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Resumen potencia

  1. 1. S.B.A. POTENCIA (de un punto respecto de una circunferencia) Denominamos así al valor constante de la razón entre las distancias de un punto dado a dos puntos de una circunferen- cia alineados con él. Su valor radica en la aplicación a tangencias, ya que si como se demostró en clase K es constante, la distancia del punto P a los pies de las tangentes trazadas desde el P a la circunferencia tendrán la misma medida, como se aprecia en el dibujo. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS (OJO: el punto lo consideraremos una circunferencia de r=0, y la recta una circunferencia de r infinito) r= PA.PA´=PT1 .PT2 = K PT1 =PT2 PT2 =K PT= El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros de las circunferencias y pasa por el punto medio de el segmento T1 T2., de la recta tangente común a ambas circunferencias. Además cumple la misma característica, como K es cons- tante la distancia del punto P a los pies de las tangentes trazadas desde el P a las dos circunferencias tendrán la misma medida, como se aprecia en el dibujo. Atención a... (OJO: el punto lo consideraremos una circunferencia de r=0, y la recta una circunferencia de r infinito, tanto para hallar el eje radical como para hallar el centro radical)
  2. 2. S.B.A. MÉTODO GRÁFICO PARA DETERMINAR EL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS CASOS DIRECTOS: 1-. El eje radical de dos circunferencias exteriores es perpendicular a la linea de centros y pasa por el punto de tangencia común a ambas. 2-. El eje radical de dos circunferencias interiores es perpendicular a la linea de centros y para por el punto de tangencia común a ambas. 3-. El eje radical de dos circunferencias secantes es el perpendicular a la linea de centros resultante de unir los puntos donde ambas circunferencias son secantes. MÉTODO GENERAL Trazado del eje radical de dos circunferencias cualquiera. Basándonos en los ejes radicales que podemos obtener de for- ma directa, trataremos de encontrar un punto del eje radical, que tenga igual potencia de las dos circunferencias. Si traza- mos una circunferencia auxiliar cualquiera que sea secante con ambas dos, dadas, podremos obtener por la interseccion de los ejes radicales con la auxiliar un punto que tiene igual potencia para las tres, luego también para las dos dadas. Si además sabemos que el eje radical es perpendicular a la linea de centros, trazando la perpendicular por el punto de intersec- ción de los dos ejes radicales, x, ya habremos hallado el eje radical de dos circunferencias cualquiera. CASOS ESPECIALES: 1-. El eje radical de una circunferencia y una recta, entendida esta como una circun- ferencia de r infinito, es la misma recta. 2-. El eje radical de una circunferencia y un punto será el resultado de aplicar el método general, teniendo en cuenta que el punto P es una circunferencia de radio 0, luego en vez de secante la auxiliar será otra circunfe- rencia que pase por P y secante con c. CENTRO RADICAL Es el lugar geométrico del plano que tiene igual potencia respecto de tres circunferencias, y es definido con un único punto, resultante de la intersección de los ejes radicales de las circunfe- rencias dos a dos. (Fig. 4). El arco de CR a T nos da todos los puntos de tan- gencia de las rectas tangentes trazadas desde CR a las circunferencias, ya que tiene igual potencia, luego es una distancia constante, . e A B A B e A B e A C x e(ac) e(bc)e(ab) B A C A C A C e(ac) e(bc)e(ab) B T T T T CR

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