1. Kepler Satellitten∗
Lars V. T. Occhionero
†
22. juni 2009
1 Indledning
Er der andre end os i universet? Dette er et spørgsmål som betager mange
mennesker. Interessen for at vide hvorvidt der er ere intelligente væsner i
universet har frembragt mange store projekter inden for astronomien. En af de
ting man eksempelvis kan søge efter, er planeter hvor betingelserne for liv er
opfyldt. Dette mål har haft stort betydning mht. udforskningen af vores eget
solsystem, hvor vi stadig kigger efter livstegn på Mars, Europa m.v. Ydeligere
kan vi kigge efter sådanne planeter uden for vores solsystem.
Siden 1996, hvor den første exoplanet blev opdaget, har man gennem diverse
metoder, fundet knap 400 planeter uden for vores solsystem. Desværre er alle
disse langtfra Jordlignende, da de kun er at nde hvis planeten er meget stor,
eller kredser meget tæt på stjernen. Et første forsøg på at lave en satellitær
planet-søgning, skete i 2007 med COROT satellitten Denne satellit skulle kigge
på et stjernefelt, og observere de små lysdyk som en planet vil medføre, når
den ville foretage en transit foran stjernen. Omend COROT fandt en håndfuld
planeter, var dens usikkerhed for høj, til at kunne se de små lysvariationer en
Jordlignende planet vil medføre. Derfor er en ny satellit blevet opsendt i marts
i år. Kepler har en meget højfølsom fotometer, som burde kunne observere
planeter som ligner vores egen. Den skal kigge på det samme stjernefelt de
næste 36 år og forhåbentlig nde en stor del planeter. Dette kræver selvfølgelig
til dels en stor målenøjagtighed, og dermed en stor positionsnøjagtighed.
Jeg vil i denne opgave kigge på Kepler satellitten, og se på hvilke overvejelser
man har lavet sig under design af dens payload, af den bane om Solen, samt
den Attitude Kontrol, til at opretholde en høj stabilitet. Jeg vil herigennem
diskutere hvilke forhold som man bør have i tankerne når man designer en
lignende mission.
2 Payload
Det første naturlige skridt på design af en rummission, er at denere missio-
nens videskabelige mål, og dernæst kigge på det udstyr satellitten skal forsynes
med, for at opnå disse. En satellits nyttelast, altså dens hardware, computere,
strømforsyninger mm. betegnes satellitens Payload (Wertz og Larson, 1999).
Vi vil nu starte med at kigge på Keplers videnskabelige mål, og dernæst se på
Keplers payload, og hvordan denne hjælper til opfyldelsen af målene.
∗Eksamensprojekt i Rumfart og Rumforskning, Forår 2009
†Studiekortnr. 20052133
1
2. KAPITEL 2. PAYLOAD 2
2.1 Videnskabelige Mål
Kepler satellitten er et rumteleskop. Det er ikke det første af sin slags. Den
mest kendte rumteleskop er nok Hubble Space Telescope, som har bragt os
nogle fantastiske billeder af rummet. Kepler er dog den første rumteleskop
som er specikt designet til at søge efter exoplaneter, og vil formeegentlig
nde hundreder af Jord-lignende, eller større, planeter (Press kit, 2009). For
missionen er der opstillet nogle specikke videnskabelige mål (taget fra Press
kit (2009))
ˆ Bestemme hyppigheden af Jord-lignende, eller større planeter, som ben-
der sig i, eller omkring den Habitable zone, for forskellige stjerneklasser.
ˆ Bestemme fordelingen af planeternes størrelse, og baneradius omkring
stjernerne.
ˆ Estimere hyppigheden af planeter i dobbelt- eller ere-stjernesystemer
ˆ Bestemme fordelingen af de fysiske data for de kæmpe-planeter med kort
periode.
ˆ Identicere ere mindre planeter ved stjerner hvor man allerede kender
til eksistensen af større planeter.
ˆ Bestemme egenskaberne af de stjerner med planetsystemer
ˆ Astroseismiske undersøgelser af stjernerne, bl.a. til bestemmelse af pla-
netmasse, alder mm.
For at kunne opfylde de mål, er planen at observere samme felt på himlen
kontinuerligt i de 36 år missionen varer. På denne måde kan man få meget
præcise tidsseriemålinger, og kunne observere periodiske ændringer af stjerner-
nes luminositet, selv for eventuelle planeter med store perioder.
Når man nu klart har deneret målene for missionen, er næste trin at nde
ud af hvilket udstyr man skal anvende for at observere, samt hvilket udstyr
som er ydeligere påkrævet for at udstyret kan fungere problemfrit.
2.2 Fotometeret
Keplers primære stykke udstyr, er dens fotometer.
Fotometeret er det stykke apparatur, som skal foretage selve målingerne på
stjernerne, og dermed den, fra et rent astronomisk videnskabelig synsvinkel,
mest interessante og vigtige stykke udstyr på satellitten Et skematisk tværsnit
gennem fotometeret kan ses på gur 1.
Fotometeret selv er reelt set en stor Schmidt-type reektor kikkert. (se Press
kit (2009))
Når Kepler observerer sit felt, vil lyset fra stjernerne først komme forbi en
korrektor, som sørger for lyset ledes videre til bunden af satellitten, hvor man
nder det primære spejl. Det 1.4 m primærspejl er monteret på små motorer,
som gennem rotationer og tiltninger kan sørge for at teleskopet er i fokus. For
at spare energi er disse motorer designet således de kan låses på plads, så snart
fokus er opnået og det dermed ikke er nødvendigt at fortsat bruge energi på at
3. KAPITEL 2. PAYLOAD 3
Figur 1: Skematisk tværsnit gennem Keplers fotometer. Billede fra NASA
(2009)
holde den på plads. Spejlet selv har en meget høj reeksivitet, således at 95 %
af lyset som rammer spejlet, reekteres videre til fokusområdet
Fokusområdet består af en serie af 42 CCD'er, hver med 2200x1024 pixels.
Kameraets samlede opløsning er dermed på 95 megapixels. Denne meget høje
opløsning er dybt nødvendig til at kunne foretage de meget ne observationer
man har tænkt sig at lave med satellitten Ydeligere er der på fokusområdet re
mindre CCD'er, som skal anvendes i forbindelse med satellittens navigation som
kan læses mere om i afsnit 4. Hele fokusområdet er koblet elektrisk til bunden
af satellitten, som består af en heksagonal plade, som samler alle elektronik
i satellitten Her bender sig også de computere som anvendes til datalagring
samt styring af satellitten
2.3 Service udstyr
Et fotometer er et relativ følsomt stykke udstyr, som stiller høje krav til dens
omgivelser. Til dels fungerer den bedst under relativ lave temperaturer og kræ-
ver, lige som alt andet elektronik, energi. Endelig skal vi sørge for at satellitten
rent faktisk kigger på samme område hele tiden, og ikke blot yver væk.
På gur 2 kan vi se en skematisk tegning af satellitten, set udefra. Vi kan på
denne se forskellige stykker udstyr som satellitten kræver for at fungere. I bun-
den har vi en stor heksagonal kasse. På denne er monteret meget af satellittens
elektronik, samt små teleskoper, star trackers som anvendes til navigation, sam-
men med satellittens re momenthjul (se afsnit 4). Ydeligere er her i bunden
placeret satellittens kommunikationssytem bestående af re parabolantenner
(to modtagere, og to sendere), som kan kan sende data ned til os, på en af-
stand af 96 mio. km. Satellitten selv kan oplagre data i maksimalt to måneder
4. KAPITEL 2. PAYLOAD 4
Figur 2: Skematisk tegning af Kepler satellitten, set udefra. Billede taget fra
Press kit (2009, s. 20)
af gangen. Derfor kan satellitten nøjes med at kontakte Jorden, en gang hver
måned, hvor satellitten positionerer antennerne mod Jorden, og bruger en hel
dag på at sende data (Press kit, 2009).
Toppen af den heksagonale kasse, består af en plade. hvor elektroniken
fra alle de forskellige del-elementer samles. Her på toppen nde vi også nogle
små hydrazin-raketter, som kan anvendes til større positionsændringer hvis det
bliver nødvendigt På denne topplade er også hvor fotometeret og solpanelerne er
monteret. Solpanelerne leverer strømmen til hele satellitten, som således bliver
selvforsynende. Den totale areal af solpanelerne er på 10.2 m2
, dog er de, modsat
mange andre satellitter, fastmonteret, så de ikke kan positioneres efter solen.
Af denne årsag skal teleskopet roteres hver 3. måned, så solpanelernes energi
maksimeres. For at levere strømmen i satellittens første tid, inden solpanelerne
får oplagret nok energi, er der i bundkassen også monteret et Litium-ion batteri.
Som skrevet tidligere er fotometeret relativ følsom overfor temperatur. Af
denne årsag har man sørget for at pakke selve fotometeret ind i varmetæpper, så
temperaturen bliver holdt. Solpanelerne er fremstillet af et specielt materiale,
som afskærmer fotometeret fra varme, og stråling. Samtidig er selve fotometeret
forsynet med et aktivt køleanlæg bestående af gennemydende ammoniak og
propan gennem nogle rør, som kan ydeligere afkøle systemet. Endeligt er der på
fotometeret monteret en radiator som er en plade som sikrer en termisk kontakt
mellem fotometeret og rummets kolde vakuum. Satellitten er programmeret
således at denne plade altid vender væk fra solen, så den fungere til nedkøling.
I nogle områder af fotometeret er der placeret nogle varmekilder, til at opvarme
5. KAPITEL 3. BANER 5
nogle dele af elektroniken som fungerer bedst under højere varme.
3 Baner
Vi har nu set på satellittens payload. Næste skridt i vores design, er at be-
stemme hvilket kredsløb satellitten skal placeres i. Som skrevet ønsker vi at
observere ét bestemt område af himlen, over lang tid. Dette giver nogle krav
til det område som er blevet udvalgt. Til dels ønsker man et sted hvor der selv-
følgeligt er et relativ stort antal stjerner. Samtidig skal feltet placeret således
man kan observere det, uden Solen, Jorden, Månen eller andre store objekter
kommer i vejen for vores observationer. Det udvalgte område (Press kit, 2009)
ligger i sommertrekanten lige mellem stjernebillederne Svanen ogLyren
Det valgte område kan ses på gur 3.
Figur 3: Billede af sommertrekanten (bestående af Altair, Vega og Deneb), med
det udvalgte observationsfelt indtegnet. Billede fundet på Wikipedia (2009)
Når observationsfeltet er valgt, bliver næste skridt at nde en bane, som
muliggør observationen af dette område hele tiden, uden noget kommer i vejen.
Det er her allerede tydeligt at se, at enhver geocentrisk bane vil give problemer,
da man ikke vil kunne undgå at Jorden kommer i vejen. Et bedre bud er at an-
vende en heliocentrisk bane, altså at kredse om Solen, i stedet for Jorden. Disse
baner kan dog være ret problematiske, da de ofte har en stor afstand til Jorden,
og dermed giver store krav til kommunikationen og øger omkostningerne ved
opsendelsen. En god balance mellem pris og bane, er opnået ved at anvende en
bane som ligger meget tæt op ad Jordens egen, blot med en lidt større periode,
på 372.5 dage, altså lidt større end Jordens periode på 365.25 dage.
På gur 4 ses en simulering af Keplers heliocentriske bane, foretaget med
MatLab, ud fra baneparametre fundet på NASA (2009) og baneligningerne
6. KAPITEL 3. BANER 6
Figur 4: Simulation af Keplers heliocentriske bane, foretaget med MatLab.
Noter at Solen er forstørret op 30x. Den anvendte kode kan ses på side 17
givet i Wertz og Larson (1999). På guren ses at denne bane er en smule mere
elliptisk end Jordens, og da perioden er større, vil banen efterhånden sakke
bagud i forhold til Jorden, heraf navnet Earth-trailing Heliocentric Orbit. Ud
over at sikre at det valgte område kan observeres konstant, har banen også
den fordel at satellitten er placeret relativ langt væk fra Jorden. Omend dette
kan give problemer med kommunikation, er det en stor fordel i forhold til
de påvirkninger Jorden inuerer satellitten med. Til dels har vi ikke nogen
atmosfære og ydeligere gravitationelle påvirkninger. Samtidig har vi på dette
sted en væsentlig mindre stråling, da vi kun skal kigge på selve strålingen
fra Solen, hvis uks er mindre end den stråling som ligger fanget i Jordens
magnetfelt.
3.1 Stråling under opsendelse
Stråling er ikke det store problem under missionen. Den primære stråling som
satellitten vil opleve er under dens opsendelse, hvor den vil foretage en bane
om Jorden, inden de bliver bragt i bane om Solen.
Vi har på gur 5 foretaget en simulering af den bane om Jorden, som Kepler
vil gennemgå inden den bringes videre. Som tidligere er simuleringen foretaget
i MatLab, ud fra ligningerne i Wertz og Larson (1999) og baneoplysninger fra
H-A (2009).
Jorden er omgivet af et magnetfelt, som beskytter Jorden fra Solstrålingen,
ved at indfange Solens protoner og elektroner. Alle disse partikler danner Jor-
dens to Van Allen bælter, som er to bælter omkring Jorden med kraftig stråling
7. KAPITEL 3. BANER 7
Figur 5: Simulation af Keplers ene bane om Jorden, under opsendelse, foretaget
med MatLab. Den anvendte kode kan ses på side 15
(Wertz og Larson, 1999). Kepler vil passere gennem disse bælter under sin op-
sendelse. Vi kan nu simulere strålingen den vil modtage under sin ene passage
i banen ved hjælp af SPENVIS (2009).
Spenvis er et net-program, bl.a. anvendt af ESA, som kan udføre mange
af de modelberegninger som er involveret i design af rummissioner. Én af de
ting som Spenvis kan beregne, er den stråling en satellit modtager i bane om
Jorden. I programmet starter man med at denere en bane, hvorefter man har
adgang til beregning af stråling. Gør vi dette for Keplers passage om Jorden,
kan vi producere en Worldmap magen til den på gur 6. Worldmappet viser
mængden af stråling på forskellige steder i satellittens bane. Vi ser at banen
stadig er relativ høj over Jorden, hvilket betyder vi ikke bliver påvirket af den
sydatlantiske anomali (Wertz og Larson, 1999), og at de primære strålingskilde
er elektronstråling
Heldigvis bender vi os ikke i den bane særlig længe, så den modtagne
strålingsdosis er relativ lille.
På gur 7 ser vi den modtagne strålingsmængde som funktion af afskærm-
ingstykkelsen. Vi ser at det ikke kan betale sig at afskærme med mere end 4 mm
aluminium, da Comptonspredningen i materialet forsager, at strålingsdosisen
8. KAPITEL 3. BANER 8
Figur 6: Stråling som funktion af satellittens position over Jorden (Worldmap).
T.V. ses protonstrålingen, T.V. elektronstrålingen. Lavet med SPENVIS (2009)
Figur 7: Strålingsdosis som funktion af afskærmingstykkelse (i aluminium) for
vores passage om Jorden. Lavet med SPENVIS (2009)
9. KAPITEL 4. NAVIGATION 9
forbliver konstant derefter (Wertz og Larson, 1999). Elektroniken i Kepler er
placeret i selve hjertet af instrumentet, afskærmet af solpaneler, bundkasse,
samt selve teleskopet, som alt i alt leverer en væsentlig tykkere afskærmning af
elektroniken, end de re millimeter som kan være favorable at anvende. Vi kan
altså se at elektroniken er sikret ganske fornuftigt under opsendelsen.
Anvender vi Spenvis, til at udregne den strålingsdosis Kepler modtager i
dens heliocentriske bane, ser vi at den strålingsmængde Solen kan levere på
denne afstand er absolut neglicibel. Man kan dog overveje at Kepler satellitten
er komplet åbent, ned til elektroniken og CCD'erne, gennem teleskopet, men
denne er sat til, i forvejen, at konstant vende væk fra Solen. Den smule stråling
som bender sig i dette område, kan dermed nt skærmes for, udelukkende ved
at anvende solpanelerne.
4 Navigation
Den sidste ting jeg vil diskutere i denne opgave, er Keplers navigationssystem.
Som skrevet ønsker vi med Kepler at observere et meget bestemt område af
himlen konstant de næste 36 år. Selvom vi nu har fundet en bane, og et om-
råde hvor dette kan lade sig gøre, skal vi huske på at der i rummet er mange
muligheder for at satellitten kan begynde at vandre væk fra det prædenerede
sted. Denne vandring skyldes påvirkning fra diverse kraftmomenter, fra andre
legemer, som Jorden, Solen m.v. Generelt ser man to forskellige former for på-
virkninger: De cykliske, hvor påvirkningerne ser ud til at give anledning til en
periodisk drift væk fra udgangspositionen. Disse skyldes som regel påvirkninger
fra andre objekt i kredsløb. Samtidig har vi en påvirkning af en sekulær på-
virkning, som stille og sikkert driver satellitten væk. Mere om dette kan læses
om i Wertz og Larson (1999).
Specielt den cykliske er problematiske, da den hurtigt kan bringe satellitten
væk fra sin udgangsposition. På gur 8 ser vi en simulation foretaget i Mat-
Lab, hvor vi kan se driften af en satellit som bliver påvirket af en tilfældig
kraftmoment i både x- og y-retning.
Alt dette er meget uheldigt når man netop gerne vil have satellitten til at
være stille og observere samme område konstant, over lang tid. Derfor er Kepler
forsynet med en ADCS: Attitude Determination and Control System. Sådan et
system, forsøger konstant at måle, og korrigere for satellittens drift, og dermed
holde den nogenlunde konstant i samme position. Vi kan illustrere hvordan en
ADCS fungerer, og hvad man skal tage hensyn til, ved at kigge på driften på
en simpel måde, i en dimension:
Driften af en satellit kan beskrives som:
x(t + dt) = x(t) + dx(t, dt)
Altså vil satellitens position efter et tidsrum dt ændre sig et stykke dx. For at
korrigere for dette, er det tydeligt at vi i højre side skal efterstræbe at trække
driften fra igen. Men vi må huske på at systemet selv har en svartid som
umuliggør at korrigere det hele real time (Wertz og Larson, 1999). Samtidig
skal vi huske på at intet system er absolut støjfrit, samt vores bestemmelse af
driften heller ikke kan være perfekt. Satellitens drift med en ADCS kan dermed
skrives som:
x(t + dt) = x(t) + dx(t, dt) − α · (x(t − ∆t) + δS) + δT
10. KAPITEL 4. NAVIGATION 10
Figur 8: Simulation af en tilfældig vandring af en satellit, uden ADCS Den
anvendte kode kan ses på side 20
hvor ∆t er tidsforskydningen mellem drift og korrektion, δS er støjen på sy-
stemet og δT er usikkerheden på positionen. Det vi gør er altså at bestemme
positionsændringen, og dernæst korrigere for denne gennem diverse metoder,
som jeg vil komme ind på senere, for denne. Men da vi ikke kan gøre dette real
time vil satellitten have ændret sin positionen, inden vi har nået at korrigere
den. Samtidig vil støj og usikkerhed give anledning til endnu en ændring. Alt
i alt risikerer vi at korrigere satellitten mere end nødvendigt, og dermed gøre
det hele værre. Derfor indfører vi faktoren α som skalerer hvor meget vi skal
korrigere. Denne skal generelt være mindre end 1, og faktisk er det vist at det
ofte er en god idé at gøre denne faktor så lille som muligt, så den dog stadig
giver anledning til en korrektion.
Anvendes en ADCS med disse egenskaber på vores simulation fra før, får
vi simulationen på gur 9, hvor vi ser at, omend vi ikke kan holde satellitten
fuldstændig på plads, formår at holde den stabil inden for en cirkelområde.
4.1 Navigationsudstyr
.
Vi har nu diskuteret hvad en ADCS er, og hvorfor denne er vigtig. Som
skrevet består en ADCS af to systemer, en detektionssystem og en kontrolsy-
stem.
Kepler har ere forskellige detektionssystemer. Den primære består af re
små CCD'er som er placeret i hjørnerne af fokusområdet sammen med resten
af CCD'erne. Disse observerer konstant efter nogle standardstjerner, og sikrer
11. KAPITEL 4. NAVIGATION 11
Figur 9: Simulation af en tilfældig vandring af en satellit, men en ADCS. I
titlen ses de anvendte parametre. Den anvendte kode kan ses på side 20
dermed at satellitten altid peger i den rigtige retning. Samtidig er der på Kepler
monteret to Star Trackers som er små teleskoper som ligeledes holder øje med
nogle standardstjerner, og beregner satellittens ytning ud fra dette. Sidst, men
ikke mindst, er Kepler forsynet med 14 solsensorer som er små teleskoper som er
konstant orienteret mod Solen, som dermed også fungerer som standardstjerne
Samtidig sørger dette sidste system for at Kepler altid vender modsat Solen, at
solpanelerne altid bliver belyst maksimalt, og at radiatoren altid vender væk
fra Solen. Man kan læse mere om disse i Press kit (2009).
Til positionering benytter Kepler sig primært af re momenthjul. Disse hjul
kan sættes til at spinne, og dermed give satellitten en kraftmoment i den øn-
skede retning. Disse re hjul, er monteret på ikke-ortogonale akser i Kepler,
og er sat til at arbejde altid samtidig, således det samlede arbejde altid for-
deles over alle hjulene. I øvrigt kan Kepler tåle at miste ét af disse hjul, uden
at ADCS'en kommer ude af funktion, da de sidste tre, godt kan udføre ar-
bejdet alene. I tilfælde af at hjulene skulle give en for stor kraftmoment, eller
at Keplers bane skal ændres mere drastisk, er satellitten forsynet med nogle
små hydrazin-raketter, som kan positionere den igen. Men da Kepler har en
begrænset mængde hydrazin om bord, er dette noget man kun gør hvis det er
strengt nødvendigt (Press kit, 2009).
Dette positioneringssystem har også en anden vigtig funktion. Som skrevet
tidligere skal Kepler roteres 90° hver tredje måned, for at konstant holde sol-
panelerne vendt mod Solen, og radiatoren vendt væk fra Solen. På gur 10 kan
ses hvordan Kepler skal være placeret som funktion af dens bane om Solen.
Som det fremgår i Press kit (2009) er Keplers ADCS system ansvarlig for:
12. KAPITEL 4. NAVIGATION 12
Figur 10: Keplers bane om Solen, med indtegnet hvordan Kepler vender i for-
hold til Solen i løbet af banen. Billede fundet på NASA (2009)
ˆ Stabilisering af højden, efter Kepler frigøres af raketten
ˆ Sørger for at Keplers teleskop peger mod det valgte himmel område
ˆ Sørger for at satellitten er stabiliseret inden for en meget lille margin, for
at garantere højpræcisions fotometri
ˆ Vender solpanelerne mod Solen og kommunikationsantennerne ned mod
Jorden, når det er nødvendigt
ˆ Beskytter teleskopet fra at kigge på Solen
ˆ Roterer Kepler 90°, når det er påkrævet, hver tredje måned.
ˆ Sørger for at Kepler modtager positionsbestemmelse i tilfælde af noget
skulle gå galt.
13. KAPITEL 5. KONKLUSION 13
Vi ser altså at ADCS'et har mere end blot én funktion, og er en meget vital
element i Keplers design.
5 Konklusion
Vi har i denne opgave kigget på nogle elementer af designet af NASAs nye
rumteleskop, Kepler, som vil i løbet af de næste 36 år formeegentlig nde ere
hundreder exoplaneter, ere af disse formeegentlig Jordlignende.
Vi har kigget på hvilket udstyr Kepler er forsynet med, altså dens Payload.
Her har vi både kigget på dens videnskabelige apparatur, altså fotometeret,
samt alt det udstyr som er påkrævet for at få fotometeret til at virke, så som
solpaneler, elektronik, m.v.
Dernæst har vi kigget på Keplers særprægede heliocentriske bane, som sik-
rer at den kan observere sit targetområde kontinuerligt uden Jorden, Solen eller
andet kommer i vejen for synsfeltet. Vi har her set at Kepler reelt set er upåvir-
ket af stråling, og vi har i den forbindelse også kigget på den mængde stråling
Kepler har modtaget under opsendelse, og bemærket at strålingsdosisen har
været minimal.
Endeligt har vi set på ét af Keplers vigtigste systemer, nemlig dens Atti-
tude Kontrol System, ADCS, som garanterer at Kepler ikke driver væk pga.
diverse uktuationer, men observerer feltet uden af ytte sig for meget. Vi har
samtidig set at denne ADCS også varetager mange andre vigtige funktioner for
satellitten, så som navigation, orientering og endelig positionsbestemmelse, i
tilfælde af at noget skulle gå galt, og Kepler alligevel ville drive væk.
Opgaven giver et kort indblik i nogle af de tanker man har gjort sig under
design af denne mission samt nogle af de tanker og idéer man generelt skal
holde sig for øje når man ønsker at designe en rummission. Her er det vigtigt
at sørge for at alt er tilrettelagt, og fungerende, samt at systemet fortsat er
anvendeligt, i tilfælde af noget skulle gå galt.
Kepler har foretaget sine første målinger, og er nu i fuld gang med at nde
nye Jordlignende planeter, og man må håbe at den nder mange, så det store
spørgsmål, hvorvidt der er andet intelligent liv i universet, bliver mere og mere
sandsynlig bud for at være sandt.
14. LITTERATUR 14
Litteratur
H-A, Heavens-Above Homepage, 2009. URL http://heavens-above.com/.
NASA, NASA Homepage, Kepler Mission, 2009. URL http://kepler.nasa.
gov/.
Press kit, Kepler: NASA's First Mission Capable of Finding Earth-Size Planets,
2009. Press kit.
SPENVIS, SPENVIS Homepage, 2009. URL http://www.spenvis.oma.be/.
James R. Wertz og Wiley J. Larson, red., Space Mission Analysis and Design,
Springer, 1999, 9. udgave, ISBN 978-1-881883-10-4.
Wikipedia, Wikipedia UK, 2009. URL http://www.wikipedia.org/.
MatLab Koder
Her følger de anvendte MatLab koder:
15. MATLAB KODER 15
Første bane
1 clear, clc, clf, close all
2
3 %%baneparametre for KEPLER%%%
4
5 % Epoch (UTC): 00:25:07, Sunday, March 8, 2009
6 % Eccentricity: 0.2287689
7 % Inclination: 28.5514
8 % Perigee height: 2245 km
9 % Apogee height: 7361 km
10 % Right Ascension of ascending node: 43.9608
11 % Argument of perigee: 108.4676
12 % Revolutions per day: 7.34265484
13 % Mean anomaly at epoch: 277.6729
14 % Orbit number at epoch: 6
15
16 R=6378000; % jordens radius i m
17 h=2245000+R; %h jden fra jordens centrum
18 mu=3.986004418*10^14; % gravitationskonstant for jorden
19
20 %r=[8567000; 0; 0]; % Position i m fra jordens centrum
21
22 %Positionen over jorden i sfriske koordinater
23 rsph = [h; pi/2 ; 0];
24 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...
25 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...
26 rsph(1)*cos(rsph(2))];
27 ink=28.5514;
28 inkrad=ink*pi/180;
29
30 a=((R+2245000)+(R+7361000))/2;
31 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*a))));
32 vx=0;
33 vy=cos(inkrad)*V;
34 vz=sin(inkrad)*V;
35
36
37 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s
38
39 Tm=4; %Observationstiden i timer
40
41
42 ts=Tm*3600; % omlbtid i sekunder
43 dt=1; % tidsstep
44
45 i=1; % t lleskridt
46 X=[r(1)];
47 Y=[r(2)];
48 Z=[r(3)]; % til opsamling af koordinater
49 r_i=[];
50 v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed
51 E=[];
52 L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment
53 T=1:dt:ts; %Tidsvektor
54 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor
55 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes
56 X=[X,r_i(1)];...
57 Y=[Y,r_i(2)];...
58 Z=[Z,r_i(3)]; % koordinater opsamles
16. MATLAB KODER 16
59 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes
60 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes
61 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles
62 r=r_i; % ny position defineres som position
63 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed
64 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et
65 end
66 hold on
67 grid on
68 plot3(X,Y,Z); % banen plottes
69 plot3(X(1),Y(1),Z(1),'bo') % startpunkt plottes
70 [xx yy zz]=sphere; % sfre genereres
71 J=surf(xx*R, yy*R, zz*R); % jordkoordinater genereres
72 set(J,...
73 'CData',...
74 rand(21),...
75 'FaceColor',...
76 'interp');
77 colormap(winter); %jorden farvelgges
78 axis equal
17. MATLAB KODER 17
Heliocentrisk bane
1 clear, clc, clf, close all
2
3 R=6.955*10^8; % Solen middelradius i m
4 aj=1.0*149.60*10^9; %halvestorakse for jorden
5 ak=1.01319*149.60*10^9; %halve storakse for Kepler
6 ek=0.03188; %Eccenricitet for keplers bane
7 ej=0.01675; %Eccenricitet for keplers bane
8 pj=aj*(1−ej); %Perigeum for jorden
9 pk=ak*(1−ek); %perigeum for Kepler
10
11
12 %De halve storakse er fundet p NASAs Kepler−hjemmeside,
13 %hvor i en powerpointfil: Koch2003_06b.ppt p side 9 er
14 %angivet baneparametrene for Kepler og Jorden.
15 %Perigeum er udregnet p baggrund af formlerne side
16 %137 i Space Mission Analysis And Design(SMAD).
17
18 hj=pj+R; %jordens h jde fra Solens centrum
19 hk=pk+R; %Keplers h jde fra Solens centrum
20 mu=1.327124*10^20; % gravitationskonstant for solen
21
22 rsph = [hj; pi/2 ; 0]; %Positionen over Solen i sfriske koordinater
23 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...
24 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...
25 rsph(1)*cos(rsph(2))];
26
27 %Hastigheden udregnet p baggrund af (6−4) side 134 i (SMAD)
28 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*aj))));
29 vx=0;
30 vy=V;
31 vz=0; %Der tages ikke h jde for inklinationen,
32 %hvilket betyder vi ser det i xy−planen,
33 %blot for at g re det hele lidt nemmere.
34
35
36 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s
37
38 Tm=365.25*24; %Jordens omlbstid i dage
39
40
41 ts=Tm*3600*24; % jordens omlbtid i sekunder
42 dt=6*3600; % tidsstep
43
44 i=1; % t lleskridt
45 Xj=[r(1)]; Yj=[r(2)]; Zj=[r(3)]; % til opsamling af koordinater
46 r_i=[]; v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed
47 E=[]; L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment
48 T=1:dt:ts; %Tidsvektor
49 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor
50 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes
51 Xj=[Xj,r_i(1)];...
52 Yj=[Yj,r_i(2)];...
53 Zj=[Zj,r_i(3)]; % koordinater opsamles
54 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes
55 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes
56 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles
57 r=r_i; % ny position defineres som position
58 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed
18. MATLAB KODER 18
59 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et
60 end
61
62 %L kken k res nu igen, blot for Keplers baneparametrer.
63
64 rsph = [hk; pi/2 ; 0]; %Positionen over solen i sfriske koordinater
65 r = [rsph(1)*sin(rsph(2))*cos(rsph(3));...
66 rsph(1)*sin(rsph(2))*sin(rsph(3));...
67 rsph(1)*cos(rsph(2))];
68
69 V=sqrt(2*mu*((1/sqrt(dot(r,r)))−(1/(2*ak))));
70 vx=0;
71 vy=V;
72 vz=0;
73
74 v=[vx;vy;vz]; % Hastighed i m/s
75
76 Tm=372.50; %Keplers omlbstid i dage
77
78
79 ts=Tm*3600*24; % omlbtid i sekunder
80 dt=6*3600; % tidsstep
81
82 i=1; % t lleskridt
83 Xk=[r(1)]; Yk=[r(2)]; Zk=[r(3)]; % til opsamling af koordinater
84 r_i=[]; v_i=[]; % til opsamling af position og hastighed
85 E=[]; L=[]; % til opsamling af energi og impulsmoment
86 T=1:dt:ts; %Tidsvektor
87
88 for i=1:length(T); %fra 1 til l ngde af tidsvektor
89 [r_i,v_i]=orb(r,v,mu,dt); % ny position og hastighed beregnes
90 Xk=[Xk,r_i(1)];...
91 Yk=[Yk,r_i(2)];...
92 Zk=[Zk,r_i(3)]; % koordinater opsamles
93 E(i)=dot(v_i,v_i)/2−mu/sqrt(dot(r_i,r_i)); % energi beregnes
94 l=cross(r_i,v_i);% impulsmoment beregnes
95 L=[L;l]; %impulsmoment opsamles
96 r=r_i; % ny position defineres som position
97 v=v_i; % ny hastighed defineres som hastighed
98 i=i+1; % et beregningsskridt er hermed g et
99 end
100
101 hold on
102 grid on
103
104 plot3(Xj,Yj,Zj,'b'); % Jordens bane plottes
105 plot3(Xk,Yk,Zk,'r'); % Keplers bane plottes
106 [xx yy zz]=sphere; % sfre genereres
107 % Solens koordinater genereres, og forstrres en faktor 30
108 J=surf(xx*R*30, yy*R*30, zz*R*30);
109 set(J,...
110 'CData',...
111 rand(21),...
112 'FaceColor',...
113 'interp');
114 colormap(winter); %jorden farvelgges
115 axis equal
