El documento presenta un examen parcial de aritmética y razonamiento matemático con 6 preguntas. La primera pregunta analiza propiedades de sumas de números y la segunda interpreta enunciados y propiedades de operadores matemáticos. Las preguntas 3 a 6 presentan problemas matemáticos que involucran sumas notables, operaciones con variables y determinación de valores.

1. Formando Líderes para
un Mundo Nuevo ÁREA DE MATEMÁTICA
EXAMEN PARCIAL DE ARITMETICA Y RM
(SEGUNDO BIMESTRE)
ALUMNO (A): ___________________________________________________________ FILA: A
CUARTO GRADO DE SECUNDARIA. SECCIÓN: _______ FECHA: ___ / ____ / 2010
NOTA:
BLOQUE CAPACIDAD DESTREZAS
I Razonamiento y demostración Analizar – Demostrar
N° DESCRIPCIÓN DE LA PREGUNTA PTJE
ANALIZA E INDICA VERDADERO (V) O FALSO (F) SEGÚN CORRESPONDA. EN
CASO DE SER FALSO EXPLICA EL PORQUÉ.
n(n + 1)
I. Suma de los “n” primeros números naturales: (V)
2
II. Suma de los “n” primeros números pares: n( n + 2) (F)
Sea 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n (n + 1)
01 III. Suma de los “n” primeros números impares: n 3 (F)
10
Sea 1 + 3 + 5 + …… + (2n + 1) = n2
n(n + 1)(n + 2)
IV. Suma de los “n” primeros números al cuadrado: (F)
6
n( n + 1)( 2n + 1)
Sea 12 + 22 + 32 + …… + n2 =
6
2
 n( n + 1) 
V. Suma de los “n” primeros números al cubo: (V)
 2 
 
Demuestra que la suma de los “n” primeros números naturales está dado por la
n(n + 1)
siguiente propiedad:
2
S=1+ 2 + 3 + ……… + (n – 2) + (n – 1) + n
S = n + (n – 1) + (n – 2) + ……… + 3 + 2 +1
2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ……… + (n+1) + (n+1) + (n+1)
“n” sumandos
02 2S = (n + 1) x n 10
n × ( n + 1)
S=
2

2. Colegio Pitágoras Área de Matemática
NOTA:
BLOQUE CAPACIDAD DESTREZAS
II Comunicación Matemática Interpretar – Representar
N° DESCRIPCIÓN DE LA PREGUNTA PTJE
De la historia del ajedrez: … "Está bien su majestad, si usted quiere que le pida algo, le
pediré lo siguiente: tomó el tablero cuadriculado del nuevo juego inventado por él y le
dijo: quiero un grano de cereal para la primera casilla (el tablero tiene 64 casillas), dos
granos para la segunda, 4 granos para la tercera, 8 para la cuarta y así sucesivamente
duplicando los granos por cada casilla que existe en este tablero..." El Rey, que no era
muy hábil en matemáticas pensó que lo que le pedía era una bicoca y le dijo: ¿En serio
quieres eso? y el consejero le dijo "Sí su majestad" y bueno, pese a su sorpresa y lo
raro que le parecía lo que le pedía su consejero el Rey dijo: "Soy hombre de palabra y
habré de cumplir tus deseos" así que llamó a su ministro de agricultura y le dijo que
trajera un costal de granos para poder llenar el tablero según la instrucción del
consejero…
¿Cual debió ser la mejor respuesta del rey? y ¿por qué? (interpretar mediante sumas 8
01 notables)
El consejero le pidió granos de la siguiente manera: 1; 2; 4; 8; ……… y así sucesivamente.
Como son 64 casillas, recibirá en total la suma de todo lo que recibe por casilla:
1 + 2 + 4 + 8 + ………… = 20 + 21 + 22 + 23 + ……… + 263
Aplicamos la siguiente suma notable: k1 + k2 + k3 + …… + kn =
( )
k × kn − 1
k −1
En nuestro caso: 20 + 21 + 22 + 23 + ……… + 263 = 1 +
( )
2 × 263 − 1
= 1 + 264 – 2 = 264 – 1
2 −1
Como vemos la mejor respuesta del rey era la negativa ya que la cantidad de granos de
cereal que pide es muy excesiva
INTERPRETA LOS ENUNCIADOS Y DETERMINA SU VALOR DE VERDAD:
a) Si: S=1+2+3+4+…+70 entonces S=2485 (V)
02 b) Si: E=12+22+32+42+…202 entonces E =2860 (F) 6
c) Si: H=1+2+3+4+…+20 entonces H=200 (F)
INTERPRETA LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DE LOS OPERADORES
MATEMATICOS:
Definimos la operación de multiplicación para interpretar las propiedades pedidas
a) Propiedad de clausura: El producto de dos números enteros es otro número
entero, ejemplo:
4 ∈ Z , 7 ∈ Z → 4 x 7 = 28 ∈ Z
03 6
b) Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto, ejemplo:
5x6=6x5
c) Propiedad Asociativa: El orden de agrupar los factores no altera el producto,
ejemplo
(4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6)

3. Colegio Pitágoras Área de Matemática
NOTA:
BLOQUE CAPACIDAD DESTREZAS
III Resolución de Problemas Procesar - Argumentar
N° DESCRIPCIÓN DE LA PREGUNTA PTJE
1. Si :
x–1 = 3x + 5
x+1 = 6x – 7
Calcular : 4 + 5
Hacemos un cambio de variable: x+1 =a
a →a=x–1
01 a+1=x → a = 3(a + 1) + 5 = 3a + 3 + 5 = 3a + 8 3
Regresando tenemos: x+1 = 3 x+1 + 8 = 6x – 7
3 x+1 = 6x – 15 → x+1 = 2x – 5
Nos piden:
4 = 3+1 = 2(3) - 5 = 1
4 + 5 = 1 + 23 = 24
5 = 6-1 = 3(6) + 5 = 23
Sabiendo que la suma de 25 enteros consecutivos es 775. Hallar la suma de los 25
posteriores a los 25 siguientes enteros consecutivos.
(a-12) + …… + (a-2) + (a-1) + a + (a+1) +(a+2) + …… + (a+12) = 775
1 + 2 + …… + (a-13) + (a-12) + …… + a + …… + (a+12) = 775 + 1 + 2 + …… + (a-13)
( a + 1 2 )( a + 1 3 ) ( a − 1 3 )( a − 1 2 )
= 775 + …………………x 2
2 2
(a + 12).(a + 13) = 1550 + (a – 13).(a – 12)
a2 + 25a + 156 = 1550 + a2 -25a + 156
50a = 1550
a = 31
Los 25 números sumados fueron: 19, 20, 21, ……, 43
02 Nos piden la suma de los 25 números que siguen a los 25 siguientes de los números 4
obtenidos, es decir:
Los 25 números sumados son: 19, 20, 21, …, 43
Los 25 números que siguen son: 44, 45, 46, ……, 68
Y los 25 números que nos pide sumar el problema son:
R = 69 + 70 + 71 + …… + 93 completando los sumandos desde el número 1
93 × 94
(1 + 2 + … + 68) + (69 + 70 + … + 93) =
2
68 × 69
+ R = 4371
2
2346 + R = 4371 → R = 6717
Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :
03 777… 777 x 999 … 999
3
50 cifras 50 cifras

4. Colegio Pitágoras Área de Matemática
N° DESCRIPCIÓN DE LA PREGUNTA PTJE
7 x 9 = 63
77 x 99 = 7623
777 x 999 = 776223
777… 777 x 999 … 999 = 77…7622…23
50 cifras 50 cifras 49 49
Nos piden la: 7 x 49 + 6 + 2 x 49 + 3 = 450
Definimos :
b
= a2 – b
a
Determinar el valor de :
5
4
3
04 2 3
1
2 3
= 12 – 2 = -1 = (-1)2 – 3 = -2
1 -1
4 5
= (-2)2 – 4 = 0 = 02 – 5 = -5
-2 0
Se define el operador :
x ; si x es par
x =
3x + 1 ; si x es impar
Si : z = 1 , Hallar z
05 3
Para calcular z aplicamos dos vedes el operador matemático:
1 = 3(1) + 1 = 4
4 =4=z
Nos piden: z = 4 = 4
Determinar el valor de “S” en:
S = (1+2+3+…+2x)² - 1³ - 2³ - 3³ - 4³ - …… - 8x³
06 4
S = (1 + 2 + 3 + … + 2x)² - (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + …… + (2x)³)
2x( 2 x + 1) 2  2x( 2x + 1) 
2
S=( ) – (  ) =0
2  2 