 De la tabla de la pág. 235 se tiene para el cable RG58: Z0 = 50Ω , vf = 0.66c y entonces:  2 Z LZ0  ds = v 2π f tan −1 ( ) Z L / Z 0 ≈ 3.4m Ls = v 2π f tan −1   Z L − Z0  ≈ 3.09m   Nuevamente en este caso la adaptación funciona a una única frecuencia, porque los parámetrosde diseño son proporcionales a la longitud de onda en la línea a la frecuencia de adaptación. Si secambia esta frecuencia se debe cambiar la longitud del stub y su posición. La longitud se puedemodificar con cierta facilidad, colocando un cortocircuito móvil en el extremo de carga, pero laposición es difícilmente variable. Sin embargo, si se usan dos o más stubs es posible variar lafrecuencia de adaptación cambiando únicamente sus longitudes1.Carta de SmithLa impedancia de onda relativa a la impedancia característica puede escribirse: i ( 2 kz +ϕ ) Z ( z ) e − ikz + ρ L e ikz 1 + ρ L e i 2 kz 1 + ρ L e = − ikz = = Z0 e − ρ L e ikz 1 − ρ L e i 2 kz 1 − ρ L e i ( 2 kz +ϕ ) 1+ wEsta ecuación es del tipo: z = donde z = r + i x y w = u + iv. 1− wTal ecuación se conoce como una transformación bilineal (se puede demostrar fácilmente que z −1 w= ) y se caracteriza porque las líneas de r constante o las líneas de x constante resultan z +1circunferencias en el plano w. Como ρ L ≤ 1 el diagrama completo se halla dentro del círculo deradio unitario. Podemos demostrar que la forma de las curvas de de r constante o x constanteson circunferencias: 1 + u + iv (1 + u + iv )(1 − u + iv ) 1 − u 2 − v 2 + i 2 vPartimos de: r + ix = = = 1 − u − iv (1 − u ) 2 + v 2 (1 − u ) 2 + v 2 1− u2 − v2 2vLuego: r= x= (1 − u ) 2 + v 2 (1 − u ) 2 + v 2 1− u2 − v2de donde: r= ⇒ (1 + r ) u 2 − 2 r u + (1 + r )v 2 = 1 − r (1 − u ) 2 + v 2 2 2completamos cuadrados: u2 − 2 r  r  u+ 2 1− r +  r   +v =   1+ r 1+ r  1+ r 1+ r y finalmente: [u − r (1 + r )] + v 2 = 1 (1 + r ) 2 2de donde se ve que las líneas de r constante son circunferencias de radio 1 /(1 + r ) y centradasen el punto r /(1 + r ) .Se ve también que el círculo para r = 0 tiene la ecuación u 2 + v 2 = 1 y coincide con el círculoexterior de la carta y que el círculo para r → ∞ tiene la ecuación [u − 1] + v 2 = 0 y coincide con 2el punto (1,0).Análogamente, de la ecuación para x: 2v v v 1 1 x= 2 2 ⇒ (1 − u ) 2 + v 2 − 2 = 0 ⇒ (1 − u ) 2 + v 2 − 2 + 2 = 2 (1 − u ) + v x x x xy finalmente: [u − 1]2 + [v − 1 / x ]2 = 1 / x 21 Ver, por ejemplo, R. Neli Vera, “Líneas de Transmisión”, McGraw-Hill Interamericana, México,. 199, pp. 182 yposteriores. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  4. 4. Electromagnetismo 2004 6-36de donde se ve que las líneas de x constante son circunferencias de radio 1 / x y centradas en elpunto (1, 1 / x ) .Para x = 0 el radio se hace infinito y la curva coincide con el eje real. Para x → ∞ se tiene laecuación [u − 1] + v 2 = 0 , que nuevamente coincide con el punto (1,0). 2En este diagrama los ejes (u,v) representan las partes real e imaginaria del complejo ρLei(2kz+ϕ)mientras que r = Re[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el eje horizontal) yx = Im[Z(z)/Z0] (valores señalados sobre el círculo exterior) son los valores, normalizados a laimpedancia característica de la línea, de la parte real e imaginaria de la impedancia de onda.Por convención, el ángulo ϕ del fasor ρL se mide desde el eje real positivo en sentido antihorario. iv Variar la posición sobre la línea impli- ρL=1 ca cambiar el ángulo de fase del com- λ hacia el generador i1 plejo (u, v), lo que implica girar alre- ϕρ , ϕτ i0 5 i2 dedor del centro del diagrama a ρL constante (ρL es constante porque de- pende de las impedancias característica y de carga, pero no de la posición en la línea). Como los ángulos aumentan conven- O u cionalmente en el sentido antihorario, 0 02 05 1 2 y el sentido positivo de la coordenada z es hacia la carga, un giro antihorario representa un movimiento hacia la carga, y el giro horario un movi- ρL=0.5 miento hacia el generador. El círculo exterior del diagrama permite medir -i0 5 -i2 estos desplazamientos, calibrados en λ hacia la carga -i1 longitudes de onda. El cero de despla- zamiento se coloca sobre el eje real negativo. Dado que se miden diferen- cias de longitud (la posición a lo largo de la línea respecto de la posición de la carga) no importa dónde se ponga el cero. La carta de Smith se usa para calcular impedan- cias de entrada, ROE, coeficientes de reflexión y otros datos sólo con una regla y un compás, sin usar funciones trigonométricas o hiperbólicas, lo que facilita los cálculos. Aunque hemos deducido sus ecuaciones para líneas sin pérdidas (Z0 real), es posible extender su uso a líneas con bajas pér- didas. En la figura se muestra una carta estándar (archivo SMITH.PDF). Las aplicaciones de cálculo básicas de la carta de Smith a líneas sin pérdidas son: • Dada Z(z) obtener ρ(z) Dada ρ(z) obtener Z(z) • Dados ZL y ρL obtener Z(z) y ρ(z) Dados Z(z) y ρ(z) obtener ZL y ρL • Hallar posiciones y valores de máximos y mínimos de tensión sobre la línea. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  5. 5. Electromagnetismo 2004 6-37 • Hallar la ROE. • Dada Z(z) obtener Y(z) Dada Y(z) obtener Z(z) Ejemplos de uso de la carta de Smith La operación básica con la carta de Smith consiste en ubicar una impedancia, como se explica en el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.14: Ubicar sobre la carta de Smith las siguientes impedancias: iv a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una reactancia inductiva XB = i10Ω. c) Una i1 reactancia capacitiva XC = -i50Ω. d) Una i2 impedancia RL serie ZD = (15 + i10)Ω. e) i0 5 Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocir- cuito ZF = 0. Usar como impedancia de normalización el valor Z0 = 50Ω.B a) z A = Z A / Z 0 = RA / Z 0 = 3 (A) D A b) z B = Z B / Z 0 = X B / Z 0 = i 0.2 (B) F O E u0 02 05 1 2 c) z C = Z C / Z 0 = X c / Z 0 = −i 1 (C) d) z D = Z D / Z 0 = 0.3 + i 0.2 (D) e) zE = Z E / Z0 → ∞ (E) f) zF = Z F / Z0 = 0 (F) -i0 5 C -i2 Ejemplo 6.15: Una línea de 50Ω está ter- -i1 minada por una resistencia de 30Ω en se- rie con una reactancia capacitiva de 40Ω. Hallar: a) ρL y ROE, b) la impedancia de entrada si la longitud de la línea es L = 0.1 λ y c) los valores de longitud de línea que llevan a una impedancia de entrada pura- iv mente resistiva y los valores de estas impedancias. i1 Para utilizar la carta de Smith prime- i2 i0 5 ro expresamos la impedancia de car- ga normalizada a la impedancia ca- racterística: Z L 30 − i 40 = = 0 .6 − i 0 .8 Z0 50 y entonces marcamos en la carta de O u Smith el punto A en la intersección C D 0 02 de los círculos r = 0.6 y 05 1 2 B x = - 0.8. a) La distancia desde A al centro del diagrama da ρL= 0.5 y la prolon-(l0+L)/λ A gación de este segmento hasta el círculo de ángulos exterior da ϕ = 90° ρL (trazos en negro). -i0 5 ϕ 1+ ρL 1 + 0.5 -i2 Además ROE = = =3 -i1 1 − ρL 1 − 0. 5 Podemos sacar el valor de ROE de la l0/λ carta de Smith. Como depende sola- mente de ρL, una carga resistiva pura con el mismo ρL dará el mismo ROE. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  6. 6. Electromagnetismo 2004 6-38 Como para RL > Z0 : ρ L = (R L − Z 0 ) (R L + Z 0 ) ⇒ R L Z 0 = (1 + ρ L ′ ′ ′ ) (1 − ρ ) = ROE L y el valor del ROE coincide con la resistencia normalizada que da el mismo valor de ρL. Se usa este hecho y se traza en la carta de Smith el arco de circunferencia centrada en el centro del diagrama hasta el eje x = 0 para r > 1. El valor obtenido de r en el cruce D (3) es igual al ROE (trazo en verde). b) Para calcular la impedancia de entrada buscamos la posición donde el radio del diagrama que pasa por A corta al círculo perimetral marcado “hacia el generador”. Resulta l0/λ = 0.375. Este es un valor de partida arbitrario. Si ahora nos desplazamos hacia el generador (en el sentido horario) sobre el círculo de ρL = cte. (ρL depende solamente de la carga y Z0) en 0.1λ, de acuerdo al enunciado del problema, tendremos: (l0+L)/λ = 0.375 + 0.1 = 0.475. El punto B así obtenido tiene r = 0.34 y x = 0.14 , o sea Zin = (17 – i 7)Ω (trazos en azul). c) Finalmente, las longitudes de las líneas con impedancia de entrada resistivas corresponden a los puntos de intersección sobre el eje real (x = 0) de la circunferencia que pasa por A, recorrida en el sentido horario. El primer punto de cruce es el C (separado del A en λ/4)y luego el D (separado del C en λ/4) (trazos en violeta).Carta de admitanciasDado que la admitancia Y = 1/Z satisface las mismas ecuaciones que la impedancia de onda, lacarta de Smith es también un diagrama de admitancias normalizadas a Y0 = 1/Z0. La trans-formación bilineal es: i ( 2 kz + ϕ ) i ( 2 kz + ϕ ) Z ( z) 1 + ρ L e Y ( z) 1 − ρ L e 1 + ρ L e i ( 2 kz + ϕ+ π ) 1 + we iπ = ⇒ = = ⇒ y= Z0 1 − ρ L e i ( 2 kz + ϕ ) Y0 1 + ρ L e i ( 2 kz + ϕ) 1 − ρ L e i ( 2 kz + ϕ + π ) 1 − we i πque es la misma ecuación de la carta de impedancias, pero aparece un ángulo de fase de π multi- iv plicando al complejo w. Por ello, un punto de la carta i1 de impedancias está sobre el círculo de ρL constante i0.5 i2 separado 180° (π) del punto correspondiente a la mis- A ma carta medida en admitancias. Por otra parte, las escalas son iguales, de manera que donde se lee resis- tencia (reactancia) en la carta de impedancias se debe leer conductancia (susceptancia) en la de admitancias. O u0 0.2 0.5 1 2 En el siguiente ejemplo se usa la carta de Smith para pasar de impedancia a admitancia en el caso de las cargas del Ejemplo 6.14. A´ Ejemplo 6.16: Ubicar sobre la carta de Smith las si- -i0.5 -i2 guientes admitancias: -i1 a) Una resistencia RA = 150Ω. b) Una reactancia in- iv ductiva XB = i10Ω. c) Una reactancia capacitiva C´ i1 XC = -i50Ω. d) Una impedancia RL serie ZD = (15 + i0.5 i2 i10)Ω. e) Un circuito abierto ZE = ∞. f) Un cortocircuito ZF = 0. Usar como impedancia de normalización el valor Z0 = 50Ω. B D a) y A = Y A / Y0 = Z 0 / G A = 1 / 3 (A´) F A E u b) y B = YB / Y0 = Z 0 / X B = −i 5 (B´)0 O 02 0.5 1 2 A´ D´ c) y C = YC / Y0 = Z 0 / X c = i 1 (C´) B´ d) y D = YD / Y0 ≈ 2.3 − i 1.54 (D´) e) z E = YE / Y0 = 0 (E) -i0.5 C -i2 f) z F = YF / Y0 → ∞ (F) -i1 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  7. 7. Electromagnetismo 2004 6-39 Otra posibilidad de repre- sentación de admitancias es Z Y girar todo el diagrama en π, en lugar de girar cada punto, con lo que se obtiene una carta de admitancias como la de la figura. A la izquierda se muestra una carta de Smith donde se dibujan los círculos de im- pedancias (en rojo) y de admitancias (en azul) simultáneamente. En este caso no es necesario girar en π la posición del punto para pasar de una carta a la otra, sino que basta con usar los círculos adecuados (archivo SMITHZY.PDF). En el siguiente ejemplo se diseña un stub paralelo de adaptación usando la carta de Smith como carta de impedancias y luego como carta de admitancias. Ejemplo 6.17: Usar la carta de Smith para dise- ñar un stub de adaptación entre una línea de Z0 = 100 Ω y una carga real ZL = 500 Ω. Vamos a usar la carta de Smith de impedancias. La impedancia de carga normalizada es: zL = Z L / Z0 = 5 Se ingresa a la carta en este punto (A). Se traza un círculo auxiliar concéntrico con la carta que pasa por A. Este círculo es la curva de ρL y ROE constantes. Para adaptación debe- mos pasar de A a O, el centro del dia- iv grama, donde ρL= 0. Como vamos a ds colocar un stub en paralelo con la línea i1 principal, nos conviene trabajar con i0 5 i2 admitancias. Pasamos entonces de A al punto correspondiente B (a 180°), don- de la admitancia normalizada es yL=0.2. C Para ubicar el stub nos movemos por el círculo de ρL constante en sentido horario (hacia el generador) hasta llegar al círculo de admitancia real normaliza- B O A u da igual a 1 (que coincide con el círculo0 02 05 1 2 de impedancia normalizada igual a 1 - punto C). Para adaptación sólo se re- quiere agregar una susceptancia en Ls paralelo de valor opuesto a la suscep- tancia de C. La distancia ds = 0.183 λ (en longitudes de onda) medida sobre el círculo exterior de la carta entre los -i0 5 radios que pasan por B y C es la distan- -i2 D cia desde la carga a la que hay que po- -i1 ner el stub. Para hallar la longitud del stub, se observa que la impedancia normalizada en C es yC = 1 + i 1.79, de manera que el stub debe presentar una admitancia de entrada que anule la parte imagina- ria: yS = - i 1.79. El stub cortocircuitado presenta una admitancia de entrada puramente reactiva: Z ( −l s ) = i Z 0 tan ( k l s ) ⇒ Y ( −l s ) = −i Y 0 cot(k l s ) . Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  8. 8. Electromagnetismo 2004 6-40 El lugar geométrico de esta impedancia (a medida que cambia ls es el círculo exterior de radio unitario que corresponde a r = 0. Ubicamos entonces el punto D que define la admi- iv tancia de entrada del stub sobre el cru- ce del círculo de susceptancia bS = -i D i1 1.79 con el círculo exterior, y midiendo i2 sobre el círculo exterior la distancia Ls i0.5 desde el punto de admitancia normali- zada infinita (condición de cortocircuito - eje real positivo) se obtiene Ls = 0.08 λ que es la longitud (mínima) requerida del stub. Si se trabaja con la carta de admitan- O B u cias, se parte desde B ( y L = 0.2) y se ∞ 25 1 05 0.2 0 gira a ρL constante hasta alcanzar el círculo de conductancia normalizada unitaria (C). Se mide sobre la escala de C longitudes de onda la posición del stub, como antes. Luego se ubica el punto D, que neutraliza la impedancia de entrada de la línea en el punto de conexión del -i2 -i0 5 stub y se mide la longitud necesaria del ds stub. Naturalmente los valores obteni- -i1 dos son los mismos que en la construc- ción previa. Ejemplo 6.18: Usar la carta de Smith para diseñar un adaptador de cuarto de onda entre una línea de Z0 = 100 Ω y vf = 0.87c y una carga ZL = 150(1+i) Ω a 20 MHz. Este es un caso donde el uso de la carta de Smith es mucho más sen- Z0 Za Z0 ZL cillo que la resolución analítica. En la sección de adaptación vimos có- z mo adaptar una carga real a una -za línea de impedancia característica Zin 0 real, pero en este caso tenemos una carga de impedancia compleja. La solución consiste en intercalar el adaptador a una distancia za de la carga, de manera que la impedancia de entrada Zin del conjunto línea+carga sea real, como se muestra en la figura. La determinación de esta posición iv se complica matemáticamente si se desea resolver el problema analíticamente, pero i1 es muy fácil con la carta de Smith. i0 5 i2 Comenzamos calculando primero la impe- dancia de carga normalizada: z L = Z L / Z 0 = 1.5 + i 1.5 y determinamos el punto A en la carta. Cualquier posición en la línea estará sobre la circunferencia centrada en la carta y A zs que pasa por A. Para hallar la posición O u0 donde se debe intercalar el adaptador de 02 05 1 2 B cuarto de onda, nos movemos desde A hacia el generador (en sentido horario) hasta el primer cruce con el eje real. Esto ocurre en el punto B. Podemos leer en la escala exterior la longitud del arco que nos da la posición deseada zs para el adapta- ′ dor, y del eje real la impedancia (real) Z L -i0 5 -i2 en ese punto, que será la impedancia que -i1 hay que adaptar a la línea. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  9. 9. Electromagnetismo 2004 6-41 En nuestro caso: vf zs ≈ 0.056 λ = 0.056 ≈ 0.73 m f ′ Z L ≈ 3.35 Z 0 ≈ 335 Ω de donde: ′ Z a = Z 0 Z L ≈ 1.83 Z 0 ≈ 183 Ω λa v f La = = ≈ 3.26 m 4 4fAplicación a circuitos de constantes concentradasLa carta de Smith no es sólo aplicable a circuitos con líneas. Se puede usar para diseñar circuitosconcentrados con la misma simplicidad, como se muestra en los siguientes ejemplos.Ejemplo 6.19: Determinar la impedancia de entrada del circuito de la figura. Datos: R1 = 50 Ω,R2 = 15 Ω, L1 = 8 µHy, L2 = 26.5 µHy, C1 = 3 nF, C2 = 50 nF, f = 1 MHz. Para usar la carta de Smith debemos normalizar las impe- dancias del circuito a un valor arbitrario. En el caso de las C1 L1 R2 líneas elegimos la impedancia característica. En este caso L2 R1 elegiremos el valor de la resistencia R. Asignamos a cada elemento el valor de su impedancia normalizada a la fre- C2 cuencia de trabajo:Zin iv R1 → r1 = 1 R 2 → r2 = R 2 / R1 = 0.3 L1 → x1 = iωL1 / R1 ≈ i L2 → x 2 ≈ 3.33 i i1 C1 → x4 = 1 / iωC1 R ≈ −1.06 i i0 5 i2 C2 → x5 ≈ −0.064 i Con estos valores ubicamos primero la B impedancia serie zA = r+ix1 = 1+i en la A carta de Smith (punto A). El siguiente paso consiste en hallar la impedancia resultante C del paralelo de z1 con x2 , para lo cual de- D O u bemos transformar ambas impedancias en0 admitancias: 02 5 1 2 zA → yA = 0.5(1-i) (punto A) D C x 2 → b2 = −1 / x 2 ≈ −0.3i La admitancia resultante del paralelo de y1 A y b2 se puede hallar en el diagrama de B Smith moviéndonos sobre el círculo de conductancia constante 0.3 en el sentido -i0 5 de admitancia decreciente (porque b2 es -i2 negativa) o sea en el sentido opuesto a las -i1 agujas del reloj. Llegamos al punto B [yB ≈ 0.5 - 0.8 i)]. Como el siguiente ele- mento a combinar es en serie, volvemos al diagrama de impedancias [punto B : zB ≈ 0.56 + 0.9 i)]. Agregamos ahora la impedancia se- rie x4 para lo cual nos movemos sobre el círculo de resistencia constante en el sentido an- tihorario de reactancia decreciente (porque x4 es negativa) hasta llegar al punto C: zC ≈ 0.56 - 0.16 i. Finalmente agregamos en paralelo la serie de R2 y C2: zC ≈ 0.3 - 0.064 i, que corresponde a una admitancia yC ≈ 3.19 + 0.68i. Pasamos al diagrama de admitancias: C → C (yC ≈ 1.65 + 0.47 i) y giramos primero sobre un círculo de conductancia constante +0.68i y luego sobre un círculo de susceptancia constante 3.19, para llegar al punto D (yD ≈ 4.84 + 1.15 i). Finalmente invertimos el punto para volver al diagrama de impedan- cias y llegamos al punto final D : zD = zin ≈ 0.196-0.046 i ⇒ Zin ≈ (9.8 - 2.3i)Ω. Los valores numéricos que aparecen en el texto salen de la carta y los valores intermedios no se re- quieren para el resultado y se han dado solamente para referencia. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  10. 10. Electromagnetismo 2004 6-42Ejemplo 6.20: Diseñar un circuito de adaptación entre un generador de impedancia interna Zg = 50 Ω y una impedancia de carga ZL = (25 - 13.2i)Ω a la frecuencia de trabajo. Para adaptación se requiere que la impedancia de entrada Zin sea igual a la impedancia del generador Zg. Zg Ubicamos en la carta de Smith la impedancia del generador y la Vg ZL impedancia de carga normalizadas a Zg : Zin zg = 1 (O) zL = 0.5 - 0.264i (A). iv Para pasar de A a O podemos ir por varios caminos. Elegimos el camino de la figura i1 donde vamos primero en sentido horario i0 5 i2 sobre el círculo de reactancia constante hasta alcanzar el círculo r = 1, y luego por este círculo hasta el punto O. Esto implica agregar una impedancia serie RL: z = 0.5 + 0.264i ⇒ Z = (25 + 13.2i)Ω, que es una solución trivial del problema. O u Esta solución tiene una respuesta en fre-0 cuencia del tipo de un pasabajos. Es posi- 02 05 1 2 ble obtener otras soluciones de diferentes A respuestas en frecuencia modificando el camino desde A hacia O, lo que implica elegir otros circuitos de adaptación. -i0 5 -i2 -i1 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  11. 11. Electromagnetismo 2004 6-43Líneas resonantesAdemás de transmitir energía e información de un punto a otro, las líneas se pueden usar comoelementos de circuito, fundamentalmente por su propiedad de lograr cualquier impedancia deentrada en función de su longitud y su carga. Esta situación es muy común en la actualidad, enque se integran líneas de transmisión o guías de onda en chips para microondas.En particular, la posibilidad de tener ondas estacionarias lleva a que las líneas se puedan usarcomo circuitos resonantes o sintonizados.Consideremos primero una línea supuestamente ideal cortocircuitada en ambos extremos. Elgenerador se coloca en algún punto intermedio que consideraremos más adelante. Las ondas(estacionarias) de tensión y corriente en la línea son: V v( z , t ) = 2 V+ sen(ωt ) sen( kz ) i( z, t ) = 2 + cos(ωt ) cos( kz ) Z0Veamos si estas expresiones satisfacen las condiciones en los extremos de la línea. La tensión seanula sobre el extremo de carga (z = 0) pero debe también anularse sobre el extremo opuesto(z = -l). Entonces: λ c n sen( kl ) = 0 ⇒ kl = n π ⇒ ln = n = n ⇒ ln = 2 2f 2 f LClo que significa que, para una dada frecuencia de excitación, la longitud de la línea no puede sercualquiera, sino solamente alguno de los valores discretos ln . Viceversa, para una línea de lon-gitud y parámetros dados, sólo se pueden establecer ondas con un conjunto discreto de frecuen-cias: 1 n l=n ⇒ fn = 2 f n LC 2 l LCUn elemento circuital o un circuito que selecciona frecuencias es un circuito resonante o sinto-nizado. Para esta aplicación pueden usarse líneas que habitualmente se cortocircuitan en ambosextremos para minimizar la radiación de interferencias.Ahora podemos analizar la posición del generador que alimenta la línea. Suponemos que es ungenerador de tensión ideal (impedancia interna nula), y podemos colocarlo en la posición de unantinodo cualquiera de la onda estacionaria: π ( 2 m + 1) sen( kz ) = 1 ⇒ - kz m = ( 2 m + 1) ⇒ zm = − 2 4f LC donde se toman valores negativos de zm por la convención de colocar el origen de coordena- V0 das sobre la carga. Entonces queda definido el valor de V+: 2V+ = V0, donde V0 es la tensión del generador. z l zm 0Energía y QLa energía almacenada en la línea, que está asociada a sus componentes reactivos, se puede cal-cular apelando al modelo circuital. Cada dz de línea tiene una inductancia Ldz y una capacidadCdz. La energía almacenada en estos elementos es:  2  1 dU = L i 2 ( ) 2 ( z , t ) + C v 2 ( z , t ) dz = 1  L  V0  cos 2 (ωt ) cos 2 (kz ) + C V 2 sen 2 (ωt ) sen 2 (kz )  dz  2   Z0      0    Entonces: 1 ( dU = C V0 cos 2 (ωt ) cos 2 (kz ) + sen 2 (ωt ) sen 2 (kz ) dz 2 2 ) Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  12. 12. Electromagnetismo 2004 6-44y tomando el promedio temporal: 1 4 2 ( 1 4 2 ) < dU >= C V0 cos 2 (kz ) + sen 2 (kz ) dz = C V0 dz 1Finalmente, integrando a toda la línea: < U n >= C V 02 l n 4Consideremos ahora una línea con pérdidas. Si las pérdidas son bajas, como es el caso en la ma-yoría de las líneas comerciales, podemos suponer que la distribución de tensión y corriente noserá muy diferente que en el caso ideal, y podemos calcular la potencia perdida para cada tramodz de la línea como:   V 2     dW = Rdz i 2 ( z , t ) + Gdz v 2 ( z , t ) =  R  0  cos 2 (ωt ) cos 2 ( kz ) + G V0 sen 2 (ωt ) sen 2 (kz ) dz  2   Z0     1 2 R G y tomando el promedio temporal: < dW >= CV0  cos 2 (kz ) + sen 2 (kz ) dz 2  L C  1 R 0 G 0 Integrando a toda la linea: < W >= CV02  ∫ cos 2 (kz ) dz + ∫ sen 2 ( kz ) dz  2  L −l C −ln   n y como k = nπ /ln : 1  0 2 R 2 nπ G 0 nπ  1 R G z ) dz  ⇒ < Wn >= CV02  + l n  L −∫< W >= CV0 cos ( z ) dz + ∫ sen 2 ( 2 ln C −l n ln  4 L C  ln Un circuito resonante tiene como misión almacenar energía. Cuanto mayores son las pérdidasmenor es la calidad del circuito como resonante. Esta característica se suele medir por el llamadofactor de calidad o factor de mérito: energía media almacenada <U > <U > Q = 2π = 2π =ω potencia media disipada por ciclo <W > / f <W >Usando las expresiones que hemos hallado: 1 CV 02 l n 1 2π <U > 4 Qn = = Q =ω =ω ⇒ <W > 1 R G (R ω n L + G ω n C ) R f n L + G f n C CV 02  +  l n 4 L CSe observa que para una línea de bajas pérdidas Qn >> 1 ya que en tal caso cada término deldenominador es mucho menor que 1. La frecuencia que aparece en la expresión de Qn es una delas posibles frecuencias de resonancia fn del circuito, y el valor de Qn calculado corresponde aesa frecuencia.En resonancia, el generador (supuestamente conectado en un antinodo de la tensión) ve una im-pedancia infinita cuando la línea es ideal. Cuando hay pérdidas, la potencia perdida debe ser su-ministrada por el generador, de manera que la impedancia que el generador ve debe ser ahorafinita y real y de valor tal que la potencia que el generador le suministra sea igual a la potenciadisipada en la línea. Podemos calcular así la resistencia de entrada (en resonancia) de la líneavista por el generador: 1 V02 1 R G 4 4Q < W >= = CV02  + l n de donde Ri =   = 2 Ri 4 L C ωC (R ωL + G ωC )nλ ω C n λ 2 Qn Z 0y finalmente nos queda, en función del Q de la línea: R in = πn Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  13. 13. Electromagnetismo 2004 6-45Ancho de bandaPodemos analizar el comportamiento en frecuencia alrededor de la resonancia considerando aho- ra que variamos ligeramente la frecuencia del generador respecto de una de las frecuencias de V0 resonancia del circuito. Para analizar el resultado de esta variación de frecuencia, el circuito se puede pensar como un generador conectado a dos líneas en paralelo y cortocircuitadas en sus ex- l1 l2 tremos de carga. Las longitudes de cada líneason, respectivamente, l1 y l2. En resonancia, estas longitudes son múltiplos impares de λ/4 y laimpedancia de entrada del paralelo de ambas líneas es Ri, pero deja de tener este valor fuera deresonancia. Como se trata de líneas cortocircuitadas de bajas pérdidas, fuera de resonancia susimpedancias de entrada son fundamentalmente reactivas, por lo que en el siguiente análisis des-preciamos momentáneamente la parte resistiva. Como las dos líneas están en paralelo, es conve-niente trabajar con las admitancias (susceptancias). En resonancia: i Bi = −i Y0 [cot(β l1 ) + cot(β l 2 )] → 0Fuera de resonancia podemos escribir: β = ω / c = ω 0 (1 + δ ) / c donde ω0 es una de las frecuen-cias de resonancia y δ<<1 representa un corrimiento relativo de frecuencia. ω (1 + δ ) π πLuego: β l1 = 0 l1 = β 0 l1 (1 + δ ) = n1 (1 + δ ) y análogamente: β l 2 = n 2 (1 + δ ) c 2 2  π π Luego tenemos: i Bi = −i Y0 cot n1 (1 + δ ) + cot n1 (1 + δ )   2   2        π   π  πPero para n1 impar: cot  n1 (1 + δ )  = − tan  n1 δ  ≅ − n1 δ  2   2  2  π π   nπ δ y entonces: i B i = −i Y0  − n1 δ − n 2 δ  = i Y0    2 2   2 Finalmente, incorporando la resistencia de entrada, la admitancia que ve el generador fuera deresonancia es, aproximadamente: π n Y0  nπ δ  nπ  1  nπ  1 ω − ω0  Yi = 1 / Ri + i Bi ≅ + i Y0  = Y0  + i δ  = Q  Y0  + i Q  2Q  2  2   2  ω0   2 2 2 2 nπ  1  ω −ω0  2 Z0  1  ω −ω0 y entonces: Yi = Y0 Q  + ω      ⇒ Zi =   + Q   ω   2    0  nπ    0 Si graficamos el módulo de la impedancia de entrada en función de la frecuencia ω obtenemosla clásica curva de resonancia: El valor mínimo de admitancia (o el máximo de im- Zi/Ri pedancia) de entrada se da para la resonancia ω = ω0: 1 nπ 2Q Yi min = Y 0 ⇒ Z i MAX = Z 0 = Ri 2Q nπ y es la resistencia de entrada Ri ya calculada. Defini- 1 2 mos el ancho de banda ∆ω entre las dos frecuencias a ambos lados de la resonancia para las cuales la im- pedancia de entrada cae a 1 / 2 de su valor máximo, o lo que es lo mismo, la admitancia de entrada es 2 ω/ ω0 veces el valor mínimo: 2∆ω Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  14. 14. Electromagnetismo 2004 6-46 2 2 2 n πY 0  1  ω −ω0  n πY 0 1 ω −ω0  2 Yi = 2 Q   ω   +  = 2 Y i min = 2  2Q ⇒ Q 2 +  ω  = 2  Q    0   0  ω ωy finalmente: ω − ω 0 = ± 0 ⇒ ∆ω = 0 de donde: Q n = ω 0 n / ∆ω n = f 0 n / ∆f n Q QPodemos observar que a estas frecuencias la parte real y parte imaginaria de la admitancia deentrada (o de la impedancia de entrada) son iguales. La ecuación hallada vincula los tres parámetros fundamentales de la resonancia: la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el Q.Ejemplo 6.21: Una línea de parámetros L = 1.2 µHy/m, C = 30 nF/m, R = 0.01 Ω/m, G = 10--41/Ωm se usa como circuito sintonizado. a) Hallar la mínima longitud para tener una frecuencia de resonancia de 10MHz. b) Determinar las posibles posiciones de la en- trada al circuito. c) Calcular el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho de banda del circuito sintonizado. n 1 a) Las frecuencias de resonancia son: f n = ⇒ l min = l = ≈ 26.35 cm 2 l LC 2f LC b) Las posiciones de los antinodos, posibles posiciones de entrada al circuito, son: ( 2 m + 1) zm = − = (m + 1 / 2 )l ⇒ z 0 = l / 2 ≈ 13.17 cm 4f LC ya que sólo se puede tomar m = 0. 2πf  2Q Z0 Q= ≈ 5386  Ri = π ≈ 21.68 KΩ c) (R / L + G / C ) ⇒   f R + iωL  ∆f = ≈ 1.86kHz Z0 = ≈ 6.3 Ω  G + iωC  Q Se observa que el ancho de banda es muy bajo comparado con el valor de la frecuencia central, lo que se asocia al alto valor del Q.Ejemplo 6.22: Un tramo de coaxil RG11 se usa para crear un circuito resonante a 100 MHz. Hallar la longitud necesaria del cable, el Q, la impedancia de entrada en resonancia y el ancho de banda del circuito sintonizado. De la tabla de la p.6.10, los parámetros del coaxil RG11 son: Diámetro (2b) Z0 v/c C α (a 100 MHz) mm Ohm pF/m dB/m 10.3 75 0.66 67 0.069 1 v La longitud mínima del circuito sintonizado es: l= = ≈ 1m 2 f LC 2f  πf L πf  Q = α Z = α v ≈ 200  0 Como: Q ≈ 2 πf R  2Q Z0 y α= ⇒  Ri = ≈ 9 .5 K Ω R/L 2Z 0  π  ∆f = f ≈ 0.5 MHz  Q  Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  15. 15. Electromagnetismo 2004 6-47Transitorios en líneasEs muy común el uso de líneas de transmisión para propagar pulsos que codifican información.Un tren periódico de pulsos se puede representar mediante una serie de Fourier que es una su-perposición de ondas armónicas (un pulso no periódico requiere una integral de Fourier, quetambién representa una superposición de ondas armónicas). Es posible entonces analizar el pro-ceso para cada frecuencia y finalmente superponer los resultados, ya que las ecuaciones diferen-ciales que describen el comportamiento de las líneas de transmisión son lineales. Este análisis sehace entonces en el dominio de la frecuencia.Sin embargo, en muchos casos es más instructivo analizar el comportamiento de la señal com-pleta sin descomponerla por Fourier. Este análisis se hace en el dominio del tiempo, y es el quevamos a usar en esta sección. Rs Consideremos una línea sin pérdidas que conecta una batería de impedan- Vs cia interna resistiva Rs a una resisten- Z0 RL cia de carga RL. En el instante t = 0 se cierra el interruptor que conecta el generador a la línea. La onda inicial o z de arranque “ve” solamente la serie -l 0 de Rs y Z0.Entonces la corriente para z = -l, t = 0+ es: I(-l,0+) = I0 = Vs /(Rs+Z0) y la tensión inicial es:V(-l,0+) = V0 = I0 Z0 = Vs Z0/(Rs+Z0). Después de cerrar el interruptor las ondas i+ = I0 y v+ = V0 se propagan hacia la carga con la velocidad c = 1 / LC . Como esta velocidad es finita, el frente de c ondas tarda t = l / c en llegar a la carga e interaccio- 1 nar con ella. En ese momento la tensión y corriente en la carga serán la superposición de las ondas incidente y la reflejada: V (0, t1 ) = v+ + v− = (1 + ρL )V0 I (0,t1) = i+ + i− = (1− ρL ) I0 Z L − Z0donde ρL = es el coeficiente de reflexión en la carga. ZL + Z0Las ondas reflejadas i- = ρL I0 y v- = ρL V0 viajan ahora hacia el generador (las ondas inciden-tes siguen propagándose desde el generador hacia la carga). En el instante t = 2 t1 las ondas re-flejadas llegan al generador, donde la nueva desadaptación de impedancias crea una nueva onda“reflejada” progresiva: V (−l,2t1 ) = v+ + v− + v′ = (1 + ρL )V0 + ρs ρL V0 = (1 + ρL + ρL ρs )V0 + I (−l,2t1) = i+ + i− + i+ = (1 − ρL ) I0 − ρs (−ρL I0 ) = (1 − ρL + ρL ρs ) I0 ′ Zs − Z0donde ρ s = es el coeficiente de reflexión en el generador. Zs + Z0Esta nueva onda progresiva viaja hacia la carga, donde llega para t = 3t1 , instante en el que segenera una nueva onda regresiva: El proceso de reflexiones múltiples se puede ver más fácil-mente mediante los diagramas de rebote o diagramas de malla de Bewley, que se muestran acontinuación: Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  16. 16. Electromagnetismo 2004 6-48 z = -l z=0 z = -l z=0 V I ρs ρL ρs ρL 1 1 t1 ρL − ρL 2t1 ρ Lρ s ρ Lρ s 3t1 ρ2ρs L − ρ2ρs L 4t1 ρ2ρ2 L s ρ2ρ2 L s 5t1 − ρ3ρ2 ρ3ρ2 L s L s 6t1Se ve claramente cómo se forma cada serie de términos que dará el valor final de la tensión y lacorriente sobre la línea después de los múltiples rebotes. Salvo en los casos de generador ideal ycarga en cortocircuito o circuito abierto, en que se producen oscilaciones permanentes, como seanalizó en la sección previa, como ρ<1 cada término es menor que el precedente y la seriefinalmente converge a un valor límite. Vamos a analizar las formas de onda que se obtienencuando se colocan diversas impedancias de carga.Ejemplo 6.23: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador y la carga para una línea de Z0 = 50 Ω, conectada a un generador de tensión de 10V con re- sistencia interna Rs = 10 Ω. La impedancia de carga es RL = ∞ (circuito abierto). Las amplitudes de las ondas progresivas que viajan por la línea luego de cerrar el inte- Z 0 Vs V rruptor son. V0 = ≈ 8.33V I 0 = 0 ≈ 0.167 A Rs + Z 0 Z0 R − Z0 Rs − Z 0 Los coeficientes de reflexión son: ρL = L =1 ρs = = −0.667 RL + Z 0 Rs + Z 0 Realizamos la serie que describen los diagramas de Bewley para obtener las siguientes gráficas (tensiones en V y corrientes en A): V(-1,t) I(-1,t) V(0,t) I(0,t) 20 0.2 16.67 0.167 11.11 12.9 0.074 9.26 0 1 8.33 5.56 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t -0.111 -0.2 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t Se observa que la tensión y la corriente a la entrada de la línea oscilan tendiendo a su va- lor final V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = V s = 10 V , que corresponde al estado estacionario (de corriente continua) donde ya no hay ondas viajeras en la línea. La línea es en estas condiciones un Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  17. 17. Electromagnetismo 2004 6-49 cortocircuito y la tensión final sobre la carga es la misma que la tensión de entrada (e igual a la tensión de la fuente porque no circula corriente por estar la carga en circuito abierto). La corriente sobre la carga es siempre cero, como debe ser, y la corriente en la entrada tiende a su valor final cero.Ejemplo 6.24: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de la línea del ejemplo anterior para RL = 0 Ω (cortocircuito). Los coeficientes de reflexión son: ρ L = −1 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los mis- mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: V(-1,t) I(-1,t) V(0,t) I(0,t) 10 1 8.33 0.704 0.629 5.56 5 0.444 0.556 3.7 0.5 0.333 0.167 0 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t La tensión a la salida es siempre cero, por el cortocircuito, mientras que a la entrada tien- de a su valor límite nulo de corriente continua. La corriente tiende en ambos extremos de la línea a su valor límite de continua que vale I (0, ∞ ) = I ( −l , ∞ ) = V s / R s = 1 A A tiempo infinito, ya no hay ondas viajeras por la línea y ésta se comporta como un corto- circuito por el que circula corriente estacionaria.De estos ejemplos se observa que, en el caso de carga a circuito abierto, la tensión en el extremodel generador oscila alrededor del valor límite de continua (la tensión del generador) mientrasque en el caso de carga cortocircuitada la tensión de entrada tiende monótonamente a cero.Vemos ahora qué ocurre con una impedancia de carga resistiva finita.Ejemplo 6.25: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de la línea del ejemplo anterior para RL = 200 Ω . Los coeficientes de reflexión son: ρ L = 0.6 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los mis- mos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: V(-1,t) I(-1,t) V(0,t) I(0,t) 15 13.33 0.2 10.13 0.167 10 9.33 10 9.524 8.33 8 0.1 5 0.067 0.06 0.05 0.04 0 0.0476 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua: I ( 0, ∞ ) = I ( − l , ∞ ) = V 0 /( Z s + Z L ) ≈ 47 .6 mA y V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = Z L I (0, ∞ ) ≈ 9.524 VEjemplo 6.26: Realice un diagrama temporal de la tensión y la corriente sobre el generador de la línea del ejemplo anterior para RL = 20 Ω . Los coeficientes de reflexión son: ρ L = −0.429 ρ s = −0.667 V0 e I0 tienen los mismos valores que en el Ejemplo previo. Los diagramas temporales resultan ahora: Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  18. 18. Electromagnetismo 2004 6-50 V(-1,t) I(-1,t) V(0,t) I(0,t) 10 0.5 0.32 0.333 8.33 0.238 0.286 0.306 7.14 6.8 6.51 0.326 5 6.12 6.67 0.25 0.167 4.76 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t 0 t1 2t1 3t1 4t1 5t1 t Los valores de tensión y corriente tienden a sus valores límite de corriente continua: I ( 0, ∞ ) = I ( − l , ∞ ) = V 0 /( Z s + Z L ) ≈ 33 .3 mA y V (0, ∞ ) = V ( −l , ∞ ) = Z L I (0, ∞ ) ≈ 6.67 V En este caso ( Z L < Z 0 ) la tendencia de tensión y corriente a sus valores finales es monó- tona, mientras que en el caso previo ( Z L > Z 0 ) la tendencia era oscilante.En estos dos últimos ejemplos se observa que si ZL < Z0 la tendencia de todas las variables grafi-cadas es monótona hacia sus valores finales, mientras que si ZL > Z0 la tendencia es oscilante.Cargas complejasHemos analizado el comportamiento de cargas resistivas. Cuando la carga es una impedanciacompleja la dependencia temporal de los frentes de onda se modifica. Consideremos por ejem-plo una línea de impedancia característica real Z0 terminada en una impedancia de carga ZL, a laque se conecta una batería V0 a la entrada para t = 0. El frente de onda de tensión V0 viaja con lavelocidad de propagación en la línea hasta que llega a la carga en t = t1. La carga impone la rela-ción entre tensión y corriente y genera así una onda reflejada, por la desadaptación de impedan-cias con la impedancia característica de la línea.Podemos obtener la forma de onda de la onda regresiva utilizando técnicas de de la transforma-ción de Laplace. Si en lugar de trabajar con las tensiones y corrientes como funciones del tiempoconsideramos sus transformadas de Laplace: v ± ( z , t ) ↔ V± ( z , s ) i± ( z , t ) ↔ I ± ( z, s)entonces podemos escribir para el coeficiente de reflexión: v − (0, t ) Z L − Z 0 V− (0, s ) Ξ L − Z 0 Ξ − Z 0 V0 ρL = = ↔ ΡL = = ⇒ V− (0, s ) = L v + (0, t ) Z L + Z 0 V+ (0, s ) Ξ L + Z 0 ΞL + Z0 sdonde ΞL es la transformada de Laplace de la impedancia de carga y V0/s la transformada de La-place de la función escalón que representa la onda progresiva. Esta expresión se invierte nueva-mente por Laplace para hallar la expresión en el tiempo de la onda de tensión regresiva.Ejemplo 6.27: Halle la onda de tensión regresiva cuando la impedancia de carga es: a) una serie RL; b) una serie RC; c) un paralelo RL; d) un paralelo RC. a) En este caso: Ξ L = R + sL Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 + L s V0  R − Z 0 1 2Z 0 1  y: V − (0, s ) = = = +  V0 Ξ L + Z 0 s R + Z 0 + L s s  R + Z 0 s R + Z 0 s + 1/τ  R donde τ = L /( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:  R − Z0 2 Z 0 −t ′ / τ  v − (0, t ) = V0  + e  u (t ′) con t ′ = t − t1 L  R + Z0 R + Z0  Se ve que para t′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 y la tensión sobre la carga en el instante del rebote duplica a la de la onda incidente, porque la inductancia serie Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
  19. 19. Electromagnetismo 2004 6-51impide el súbito incremento de la corriente, que entonces es inicialmente cero (condiciónde circuito abierto).b) En este caso: Ξ L = R + 1 / sC Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 + 1 / sC V0  1 2Z 0 1  y: V− (0, s) = = = − V0 Ξ L + Z0 s R + Z 0 + 1 / sC s  s R + Z 0 s + 1 / τ  R donde τ = C ( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:  2Z 0 −t ′ / τ  C v − (0, t ) = V0 1 − e  u (t ′) con t ′ = t − t1  R + Z0  R − Z0Se ve que para t′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 ya que el capacitor es inicialmente un R + Z0cortocircuito y la tensión sobre la carga depende solamente de la relación R/Z0.c) En este caso: Ξ L = 1 /(1 / R + 1 / Ls ) = sRL /( R + sL) Ξ L − Z 0 V0 sL( R − Z 0 ) − RZ 0 V0  1 2R 1  y: V− (0, s ) = = = − + V0 Ξ L + Z 0 s sL( R + Z 0 ) + RZ 0 s  s R + Z 0 s + 1 / τ  R L donde τ = RZ 0 / L( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:  2R  v − (0, t ) = V0 − 1 + e −t ′ / τ  u (t ′) con t ′ = t − t1  R + Z0  R − Z0Se ve que para t ′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = V0 ya que la inductancia es inicialmente un R + Z0circuito abierto y la tensión sobre la carga depende nuevamente de la relación R/Z0.d) En este caso: Ξ L = 1 /(1 / R + Cs ) = R /(1 + sCR ) Ξ L − Z 0 V0 R − Z 0 − sCRZ 0 V0  R − Z 0 1 2R 1  y: V− (0, s ) = = = − V0 Ξ L + Z 0 s R + Z 0 + sCRZ 0 s  R + Z 0 s R + Z 0 s + 1 / τ  R C donde τ = CRZ 0 /( R + Z 0 ). La antitransformada de esta expresión es:  R − Z0 2R  v − (0, t ) = V0  − e −t ′ / τ  u (t ′) con t ′ = t − t1  R + Z0 R + Z0 Se ve que para t ′ = 0 ⇒ v − (0, t1 ) = −V0 ya que el capacitor es inicialmente un cortocir-cuito y la tensión sobre la carga debe anularse.Las formas de onda de la onda regresiva en cada uno de estos casos se representa en lassiguientes figuras, donde r = R/Z0 = 0.5, 1, 2. v-/V0 v-/V0 r = 0.5 r=1 a r=2 b t/τ t/τ Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
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