Breve reseña histórica y explicación del procedimiento para realizar el método, unido a un problema resuelto por este famoso metodo.

1. Resolución de problemas por el
método de Gauss
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de
Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son
algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se
resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se
conoce como: "forma escalonada”.
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía
anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o
Nueve capítulos del arte matemático.
Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda.
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que
no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos
adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz
restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se
encuentra en la forma de escalón).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada
renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando
múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación
de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en
ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo)
así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada
reducida.

2. Veamos algún problema en el que se aplique este método de Gauss.
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 litros de leche, 6
kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 litro de leche y que un kilogramo de
jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 de leche.
Comenzaremos planteando el sistema de ecuaciones:
Precio de 1 litro de leche: x
Precio de 1 kilogramo de jamón serrano: y
Precio de 1 litro de aceite de oliva: z
24 + 6 + 12 = 156
=3
=4 +4
Organizamos las ecuaciones y las incógnitas de forma que nos sea más propicio para
resolver por el método de Gauss.
24 + 6 + 12 = 156
4 − +4 =0
3 − =0
Comenzaremos eliminando la x de la 2ª y la 3ª ecuación, aunque de tener algo de
pericia en la resolución con este método quizás sería mejor optar por eliminar la y.
Multiplicando la 2ª ecuación por -6 y la 3ª por -8, obtenemos lo siguiente:
24 + 6 + 12 = 156
−24 + 6 − 24 = 0
−24 + 8 = 0
Sumamos la 2ª ecuación con la 1ª y la 3ª con la 1ª, obteniendo:
24 + 6 + 12 = 156
12 − 12 = 156
6 + 20 = 156
Queremos eliminar la y de la 3ª ecuación, y para ello multiplicamos la 3ª por -2:

3. 24 + 6 + 12 = 156
12 − 12 = 156
−12 − 40 = −312
Sumamos a la 3ª la 2ª, quedando:
24 + 6 + 12 = 156
12 − 12 = 156
−52 = −156
Ya podemos obtener z:
−52 = −156 → =− =3
Sustituyendo en la 2ª ecuación podemos obtener el valor de y:
12 − 12 = 156 → 12 − 12 ∙ 3 = 156 → 12 − 36 = 156 → 12 = 192 → = 16
Y sustituyendo en la 1ª ecuación podemos obtener el valor de x:
24 + 6 + 12 = 156 → 24 + 6 ∙ 16 + 12 ∙ 3 = 156 → 24 = 156 − 132 → 24 = 24
→ =1
Por lo tanto el precio de 1 litro de leche es de 1 €, de 1 kilogramo de jamón serrano 16
€ y el de 1 litro de aceite de oliva, 3 €.