El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.

1. Reglas de derivación
Daniel Leonardo Mariño Lizarazo
8 de agosto de 2008
1. Introducción
Para determinar la derivada de una función f(x), denotada como f '(x), se
usa la siguiente fórmula:
f (x + h) − f (x)
f (x) = l´
ım
h→0 h
Pero para algunas funciones este proceso resulta largo y tedioso, por esto es
que se han deducido algunas reglas como:
1.1. Regla de la constante
si f (x) = c, entonces la derivada es f (x) = 0
Ejemplo:
f (x) = 23 =⇒ f (x) = 0
1.2. Regla de la potencia
la derivada de una función f (x) = xn , es f (x) = nxn−1 , n ∈ R o n∈Q
Ejemplo:
f (x) = 2x3 =⇒ f (x) = 6x2
1

2. 1.3. Regla del producto
Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del producto de
estas dos funciones derivables, notada [f (x) ∗ g(x)] es:
[f (x) ∗ g(x)] = f (x) ∗ g (x) + g(x) ∗ f (x)
Ejemplo:
f (x) = (x3 )(2x + 1)
f (x) = (x3 )(2) + (2x + 1)(3x2 )
f (x) = 2x3 + 6x3 + 3x2
f (x) = 8x3 + 3x2
1.4. Regla del cociente
Sean f (x) y g(x) dos funciones derivables, la derivada del producto de
d f (x)
estas dos funciones, notada [
dx g(x)
] es:
d d
d f (x) g(x) ∗ dx
[f (x)] − f (x) ∗ dx
[g(x)]
[ ]=
dx g(x) [g(x)]2
Ejemplo:
x
f (x) =
1 + x2
(1 + x2 )(1) − x(2x)
f (x) =
(1 + x2 )2
x2 − 2x2 + 1
f (x) =
x4 + 2x2 + 1
−x2 + 1
f (x) =
(x2 + 1)2
−1
f (x) =
x2 +1
2

3. 1.5. Derivada del logaritmo natural
La derivada del logaritmo natural de x es:
d 1
ln (x) =
dx x
Ejemplo:
1
f (x) = ln 9x =⇒ f (x) =
9x
1.6. Derivada del logaritmo general
La derivada de una función logaritmica general y = loga x, a > 0 y a=1
es:
d 1 1
(loga x) = ∗
dx x ln a
Ejemplo:
1 1
f (x) = log5 (4x3 ) =⇒ f (x) = 3
∗
4x ln 5
1.7. Derivada de la función exponencial natural
La derivada para una función exponencial natural y = ex es:
d x
[e ] = ex
dx
Ejemplo:
f (x) = e3x =⇒ f (x) = e3x
1.8. Derivada de la función exponencial general
La derivada para una función exponencial general y = ax , a > 0 y a=1
es:
d x
[a ] = ax ln a
dx
Ejemplo:
f (x) = 9x =⇒ f (x) = 9x ln 9
3

4. 1.9. Derivada de las funciónes trigonométricas
Acontinuación se mostrara un listado de las funciones trigonométricas con
sus respectivas derivadas, en todas x esta medida en radianes:
f (x) = sen x =⇒ f (x) = cos x
f (x) = cos x =⇒ f (x) = − sen x
f (x) = tan x =⇒ f (x) = sec2 x
f (x) = cot x =⇒ f (x) = − csc2 x
f (x) = sec x =⇒ f (x) = sec x tan x
f (x) = csc x =⇒ f (x) = − csc x cot x
Ejemplos:
f (x) = sen 5x =⇒ f (x) = cos 5x
f (x) = cos 56x =⇒ f (x) = − sen 56x
f (x) = tan πx =⇒ f (x) = sec2 πx
f (x) = cot 34x =⇒ f (x) = − csc2 34x
f (x) = sec 39x =⇒ f (x) = sec 39x tan 39x
f (x) = csc 7x =⇒ f (x) = − csc 7x cot 7x
1.10. Ejercicios propuestos
√
f (x) = x
f (x) = 3x2 + 2x − 1
f (x) = (sen2x)(3x )
4

5. 3x2 +3
f (x) = 4x+2
f (x) = 49x
3
f (x) = 5 x 2
3
16 3
f (x) = 7
x − 6x2
f (x) = sec π + 4x3 − tan 3π + π
2
−6x4 +3x2
f (x) = 2
5